CHUYÊN đề 5 HÌNH học KHÔNG GIAN

và khoảng cách Bài giải tham khảo Tính thể tích khối chópS ABC... Tính thể tích khối chóp0 S ABCD.. Bài giải tham khảo  SAB ABCD SAB SAD SA ïï íï ïïî... SAB ABC AB SAB ABC S

CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A LÝ THUYẾT

I HÌNH HỌC PHẲNG

1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho DABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Công thức tính diện tích của tam giác

1

A

C

B

b c

a

A

b c

a – nửa chu vi

– bán kính đường tròn nội tiếp

A

b c

a

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

bc

ac

ab

+

+

+

A

 BC2 =AB2 +AC2 (Pitago)

 AH BC =AB AC.

 AB2=BH BC AC , 2=CH CB.

, AH HB HC.



2

BC

AM =

d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

2

AB AC BC

BA BC AC

2

CA CB AB

3/ Định lí Talet

4/ Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vuông

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh

góc vuông.

b/ Diện tích tam giác đều

 Diện tích tam giác đều:

3 4

SD =

 Chiều cao tam giác đều:

3 2

hD =

c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật

 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương.

 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2.

 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng.

2

A

N K

M

2 2

/ /

AMN ABC

AM AN MN

AB AC BC

k

D D

(Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)

A

N M

B

1 2

ABC

A

B

C

a

h

4 3 2

ABC

a S

a h

D

ìïï = ïïï

Þ í

ïï = ïï ïî

C D

2

2

HV

ïïï

Þ íï

ïïî

(cạnh)2 đều

(cạnh) đều

d/ Diện tích hình thang

 Diện tích hình thang:

S Hình Thang

1 2

= .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo

vuông góc

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông

góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo.

 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau

tại trung điểm của mỗi đường.

Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản

dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích

đa giác

II HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Quan Hệ Song Song

a/ Chứng minh đường thẳng // d mp a với ( ) (dË ( )a )

 Chứng minh: d d // ' và d' ( )Ì a

 Chứng minh: dÌ ( )b và ( )b // ( )a

b/ Chứng minh mp( )a // mp( )b

 Chứng minh mp a( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp b( ).

 Chứng minh mp a( ) và mp b( ) cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng.

c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

 Hai mp a b( ),( ) có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a b, thì

( ) // //

( )a Ç b =Sx a b.



//

//

( )

( )

a mp

b a

a mp

a

a b b

íï Ì

ïïî

.

2 Quan Hệ Vuông Góc

a/ Chứng minh đường thẳng d^mp a( )

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mp a( ).

3

A

D

2

AD BC AH

Þ =

A

B

D

2

H Thoi

 Chứng minh:

( )

// ' '

d d

d mp a

íï ^

( ) // ( )

d mp

b

ìï ^

íï

 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với

mặt phẳng thứ 3:

( ) ( ) ( ) ( )

P

d

a b

a b

ïï

íï

ïïî

b/ Chứng minh đường thẳng d ^d'

 Chứng minh d^( )a và ( )a É d'.

 Sử dụng định lý ba đường vuông góc.

 Chứng tỏ góc giữa d và d' bằng900

c/ Chứng minh mp( )a ^mp( )b

 Chứng minh ( )

d

d

a

b

íï ^

mp kia)

 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng900

3/ Góc Và Khoảng Cách.

a/ Góc giữa hai đường thẳng

 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương

với hai đường thẳng đó:

//

//

' ( , ) ( ', ') '

a a

a b a b

íï

b/ Góc giữa đường thẳngd và mặt phẳng mp a( )

 Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

( )

·, ( , ')·

d a d d f

(với d' là hình chiếu vuông góc của d lên mp a( )).

c/ Góc giữa hai mp a và ( ) mp b( )

4





d '

d





a

b

'

a

'

b

 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u,

2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên

2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

( )

·

(( );a b ) =( , )a b¶ =f

d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

 Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

d M D =MH

e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)

này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia.

f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.

g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.

 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp a( )

chứa d' và song song với d.

