Luyện thi đại học chuyên đề hình tọa độ không gian

TTTTNNG HOP BÀI TOÁN PHBCNG TR NNG HOP BÀI TOÁN PHBCNG TR NNG HOP BÀI TOÁN PHBCNG TRÌNH M ÌNH M ÌNH MGT CHU GT CHU GT CHU Tác giả: Trần Sĩ Tùng Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng c

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

CHUYÊN HÌNH T A KHÔNG GIAN

PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Hệ trục tọa độ : z

- Nếu : OM = x i + y j + z k ;

thì tọa độ điểm M là : M ( x;y;z)

- Trục ox là trục hoành ; trên đó có véc tơ i = ( 1 ; 0 ; 0 )

- Trục oy là trục tung ; trên đó có véc tơ j = ( 0 ; 01 ; 0 ) x y

- Trục oz là trục cao ; trên đó có véc tơ k = ( 0 ; 0 ; 1 )

-Điểm O là gốc tọa độ ; O ( 0;0;0)

1 T a i m :

o Điểm nằm trên các trục tọa độ

-Nếu điểm M nằm trên trục hoành ox ; thì tọa độ M(x; 0;0)

-Nếu điểm M nằm trên trục tung oy ; thì tọa độ M(0; y;0)

-Nếu điểm M nằm trên trục cao oz ; thì tọa độ M(0; 0;z)

o Điểm nằm trên các mặt phẳng tọa độ

-Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oxy) ; thì tọa độ M(x; y;0)

-Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oyz) ; thì tọa độ M(0; y;z)

-Nếu điểm M nằm trong mặt phẳng (oxz) ; thì tọa độ M(x; 0;z)

2222 TTTT a vécto a vécto a vécto

• Cho hai điểm A ( x1; y1; z1) và B ( x2; y2; z2) ; khi đó ta có công thức tính tọa độ của vecto AB

là : AB = ( x2 − x1; y2− y1; z2− z1)

• Cho hai vecto: a = ( a1; a2; a3) và b = ( b1; b2; b3) ; khi dó ta có các công thức tính như sau :

Ct1: Tọa độ vecto tổng và vecto hiệu của các vecto

2 1

1

//

b

a b

a b

a b k a

b

Ct5 : Hai vecto vuông góc

0

Chú ý : Vận dụng hai vecto vuông góc để chứng minh :

-Tam giác vuông

-Hai đường thẳng vuông góc

Ct6 : Hai vecto bằng nhau

2 2

1 1

b a

b a

b a

b

a ( Hai vecto bằng nhau )

Chú ý : Vận dụng hai vecto bằng nhau để :

-Tìm tọa độ điểm ; khi biết tứ giác đó là một hình bình hành

Ct7: Tính góc của hai vecto

3

2 2

2 1

2 3

2 2

2 1

3 3 2 2 1

b a b a b a b

a

b a b

a

+ + +

+

+ +

=

3 Tọa độ trung điểm của một đoạn thẳng ; trong tâm của tam giác và của tứ diện

*Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB ; với A ( x1; y1; z1) và B ( x2; y2; z2)

;2

2 1 2 1 2

x M

* Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ; với A ( x1; y1; z1) ; B ( x2; y2; z2) ; C ( x3; y3; z3) Thì tọa

;3

3 2 1 3 2 1 3 2

x G

* Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD ; với A ( x1; y1; z1) ; B ( x2; y2; z2) ; C ( x3; y3; z3) ;

;4

4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2

x

G

o Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng

Cho hai điểm : A ( x1; y1; z1) và B ( x2; y2; z2) thì ta có :

1 2

2 1 2

2 1

x

Chú ý : dùng công thức tính độ dài đoạn thẳng để tính chu vi của một tam giác ; tứ giác ;

khoảng cách từ một điểm đến một điểm

4 Tích có hướng của hai véc tơ trong không gian và ứng dụng:

]

; [ a b = a b a b a b a b b a a b

⇒ Nhớ : bỏ cột 1 ; bỏ cột 2 đổi chiều ; bỏ cột 3

Chú ý: S Chú ý: S' d)ng máy tính nhân vector 1 ' d)ng máy tính nhân vector 1 ' d)ng máy tính nhân vector 1 (có h4 (có h4 (có h45ng, vô h45ng) 5ng, vô h45ng)

