19 vấn đề về tọa độ không gian

Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm Mx0;y0;z0 trên các phẳng tọa độ.. Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính R hay độ dài đoạn thẳng IA bằng với

www.Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p online 1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi một vuơng gĩc được gọi là hệ trục toạ độ vuơng gĩc Oxyz trong khơng gian z

 k

 i O  j y

x

 O ( 0;0;0) gọi là gĩc toạ độ

 Các trục tọa độ:

 Ox : trục hồnh

 Oy : trục tung

 Oz : trục cao

 Các mặt phẳng toạ độ:

 (Oxy), (Oyz), (Oxz) đơi một

vuơng gĩc với nhau

    , ,

i j k là các véctơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz

 i

= (1;0;0), j

= (0;1;0), k

= (0;0;1)

 i  j  k 1

và i2 j2 k2 1

 i j

, jk

, k i

  i j  0

,  j k  0

, k i   0

 i j ,   k

,  j k,   i

, k i ,   j

CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ

 M Ox M(x;0;0)

 M Oy M(0;y;0)

 M Oz M(0;0;z)

 M (Oxy) M(x;y;0)

 M (Oyz) M(0;y;z)

 M (Oxz) M(x;0;z)

 Tọa độ của điểm:         ( ; ; )

OM xi y j z k M x y z

 Tọa độ của vectở:   1   2   3     ( ; ; )1 2 3

CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ

Cho   1; 1; 1, 2; 2; 2

a x y z b x y z và số k tuỳ ý, ta cĩ:

1 Tổng hai vectơ là một vectơ

      1 2; 1 2; 1 2

a b x x y y z z

2 Hiệu hai vectơ là một vectơ

      1 2; 1 2; 1 2

a b x x y y z z

3 Tích của vectơ với một số thực là một vectơ

    1; 1; 1  1; 1; 1

k a k x y z kx ky kz

4 Độ dài vectơ Bằng hoành2 tung2 cao2

   12 12 12

a x y z

5 Vectơ khơng cĩ tọa độ là:

2

 0    0; 0; 0 

6 Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau



1 2

1 2

1 2









7 Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao

    1. 2 1. 2  1. 2

a b a b

8 Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài

 os a,  .



 

 

 a b

c b

a b

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

.



CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ Trong hệ trục toạ độ Oxyz: Cho A( xA; yA; zA) , B( xB, yB, zB) Khi đó:

1) Tọa độ vectơ 

AB là:

 B A; B A; B A



2) Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài 

AB:

Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B

3) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

A B I

A B I

A B I

x

2

y

2

z

2































I x y z I; I; I

4) Tọa độ trọng tâm của tam giác:

Cho ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC)

Khi đó toạ độ trọng tâm G của ABC là:  

3

3 3























G

G

x

z

5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng:

Cho   1; 1; 1, 2; 2; 2

a x y z b x y z Khi đó:

www.Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p online

3

 

  y z z x x y

a b

y z z x x y

 Hai vectơ 

a, 

b cùng phương    ,    0

 Hai vectơ 

a, 

b không cùng phương      ,    0 

a b

 Ba vectơ   

, , c

a b đồng phẳng   , .c0

  

a b

 Ba vectơ

   , , c

a b không đồng phẳng  , .c0

  

a b 6) Chứng minh hai vectơ cùng phương

a và 

b cùng phương  

a k b

a và 

b cùng phương 1 1 1

2 2 2

 x  y  z

x y z với x ,y ,z2 2 3  0 

 Cách 2:

a và 

b cùng phương 2 2 2

1 1 1

 x  y  z

x y z với  x ,y ,z1 1 1  0 

a và 

b cùng phương   a, b   0

CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng Ba điểm không thẳng hàng

Dạng 1: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng:

C B

A

Ba điểm A, B, C thẳng hàng

 hai vectơ

 

,

AB AC cùng phương

    

AB AC

Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng là

ba điểm nằm trên 1 đường thẳng

Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta

thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính

; ;

; ;







AB

Bước 2: Tính  ,   0; 0; 00

Bước 3: Kết luận hai vectơ

 

,

AB AC cùng phương, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng

Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng:

C B

A Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính

; ;

; ;







AB

Bước 2: Tính  ,    ; ;  0

Bước 3: Vậy hai vectơ

 

,

AB AC không cùng

4

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng

 hai vectơ

 

,

AB AC không cùng phương   ,  0

AB AC

phương, nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh của một tam giác

Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng

Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng

D

A

Bốn điểm A, B, C, D không đồng

phẳng

   , ,

AB AC AD đồng phẳng

   ,  0

AB AC AD

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng

phẳng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính

; ;

; ;

; ;













AB AC AD

Bước 2: Tính

, ; ;

 

AB AC

  

