De thi HSG Toan 9 NH 1213

Khi mới nhận lớp 9A1, cô giáo chủ nhiệm dự định chia lớp thành 3 tổ có số học sinh như nhau.. Nhưng sau đó, lớp nhận thêm 4 học sinh nữa.[r]

PHÒNG GD-ĐT CƯ M’GAR KỲ THI THÔNG TIN PHÁT HIỆN HSG TRƯỜNG THCS ĐINH TIÊN HOÀNG CẤP TRƯỜNG LỚP 9 NĂM HỌC : 2012- 2013

MÔN THI : TOÁN

Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Bài 1(3,0đ) Giải các phương trình sau:

a) (x2 - 9)(x2 + 4x) = 0 b) x5 3x 2

Bài 2(3,5đ)

a) Phân tích đa thức x2 – 4x + 3 thành nhân tử bằng hai cách

b) Cho B = 9x2 – 6x + 2 Chứng minh rằng B luôn dương với mọi x

Bài 3 (3,5đ)

a) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức

5 7

x  là một số nguyên

b) Rút gọn biểu thức M = 9 4 5   1  52  2 5

Bài 4 (4,0đ) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình.

Khi mới nhận lớp 9A1, cô giáo chủ nhiệm dự định chia lớp thành 3 tổ có số học sinh như nhau Nhưng sau đó, lớp nhận thêm 4 học sinh nữa Do đó cô chủ nhiệm đã chia đều số học sinh của lớp thành 4 tổ Hỏi lớp 9A1 có bao nhiêu học sinh, biết rằng so với phương án dự định ban đầu, số học sinh của mỗi tổ hiện nay

có ít hơn 2 học sinh?

Bài 5 (6,0đ)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết rằng

5 6

AB

AC  , đường cao AH

= 30 cm

a) Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH

b) Tính HB, HC

c) Phân giác BE cắt AH tại F, cắt AC tai E Chứng minh

HF AE

FA EC

-Ghi chú: Giám thị không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Phòng GD & ĐT Cư Mgar KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

Trường THCS Đinh Tiên Hoàng Môn Toán Lớp 9 Năm học 2012- 2013

Thời gian 150 phút (không kể phát

đề)

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1

(3,0đ)

a) (x2 - 9)(x2 + 4x) = 0

 x2 – 9 = 0 hoặc x2 + 4x = 0

1) x2 – 9 = 0  (x – 3)(x + 3) = 0  x = 3 hoặc x = -3

2) x2 + 4x = 0  x(x + 4) = 0  x = 0 hoặc x = - 4

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm là: x1 = 3, x2 = -3, x3 = 0, x4 = - 4

0,5đ 0,5đ 0,5đ

b) x5 3x 2 (1)

* TH1: Nếu x + 5  0 x  -5, khi đó x5  x 5

Pt (1)  x + 5 = 3x – 2 -2x = -7  x = 3,5 (TMĐK x  -5)

* TH2: Nếu x + 5 < 0  x < - 5, khi đó x5 (x5) x 5

Pt (1)  - x – 5 = 3x – 2  -4x = 3  x =

3 4



(loại, vì không TMĐK x < -5)

Vậy nghiệm của pt (1) là x = 3,5

0,5đ

0,5đ 0,5đ

Bài 2

(3,5đ)

a)

* Cách 1:

x2 – 4x + 3

= (x2 – x) – (3x - 3)

= x(x - 1) - 3(x - 1)

= (x - 1)(x - 3)

* Cách 2:

x2 – 4x + 3

= (x2 – 4x + 4) – 1

= (x - 2)2 – 12

= (x – 2 - 1)(x – 2 + 1)

= (x - 3)(x - 1)

0,5đ 0,25đ 0,25đ

0,5đ 0,25đ 0,25đ

b) Ta có: B = 9x2 – 6x + 2

= (9x2 – 6x + 1) + 1

= (3x - 1)2 + 1

Vì (3x - 1)2  0 với mọi x nên (3x - 1)2 + 1  1 với mọi x

hay 9x2 – 6x + 2  1 với mọi x Vậy B luôn dương với mọi x

0,25đ 0,5đ

0,75đ

Bài 3

(3,5đ) a) Để

5 7

x  là một số nguyên thì x – 7 phải là ước của 5

Ư(5) = {-1, 1, 5, -5}

Nếu x – 7 = -1  x = 6

0,5đ

Bài Đáp án Điểm

Nếu x – 7 = 1  x = 8

Nếu x – 7 = - 5  x = 2

Nếu x – 7 = 5  x = 12

Vậy, các giá trị x cần tìm là: x = 6, x = 8, x = 2, x = 12

0,5đ 0,5đ

b) 9 4 5   1  52  2 5

=

2

2

1



0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 4

(4,0đ)

Gọi số học sinh hiện nay của lớp 9A1 là x

ĐK: x nguyên dương và x > 4

Số HS lúc đầu của lớp là x – 4 (HS)

Số HS mỗi tổ theo phương án đầu là:

4 3

x 

(HS)

Số HS của mỗi tổ hiện nay là: 4

x

(HS) Theo đề bài ta có phương trình:

4 3

x 

- 4

x

= 2 Giải pt:

4 3

x 

- 4

x

= 2 

40

x

Giá trị x = 40 thỏa mãn đk của ẩn Vậy lớp 9A1 hiện nay có 40

học sinh

0,5đ 0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ

Bài 5

(6,0đ)

0,5đ

a) Xét ABH và CAH, ta có:

AHB AHC  900

ABH CAH (cùng phụ với BAH)

b) ABH  CAH (g.g) (cmt)

Bài Đáp án Điểm



AB AH

CA CH , mà

5 6

AB

AC  , AH = 30cm



Mặt khác, ta có BH.CH = AH2 (đl 2 – hệ thức lượng trong tam

giác vuông)

 BH =

2

AH

CH =

2 30

Vậy BH = 25cm, HC = 36 cm

0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,5đ

c) Vì BF là phân giác của tam giác ABH nên ta có:

HF HB

FA AB (1)

BE phân giác của tam giác ABC nên ta có:

AE AB

EC BC (2)

HBA  ABC (tam giác vuông có chung góc nhọn B)



HB AB

AB BC (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

HF AE

FA EC

0,5đ

0,5đ 0,5đ

0,5đ

Phạm Văn Hướng