· Tích có hướng :

1 chọn MODE 8 (Vector),

2 chọn 1 cho vector A, hoặc chọn 2 cho vector B,hoặc chọn 3 cho chọn vector C

3 hiện ra VctA(m) khi chọn vector A, VctB(m) khi chọn vector B, tương tự vector C, chọn 1

cho tọa độ không gian Oxyz, và chọn 2 cho trục tọa độ Oxy

4 khi chọn vector nào điền tọa độ vào

5 sau đó, nhấn AC tiếp theo chọn shift 5 (VECTOR) các thuật ngữ

a

90

; 0 b = ⇔ a b =

a

90

; 0

b > ⇔ a b <

a

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

1 Dim Gọi VctA, VctB, VctC để ấn định chiều (mặt phẳng hay

không gian) cho các vector này

2 Data Gọi VctA, VctB, VctC để hiện tọa độ và chỉnh sữa tọa độ

3 VctA Nhập "VctA"

4 VctB Nhập "VctB"

5 VctC Nhập "VctC"

6 VctAns Nhập "VctAns"

7 Dot Nhập dấu (để lấy tích vô hướng 2 vector)

6 chọn Dim rồi chọn VctB hay VctC cũng tương tự VctA chọn 1hay 2 rồi nhập tọa độ vector thứ 2 hay

thứ 3

7 rồi nhấn AC, gọi lai nhân shift 5 chọn 3 gọi vector A, chọn 4 gọi vector B và C tương tụ

8 Nếu muốn nhân 2 vector hữu hướng thì chọn dấu nhân (X) giữa 2 vector VD nhân vector A và Vector

B nếu có hướng thì chọn shift 5 ( Vector ) 3 rồi chọn dấu nhân(x) rồi chọn shift 5 chọn 4

9 cuối cùng nhấn dấu bằng (=) hiện ra kq

S∆ABC = VABCD.A/B/C/D/ = [ AB ; AD ] AA/ VABCD [ AB ; AC ] AD

VVVV:N 1 :N 1 :N 1 : T : T : T A I;M A I;M A I;M ::::

1 Chứng minh 3 điểm A;B;C thẳng hàng hay

2 Tìm D để tứ giác ABCD là hình bình hành Vẽ hình, kí hiệu chính xác

Gọi D(x; y; z) ABCD là hbh uuur AD = BC uuur

2 2

1 1

b a

b a

b a b a

3 Tìm các điểm còn lại của một hình hộp Vẽ hình kí hiệu điểm chính xác

2 2

1 1

b a

b a

b a b a

4 Tìm C ∈ Ox để ABC là tam giác cân tại C Gọi C x ( ;0;0) ∈ Ox

ABC

∆ cân tại C CA= CB Hai vecto bằng nhau

2 2

1 1

b a

b a

b a b a

5 Tìm C ∈ Oxy để ∆ ABC đều Gọi C x y ( ; ;0) ∈ Oxy

2 2

1 1

b a

b a

b a b a

6 Tìm C ∈ Ox để ABC là tam giác vuông tại C Gọi C x ( ;0;0) ∈ Ox

ABC

∆ vuông tại C CA CB uuur uuur = 0

7 Tìm chân đường cao A’ hạ từ A của ∆ ABC Gọi A’(x;y;z)

8 Tìm trực tâm H của ∆ ABC Viết ptmp (ABC)

10 Tìm M trên mpOxy cách đều 3 điểm A, B, C

Tìm M trên mpOxz cách đều 3 điểm A, B, C

Tìm M trên mpOyz cách đều 3 điểm A, B, C

Gọi C x y ( ; ;0) ∈ Oxy

Giải hệ MA=MB=MC Gọi C x ( ;0; ) z ∈ Oxz

Giải hệ MA=MB=MC Gọi C (0; ; ) y z ∈ Oyz

2 2

1 1

b a

b a

b a b a

• TỌA ĐỘ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho AM + 2BA=3CM

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

c) Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD

VÍ D 2: Cho góc tam diện vuông Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điêm A, B, C

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

sao cho OA=a;OB=b;OC=c,a≤b≤c Một (d) đi qua O Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có thể nhận được của

Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho ar= −(1; 1; 0), br= −( 1;1; 2), cr= −ir 2rj−kr, dr=ri

a) xác định k để véctơ ur=(2; 2k−1; 0) cùng phương với ar

b) xác định các số thực m, n, p để dr=mar−nbr+ pcr

c) Tính a b ar , r, r+2br

Bài 3: Cho A ( 2; 5; 3 , ) ( B 3;7; 4 , ) ( C x y ; ; 6 )

a) Tìm x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng yOz Tính độ dài đoạn AB

c) Xác định tọa độ điểm M trên mp Oxy sao cho MA + MB nhỏ nhất

Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho (1; 2; )1

r r

Bài 5: Trong hệ tọa độ Oxy cho: A ( 1; 1;1 , − ) ( B 2; 3; 2 , − ) ( C 4; 2; 2 , − ) ( D 3;0;1 , ) ( E 1; 2;3 )

a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật Tính diện tích của nó

b) Tính cos các góc của tam giác ABC

c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB

d) Tìm tọa độ điểm M thỏa MA MBuuur+uuur−2MCuuuur=0r

Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy cho: A ( 1; 1;1 , − ) ( B 2; 3; 2 , − ) ( C 4; 2; 2 − )

a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB

b) Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC

Bài 1: Trong không gian Oxyz, tính tích có hướng u v, 

Bài 3: Trong không gian Oxyz, Cho A ( 1; 1;1 , − ) ( B 2; 3; 2 , − ) ( C 4; 2; 2 , − ) ( D 1; 2;3 )

a) Chứng tỏ rằng A,B,C không thẳng hàng

b) Chứng tỏ rằng bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng

c) Tính diện tích tam giác ABC

d) Tính thể tích tứ diện ABCD.Biết rằng

Bài 4: Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có:

( 2; 1;1 , ) ( 2; 3; 2 , ) ( 4; 2;2 , ) ( 1; 2; 1 , )

a) Tính diện tích tam giác SAB

b) Tính diện tích tứ giác ABCD

c) Tính thể tích hình chóp S.ABCD Từ đó suy ra khoảng cách từ S đến mp(ABCD)

d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’

VVVV:N 2: PHBCNG TR :N 2: PHBCNG TR :N 2: PHBCNG TRÌNH M ÌNH M ÌNH MGT CHU: GT CHU:

DẠNG 1: (x-A)2 + (y-B)2 + (z-C)2 =R2 (1) Tâm I(A;B;C) , bán kính R

Yêu cầu: - Có pt đọc được tâm I và bán kính R

- Có tâm I(A; B; C), bán kính R viết được phương trình mặt cầu

DẠNG 2: x2 +y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D =0 (2)

Yêu cầu: - Đọc được các số A=hệ số x/2; B=hệ số y/2; C=hệ số z/2; D tự do

- Lập được điều kiện để pt (2) là pt mặt cầu A2+B2+C2-D>0

- Đọc được tâm I(-A; -B; -C); bán kính 2 2 2

CÁC D

CÁC D>NG TOÁN THBJNG GGP: >NG TOÁN THBJNG GGP: >NG TOÁN THBJNG GGP:

1 Viết ptmc (S) có tâm I(A; B; C) bk R Thay vào (1)

2 Viết ptmc (S) có tâm I(A; B; C) và đi qua

điểm A

Bán kính R= IA Thay vào (1)

3 Viết ptmc (S) đường kính AB biết 2 điểm

A và B

Tâm I là trung điểm AB

Bk R=AB/2 Thay vào CT (1)

4 Viết ptmc (S) có tâm I và tiếp xúc mp (P) Bán kính R= d( I; (P))

Thay vào (1)

5 Viết ptmc (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD

hay đi qua 4 điểm A;B;C;D không đồng

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

6 Viết ptmc (S) qua 2 điểm A, B và có tâm I

nằm trên trục hay 1 đường thẳng

Lấy tọa độ tâm I theo trục hay theo đường thẳng

Giải pt IA = IB Suy ra tâm I, bk R=IA

7 Viết ptmc (S) qua 3 điểm A, B,C và có tâm

Suy ra tâm I, bk R=IA

8 Chứng minh điểm A nằm trong, nằm trên

hay nằm ngoài mặt cầu (S)

Xác định tâm I, bán kính R Tính IA:

Nếu IA<R thì A nằm trong Nếu IA=R thì A nằm trên Nếu IA>R thì A nằm ngoài

9 Chứng minh đoạn AB cắt mặt cầu (S)

Chứng minh đoạn AB không cắt (S)

Ta c/m 1 điểm nằm trong và 1 điểm nằm ngoài mặt cầu

Ta c/m A, B cùng nằm trong hoặc ngoài mặt cầu

10 Chứng minh mp(P) cắt hoặc tiếp xúc hoặc

không cắt mặt cầu (S)

Xác định tâm I, bán kính R của (S) Tính d(I; (P))

Nếu d(I; (P))<R thì (P) cắt (S) Nếu d(I; (P))=R thì (P) tiếp xúc (S) Nếu d(I; (P))>R thì (P) không cắt S

BÀI T

BÀI TLP CC BMN V PHBCNG TR LP CC BMN V PHBCNG TR LP CC BMN V PHBCNG TRÌNH M ÌNH M ÌNH MGT CHU: GT CHU: GT CHU:

Bài 1: Trong không gian Oxyz, tìm tâm và bán kính mặt cầu

4

x +y + −z x+ y+ z+ =

Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A ( 1;3; 7 , − ) ( B 5; 1;1 − )

a) Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB

b) Lập phương trình mặt cầu đường kính AB

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho A ( 1;1;1 , ) ( B 1; 2;1 , ) ( C 1;1; 2 , ) ( D 2; 2;1 )

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D

Bài 4: Trong không gian Oxyz, hãy lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm: A ( 1; 2; 4 , − )

( 1; 3;1 , ) ( 2; 2;3 )

Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho A ( 2; 1;6 , − ) ( B − − − 3; 1; 4 , ) ( C 5; 1;0 , − ) ( D 1; 2;1 )

a) Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diện

b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

c) Viết phương trình mặt cầu cắt mp(ABC) theo thiết diện là một đường tròn có bán kính lớn nhất

Bài 6: Chứng tỏ rằng phương trình: x2+y2+ +z2 4mx−2my+4z+m2+4m=0 luôn luôn là phương trình

của một mặt cầu Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất

TTTTNNG HOP BÀI TOÁN PHBCNG TR NNG HOP BÀI TOÁN PHBCNG TR NNG HOP BÀI TOÁN PHBCNG TRÌNH M ÌNH M ÌNH MGT CHU GT CHU GT CHU ( Tác giả: Trần Sĩ Tùng )

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1) : {x=2 ;t y t z= ; =4 và (d2) :

đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)

Câu hỏi tương tự:

2

3:0

4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( )∆1 có phương trình {x=2 ;t y=t z; =4; ( )∆2 là

giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ) :α x+ − =y 3 0 và ( ) : 4β x+4y+ −3 12 0z = Chứng tỏ hai đường thẳng

1, 2

• Gọi AB là đường vuông góc chung của ∆1,∆2: A t t(2 ; ;4)∈∆1, B(3 ; ;0)+ −s s ∈∆2

AB ⊥∆1, AB ⊥∆2 ⇒ A(2;1;4), (2;1;0) B

⇒ Phương trình mặt cầu là: (x−2)2+ −(y 1)2+ −(z 2)2=4

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’

=

+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P) H là tâm của đường tròn ( C)

+) PT đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P): d:

5 / 211

• d đi qua N( 5;7;0)− và có VTCP ur=(2; 1;1)− ; MNuuuur= −( 9;6; 6)−

( )S :x2+y2+ −z2 2x+4y− − =8z 4 0 Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng ( )α Viết phương

• ( ) :S (x−1)2+ +(y 2)2+ −(z 4)2 =25 có tâm I(1; 2;4− ) và R = 5

Khoảng cách từ I đến (α) là: d I( ,( )α )= <3 R ⇒ (α) và mặt cầu (S) cắt nhau

1 22

Toạ độ giao điểm H của IJ và (α) thoả ( )

đó mp(Oxy) và mp(P) cắt (S0) theo 2 đường tròn tâm O1≡O(0;0;0), bán kính R1=2 và tâm O2(0;0;2),