 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( ) ( )a , b

lần lượt chứa dvà d'.

5

M

d

'

d

M

M

D H

'

d

A

B

C H O

A

D S

O H

4/ Hinh Chóp Đều

a/ Định nghĩa.

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao

trùng với tâm của đa giác đáy.

Nhận xét:

 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

b/ Hai hình chóp đều thường gặp

* Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Khi đó:

 ĐáyABC là tam giác đều

 Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: ·SAO =SBO· =SCO· .

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

AB

AO = AH OH = AH AH =

 Lưu ý : Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều

+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy

* Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S ABCD

 ĐáyABCDlà hình vuông

 Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: ·SAO=SBO· =SCO· =SDO· .

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: ·SHO

6

B

5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp

a/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với

đáy:

Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên

vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABC có cạnh bên

SA ^ ABC thì chiều cao làSA

b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt

đáy:

Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam

giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có mặt bên(SAB ) vuông góc với mặt đáy(ABCD thì ) chiều cao của hình chóp là chiều cao của

SAB

c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai

mặt bên cùng vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chópS ABCD có hai mặt bên (SAB và) (SAD cùng vuông góc với ) mặt đáy(ABCD thì chiều cao là ) SA

d/ Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh

và tâm của đáy

Ví dụ: Hình chóp tứ giác đềuS ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuôngABCDthì có đường cao làSO

6/ Thể Tích Khối Đa Diện

1/ Thể tích khối chóp: 1 .

3

V = B h

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

2/ Thể tích khối lăng trụ: V =B h

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là

cạnh bên

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: V =abc

7

C D S

O

C A

B

B’

A B

C

A’

B’

C’

a b

c

a

S

A

’

B

’ C

’

C

Þ Thể tích khối lập phương: V =a3

4/ Tỉ số thể tích:

' ' '

.

S A B C

S ABC

V = SA SB SC

5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC

( ' ')

3

h

V = B +B + BB

Với , ',B B h là diện tích hai đáy và chiều

cao

B BÀI TẬP MẪU

Thí dụ 1 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại

B BAC = SA =AC = và a SA vuông góc với mp ABC( )

.Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách

Bài giải tham khảo

Tính thể tích khối chópS ABC

* Ta có: . 1. . ( )1

3

S ABC ABC

V = SD SA

* Trong đó: SA =a ( )2

* Tìm SDABC?

TrongDABCvuông tạiB , ta có:

0 0

.sin30 sin30

2 3

2

a

AC

AB AC AC

ì

( )

2

ABC

SD AB BC

S ABC

Tính khoảng cách từAđếnmp SBC ( )

8

S

B

3

0 0

a

* Ta có: ( ) ( ) . ( )

.

3

1

3

S ABC

SBC

V

V d A SBC S d A SBC

S

D

D

* Tìm DSBC ?

BC SA

SBC

SD BC BS AC AB SA AB a æçç ö÷÷ a æçç ö÷÷

( )

6

d A SBC

a

Thí dụ 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB =a BC, =2a Hai

mp SAB và mp SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh( ) SC hợp với đáy một góc 60 Tính thể tích khối chóp0 S ABCD theo a .

Bài giải tham khảo



SAB ABCD

SAB SAD SA

ïï

íï

ïïî

SC ABCD SCA

3

S ABCD ACBD

 TìmSA ?

TrongDSAC vuông tạiA: tanSCA· SA SA AC.tanSCA·

AC

( )

2 2.tan600 2 (2 ) 32 15 2

 Ta lại có: S ABCD =AB BC =a a.2 =2a2 ( )3

9

S

6

0 0

 Thay( ) ( )2 , 3 vào( ) 1 2 2 3 15

ABCD

a

Thí dụ 3 Hình chóp S ABC có BC =2a , đáy ABC là tam giác vuông tại , C SAB là tam giác

vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi I là trung điểm cạnh AB .

a/ Chứng minh rằng, đường thẳng SI ^mp ABC( ).

b/ Biết mp SAC hợp với( ) mp ABC một góc( ) 60 Tính thể tích khối chóp0 S ABC .

