Chuyen de 5 Toa do khong gian

Viết phương trình của đường thẳng g đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cắt đường thẳng d ¢.. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính, diện tích của mặt cầu S.[r]

Chuyên đề 5: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A/-KIẾN THỨC CƠ BẢN

I/- TỌA ĐỘ ĐIỂM TỌA ĐỘ VECTƠ

Vấn đề 1: TỌA ĐỘ VECTƠ

 a (a ;a ;a )1 2 3

®

 a a i a j a k1  2  3

 Cho a a ;a ;a , b1 2 3  b ;b ;b1 2 3

+











+®a± =®b (a1±b ;a1 2±b ;a2 3±b3)

+ k a® =(ka ;ka ;ka )1 2 3

+  a b a b 1 1a b2 2 a b3 3,

Đặc biệt: a b   a b 0  a b1 1a b2 2a b3 3  0

+ | |a = a12a22a32 .

+

 

Vấn đề 2: TỌA ĐỘ ĐIỂM

 M(x ; y ;z )M M M Û OM® =xM®i +yM®j+z kM®

 ChoA x ; y ;z A A A,B x ; y ;z B B B

+ Tọa độ vectơ AB xB x ; yA B  y ;zA B zA

+ AB xB xA2yB yA2zB zA2

+ M x ; y ;z M M M là trung điểm của AB khi đó:

M

M

M

x

2

y

2

z

2





























 G là trọng tâm C thì

 Diện tích tam giác :

ABC 1

2

 Thể tích tứ diệnVABCD=

1

6

ABCD

 Thể tích khối hộp:

V ¢ ¢ ¢ ¢ éAB, AD AAù

= êë úû

ABCD.A B C D

®

II/- MẶT PHẲNG.

Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:

a) Phương trình tởng quát của mặt phẳng: Ax+By Cz D+ + =0

Trong đĩ:

 A, B, C, D là các hệ số thực; A, B, C khơng đờng thời bằng 0

 n =(A;B;C)

®

là VTPT của mặt phẳng

b) mp ( ) qua điểm M0(x0; y0; z0) nhận n (a;b;c)



 làm VTPT cĩ phương trình là:

 0  0  0

a x x b y y c z z  0

b) Cho ba điểm A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đĩ a, b, c khác 0

mp ( ) qua A, B, C cĩ phương trình là:

1

a+ + =b c

(Phương trình mp theo đoạn chắn) Vấn đề 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỚI_KHOẢNG CÁCH.

1) Vị trí tương đới của hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng (), () cĩ phương trình: (): a x b y c z d1  1  1  10

(): a x b y c z d2  2  2  20

 (), () cắt nhau  a : b : c1 1 1a : b : c2 2 2

 () // () 

a b c d  ()  () 

a b c d

 VÍP: ()  ()  a a1 2 b b1 2c c1 2 0

2) Khoảng cách:

a) Khoảng cách từ M (xM;yM;zM) đến mặt phẳng (): ax by cz d 0    :

  axM by2 M2 czM2 d

d M,

 

b) Cho: ( ) ( ) P  , ta cĩ: d ( ),( )(   )=d M,( )(  ) với M ( )Ỵ 

c) Cho: P( ) , ta cĩ: d ,( )(  )=d M,( )(  ) với M Ỵ

III/-ĐƯỜNG THẲNG:

Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0; z0) nhận a a ;a ;a1 2 3

®

làm VTCP cĩ phương trình:

 Phương trình tham số

 

x x a t : y y a t , t R

z z a t





  



 Phương trình chính tắc:

:

(với a a a1 2 3¹ 0)

 Chú ý:

 Đường thẳng  đi qua hai điểm A, B cĩ vectơ chỉ phương là a AB

 Đường thẳng  vuừng gục với mặt phẳng () cụ vectơ chỉ phương lỏ a n

  

 Hai đường thẳng cụ cùng vectơ chỉ phương:  // d suy ra: a ad

Vấn đở̀ 2: VỊ TRÍ TƯƠNG Đễ́I_KHOẢNG CạCH.

1) Vị trí tương đừ́i giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d, dđ cụ phương trớnh tham số lần lượt lỏ:

d : y y ta

ủủ

ủủ = +

ợủ

ủủ = +

d : y y t a

z z t a

ớ = đ+ đđ

ủủ ủủ

đợủ = đ+ đđ

ủủ = đ+ đđ

ủù

 d // d 

a ,a

y ta y t a ( t, t )

Ẽ

Ẽ ớủủ đ

ủủ

ủ ủủ

ợ ủ

ủ ủ

ủ ủ

ủ ủ

ủ ủù

ủù

cuựng phữừng

 0 0 0 0

a ,a

M (x ; y ;z ) d

Ẽ

Ẽ ớủủ đ ủợ

ủù

cuựng phữừng

(Trong đụ M x ; y ;z0 0 0 0 ) d

 d  d  hệ phương trớnh

ủủ

ủủ + = đ+ đđ

ợủ

ủủ + = đ+ đđ

ủù ó̉n t vỏ tđcụ vừ số nghiệm

 0 0 0 0

a ,a

M (x ; y ;z ) d

Ẽ

Ẽ ớủủ đ ủợ

ủù

cuựng phữừng

(Trong đụ M x ; y ;z0 0 0 0 )d

 d, d cắt nhau  hệ

ủủ

ủủ + = đ+ đđ

ợủ

ủủ + = đ+ đđ

ủù (ó̉n t, t) cụ đỷng một nghiệm

a ,a

a ,a , M M

Ẽ

Ẽ

Ẽ

ớủủ đ ủủ ợủ

ủủù

khoóng cuựng phữừng

ũoỏng phaỷng



a ,a 0

a ,a MM 0

Ẽ

Ẽ

Ẽ

ớ ờ ỳ

ủủ ở ỷđỈ

ủ ỡ ỹ ủợ

ủ ờ ỳ

ủ ở ỷ

ủỡ đỹ đ= ủù

Ẽ

 d, d chờo nhau 

a ,a

y ta y t a ( t, t )

Ẽ

Ẽ ớủủ đ ủủ

ủủ ớ + = đ+ đđ

ủ ủủ

ợ ủ

ủ ủ

ủ ủ

ủ ủ

ủ ủù ủù

khoóng cuựng phữừng

Hoặc: d, d chờo nhau  Ẽa ,a , M MẼđ 0Ẽ 0đkhừng đừ̀ng phẳng  ờởỡẼa ,a M MẼỳỷỹ 0Ẽ 0đỈ 0

VÍP: d^ í adđ Ẽ^ í a aaẼđ Ẽ Ẽđ=0

2) Vị trí tương đừ́i giữa một đường thẳng vỏ một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (): Ax By Cz D 0    và đường thẳng d:

x x ta

y y ta

z z ta







  

 Xét phương trình: A(x0ta ) B(y1  0ta ) C(z2  0ta ) D 03   (ẩn t) (*)

 d // ()  (*) vô nghiệm

 d cắt ()  (*) có đúng một nghiệm

 d  ()  (*) có vô số nghiệm

3) Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu

Cho đường thẳng d:

x x ta

y y ta

z z ta







  

 (1) và mặt cầu (S): (x a) 2(y b) 2(z c) 2 R2 (2)

Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*)

 d và (S) không có điểm chung  (*) vô nghiệm  d(I, d) > R

 d tiếp xúc với (S)  (*) có đúng một nghiệm  d(I, d) = R

 d cắt (S) tại hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt  d(I, d) < R

4) Khoảng cách:

a) Tìm khoảng cách từ M đến đường thẳng

 

x x a t : y y a t , t

z z a t





  





 Gọi H(x; y; z) là hình chiếu của M lên   H(x0a t; y1 0a t;z2 0a t)3

 Từ điều kiện MH a MH.a 0 t

 Khoảng cách từ M đến  bằng độ dài đoạn MH

 Cách khác (NC)

Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (  ) là:

0

M M, a d(M, )

a



=

®

(  đi qua M0 có VTCP a

®

)

b) Cho 1P2 Tính d( ; 1 2)?