⇒ R=2 65 và I0(0;0;16) Suy ra mặt cầu (S) có tâm I a b( ; ;16) (a, b ∈ R), bán kính R=2 65

Vậy phương trình mặt cầu (S): (x a− )2+ −(y b)2+ −( 16)z 2 =260 (a, b ∈ R)

Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P)

120

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

( ) :α +2 +2 − =1 0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng ( )α và đi qua ba điểm

A B C, , Tính diện tích hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng ( )α

• Goi I a b c( ; ; ) là tâm mật cầu ta có :

2 + − + =2 2 0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp

xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1)

• Gọi I là tâm của (S) I ∈ d ⇒ I(1 3 ; 1 ; )+ t − +t t Bán kính R = IA = 11t2− +2 1t

Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1 Suy ra I(1; –1; 0)

Vậy phương trình mặt cầu (S): (x−1)2+ +(y 1)2+z2=1

phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2; –1; 0)

• Gọi I là tâm của (S) ⇒ I(1 ; – 2;+t t t) Ta có d(I, (P)) = AI ⇔ t 1; t 7

• Ta có: d=d I P( ,( )) 3= Gọi r là bán kính hình tròn thiết diện Ta có: 2πr=8π ⇒r=4

17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:{x=t y; = −1;z= −t và 2 mặt phẳng (P):

(d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q)

• Giả sử: I t( ; 1; )− − ∈t d Vì (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên d I P( ,( ))=d I Q( ,( ))=R

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình

cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0

• PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0

(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0

(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0

Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3 Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0

đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, B(1; 2; 0) và tam giác ABC có diện tích bằng 5 Gọi M là trung điểm của

AB′C′M

Gọi C x y( ; ;0) ABuuur=(1;2;0),uuurAC=( ; ;0)x y

Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

đôi một bằng nhau Từ đó ABCD là một tứ diện gần đều Do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện là

trọng tâm G của tứ diện này

Cách khác: Ta có thể xác định toạ độ tâm I của mặt cầu thoả điều kiện: IA = IB = IC = ID

giao điểm của (P) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC,

tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của (P) và (S)

vuông CC’D’D Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm B, C’, M, N

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến mặt cầu

2x – 4y – 6z – 11 = 0 Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn Xác định tọa

độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó

Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C)

Phương trình d qua I, vuông góc với (P) :

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

VVVV:N 3: :N 3: :N 3: PHBCNG TRÌNH MGT PHQNG

TÓM TST LÝ THUYVT

o Phương trình tổng quát của mp (P): Ax +By +Cz + D=0 với VTPT n r = ( ; ; ) A B C

o Để viết ptmp cần xác định 2 yếu tố : điểm M0 thuộc (P) và VT vuông góc với (P)

Nếu chưa có VTPT n r = ( ; ; ) A B C

r r Khi đó VTPT n r =   a b r r ;  

QUAN TRỌNG tích có hướng

Thay vào CT : A(x-x0) +B(y-y0) + C(z-z0) =0 cho ptmp

3/ Một số chú ý quan trọng:

o mpOxy qua gốc O(0.0.0) VTPT k r = (0;0;1) , phương trình z=0

o mpOxz qua gốc O(0.0.0) VTPT r j = (0;1;0) , phương trình y=0

o mpOyz qua gốc O(0.0.0) VTPT r i = (1;0;0) , phương trình x=0

o Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0

P Q

ϕ = ⇔ uur ⊥ uur ⇔ hai mặt phẳng vuông góc nhau

• Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox, không có biến y thì song

song Oy, không có biến z thì song song Oz

CÁC D CÁC D>NG VIVT PHBCNG TR >NG VIVT PHBCNG TR >NG VIVT PHBCNG TRÌNH M ÌNH M ÌNH MGT PHQNG GT PHQNG GT PHQNG

Dạng 1.Mp qua điểm A(xo , yo , zo ) có VTPT nr(A,B,C)

- Pt: A(x-xo )+B(y-yo)+ C(z – zo ) = 0

Hoặc Ax +By +Cz +D =0 ,

thay toạ độ A vào thoả , giải tìm D

Dạng 2.Mp( α ) qua A(xo , yo , zo ) , vuông góc với đgth d

- Mp(α) có VTPT là ur

- Giải tiếp như bài toán 1

Dạng 3 Mp( α ) qua A(xo , yo , zo ), và song song với mp(P)

- VTPT của (α) cũng là nr

- Giải tiếp như bài toán 1

Dạng 4 Mp( α ) qua A,B,C cho trước.