Bài giải tham khảo

a/ CM: SI ^mp ABC( )

 DoDSABvuông cân tại cóSI là trung tuyếnÞ SI cũng

đồng thời là đường caoÞ SI ^AB

SAB ABC

AB SAB ABC SI mp ABC

AB SI SAB

ïï

íï

ïïî

(đpcm)

b/ Tính thể tích khối chópS ABC

 GọiK là trung điểm của đoạnAC

SK

Þ vừa là trung tuyến vừa là đường cao trong

 TrongDABCvuông tạiC có KI là đường trung bình

//

KI BC

KI AC

BC AC

ìïï

mp ABC mp SAC AC

KI AC mp ABC mp SAC mp ABC SKI

SK AC mp SAC

ï

ïïî

3

S ABC ABC

V = SD SI

 TìmSI ?

TrongDSKI vuông tạiI , ta có:

2

SI

IK

 TìmSDABC ?

ABC

SD = BC AC = BC AB - BC = BC SI - BC

( ) ( ) ( )

10

S

C

I K

6

0 0

2 a

Thế( ) ( )2 , 3 vào( ) 2 3

.

S ABC

a

Thí dụ 4 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a Hình

chiếu vuông góc của A'xuống mp ABC là trung điểm của( ) AB Mặt bên(AA C C' ' )

tạo với đáy một góc bằng 45o Tính thể tích của khối lăng trụ này.

Bài giải tham khảo

 Gọi , ,H M I lần lượt là trung điểm của các đoạn

thẳng AB AC AM , ,

V ABC A B C ' ' ' =B h =SDABC 'A H ( )1

ABC

 TìmA H' ?

DoIH là đường trung bình trong đều DAMB,

đồng thời BM là trung tuyến nên cũng là đường

cao

Do đó: IH // MB

IH AC

MB AC

'

AC A H

AC A HI AC A I

AC IH

ïî

ABC ACC A AC

AC A I ACC A

ïïî

Trong DA HI' vuông tạiH , ta có:

( )

o

HI

ABC A B C

V

Thí dụ 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác vuông tại

A AC =a ACB = Đường chéo BC'của mặt bên (BC C C tạo với mặt phẳng' ' )

mp AA C C một góc 300 Tính thể tích của khối lăng trụ theo a .

Bài giải tham khảo

11

A

C

’

C M

I

H

a

 Ta có: AB AC AB (ACC A)

AB AA

vuông góc của BC ¢ lên ( ACC A¢ ¢ )

Từ đó, góc giữaBC ¢và ( ACC A¢ ¢là ) BC A· ¢ =300.

 Trong tam giác vuôngABC: AB =AC.tan600=a 3.

 Trong tam giác vuôngABC': AC¢=AB.cot 300=a 3 3=3a.

 Trong tam giác vuông ACC ':

V =B h= AB AC CC = a a a =a (đvdt).

Thí dụ 6 Cho hình chóp đều S ABCD có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60 0

Tính thể tích của hình chóp S ABCD

Bài giải tham khảo

Tính thể tích khối chópS ABCD

 GọiOlà tâm của mặt đáy thìSO ^mp ABCD( )

nênSOlà đường cao của hình chóp và gọiM là

trung điểm đoạnCD

CD SM SCD

CD SCD ABCD

ïï

íï

ïïî

(góc giữa mặt(SCD)và mặt đáy)

3

S ABCD ABCD

 TìmSO ?

TrongDSMOvuông tạiO, ta có: tanSMO· SO

OM

=

2

BC

 Mặt khác: S ABCD =BC2=( )2a2=4a2 ( )3

 Thế( ) ( )2 , 3 vào( )1 1.4 32 4 3 3

ABCD

a

C BÀI TẬP

Bài 1 (Trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A,B,D – 2011)

12

B

’

B

’

A

0 0

3

0 o

S

A

D O

2 a

M 6

0 0

Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiB AB, =a SA, ^(ABC), góc giữa mp SBC và( ) mp ABC bằng( ) 30 Gọi0 M là trung điểm của cạnhSC Tính thể tích khối chóp S ABM theo a.