 Chọn M   1

 Tính d( ; 1 2) d(M; 2)

c) Cho Pmp(P) Tính d( ;(P)) ?

 Chọn M  

 Tính d( ;(P)) d(M;(P)) 

c) Cho hai đường thẳng 1,  chéo nhau Tính 2 d( ; 1 2)?

 Viết phương trình mp(P) qua  và 1 (P) P 2

 Tính d 1; 2 d2;(P) d M,(P)  với M   2

 Cách khác

1) d 1, 2  độ dài đoạn vuông góc chung

2) (NC)

 

1 2

1 2

a , b M M

a , b

® ®

Với: a , b

® ®

là VTCP của 1,  và: 2 M1 1; M2  2

IV/-MẶT CẦU

Vấn đề 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:

Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R > 0:

x a + y b 2   2 + z c  2 = R 2

Dạng 2: x + y + z 2 2 2 2ax 2by 2cz + d = 0 

Với: a2

+ b 2

+ c 2 - d > 0

Khi đó tâm I(a; b; c) bán kính R = a + b + c 2 2 2 d

Lưu ý:

+ Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( ) có R = d I,α ( )

+ Mặt cầu tâm I và đi qua điểm A có R IA

+ Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB và

AB

R IA

2

+ Nếu mặt phẳng tiếp xúc tại M thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là n IA

+ Nếu mặt cầu (S) tiếp xúc mặt phẳng ( )  thì bán kính mặt cầu (S) là R d(I,( )) 

Vấn đề 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng  P : Ax By Cz D 0   

Tính:

 

  Aa Bb Cc D2 2 2

d I, P



 d I, P    RÛ    P  C 

;

 d I, P    RÛ    P  C

theo giao tuyến là đường tròn H;r R2 d I; P2    

Với H là hình chiếu của tâm I lên mp(P)

Lưu ý: Đường tròn trong không gian có phương trình:

x a2 y b2 z c2 R2

Ax By Cz D 0







 d I, P    RÛ    P , C

tiếp xúc nhau tại điểm H là hình chiếu của tâm I trên (P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (C)

Vấn đề 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng  

Tính: d I,  Nếu:   d I,  RÛ      C ;

d I,  RÛ      C tại 2 điểm phân biệt;

d I,   RÛ     , C tiếp xúc nhau,   gọi là tiếp tuyến của mặt cầu

B/-PHẦN BÀI TẬP MINH HỌA

I/-MỘT Sễ́ BÀI Tặ̀P Mằ̃U CÓ LỜI HOẶC HƯỚNG Dằ̃N:

1) Chứng minh 3 điểm ABC khừng thẳng hỏng Tớm tọa độ trọng tóm G của tam giõc ABC 2) Tớm tọa độ đỉnh D của hớnh bớnh hỏnh ADCB.

3) Tớm tọa độ giao điểm E của đường thẳng AB với mặt phẳng (Oxy)

3) Tính diợ̉n tích S của tam giác ABC vỏ tìm tọa độ trực tóm H của tam giác ABC.

GIẢI:

1) Từ giả thiết suy ra: A(2 ; –1; –4) , B(3 ; 1 ; –1)

10 2

OC OB BC 5 i 2 j 2 k C(5;2;2) G ; ; 1

3 3

AB (1;2;3),BC (2;1;3)   AB k.BC, k   

Vọ́y 3 điểm A, B, C khừng thẳng hỏng

Ta cụ:

D D D

Ẽ Ẽ ớủủủủ - =

-+ = ủủù

E E

10 x

3

k 3

ớủủ = ủủ

ủù

Bỏi 2 Viết phương trớnh từ̉ng quõt của mặt phẳng (P) biết:

1) (P) đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; –2)

2) (P) đi qua ba điểm M(1; 1; –1), N(4; 2; 3), P(2; –2; 1)

3) (P) chứa điểm A(2; 1; 2) vỏ đường thẳng d cụ phương trớnh:

x 3 2



=

y 1 2



z 1

4) (P) song song vỏ cách đở̀u hai đường thẳng:

d:

x 1 t

y 2 2t

z 3t

 





 



 



x 1 t

d : y 3 2t

z 1

ớ = + đ ủủ

ủủ

đợủ = - đ

ủ = ủủù

HD:



mp(P) cụ VTPT lỏ

n MN, MP 2(7; 1; 5) 

Phương trớnh mp(P): 7(x – 1) – (y – 1) – 5(z + 1) = 0  7x – y – 5z – 11 = 0

Ẽ

Ta cụ AB (1; 2; 2)  

Ẽ

Vớ mp(P) = mp(A , d) nởn mp(P) cụ VTPT lỏ

n AB, a   ( 6; 5;2)

Vọ́y PTTQ của (P) lỏ: 6(x – 2) + 5(y – 1) – 2(z – 2) = 0  6x + 5y – 2z – 13 = 0

Bỏi 3 Viết phương trớnh tham số của đường thẳng (d) biết:

1) d đi qua điểm A(2; 1; 2) vỏ song song với đường thẳng (d) cụ phương trớnh:

3

2

x 

=

1

2

y 

 =1

z

2) d đi qua điểm B(3; –1; 0) vỏ vuừng gục với mp(P): x + 5z – 2013 = 0.

3) d đi qua điểm C(1; 4; –2) vỏ vuừng gục với hai đường thẳng:

: x = 1 – t ; y = 2 + 2t ; z = 3t &  /: x = 1 + t/ ; y = 3 – 2t/ ; z = 1

4) (d) lỏ đường vuừng góc chung của hai đường thẳng

: x 1 t; y 2 2t;z 3t

      vỏ đ: x= +1 t ; yđ = -3 2t ;z 1đ =

HD:

1) d : x = 2 + 2t ; y = 1 – 2t ; z = 2 + t.

2) d : x = 3 + t ; y = –1 ; z = 5t.

Vớ (d) vuừng gục với  vỏ / nởn (d) cụ VTCP lỏ

a  u , v 3(2;1;0)

Vọ́y PTTS của đường thẳng d lỏ: x = 1 + 2t ; y = 4 + t ; z = –2

Bỏi 4 Viết phương trớnh của mặt cầu (S) biết:

1) (S) cụ tóm I(1; –2; 3) vỏ đi qua điểm M(3; 0; 2)

2) (S) cụ đường kợnh AB với A(1; 2; 3) vỏ B(2; 2; –1)

3) (S) đi qua gốc tọa độ O vỏ A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; –2)

4) (S) đi qua 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0;–2) vỏ D(2; 4;–2)

HD:

1) R IM  4 4 1 3  

2)

I ;2;1 & R IA 0 4

Từ giả thiết ta cụ hệ phương trớnh:

2

b 2

16 8b 0





Vọ́y phương trớnh mặt cầu (S) lỏ: (x – 1)2 + (y – 2)2 (z + 1)2 = 6

Bỏi 5 Cho điểm I(3; 0;–1) vỏ hai đường thẳng

x 2 2t

d : y 3 4t

z 5t

 





 



 

/ /

x 12 4t

d : y 9 3t

z 1 t

ớủ = + ủủ

ủủ

đợủ = +

ủủ = + ủủù

3) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và song song với d/.

HD:

®

= (2;–4;–5) , d/ qua B(12; 9; 1) và có VTCP b

®

= (4; 3; 1)

Ta có :

a , b 11(1; 2;2) & AB (10;12;1)

Vậy d và d/ chéo nhau

2) mp(P) đi qua I(3; 0;–1) và có VTPT

n é® ®a , bù 11(1; 2;2)

PTTQ của mp(P) là: (x – 3) – 2y + 2(z + 1) = 0  x – 2y + 2z – 1 = 0

3) mp(Q) chứa (d) nên đi qua A(2;–3; 0) và có VTPT

n a , b 11(1; 2;2)

® é® ®ù

PTTQ của mp(Q) là: (x – 2) – 2y + 2(z + 3) = 0  x – 2y + 2z + 4 = 0

Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1)

1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Chứng minh ABCD là một tứ diện

2) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

3) Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.

HD:

1) AB ( 1;1;1)

®

= - ; AC® =(0; 1;2)- ; n AB, AC (3;2;1)

Phương trình: (ABC): 3x + 2y + z – 5 = 0

3xD + 2yD + zD – 5 = 1 (Sai) Þ D Ï (ABC) Vậy ABCD là một tứ diện

Thế tọa độ A, B, C, D giải hệ phương trình ta có:

=-Suy ra phương trình mc(S) : x2+y2+z2+3x+ - -y z 6=0

3)

BA® (1; 1; 1), BC® (1; 2;1), BD® (1; 1;0), BC,BDé® ® ù (1;1;1)

VABCD =

ABCD

1 3

3V

2

ABCD ABCD

BCD

d : y t

z 4 t

ì =- +

ïï

ïï =

íï

ï = +

1) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)

2) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).

3) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua d và I.

4) Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P), cắt d và vuông góc d

1) Xét phương trình:  1 2t2t 4t   5 0 t 0

Khi t = 0, ta có

z 4

ì =-ïï

ïï = íï

ï = ïïî Vậy d cắt (P) tại A  1;0;4

2)

3

1 4 4

+ + +

+ +

Phương trình mc(S):(x 1)- 2+ -(y 2)2+ +(z 2)2 =16

®

= , IA® = -( 2; 2;6)

-Mặt phẳng (Q) qua I(1;2; 2),- có VTPT n u , IA (8; 14;6)

® é® ®ù

-ë û nên có phương trình:

8(x 1) 14(y 2) 6(z 2)- - - + + = Û0 4x 7y 3z 16- + + =0

u u , n ( 3;3;3)

¢=ê ú=

nên có phương trình tham số là:

y 3t

z 4 3t

ì = -ïï

ïï = íï

ï = + ïïî

x 1 2t : y 7 t

z 3 4t



ì = + ïï

ïï = + íï

ï = + ïïî

HD:

1) ®u =(2;1;4), n®( ) =(3; 2; 1), u n- - ® ®( ) =0

M(1;7;3) Î và M ( )Ï  Þ P( )

14

( ) qua M có VTPT là ( ) ( )

Nên ( ) có phương trình:(x 1) 2(y 7) (z 3)- + - - - = Û0 x+2y z 12- - =0

¢ có VTCP là: ( ) ( )

u n  , n  (4;2;8)

Xét hệ:

ïï

íï + - - =

Cho

Vậy phương trình tham số của

íïïî

: y 3 , : y 1 t t, t R

ì

1) Chứng minh rằng hai đường thẳng  và ’ không cắt nhau nhưng vuông góc với nhau 2) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua  và vuông góc với ’

3) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ’ ( nâng cao )

4) Viết phương trình đường vuông góc chung d của  và ’ ( nâng cao )

HD:

1) u ( 2;0;1), u (1; 1;2) u u 0  

Vì hệ phương trình:

2t 2 t

3 1 t

1 t 2t

ì- = + ¢ ïï

ïï = - ¢ íï

ï + =

ïî vô nghiệm nên suy ra  và ¢không cắt nhau Từ đó suy ra (đpcm)

Nên có mặt phẳng (P) có phương trình: x (y 3) 2(z 1)- - + - = Û0 x y 2z 1 0- + + =