- VTPT của (α) là nr= AB AC, 

uuur uuur

B .C

- (α) qua A cho trước A

- Giải tiếp như bài toán 1

Dạng 5 Mp( α ) chứa 2 đgth cắt nhau a,b

- Giải tiếp như bài toán 1

Dạng 6 Mp( α ) chứa điểm A và song song với 2 đgth a, b chéo nhau

- Tìm VTCP của a,b lần lượt là ur, v

- Giải tiếp như bài toán 1

< Bài toán: Viết pt mp (α) chứa a

và song song b ( chéo a), giải tương

được lấy bất kỳ trên a

Dạng 7 Mp (P) qua A và vuông góc với 2 mp ( α ),(β) cắt nhau

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

- Giải tiếp như bài 1

< Bài toán này có thể đưa về

dạng bài B5, và A2: Viết ph

trình mp (P) vuông góc với

giao tuyến của (α),(β) >

Dạng 8 Mp( α ) chứa d và vuông góc với mp(β) cho trước

- Giải tiếp như bài toán 1

Dạng 9 Viết ptmp (P) trung trực của AB.

- Tình trung điểm I của ABvà AB

- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D

- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm

Dạng 15 Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h

- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P)

Dạng 16 Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc 900

- Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P)

Dạng 17 Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc 900

- Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P)

Dạng 18 Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất

(tính chất đường vuông góc và đường xiên)

- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT

Dạng 19 Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0

(theo pt của mp (Q) , trong đó D' ≠DQ)

- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm

Dạng 20: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có

bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước)

- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0

(theo pt của mp (Q) , trong đó D' ≠DQ)

Dạng 21: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

r

P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

- d ⊂(P) ⇒ u rd. n

r

P=0 (1)

- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2)

Dạng 22: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C)

có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước)

=>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

- Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)

Dạng 23: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C)

có bán kính nhỏ nhất (áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm)

- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

uuur làm VTPT

BÀI TẬP MẪU:

Ví dụ 1: LËp mÆt ph¼ng (P):

a) §i qua ®iÓm M(1, 2, 4− ) vµ song song víi mÆt ph¼ng : 2x+3y +5z-10=0

b) §i qua ®iÓm M( 0,2,-1 ) vµ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng d:

Do đó P đi qua A(5,1,3) có véc tơ pháp tuyến

b) Viét phương trình mặt phẳng P đi qua gốc toạ đọ O,// cả d d 1, 2

Tìm toạ độ điểm M(x,y,z) thuộc ∆, là ngiệm của hệ 2 4 0

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC TỌA ĐỘ KHễNG GIAN

1 Tìm toạ độ giao điểm M của d và P

2 Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng P

a) Chứng minh d1,d2 // nhau Viết phương trình P chứa hai đường thẳng d1,d2

b) Mặt phẳng Oxz cắt d1,d2 lần lượt tại A,B.Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ )

b) Oxz cắt d1 tại A(-5,0,-5) ,Oxz cắt d2 tại B(2,0,10)

Diện tích tam giác OAB là S,thì 1 1 ( 2 2) ( 2 2) 1 1

b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng Q ®i qua A vµ d2

b) ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng Q tiÕp xóc S vµ // víi c¶ d vµ d'

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC TỌA ĐỘ KHễNG GIAN

2.Tuỳ theo giá trị k ,xét vị trí tương đối của cầu S và mặt phẳng P : x+y-z+k=0

3 Mặt cầu S cắt 3 trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C khác với gốc O.Viết phương trình mặt phẳng ABC

4 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cầu S tại B

5 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cầu S và // với mặt phẳng Q có phương trình : 4x+3y-12z-1=0

Bài 1: Trong khụng gian Oxyz, cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)

a) Viết phương trỡnh mp đi qua A và nhận vectơ nr(1; 1;5)ư làm vectơ phỏp tuyến

b) Viết phương trỡnh mp đi qua A biết rằng hai vộctơ cú giỏ song song hoặt nằm trong mp