AB AC AD

Bước 3: Vậy ba vectơ   , ,

AB AC AD không đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Chú ý:

 A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD

 Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng

Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng

D

C

B A

Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng

   , ,

AB AC AD đồng phẳng

  

AB AC AD

Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng

Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng

ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính

; ;

; ;

; ;













AB AC AD

Bước 2: Tính

, ; ;

 

AB AC

  

AB AC AD

www.Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p online

5

phẳng là bốn điểm thuộc một mp Bước 3: Vậy ba vectơ   , ,

AB AC AD đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc

Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ

1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của

điểm M(x0;y0;z0) trên các trục tọa độ

Phương pháp

 Hình chiếu vuông góc của điểm

M(x0;y0;z0) trên trục Ox là: M(x0;0;0)

 Hình chiếu vuông góc của điểm

M(x0;y0;z0) trên trục Oy là: M(0;y0;0)

 Hình chiếu vuông góc của điểm

M(x0;y0;z0) trên trục Oz là: M(0;0;z0)

2 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên các phẳng tọa độ

Phương pháp

 Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên (Oxy) là: M(x0;y0;0)

 Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên (Oyz) là: M(0;y0;z0)

 Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên (Oxz) là: M(x0;0;z0) Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện

Thể tích của khối tứ diện ABCD

A

  

1

V = AB, AC AD

6

D

B

C

Bước 1: Tính

; ;

; ;

; ;













AB AC AD

Bước 2: Tính

, ; ;

 

  

AB AC

AB AC AD

  

1

V = AB, AC AD 6

Chú ý: Thể tích không âm

Vấn đề 5: Diện tích tam giác

Diện tích tam giác ABC

  

ABC

1

2

 

A

B C

Chú ý: Diện tích không âm

Bước 1: Tính

; ;

; ;







AB

Bước 2: Tính  ,    ; ; 

Bước 3: Tính AB ,AC   h2 t2 c2

Bước 4: ADCT ABC 1    

2

 

MẶT CẦU

Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu

MC (S): x a 2 y b 2 z c 2 R 2 Mặt cầu (S): x2 y2 z2 2ax-2by-2cz+d=0

6

Có tâm I(a;b;c) và bán kính R

Có tâm I(a;b;c) với

he äsoá x a

-2

he äsoá y b

-2

he äsoá z c

-2























 Bán kính: R a2b2c2 d Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu

Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng x a 2 y b 2 z c 2 R 2

Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính R=m (với m là số thực)

Phương pháp:

 Pt mặt cầu (S): x a 2 y b 2 z c 2 R (*) 2

 Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=m

 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*)

Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực)

Phương pháp:

 Pt mặt cầu (S): x a 2 y b 2 z c 2 R (*) 2

 Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính R=n

2

 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*)

Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A

Phương pháp:

 Pt mặt cầu (S): x a 2 y b 2 z c 2 R (*) 2

 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)

 Bán kính R=IA IA

 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*)

Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính R hay độ dài đoạn thẳng IA bằng với bán kính R

Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB

Phương pháp:

 Pt mặt cầu (S): x a 2 y b 2 z c 2 R (*) 2

 Gọi I trung điểm ABI ; ;  

 Mặt cầu có tâm I(a;b;c)

 Bán kính R=IA IA

 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*)

Chú ý:

 Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính

vwww.Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p online

7

 Ta cĩ thể tính R theo 2 cách sau: R=IB IB

hoặc R=AB AB

2  2



Loại 5: Mặt cầu cĩ tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0

Phương pháp:

 Pt mặt cầu (S): x a 2 y b 2 z c 2 R (*) 2

 Mặt cầu cĩ tâm I(a;b;c)

 Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên:      

R d I,(P)

 Thế tâm I và bán kính R vào pt (*)

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: x2 y2 z2 2ax-2by-2cz+d=0

Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D

Phướng pháp

 Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 y2 z2 2ax-2by-2cz+d=0(*)

 Vì A, B, C, D thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*)

thế tọa độ điểm B vào pt (*)

thế tọa độ điểm C vào pt (*)

thế tọa độ điểm D vào pt (*)







 







 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta tìm được a, b, c, d

 Sau đĩ thế a, ,b , c, d vào pt (*)

Chú ý: Đề bài cĩ thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể

tích khối cầu ngoại tiếp hình chĩp

Loại 2: Lập Pt mặt cầu qua ba điểm A, B, C và cĩ tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0 Phướng pháp

 Pt mặt cầu (S) cĩ dạng: x2 y2 z2 2ax-2by-2cz+d=0(*)

 Vì A, B, C thuộc (S):

thế tọa độ điểm A vào pt (*)

thế tọa độ điểm B vào pt (*)

thế tọa độ điểm C vào pt (*)





 





 Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên thế tọa độ a;b;c vào pt của (P) ta được phương trình thứ

tư Ta giải hệ bốn pt, ta tìm được a,b,c,d

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến

Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z và cĩ  0 0 0

vectơ pháp tuyến n A; B;C

Phương pháp:

M

n

P)

8

 Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z  0 0 0

 Mặt phẳng (P) có VTPT nA; B;C



 Ptmp (P): A x x  0B y y  0C z z  00

Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z và song  0 0 0

song hoặc chứa giá của hai vectơ a , b 

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z  0 0 0

 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là

a= , b

 Mặt phẳng (P) có VTPT na, b

  

 Ptmp(P): A x x  0B y y  0C z z  00

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và

vuông góc với đường thẳng d

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) đi qua M

 Mặt phẳng (P) có VTPT: n P ad a ;a ;a1 2 3

 Ptmp(P): A x x  0B y y  0C z z  00

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B,

C

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) đi qua A

 Mặt phẳng (P) có VTPT: nAB,AC

  

 Pt(P): A x x  0B y y  0C z z  00

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm

A, B và vuông góc với mp(Q)

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm A

Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và

song song với mp(Q)

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm M x ;y ;z  0 0 0

 Do mp(P) song song mp(Q) nên mặt phẳng (P) có

 

n n

 Ptmp(P): A x x  0B y y  0C z z  00

 Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp

tuyến

a



b na b, 

 

  

P)

Q)

M

Q

n



M



d

a d

,

nAB AC

  



P )

Q )



A

www.Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p online

9

 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P)

là: AB n Q 

 

 Nên mp(P) có VTPT: nAB,nQ

  

 Ptmp(P): A x x  0B y y  0C z z  00

Dạng 6:

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’

 Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm M d

 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: ad  .ad ' 

 Mp(P) có VTPT: na ,ad d '

  

 Ptmp(P): A x x  0B y y  0C z z  00

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d

Phương pháp:

 Chọn điểm M thuộc đt d

 Mặt phẳng (P) qua điểm A

 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: AM a  d 

 Nên mp(P) có VTPT: nAM,ad

  

 Ptmp(P): A x x  0B y y  0C z z  00

Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực

của đoạn thẳng AB

Phương pháp:

 Gọi I là trung điểm AB I 

 Mặt phẳng (P) qua điểm I

 Mặt phẳng (P) có VTPT nAB

 

 Ptmp (P): A x x  0B y y  0C z z  00

Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R)

Phương pháp:

 Mặt phẳng (P) qua điểm M

 Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là: nQ  ,nR 

 Nên mp(P) có VTPT: nn ,nQ R

  

 Ptmp(P): A x x  0B y y  0C z z  00

Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S):

Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A

P)

A

I

B

10

Phương pháp:

 Xác định tâm I của mc(S)

 Mặt phẳng (P) qua điểm A

 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n IA

 Ptmp(P): A x x  0B y y  0C z z  00

Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến nm;n; p



và tiếp xúc mặt cầu (S)

Phương pháp:

 Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu

 Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0

Vì mp(P) có VTPT nm;n; p



 Do mp(P) tiếp xúc mc(S) dI; P  R





    



Điều kiện tiếp xúc:

Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S)

 d I P ( , ( ))  R

Điều kiện tiếp xúc:

Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S)

( , )

d I d

Vấn đề 5: Khoảng cách:Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là

0 2 0 2 0 2

A



 

VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B

Phương pháp:

 Đường thẳng d đi qua điểm A

 Đường thẳng d có VTCP: a    AB

 Pt tham số:

0 0

0







  



x x at

y y bt

z z ct

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’

Phương pháp:

 Đường thẳng d đi qua điểm M

 Đường thẳng d có VTCP: a  d  ad '

 Pt tham số:

0

0 0







  



x x at

y y bt

z z ct

Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương

r = d(I,(P))

I

P)

www.Vuihoc24h.vn - Kênh h c t p online

11

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P)

Phương pháp:

 Đường thẳng d đi qua điểm M

 Đường thẳng d có VTCP: a  d  nP

 Pt tham số:

0 0

0







  



x x at

y y bt

z z ct

VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Tìm giao điểm của đường thẳng d:

0

0 0







  



x x at

y y bt

z z ct

và mp(P): Ax+By+Cz+D=0

Phương pháp:

 Gọi H là giao điểm của d và (P)

 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:

0

0

0

Ax+By+Cz+D=0

x x at

y y bt

z z ct

 









 





 Xét pt: Ax0at+By0bt+Cz0ct+D=0 (*).Giải pt (*) tìm tx, y, z H VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P)

Phương pháp:

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M

và vuông góc với mp(P)

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P)

Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M

và vuông góc với (P)

VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P)

Phương pháp:

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và

vuông góc với mp(P)

 Tìm giao điểm H của d và (P)

 Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của

đoạn thẳng MM”



M



H )

P

d



M



H )

P

d



M/ Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP