Ôn tập chương 1 giải tích 12

Tài liệu là tổng hợp lý thuyết cơ bản và các dạng bài tập liên quan đến khảo sát, đồng biến , nghich biến, cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, tiệm cận và các dạng bà tập nâng cao, bám sát chương trình ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia. Hi vọng tà liệu sẽ giúp các em học sinh và giáo viên có thêm tư liệu tham khảo bổ ích

1 Định nghĩa

Ham số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)

Ham số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần: Giả sử hàm số f cĩ đạo hàm trên khoảng I Khi đĩ

a) Nếu f đồng biến trên I thì f(x)  0, x  I

b) Nếu f nghịch biến trên I thì f(x)  0, x  I

3 Điều kiện đủ: Giả sử hàm số f cĩ đạo hàm trên khoảng I Khi đĩ

a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số điểm hữu hạn) thì f nghịch biến trên I

b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số điểm hữu hạn) thì f đồng biến trên I

c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f khơng đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I thay bởi đoạn hoặc nửa đoạn thì f phải liên tục trên đĩ

Dạng 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HAM SỐ

*) Xét tính đơn điệu của hàm số ta thực hiện theo các bước sau

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

a) y  6 x4 8 x3 3 x2 1 b)

2 2

1 4

x y x

1 1

x x y

 



 d) y 2 x21

x y x





2 2 3 1

y x

x y x





2

3 1

x y x

y x

 





1 2

Bài 5: Tìm m để mỗi hàm số sau luôn đồng biến trên TXĐ

3 2

Câu 26 Hàm số y x 2 4 x nghịch biến trên:

A 3 4 ;  B 2 3;  C  2 3;  D 2 4; 

Câu 27 Cho Hàm số

2 5 3 1

A Hs nghịch biến trên    ; 2 và  4;   B Điểm cực đại là I ( 4;11)

C Hs nghịch biến trên   2;1 và  1; 4  D Hs nghịch biến trên 2; 4

Câu 28: Giá trị m để hàm số y x  3 3 x2 mx m  giảm trên đoạn có độ dài bằng 1 là:

A Nếu hàm số yf x( ) đồng biến trên K thì f x   '( ) 0, x K

B Nếu f x   '( ) 0, x K thì hàm số yf x( ) đồng biến trên K

C Nếu hàm số yf x( )là hàm số hằng trên K thì f x   '( ) 0, x K

D Nếu f x   '( ) 0, x K thì hàm số yf x( )không đổi trên K

Câu 30: Với giá trị nào của m thì hàm số 1 3 2

3

y x  x  mx nghịch biến trên tập xác định của nó?

0 0

a b c

0 0

a b c

3) Định lý về dấu của tam thức bậc hai g x ( )  ax2 bx c  :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ tại x =

2

b a

 )

Dạng 2: Tìm tham số khi biết độ dài khoảng đơn điệu

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 thì xét dấu theo quy tắc: Trong trái ngoài cùng

4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của g x ( )  ax2 bx c  với 0:

 Sử dụng Vi – ét để thay vào (2) rồi giải phương trình theo m.

 So sánh với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Lời giải TXĐ: D = R y ' 3  x2 6 x m 

Hàm số đồng biến trên    ;0  khi y ' 0,      x ( ,0)  3x2 + 6x – m  0  m  3x2 – 6x

 m  min g(x) Tình min g(x) bằng bảng biến thiên

Dạng 3: SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CHƯNG MINH BĐT

Bài 1 Chứng minh các đẳng thức sau

Dạng 4: Chứng minh phương trình cĩ nhiệm duy nhất

Nếu chứng minh f(x) = g(x) (*) cĩ nghiệm duy nhất ta thực hiện theo các bước sau:

 Tìm x 0 là nghiệm của phương trình.

 Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến, một hàm số nghịch biến Khi đĩ (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất cĩ hồnh độ là x 0

Chú ý: Nếu trong hai hàm số cĩ một hàm số hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

Bài 1 Giải các phương trình sau

Nếu f (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

Chú ý: - Dùng quy tắc 1 trong bài tốn tìm cực trị ( hàm đa thức, hàm phâm thức) khơng chứa tham số

- Dùng quy tắc 2 tron bài tốn tìm tham số để x 0 là cực trị hoặc các biểu thức phức tạp ( căn, lũy thừa, lượng giác…)

Bài 1 Tìm cực trị của các hàm số sau

2 2

2 1

x y x

Bài 2: Chọn đáp án đúng trong các câu sau

Câu 1 Điểm cực đại của đồ thị hàm số y x  3 5 x2 7 x  3là:

A   2; 28  B  2; 4   C  4; 28  D   2; 2 

Câu 12 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x  3 12 x  12là:

A   2; 28  B  2; 4   C  4; 28  D   2; 2 

Câu 13: Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y x 44x22:

A Đạt cực tiểu tại x = 0 B Có cực đại và cực tiểu

C Có cực đại, không có cực tiểu D.Không có cực trị

Câu 14: Hàm số y x  3 3 x2 mx đạt cực tiểu tại x=2 khi :

A m 0 B m 0 C m 0 D m 0

Câu 15: Khẳng định nào sau đây là đúng về đồ thị hàm số

2 2 5 1

y không có cực trị

D Hàm số

1

11

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) có cực trị tại x 0 thì f (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm.

2 Nếu hàm số y = f(x) có cực trị tại x 0 thì f (x) đổi dấu khi x qua x 0

b a

 .

 Cần kiểm tra lại điều kiện để tránh nghiệm ngoại lai

3 Điều kiện để đồ thị hàm bậc ba có cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của một đường thẳng (d)

a) y  2 x3 mx2 12 x  13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung.

b) y x  3 3 mx2 4 m3 có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhấtc) y x  3 3 mx2 4 m3 có cực đại, cực tiểu nằm về một phía với đường thẳng (d):

c) y mx2 ( m2 1) x 4 m2 m

x m



 có hai điểm cực trị trong đó một điểm nằm trong góc phần

tư thứ nhất, một điểm nằn trong góc phần tư thứ ba

có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành (tung)

Dạng 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

P x y

 



 6) y x  3 3 mx2 3( m2 1) x m  3

d) y x  3 3 x2 m x m2  có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ():

1 Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên D (D  R).

 Giải phương trình f (x) = 0 và lập bảng biến thiên.

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

x

2 2

1 1

1 1

x x y

d) y  cos2 x  2sin x  1 e) y  sin3x  cos3x f)

2

1 1

x y

 Tìm một miền thuộc D sao cho cùng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức

Bài 1 Giả sử D   ( ; ; ) / x y z x  0, y  0, z  0, x y z    1  Tìm TLN của biểu thức:

11

111

x

1

11

11

y

1

11

11

Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị

Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D

Gọi y 0 là một giá trị tùy ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình sau có nghiệm:

a) x  2 x2  1 m b) m 2 x2 9   x m c) mx4 4 x m   0

Bài 4 Cho bpt: x3 2 x2   x 1 m  0 Tìm m để bpt cĩ nghiệm thuộc [0; 2]

Bài 5 Tìm m để các bpt sau:

a) mx  x  3   m 1 cĩ nghiệm b) ( m  2) x m    x 1 cĩ nghiệm x  [0; 2].c) m x ( 2 x  1)  x2  x 1 nghiệm đúng với mọi x  [0; 1]

x x y

4

y 

Câu 23 Cho hàm số 1 3 2

43

y x x  Chọn phương án đúng trong các phương án sau

y x  x  Chọn phương án đúng trong các phương án sau

A max0;2y  3, min0;2y  2 B max0;2y  3, min0;2y  1

Câu 29 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 1 2

x x y



Câu 34: Cho hàm số y=3cosx-4cos3x Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng0;  bằng

2x 4x 5 y

x 1



 , chọn phương án đúng trong các p/a sau:

Câu 42 GTLN và GTNN của hàm số y  f x    5 4  x trên đoạn   1;1  lần lượt là

Câu 48 GTLN và GTNN của hàm số y  f x    sin2x  2cos x  2 lần lượt là

Bài 2 Tìm m, n để đồ thị cĩ điểm uốn tại điểm đã chỉ ra:

a) y x  3 3 x2 3 mx  3 m  4; I(1; 2) b) 3 ( 1) 2 ( 3) 8

x

y   m  x  m  x  ; I(1; 3)c) y mx  3 nx2 1; I(1; 4) d) y x  3 mx2 nx  2; 2 ; 3

1 1

x mx y

1

y x





d) 22 1





f)

2 2

2 5 1

2 2

3 1

y x

1 1

b x b x

b x b

a x a x

a x a x Q

x P

m

m m

n n

n n

b) Xác định hệ số a, b trong trong phương trình TCX: y = ax + b

x y



8) 2 29

x y

y x



10)

2 2

1 1

x x y

4 1

y x

 



13) y  x2 4 x 14) 4 2 2

9

x y x

2

x y

 





*) TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Số đường tiệm cận của hàm số

x

x y





1





1

1 2

D

x

x x y







2

23







1

222

D

x

x y





2

y Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai Chọn 1 câu sai

A Đồ thị hàm số trên có tiệm cận đứng x = 2 B Đồ thị hàm số trên có tiệm cận ngang y = 1

C Tâm đối xứng là điểm I(2 ; 1) D Các câu A, B, C đều sai

Câu 6: Đồ thị của hàm số

1

53

x y

y 

B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

32

x 

C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= 1 D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

12

y 

Câu 9: Đồ thị của hàm số

252

y có bao nhiêu đường tiệm cận?