3) M(0;3;1)Î , M (2;1;0)¢ Î ¢Þ MM® ¢=(2 : 2; 1)-

-( )

u , u MM

u , u (1;52) d ,

u , u

 

®

®

®

®

®

Xét phương trình:

(2 t ) (1 t ) 2(2t ) 1 0 t I ; ;

ç

Gọi I¢ là hình chiếu vuông góc của I trên 

Ta có

5 5 5

I ( 2t;3;1 t) II 2t ; ; t

3 3 3

ç

¢- + Þ ¢= -ççè - + ÷÷ø

®

ç

d qua I¢, có VTCP ®a =3II®¢=(1;5;2) nên có phương trình tham số:

y 3 5t

z 2t

ì = + ïï

ïï = + íï

ï = ïïî

Bài 10: Trong không gian Oxyz cho A(3;–1;0) , B(0;–7; 3) , C(–2; 1;–1) , D(3; 2; 6).

1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

2) Viết phương trình đường thẳng d qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC).

HD:

1) AB® = -( 3; 6;3), AC- ® = -( 5;2; 1)

-mp(ABC) qua A, có VTPT

n éAB, ACù (0; 18; 36)

nên có phương trình dạng:

18(y 1) 36z 0 y 2z 1 0

®

= , khi đó d qua D(3;2;6) nhận ®n =(0;1;2) làm

VTCP nên có phương trình tham số:

z 6 2t

ì = ïï

ïï = + íï

ï = + ïïî

được:

y 1 I(3; 1;0)

z 0

ì =

ïï

-íï

ï =

ïïî

Hình chiếu vuông góc của D trên (ABC) là I(3; 1;0)

-I là trung điểm DD¢ nên ta có:

I I I

x

2

z

2

¢

¢

¢

¢

¢

¢

ïï =

ïï

1

3

Nên Phương trình tham số đường thẳng AB là:

ì = + ïï

ïï =- + íï

ï =-ïïî

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng AB

Ta có: H(3 t; 1 2t; t), CH+ - + - ® = + - +(5 t; 2 2t :1 t)

-1

u CH= Û + -0 5 t 4 4t 1 t+ - + = Û = Þ0 t 0 H(3; 1;0)

H là trung điểm CC’ nên ta có

2

2

H

H

x

z









































H là trung điểm CC¢ nên ta có:

H

H I

x

2

z

2

¢

¢

¢

¢

¢

¢

ïï =

ïï

d :

2) Viết phương trình mp(P) đi qua M và vuông góc với đường thẳng d.

3) Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d (NC)

ĐS: 1)

x 1 2t : y 2 3t

z 1 t



ì = + ïï

ïï =- + íï

ï = + ïïî 2) ( ) : 2x 3y z 3 + + + =0 3) d M,( ) 4 3

7

 =

d :

2) Viết phương trình của đường thẳng g đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d đồng

HD:

x 2 2t

y 2 3t

ì = + ïï

ïï = -íï

ï = -ïïî

Thay vào phương trình mp( ) ta được: t = 1, từ đó có giao điểm của ( ) và d¢ là: B(4; 1; 3)

-Đường thẳng g chính là đường thẳng AB, đi qua A(2; 1; 1), có VTCP là AB

®

nên có PTTS:

x 2 2t

y 1 2t

z 1 4t

ì = +

ïï

ïï =

-íï

ï =

-ïïî , tÎ 

1) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính, diện tích của mặt cầu (S).

2) Tìm tọa độ các giao điểm của mặt cầu (S) với đường thẳng (d) có phương trình :

x 3 t; y 2t; z t (t R)

íïïî

3) Chứng tỏ mặt phẳng (P): 4x – 5y + z + 3 = 0 tiếp xúc với mặt cầu (S) Tìm tọa độ tiếp điểm 4) Chứng tỏ mặt phẳng (Q): 4x – 5y + z – 60 = 0 cắt mặt cầu (S) Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến.

HD:

Diện tích của mặt cầu S = 4..r2 = 168 (đvdt)