đú là ar(1; 2; 1), (2; 1;3)ư br ư

c) Viết phương trỡnh mp qua C và vuụng gúc với đường thẳng AB

d) Viết phương trỡnh mp trung trực của đoạn AC

e) Viết phương trỡnh mp (ABC)

Bài 2: Trong khụng gian Oxyz, cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)

a) Viết phương trỡnh mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)

b) Viết phương trỡnh mp qua A và song song với mp ( ) P : 2 x ư ư ư = y 3 z 2 0

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng

( ) Q : 2 x − + y 2 z − = 2 0

d) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng

( ) R : 3 x − − − = y 3 z 1 0

e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz

Bài 3: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mp đi qua M(2;1;4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại

các điểm A, B, C sao cho: OA = OB = OC

Bài 4: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mp đi qua M(2;2;2) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các

điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất

Bài 5: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mp đi qua M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lược

tại các điểm A, B, C sao cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC

Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD, biết rằng: A ( 2; 1;6 , − ) ( B − − − 3; 1; 4 , )

( 5; 1;0 , ) ( 1; 2;1 )

a) Viết phương trình mp chứa A và song song với mp (ABC)

b) Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó

Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho mp(P): 2x− +y 2z− =2 0 và hai điểm A ( 2; 1;6 , − ) B ( − − − 3; 1; 4 )

a) Tính khoảng cách từ A đến mp (P)

b) Viết phương trình mp chứa hai điểm A,B và tạo với mp (P ) một góc có số đo lớn nhất

c) Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp (P)

Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng:

( ) α : 2x− − − =y 2z 1 0; ( ) β :x−2y+ − =z 1 0;( ) γ : 2− + +x y 2z− =3 0

a) Trong ba mặt phẳng đó mp nào song song với mp nào?

b) Tìm quỹ tích các điểm cách đều ( ) α và ( ) γ

c) Tính khoảng cách giữa hai mp ( ) α và ( ) γ

d) Tìm quỹ tích các điểm cách ( ) β một khoảng bằng 1

e) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Ox và tiếp xúc với 2 mp ( ) α và ( ) γ

Bài 9: Trong kh.gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng ( ) α : 2 x y − − − = 2 z 1 0; ( ) β : x − + − = 2 y z 1 0

a) Tính cosin góc giữa hai mp đó

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với cả hai mp đó

c) Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp đó và song song với trục Ox

Bài 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P : 2 x − + y 2 z − = 3 0 và mặt cầu (C ):

(x−1) + +(y 1) + −(z 2) =25

a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (C ) cắt nhau Tìm bán kính của đường tròn giao

tuyến

b) Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng (P)

Bài 11: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) α : 2x−2y+ − =z 5 0 và mặt cầu (C)

(x−1) + +(y 1) + −(z 2) =25

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

a) Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với mặt phẳng ( ) α

b) Tính góc giưa mp ( ) α với Ox

c) Lập phương trình mp đi qua hai A(1;0;1) điểm B(1;-2;2) và hợp với mặt phẳng ( ) α một góc

600

Bài 13: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A ( 1;1; 2 , ) ( B 1; 2;1 , ) ( C 2;1;1 , ) ( D 1;1; 1 − )

a) Viết phương trình mặt phẳng ABC

b) Tính góc cosin giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD)

Bài 14: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;1;-1) và qua giao tuyến

của hai mặt phẳng x− + − =y z 4 0 và 3x− + − =y z 1 0

Bài 15: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mp

Bài 16: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng

3x− + − =y z 2 0 và x+4y− =5 0 đồng thời vuông góc với mp 2x− + =y 7 0

Bài 17: Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2 Gọi I, J, K

lần lượt là trung điểm các cạnh BB’, C’D’và D’A’

a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (IJK) vuông góc với mặt phẳng (CC’K)

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (JAC) và (IAC’)

c) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC)

d) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)

e) Tính thể tích hình chóp S.ABCD

Bài 19: Trong không gian Oxyz, cho tam giác đều ABC cạnh a; I là trung điểm của BC D là điểm đối

xứng với điểm A qua điểm I Dựng đoạn SD = 6

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)

• (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) ⇒ (Q) có VTPT nr=n ABrP,uuur=(0; 8; 12) 0− − ≠r

⇒ Q( ) : 2y+ − =3 11 0z

Câu hỏi tương tự:

a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( ) :P x+2y+ + =3z 3 0 ĐS: Q x( ) : −2y z+ − =2 0

và song song với đường thẳng

Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ vr=(1;6;2), vuông góc với mặt phẳng

Gọi (P) là mặt phẳng chứa d d1 2, ⇒ (P) có VTPT nr=(1;2; 1)− và đi qua M1 nên có phương trình

x+2y z− + =2 0 Kiểm tra thấy điểm M(1; –1;1) ( )∈ P

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

x2+y2+ −z2 2x−2y− + =4z 2 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời

tiếp xúc với mặt cầu (S)

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

⇒ (P): y− + +2z 3 2 5 0= hoặc (P): y− + −2z 3 2 5 0=

31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+ +z2 2x−4y− =4 0 và mặt phẳng (P):

x z+ − =3 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1)− vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I

33. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+ +z2 2x−2y+2 –1 0z = và đường thẳng

x y

d

x z

2 0:2− − =6 0

song song với hai đường thẳng ∆1 và ∆1

• (P): y z+ + +3 3 2 0= hoặc (P): y z+ + −3 3 2 0=

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3

• (d) đi qua điểm M(0; 1;1)− và có VTCT ur=(1;2;0) Gọi nr=( ; ; )a b c với a2+b2+c2 ≠0 là VTPT của

(P)

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến

• Ta có d1 đi qua A(2;2;3) , có urd1=(2;1;3), d2 đi qua B(1;2;1) và có urd2=(2; 1;4)−

Do (P) cách đều d d1 2, nên (P) song song với d d1 2, ⇒ nrP=urd1,urd2=(7; 2; 4)− −

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x−1)2+ −(y 2)2+ +( 1)z 2 =2

và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất

AH≥HI ⇒ HI lớn nhất khi A I≡ Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH

uuur làm VTPT ⇒ (P):

7 + − −5 77 0=

{x= − +2 ;t y= −2 ;t z= +2 2t Gọi ∆ là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) và I(–2;0;2) là



∈



Vectơ pháp tuyến của (P0) là nr=IAuur=(6;0; 3− ), cùng phương với vr=(2;0; 1− )

trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất

• PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2 ≠0)

(P) có VTPT nr=( ; ; )a b c , d đi qua điểm M (1;0;2) và có VTCP u (2;1;2)r=

Vì (P) ⊃ d nên M P

n u

( ) 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

(α) và (P): 2x−2y z− + =1 0 tạo thành góc 600 nên :

2 2

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

( ) : −4 − +8 12 0= Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông R

56. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M( 1; 1;3), (1;0;4)− − N và mặt phẳng (Q):

x+2y z− + =5 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc nhỏ nhất

• d1 đi qua M(1; 2;0)− và có VTCP ur=(1;2; 1)− Vì d1⊂( )P nên M∈( )P

sin

2 2

(4 3)( )

trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy một góc lớn nhất

• ĐS: ( ) :P y+ =z 0 hoặc ( ) : 2P x+5y z+ − =6 0

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác

các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK

LUYỆN THI ĐH – CĐ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

Câu hỏi tương tự:

2

• ĐS: ( ) :P x+2y−2z 3 0− =

Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng

Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất

0 1

0

a

z z a

y y a

a/ Đường thẳng d // d’ => VTCP của d’ cũng là VTCP của d và ngược lại

b/ Đường thẳng d vuông góc với d’ => u u r rd. d' = 0

c/ Đường thẳng d // mp(P) => u r ⊥ n uurp ⇔ u n r rd. p = 0 hay VTCP của d là 1VTCP của (P)

d/ Đường thẳng d vuông góc với mp(P) => VTPT của (P) là VTCP của d và VTCP của d là VTPT của

(P)

e/ Khi d cắt d’ ta có giao điểm B lấy tọa độ theo d’ đã biết

o Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:

1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Cho hai đ.thẳng ( ∆ ) đi qua M có VTCP a

r

và ( ∆ ’) đi qua M’ có VTCP a '

ur

2) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng ( ∆ ) đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP a r = (a ;a ;a )1 2 3 và