Câu 10: Đồ thị hàm số

12

34

y Khẳng định nào sau đây đúng?

13

3

22

y C

x x

Câu 15: Đường TCN của đồ thị hàm số y x x2 2x

có bao nhiêu đường tiệm cận

Câu 18 : Đồ thị hàm số nào sau đây có TCN là đường y = -3

A

13

16

22

16

Câu 19 : Với giá trị nào của m tì đồ thị hàm số

m x

x y





3

22

I

y

x

0 I

y

x 0

y

x 0

y

x 0

y

x 0

 và một TCX thì giao của hai tiệm cận là tâm đối xứng

 Các dạng đồ thị

y = 0 có hai nghiệm pb

y = 0 vô nghiệm

y

y

- Nhánh 2: Lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua oy

8 Đồ thị hàm y = f(x)

- B1: Vẽ đồ thị y1 = f(x) cĩ đồ thị (C1)

+) Giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải trục oyy

+) Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị nằm bên phải qua Oy

- B2: Vẽ đồ thị y2 = y 1

+) Giữ nguyên phần đồ thị của (C1) trên ox

+) Lấy đối xứng phần đồ thị (C1) dưới trục ox qua ox

9 Đồ thị hàm sơ y = u(x)v(x)

- Nhánh 1: Vẽ đồ thị y = u(x)v(x) và lấy phần ứng với điều kiện u(x)  0

- Nhánh 2: Lấy đối xứng phần đồ thị bị gạch ở nhánh trên qua ox ứng với điều kiện u(x) < 0

Bài 1 Khảo sát các hàm số sau và vẽ đồ thị

1) y x  3 3 x2 9 x  1 2) y x  3 3 x2 3 x  5 3) y  x3 3 x2 24) y  ( x  1) (42  x ) 5) 3 2 1

x





16) 1 2

1 2

x y

2

-1 2

O 1

Câu 5: Đồ thị sau đây là của hàm số nào ? Chọn 1 câu đúng.

4

2

-2

1 1

O -2

Câu 6: Đồ thị sau đây là của hàm số 3 3 1





2

1 O 3

-1

1 -1

2 4 6 8

4

2

2

4 6

1 Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x)

2 Số nghiệm của phương trình f(x) = m là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và đt : y = m

II Bài tập:

Bài 1: Tìm giá trị thực của m để đường thẳng d y = x + m cắt đồ thị hàm số

1

12

12

tiếp xúc với đường thẳng d: y = 2HD: Xét pt hoành độ giao điểm Điều kiện tiếp xúc là pt có 1 nghiệm nên suy ra m = -1 hoặc m = -2

*) Trắc nghiệm

Câu 1.Xét phương trình x3 3 x2  m   1

VII TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ

A Với m=5, pt (1) có 3 nghiệm B Với m=-1, pt (1) có hai nghiệm

C Với m=4, pt (1) có 3 nghiệm phân biệt D.Với m=2, pt (1) có 3 nghiệm phân biệt

Câu 2 Số giao điểm của hai đồ thị y x  3 x2 2 x  3; y x  2 x  1 là

A đường thẳng y=3 tại hai điểm B cắt đường thẳng y=-4 tại hai điểm

C Cắt đường thẳng y=5/3 tại 3 điểm D.Cắt trục hoành tại 1 điểm

Câu 5 Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

x x y

4

2 2





 Khi đó hoành độ trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng

x f a

b ax x

f

có nghiệm

2 Đặc biệt: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) (C) có tiếp tuyến tại iếp điểm M(x0, yo) thì tiếp tuyến có phương trình y = f’(x0)(x – x0) + y0

3 Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi hệ   





x g x f

x g x f

' ) ( '

) ( ) (

có nghiệm

II Bài tập

Bài 1: Chứng minh hai đường cong y = x3 +5/4x – 2 và y = x2 + x + 2 tiếp xúc nhau tại một điểm Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong đã cho tại điểm

Bài 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 © Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại M(1, 4)

