Một số phương pháp rèn luyện kỹ năng ôn tập chương 1 giải tích lớp 12

Xét ở một góc độ nhỏ trong quá trình dạy và học vềchương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, tôi nhận thấy học sinh chưa nắmđược các dạng và phương pháp giải một số bài

MÔ TẢ GIẢI PHÁP

Mã số: … … … …

1 Tên sáng kiến: Một số phương pháp rèn luyện kĩ năng ôn tập chương 1 giải tích lớp 12.

(Nguyễn Văn Tâm, Nguyễn Hữu Thái, Nguyễn Hữu Thi,

Phạm Thị Hoàng Hoa, @THPT Ngô Văn Cấn)

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: chuyên môn toán trường THPT

3 Mô tả bản chất sáng kiến:

3.1 Tình trạng giải pháp đã biết:

Trong các hoạt động của nhà trường, hoạt động dạy và học là một trong những hoạt động quantrọng nhất góp phần then chốt cho sự thành công của một đơn vị trường Tuy nhiên sự thành công

đó cần có sự phối hợp tốt giữa giáo viên và học sinh, nhưng có nhiều hạn chế trong hoạt động dạy

và học dẫn đến kết quả dạy và học chưa cao Xét ở một góc độ nhỏ trong quá trình dạy và học vềchương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, tôi nhận thấy học sinh chưa nắmđược các dạng và phương pháp giải một số bài toán cơ bản ở chương này; về dạng toán tự luận củachương này đã nhiều, khi chuyển sang thi trắc nghiệm lại nhiều hơn, đòi hỏi thời gian giải một bàitập phải ngắn, nhanh gọn, chính xác, bên cạnh đó học sinh đã quen với cách làm tự luận nên khichuyển sang trắc nghiệm thì học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi học chương này

3.2 Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:

Mục tiêu của giải pháp là giúp học sinh nắm được hệ thống các dạng bài toán cơ bản, quantrọng thường gặp ở chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Nắm vữngphương pháp giải của từng dạng, hiểu được khi gặp dạng nào thì giải bằng cách nào là hợp lí, nhanhgọn, biết kết hợp nhuần nhuyễn giữa giải tay và giải toán với hỗ trợ của MTBT, sử dụng thành thạocác công thức, cách tính nhanh nhằm đạt kết quả cao nhất Sau đây tôi xin trình bày sơ lược cácdạng cũng như phương pháp giải các dạng toán cơ bản, trọng tâm ở chương này

Khi giảng dạy chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, trước tiên tôidạy cho học sinh nắm định nghĩa, tính chất và định lí quan trọng ở chương, đồng thời để học sinh

nắm các dạng toán cơ bản, trọng tâm của chương, đầu tiên tôi giúp học sinh nắm sơ đồ tư duy như

sau:

Tìm m để hàm số đạt GTLN,GTNN đoạn

a b; Bằng C

SƠ ĐỒ TƯ DUY

Tìm điểmcực trị củahàm số

4 Đường

tiệm cận

Tìm m đểhàm số cócực, 3điểm cựctrị

Tìm m đểhàm sốđạt cực trịtại x0

Tìm m đểhàm số cócực trịthỏa điềukiện

Tìm điểmcực trị củahàm số

Tìm m đểhàm số cócực trị, 3điểm cựctrị

Tìm m đểhàm sốđạt cực trịtại x0

Tìm m đểhàm số cócực trịthỏa điềukiện

Tìm GTLN,GT

NN của hàm số trên khoảng

a b; 

Tìm GTLN,GT

NN của hàm số trên đoạn

a b; 

3.Giá trị lớn

nhất và giá trịnhỏ nhất củahàm số

Tìm tiệm cận đứng, ngang của đồthị hàm số

Tìm tiệm cận đứng, ngang của đồthị hàm sốthỏa điều kiện

Các bài toán vềdạng đồ thị hàm

số

Các bài toán vềtương giao của

đồ thị

Các bài toán vềtiếp tuyếnCác bài toán vềBBT của hàm số

Sau khi giúp học sinh nắm sơ đồ tư duy các dạng toán cơ bản, tôi hướng dẫn bài tập tương ứngtheo thứ tự của sơ đồ để giúp học sinh dễ hiểu.

Dạng 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Loại 1:Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Phương pháp: Giáo viên giới thiệu sơ lược phương pháp giải như sau:

Cách 1:

+ Bước 1: Tính y và giải phương trìnhy 0 tìm nghiệm

+ Bước 2: Lập bảng biến thiên.

+ Bước 3: Căn cứ vào bảng biến thiên ta kết luận các khoảng đơn điệu.

+ Bước 2: Bấm calc  x ta chọn giá trị của x thuộc các khoảng của đáp án

Nếu kết quả âm thì kết luận nghịch biến

Nếu kết quả dương thì kết luận đồng biến

Cách 3:

+ Bước 1: Bấm mode 7 f x( )  nhập đề

+ Bước 2: Chọn giá trị ta chia thành 2 đoạn để tăng tính chính xác của việc chọn đáp án:

Đoạn 1: * Start  ta chọn giá trị nhỏ hơn các giá trị nhỏ nhất trong các giá trị ở các đáp án 5đơn vị, ví dụ giá trị a

* End  ta chọn giá trị lớn nhất trong các giá trị ở các đáp án, ví dụ b

* Riêng Step  ta chọn theo các cách như sau:

Cách 1: Step =

19

b a

Cách 2: Step = 0, 2 hoặc Step =0,5

Đoạn 2: * Start  ta chọn giá trị lớn nhất trong các giá trị ở các đáp án, ví dụ b

* End  ta chọn giá trị lớn hơn giá trị đã chọn ở Start 5 đơn vị, ví dụ c

* Riêng Step  ta chọn theo các cách như sau:

Cách 1: Step =

19

c b

Cách 2: Step = 0, 2 hoặc Step =0,5

Ta cũng có thể chọn Start bằng giá tri nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất 3 đơn vị, End bằng giá tri lớnhơn giá trị lớn nhất 3 đơn vị và Step 0,5 , tùy theo từng bài sau cho máy tính không báo

dòng chữ: Insufficient MEM (số giá trị vượt quá quy định của máy)

+ Bước 3: Dò bảng xem ở các khoảng đáp án thì giá trị của f(x) tăng hay giảm trong khoảng,

nếu tăng là đồng biến và ngược lại

Câu 1: Khoảng nghịch biến của hàm số y x x 3x

A Chọn x 2 KQ: 5 nên loại A B Chọn x 2 KQ: -3 nên chọn B

C Chọn x 5 KQ: 12 nên loại C D Đáp án D chứa cả A và C nên bị loại

C Trong khoảng 3 ;  thì f x ( ) 0 khi x 5nên loại C D Đáp án D chứa cả A và C nên

+ Kết luận khoảng đồng biến:  ;3 ; 3;   nên chọn B

Phân tích: Câu này có thể sử dụng cách 1 sẽ đơn giản và nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung

bình yếu Giáo viên cũng lưu ý khó khăn khi dùng cách 1 là học sinh xét dấu sai vì quên định lí dấu tam thức bậc hai, khi tam thức bậc hai có nghiệm kép thì dấu tam thức sẽ cùng dấu với a Khó khănthứ 2 học sinh vấp phải là không nhớ định lí mở rộng f x( ) 0, ( ) 0 f x   x Kthì hàm số đồng biến, nghịch biến trên K, lúc đó sẽ chọn đáp án A

B Trong khoảng0;  chứa 0;1nghịch biến nên loại B

C Trong khoảng1;0và1;, ( ) 0f x  nên chọn C

2, 3 là các đáp án vừa chứa khoảng đồng biến, nghịch biến, nên rất khó chọn các giá trị để thử và cũng sẽ mất nhiều thời gian hơn và khả năng sai sót rất lớn

Câu 4 Hàm số yx4 2x23 nghịch biến trên các khoảng:

+ Kết luận khoảng nghịch biến: 1; nên chọn D

Phân tích: Phân tích tương tự câu 3 Câu này ta nên sử dụng cách 1 sẽ đơn giản và nhanh hơn, phù

hợp với học sinh trung bình yếu Giáo viên cũng lưu ý khó khăn khi dùng cách 1 là học sinh xét dấusai Khó khăn khi sử dụng cách 2, 3 là các đáp án vừa chứa khoảng đồng biến, nghịch biến, nên khóchọn các giá trị để thử và cũng sẽ mất nhiều thời gian hơn

Câu 5 Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số

1

1 2

A Hàm số luôn đồng biến trên R

B Hàm số luôn nghịch biến trên R\  { }

C Hàm số đồng biến trên các khoảng   ;  1 và 1 ;  

D Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;  1 và 1 ;  

A Hàm số không xác định trên R nên không thể đồng biến trên R , loại A

B Ta cũng không kết luận ở dạng R\  { }nên loại B

C Trong khoảng  ; 1 và1; , ( ) 0,f x   x 1 nên chọn C

Câu này có thể sử dụng cách 1 sẽ đơn giản và nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung bình yếu Giáo viên cũng lưu ý khó khăn khi dùng cách 1 là học sinh xét dấu sai Bên cạnh đó cũng có thể sử dụng cách 2 cũng nhanh và đơn giản, cách làm như sau:

A Calc x = 8, 1  thì KQ: Math ERROR nên loại A

B Calc x = 0.1;0.9 thì KQ: y 0 nên chọn B

C Calc x =1.5 thì KQ: y0 nên loại C

D Đáp án C sai nên D cũng sai

Phân tích: Câu này có thể sử dụng cách 1 nhưng học sinh sẽ gặp khó khăn ở chỗ: tính đạo hàm,

giải phương trình y 0 và không biết xét dấu ở bảng biến thiên Do đó câu dạng này tôi thườnghướng dẫn học sinh cách 2 cũng nhanh và đơn giản

Câu 7 Trong các hàm số sau , hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng (1 ; 3) ?

+ Calc x =2.9 thì KQ: y0 nên loại D

Phân tích: Câu này có thể sử dụng cách 2 vì các cách còn lại sẽ rất lâu và mất nhiều thời gian Do

đó câu dạng này tôi thường hướng dẫn học sinh cách 2 cũng nhanh và đơn giản

Loại 2: Tìm m để hàm số đơn điệu trên, trên từng khoảng xác định

Phương pháp: Giáo viên giới thiệu sơ lược phương pháp giải như sau:

+ Bước 2: Lấy giá trị m của đáp án thế vào y và giải bất phương trình tương ứngy0,y0

nếu kết quả là: All real number thì đúng và chọn giá trị m trên

Câu 7 Giá trị của m để hàm số y =

+ Bước 2: Nhập giá trị và thế m ở đáp án, nếu kết quả All real number thì đúng , chọn C Phân tích: Câu này có thể sử dụng cách 1 sẽ đơn giản và nhanh hơn, phù hợp với học sinh trung

m y

Phương pháp: Giáo viên giới thiệu sơ lược phương pháp giải như sau:

Dấu hiệu 1: Khi x qua x0 mà y đổi dấu ( theo hướng từ trái sang phải) từ :

* ( )  ( ): x0 là điểm cực đại của hàm số * ( )  ( ): x0 là điểm cực tiểu của hàm số.

Quy tắc 1:

+ Bước 1: Tính y Giải pt y 0 tìm các nghiệmx i( i =1,2,…) hoặc các điểm x j mà

y không xác định

+ Bước 2: Lập bảng biến thiên.

+ Bước 3: Kết luận, căn cứ vào bảng biến thiên ta kết luận cực trị của hàm số ( dựa

vào dấu hiệu 1 ).

Dấu hiệu 2 : * 0

0

( ) 0( ) 0

+ Bước 3: Tính y x( )i và dùng dấu hiệu 2 để kết luận x i là điểm cực đại hay cực tiểu

Loại 1: Tìm điểm cực trị của hàm số

Câu 1 Điểm cực tiểu của hàm số y = - x3 + 3x + 4 là:

 nênx 3 không là điểm cực trị (loại D)

Phân tích: Với loại này tôi thấy cách 1 là đơn giản dễ làm phù hợp với học sinh yếu kém lớp tôi

dạy, nên tôi chọn Cách 3 cũng nhanh nhưng đòi hỏi học sinh phải rèn luyện kĩ năng bấm máynhanh

Câu 2 Điểm cực đại của hàm số y = 2 3

A x = 0 B x =  2 C x =  2 D x = 2

Cách 1: Áp dụng quy tắc 1

+ Bước 1: y  2x3  4 ,x y   0 x 2 ,x 0

+ Bước 2: Tương tự câu 2, lập bảng biến thiên và ta chọn B

Câu 3 Tìm giá trị cực đại của hàm số y x 3 3x2

 giá trị x ở đáp án nếu bằng gía trị y tương ứng ta chọn, ở

bước này ta loại B, C, D nên chọn A

Câu 5 Đồ thị hàm số nào sau đây có 3 cực trị:

+ Bước 1: Tính y¢=3ax2+2bx c+

+ Bước 2: Hàm số có cực trị ( hai cực trị )  PT y0 có hai nghiệm phân biệt

Û PT : 3ax2+2bx c+ =0 có hai nghiệm phân biệt 00

y

a

¢

¹ìïï

ê

+ Bước 2: Tính D(2) ( hoặc D(2)¢ )

+ Bước 3: Hàm số có 3 cực trị Û PT (1)có 3 nghiệm phân biệt

Û PT (2) có 2 nghiệm phân biệt x ¹ 0

+ Bước 2: Bấm Mode ® ®5 3và nhập số như sau:

A   3 m 3 thế m 1thì phương trình vô nghiệm nên loại A

B m 3 thế m 3thì phương trình có nghiệm kép nên loại B

C m  3thế m 4thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

D m 3 thế m 4thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt.Vậy chọn D.

Câu 7 Hàm số y = mx4 + 2(m – 2)x2 – 1 có 3 cực trị khi:

A m < 2 B m > 0 C 0 < m < 2 D 0m2

+ Bước2: Hàm số đạt cực trị (CĐ,CT) tại x0  y x 0 0  giải PT tìm m.

+ Bước 3: (Thử lại) Với từng giá trị m vừa tìm được ta thay m vào y Choy 0 tìm

nghiệm và lập BBT kiểm tra hàm số có đạt cực trị (CĐ ,CT) đúng như yêu cầu bài toán không Nếu m thỏa đúng thì nhận ngược lại loại

+ Bước 4:Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.

Phương pháp 2:

+ Bước1: Tính y và y

+ Bước 2: Hàm số đạt cực trị cực trị (CĐ,CT) tại x0  y x 0 0  giải PT tìm m

+ Bước 3: (Thử lại) Với từng giá trị m vừa tìm được ta thay m vào y y x( )0

* Nếu y x( ) 00  thì h số đạt CT tại x x 0 kiểm tra có đúng như yêu cầu bài toán không Nếu m thỏa thì nhận ngược lại loại

* Nếu y x( ) 00  thì h số đạt CĐ tại x x 0 kiểm tra có đúng như yêu cầu bài toán không Nếu m thỏa thì nhận ngược lại loại

+ Bước 4: Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.

Câu 9 Giá trị của m để hàm số y =  1  3 2 5

Phân tích: Dạng bài này có thể giải theo phương pháp nêu trên, nhưng sẽ rất lâu nên tôi đề cử cách

giải như sau:

+ Bước 2: Kiểm tra hàm số đạt cực trị với giá trị m nào

Bấm Calc® =x 0,m=1,2thì kết quả 0, có nghĩa với m =1,2 thì hàm số đạt cực trị tại x =0, Calc® =x 0,m=6 thì kết quả 20 nên loại D

+ Bước 3: Kiểm tra hàm số đạt cực đại với giá trị m nào

Bấm Calc® = -x 0 0.001,m=1thì kết quả 1 0

10000>

Calc® = +x 0 0.001,m=2 thì kết quả 1 0

1000000> , khi đó với m =1 thì hàm số không

đạt cực đại tại x =0, nên loại m =1

Loại 4: Tìm m để hàm số có cực trị thỏa điều kiện

Câu 13 Tìm m để hàm số y x 4 2(m1)x2m có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của tam giácvuông

A m 3 B m 1 C m 0 D m 2

Giải

Phân tích: Dạng bài này có thể áp dụng công thức như sau

Hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của tam giác vuông

Phân tích: Dạng bài này có thể áp dụng công thức như sau

Hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của tam giác đều

Dạng 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Loại 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn a b; 

+ Nếu trên [a b mà ; ] y=f x( )nghịch biến thì : max ( )[ , ]a b f x = f a( ) và

4

y  D

 1;1 

1max

2

y



 Phân tích: tương tự câu 1

+ Bước 1: Bấm Mode 7 f(x) 1

2 1

x x

4

y  sai vì giá trị nhỏ nhất là 0.6666 D

 1;1 

1max

2

y



 sai vì giá trị lớn nhất là 10

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 2

1 1 2

+ Bước 1: Tính y¢cho y¢= tìm nghiệm0

+ Bước 2: Lập bảng biến thiên trên a b; 

+ Nếu trên a b;  hàm số chỉ có duy nhất một cực đại thì ( )0 max ( ) ( , )

+ Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên và chọn đáp án

* Chú ý : Nếu trên khoảng a b;  hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến thì không có GTLN và GTNNù

+ Trường hợp trên khoảng a b;  ta không chọn giá trị của F X( ) tại a và b

+ Ở bước 2 trong trường hợp đề bài không nêu khoảng thì ta sẽ tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên tập xác định của hàm số đã cho, nếu chưa xác định được tập xác định của hàm số thì ta có thể chọn như sau:

Đoạn 1 chọn 15;0 : Start 15 và End 0; 15

Câu 1 Trên khoảng 0; thì hàm số y= - x3+3x+1 có:

A min0;y1 B min0;y3 C max0; y3 D max0;y1

Phân tích: Loại câu này tôi hướng dẫn học sinh 2 cách giải

+ Bước 1: Bấm Mode 7 f(x)x3+3x+1

+ Bước 2: Chọn Start 0 và End 15 ,Step15 019

+ Bước 3: Dò bảng ta thấy đáp án đúng nhất là giá trị lớn nhất là 2.9 nên chọn C

Lưu ý: Lí do chọn khoảng 0;15là ý muốn tìm khoảng chứa nghiệm của phương trình y¢=0nhưng cũng vừa đủ để máy tính được Ta cũng có thể chọn khoảng lớn hơn, nhưng để máy tính được, thông thường nghiệm của phương trình y¢= cũng không quá lớn và ta không lấy giá trị 0f(0)

x + x

+ Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên và chú ý đã nêu ở cách 1 nên ta chọn C

Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số sin 3 cos 2 sin 2

; 2

+ Bước 1: ysin3x2sin2xsinx1 Đặt t =sinx thì y t 3 2t2 t 1; t Î -( 1;1)

