Tài liệu bao gồm toàn bộ lý thuyết và bài tập về giới hạn dãy số, giới hạn hàm số trong chương 4 đại số 11. Tài liệu gồm các bài tập dạng tự luận giúp học sinh luyên tập tròn quá trình học tập giúp củng cố kiến thức và nâng cao kĩ năng tính giới hạn của mình. tài lệu giúp giáo viên có thêm tư liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy
Trang 1I Giới hạn của dãy số
1 Giới hạn đặc biệt:
1
n n
; nlim 1k 0 (k )
n
lim n 0 ( 1)
; nlim C C
2 Định lí :
a) Nếu lim u n = a, lim v n = b thì
lim (u n + v n ) = a + b
lim (u n – v n ) = a – b
lim (u n v n ) = a.b
lim n
n
v b (nếu b 0)
b) Nếu u n 0, n và lim u n = a
thì a 0 và lim u n a
c) Nếu u n v n ,n và lim v n = 0
thì lim u n = 0
d) Nếu lim u n = a thì lim u n a
3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = 1
1
u q
q 1
1 Giới hạn đặc biệt:
limq n (q1)
2 Định lí:
a) Nếu lim u thì n lim 1 0
n
u
b) Nếu lim u n = a, lim v n = thì lim n
n
u
v = 0
c) Nếu lim u n = a 0, lim v n = 0 thì lim n
n
u
v =
n n 0
nếu a v nếu a v
d) Nếu lim u n = +, lim v n = a thì lim(u n v n ) = nếu a nếu a00
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0
0,
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n.
VD: a)
1 1
3
n
n
1
3
1
n
n
c) lim(n2 4n 1) limn2 1 4 12
n n
Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức
a b a b a b; 3a 3b 3a2 3ab3b2 a b VD: lim n2 3n n =
2
lim
3
=lim 2 3
3
n
2
CHƯƠNG IV GIỚI HẠN CHƯƠNG IV
GIỚI HẠN
Trang 2 Dùng định lí kẹp: Nếu u n v n ,n và lim v n = 0 thì lim u n = 0
VD: a) Tính limsinn
n . Vì 0
sinn 1
n n và
1
n nên
sin
b) Tính lim3sin 24 cos
n
Vì 3sinn 4 cosn (324 )(sin2 2ncos ) 52n
nên 0 3sin 24cos 25
Mà lim 25 0
2n 1 nên lim3sin 24 cos 0
n
Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim 2 22 3
n
4
n
n
n n n e) lim 42 1
n
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a) lim1 3
4 3
n n
b) lim4.3 7 1
2.5 7
c) lim4 1 6 2
d) lim2 5 1
1 5
n
e) lim1 2.3 7
5 2.7
f) lim1 2.31 6
n n
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
2
lim
2
lim
2
c)
3
1 lim
1
2
lim
e) lim(2 1)( 3)
( 1)( 2)
2
lim
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
a) lim1.3 3.51 1 (2n 1)(21 n 1)
b) lim1.3 2.41 1 n n( 1 2)
c) lim 1 12 1 12 1 12
d) lim1.2 2.31 1 n n( 1 1)
Trang 3Bài 5: Tính các giới hạn sau:
a) lim n22n n 1
b) lim n2 n n22
c) lim 32n n 3 n 1
d) lim 1 n2 n43n1
n n
2
lim
1 lim
1
2
lim
Bài 6: Tính các giới hạn sau:
a) lim2 cos2 2
1
n
2
( 1) sin(3 ) lim
3 1
n
n
d) lim3sin6 25cos (2 1)
1
n
e) lim3sin (2 3 2)2 2
2 3
n
(3cos 2)
Bài 7: Cho dãy số (u n ) với u n = 1 12 1 12 1 12
, với n 2
a) Rút gọn u n b) Tìm lim u n
n n n n n n (n N*)