3

S ABM M SAB SAB

V =V = SD MN

3 2

36

S ABM M SAB

a

Bài 2 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2007)

Cho hình chópS ABCD đáy là hình vuôngABCDcạnha, mặt bênSADlà tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm

củaSB BC CD Tính thể tích khối tứ diện, , CMNP

HD: GọiH là trung điểm củaADthì

SH ABCD

//

MK SH K Î HB Þ MK ^(ABCD)

3

CMNP CNP

V = SD MK

13

S

H

A

B M

N P

K

Bài 3 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2006)

Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật

vớiAB =a AD, =a 2,SA = và a SA vuông góc với

mặt phẳng đáy Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của

,

AD SC và I là giao điểm của BM vàAC Tính thể tích

khối tứ diệnANIB

HD: GọiOlà tâm của của đáyABCD

 TrongDSAC , ta cóNOlà đường trung bình nên:

//

NO SA

NO ABCD

SA ABCD

ïïî

.

3

ANIB N AIB AIB

V =V = SD NO

 Tìm SDAIB =?

DoI là trọng tâmDABDnên

2

AI AO

ïïï

ïî

AB =a =æçççç ö÷÷÷÷+æçççç ö÷÷÷÷=AI +BI Þ DAIB

.

N AIB

Bài 4 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009)

Cho lăng trụ tam giácABC A B C ' ' 'có BB'=a, góc giữa đường thẳng BB' và

mp ABC bằng 60 , tam giác0 ABC vuông tạiC và góc ·BAC =600 Hình chiếu

vuông góc của điểmB' lên mp ABC trùng với trọng tâm của( ) DABC Tính thể tích

của khối tứ diệnA ABC' theo a.

HD:

Gọi ,M N là trung điểm của AB AC Khi đó,, G là trọng tâm củaDABC

Do hình chiếu điểmB' lên mp ABC là( ) GnênB G' ^(ABC) Þ éêBB ABC· ;( )ùú=B BG· ' =600

A ABC ABC

V = SD B G = AC BC B G

14

C D

M I

S

A

B M

N

I O

A

’

B

’

C

’

A

B

C G

N M

TìmB G' ?

Trong DB BG' vuông tạiGvà có ·B BG =' 600nên nó là nữa tam giác đều cạnh làBB'=a

( ) 3

a

 TìmAB BC ?,

ĐặtAB =2x TrongDABCvuông tạiC có ·BAC =600nên nó

cũng là nữa tam giác đều với đường cao làBC

2

AB

a

TrongDBNCvuông tạiC : BN2=NC2+BC2

( )

3

2 13

a AC

a BC

ïï ïï

ïï ïïî

A ABC

V

Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở A, AB =a, AC =2a Đỉnh S cách đều

A,B,C, mặt bên (SAB) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

HD:

Bài 6: Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a 3 và hình chiếu ( vuông góc ) của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm của BC Tính thể tích khối lăng trụ ,từ đó suy ra thể tích của khối chóp A’ ABC

15

6

0 0

B

M

G

Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác vuông tại A, AC = b,

ACB  Đường chéo BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mặt phẳng ( AA’C’C) một góc 300

a) Chứng minh tam giác ABC' vuông tại A

b) Tính độ dài đoạn AC’

c) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ từ đó suy ra thể tích của khối chóp C’.ABC

HD:

Bài 8: (Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A – 2006)

Cho hình lập phươngABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh bằng 1 Gọi ,M N lần lượt là trung điểm

củaABvà CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳngA C' vàMN

4

d MN AC =

Bài 9 Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tạiB SA, ^mp ABC( ) Biết rằng:

,

AB = a AC =2a, góc giữa hai mặt phẳng(SBC và) (ABC bằng) 60 Tính thể tích khối 0 chópS ABC theoa.

ĐS: V = a32.

Bài 10 Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiB SA, ^(ABC) Cho

2

AC =a , SB =3a Tính thể tích của khối chóp S ABC

3

a

V =

16