Bài 3: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến đi qua A(-1, -9)

HD: +) Gọi tiếp điểm là M(x0, y0= f(x0))

+) Tiếp tuyến tại M là y = y’(x0)(x-x0) + y0

+) Thay A vào tiếp tuyến tìm x0 suy ra y0

Bài 4: Cho hàm số (C ): y =

2

12

Bài 7: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 6x + 1 cĩ đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất

Bài 8: Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 cĩ đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc là 9

Bài 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = -x4 – 2x2 + 3 biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường thẳng: x – 8y + 2017 = 0

Bài 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = 1/3x3 + 1/2x2 – 2x + 1 (C )biết tiếp tuyến tạo vơi đường thẳng d: x + 3y – 1 = 0 một gĩc 450

*) Trắc nghiệm

Câu1: Cho (Cm):y=x3 mx2 1

3  2  Gọi M(Cm) có hoành độ là -1 Tìm m để tiếp tuyến tại M song song với (d):y= 5x ?

A.m= -4 B.m=4 C.m=5 D.m= -1

Câu 2: Tìm m để hai đường y= 2x – m+1 và y=x2+5 tiếp xúc nhau?

A.m=0 B.m=1 C.m=3 D.m= -3

Câu3: Tìm pttt của (C):y= 4x 3  tại x=1 là?

A.y=2x+1 B.y=2x – 1 C.y=1 – 2x D.y= –1 –2x

Câu4: Tìm pttt của (P):y=x2 – 2x+3 song song với (d):y=2x là?

A.y=2x+1 B.y=2x – 1 C.y=2x +1

2 D.y=2x –

1 2Câu5: Tìm M trên (H):y= x 1

x 3



 sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với d:y=x+2017A.(1;-1) hoặc(2;-3) B.(5;3) hoặc (2;-3) C.(5;3)hoặc (1;-1) D.(1;-1) hoặc (4;5)

Câu 6: Cho (H):y=x 2

x 1



 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.(H) có tiếp tuyến song song với trục tung B (H) có tiếp tuyến song song với trục hoànhC.Không tồn tại tiếp tuyến của (H) có hệ số góc âm D Không tồn tại tiếp tuyến của (H) có hệ số góc dương

Câu 7: Số tiếp tuyến của (H):y=x 2

C Hàm số đạt cực đại tại x = 1; D Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Câu2: Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–; –1) và (–1; +);

D Hàm số đồng biến trên các khoảng (–; –1) và (–1; +)

Câu 3: Trong các khẳng định sau về hàm số

x , hãy tìm khẳng định đúng?

A Hàm số có một điểm cực trị;

B Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu;

C Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định;

D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Câu 4: Trong các khẳng định sau về hàm số

A Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; B Hàm số đạt cực đại tại x = 1;

C Hàm số đạt cực đại tại x = -1; D Cả 3 câu trên đều đúng

D Hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

Câu 6: Kết luận nào là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x x 2 ?

A Có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất;

B Có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất;

C Có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất;

D Không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Câu 13: Hàm số: y  x3 3 x  4 đạt cực tiểu tại x =

x y

Câu 24: Cho hàm số

x y x

y 

B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

32

x 

C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x= 1

D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

12

y 

Câu 25: Cho hàm số y = f(x)= ax3+bx2+cx+d,a0 Khẳng định nào sau đây sai ?

A Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành B Hàm số luôn có cực trị

yx

C

113

y x 

D

13

y x 

Câu 27: Cho hàm số

1

x y x

1 1

x x y

Câu 32: Đồ thị hàm số nào sau đây có hình dạng như hình vẽ bên

Câu 33: Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên:

Câu 34: Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y x  3 3 x  2 tại 3 điểm phân biệt khi:

Câu 38: Khẳng định nào sau đây là đúng về hàm số y x  4 4 x2  2 :

A Đạt cực tiểu tại x = 0 B Có cực đại và cực tiểu

C Có cực đại và không có cực tiểu D Không có cực trị

Câu 39: Đồ thị hàm số y x  3 3 mx m   1 tiếp xúc với trục hoành khi:

A m  1 B m  1 C m  1 D m  1

Câu 40: Khẳng định nào sau đây là đúng về đồ thị hàm số

2 2 5 1

Câu 41: Cho đồ thị hàm số y x  3 2 x2 2 x ( C ) Gọi x x1, 2 là hoành độ các điểm M, N

trên ( C ), mà tại đó tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng y = - x + 2017 Khi đó x1 x2 

A

4

3 B

43

x y x

y x