+ Bước 2: Bấm Shift  Mode  4 để mở chế độ Radian Bấm Mode 7 f(x)x32x2 x 1

+ Bước 3: Chọn Start 1 và End 1 , 1  1

19

Step  

+ Bước 4: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 0.853 nên chọn A

Cách 2:

+ Bước 1: Bấm Shift  Mode  4 để mở chế độ Radian

Bấm Mode 7 f(x) sin 3x cos 2xsinx2

+ Bước 3: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 0.856 nên chọn A

Lưu ý: Trong cách giải 1 trên ta không lấy ta không lấy giá trị tại f  1 và f  1 và cách 2 ta

không lấy ta không lấy giá trị tại

; 2

+ Bước 1: Bấm Shift  Mode  4 để mở chế độ Radian

Bấm Mode 7 f(x) 3sin x 4sin3x

+ Bước 3: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 0.986 nên chọn B

Lưu ý: Trong cách giải trên ta không lấy ta không lấy giá trị tại f  2và f 2

Câu 5 GTNN và GTLN của hàm số y = x + 4 x 2 là:

A miny = - 2, maxy = 2 C miny = - 2 2, maxy = 2

Phân tích: Loại này ta cần tìm điều kiện của hàm số

Phân tích: Loại này ta cần tìm điều kiện của hàm số

Điều kiện: 7x 1 0x 0 x  1;7

 



+ Bước 1: Bấm Mode 7 f(x) x 1 7 x

+ Bước 2: Chọn Start 1 và End 7 ,Step 198

+ Bước 3: Dò bảng giá trị ta có giá trị lớn nhất 3.98 nên chọn A

Câu 7 GTNN và GTLN của hàm số y = 3x  6 x  3x6 x là:

2

9, maxy = 3

Câu 10 Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = 2sin2x – cosx + 1

A Maxy = 258 , miny = 0 B Maxy =

23

8 , miny = 0 C Maxy = 258 , miny = -1 D Maxy =

27

8 , miny = 0

Phân tích: Loại này ta cần phân tích: y- 2cos2x- cosx3

Cách 1:

+ Bước 1: Bấm Shift  Mode  4 để mở chế độ Radian

Bấm Mode 7 f(x) - 2cos 2x- cosx3

+ Bước 2: Chọn Start 0 và End  ,Step19

+ Bước 3: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 0 và giá trị lơn nhất là 3.124 nên chọn A

Lưu ý: Trong cách giải trên ta đưa về cùng hàm lượng giác để chọn đoạn thích hợp, ví dụ hàm chỉ

+ Bước 3: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 0 và giá trị lơn nhất là 3.124 nên chọn A

Câu 11 GTLN và GTNN của hàm số yf x sin2x 2cosx2 lần lượt là

Phân tích: Loại này ta sử dụng MTBT, trước hết ta thử những giá trị m nguyên.

+ Bước 1: Bấm Mode 7 f(x)x3 3x26 do thế m = 1 ở đáp án vào

+ Bước 2: Chọn Start 0 và End 3 , 3

19

Step 

+ Bước 3: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 2.0084 thì ta nhận, chọn B Các đáp án không đúng

Câu 13 Cho hàm số yx3 3mx22, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 0;3 bằng 2 khi:

Phân tích: Tương tự câu 1, trước hết ta thử những giá trị m nguyên.

+ Bước 1: Bấm Mode 7 f(x) x33x22 do thế m = -1 ở đáp án vào

+ Bước 2: Chọn Start 0 và End 3 , 3

Phân tích: Tương tự câu 1, trước hết ta thử những giá trị m nguyên.

+ Bước 1: Bấm Mode 7 f(x) 2

1

x y x

 do thế m = 0 ở đáp án vào

+ Bước 2: Chọn Start 0 và End 1 ,Step 191

+ Bước 3: Dò bảng giá trị nhỏ nhất là 2 thì ta nhận, chọn B Các đáp án không đúng

ax bx c y





 1

1

là Chọn 1 câu đúng

A 1 B 2 C 0 D 3