1 2 2 1 2 3 3 2 n n 1 (n1) n
c) Tìm lim u n
Bài 9: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: 1
1
1
1 ( 1) 2
u
a) Đặt v n = u n+1 – u n Tính v 1 + v 2 + … + v n theo n
b) Tính u n theo n
c) Tìm lim u n
Bài 10: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: 1 2
a) Chứng minh rằng: u n+1 = 1 1
2u n
, n 1
b) Đặt v n = u n – 2
3 Tính v n theo n Từ đó tìm lim u n.
Trang 4II Giới hạn của hàm số
Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
1 Giới hạn đặc biệt:
lim
x x x x
;
0
lim
x x c c
(c: hằng số)
2 Định lí:
a) Nếu
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
x x g x M
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
0
lim ( ) ( )
x x f x g x L M
0
( ) lim
( )
x x
(nếu M 0) b) Nếu f(x) 0 và
0
lim ( )
x x f x L
thì L 0 và
0
lim ( )
c) Nếu
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
x x f x L
3 Giới hạn một bên:
0
lim ( )
x x f x L
lim ( ) lim ( )
x x f x x x f x L
1 Giới hạn đặc biệt:
lim k
; lim x x k nếu k chẵn nếu k lẻ
lim
x
c x
0
1 lim
x x
;
0
1 lim
x x
x x x x
2 Định lí:
Nếu
0
lim ( )
x x f x L
0
lim ( )
x x g x
0 0
0
lim ( )
x x
x x
nếu L và g x cùng dấu
f x g x nếu L và g x trái dấu
0
0
( )
( )
lim ( ) 0 ( ) 0
x x
x x
nếu g x
g x
nếu g x và L g x
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0
0,
, – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.
Một số phương pháp khử dạng vô định:
1 Dạng 0
0
a) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0
Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
4
x
b) L =
0
( ) lim
( )
x x
P x
Q x
với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc
Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu.
4
c) L = lim Q x P x( )( ) với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn không đồng bậc
Trang 5Giả sử: P(x) = m u x( ) n v x với u x( ) m ( )0 n v x( )0 a
Ta phân tích P(x) = m u x( ) a a n v x( ).
2 Dạng
: L = lim ( )
( )
x
P x
Q x
với P(x), Q(x) là các đa thức hoặc các biểu thức chứa căn.
– Nếu P(x), Q(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x.
– Nếu P(x), Q(x) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
VD: a)
2
2
2
x x
2
3 2
1
x
3 Dạng – : Giới hạn này thường có chứa căn
Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp của tử và mẫu.
4 Dạng 0.:
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp như các dạng ở trên.
2 2
4
x
x x
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
0
1
lim
1
x
x
1
lim
1
x
x
2
sin
4 lim
x
x x
d) lim1 4 1
3
x
x
2
1 lim
1
x
x
1
lim
1
x
x
g)
1
8 3 lim
2
x
x
x
2
lim
1
x
x
0
1 lim sin
2
x x
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
1
1 lim
x
1
1 lim
2
x
x
c) 35
1
1 lim
1
x
x x
Trang 6d) 3 4 2 2
3
lim
x
1
lim
(1 )
x
x
1
1 lim
1
m n x
x x
g)
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x
1
lim
1
n x
x
2
16 lim
2
x
x
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
2
lim
4
x
x x
1
1
x
x x
0
lim
x
x x
d)
2
2 2 lim
7 3
x
x
x
1
lim
1
x
x
1 1 lim
16 4
x
x x
0
lim
x
x x
3
3 2 lim
3
x
0
lim
x
x
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
0
lim
x
x
2
lim
x
0
lim
x
x
0
lim
x
x
2
lim
x
2 1
lim
1
x
x
g)
0
lim
x
x
0
lim
x
x
0
lim
x
x
Bài 5: Tìm các giới hạn sau:
a) lim 22 1
x
x
2
x
x
x
x
2
lim
x
2
lim
x
1
x
x x
2
lim
5
x
2
lim
x
i) lim 2 5 2
x
x
Bài 6: Tìm các giới hạn sau:
a) xlim x2 x x
c) xlim x2 1 3x3 1
e) lim 32 1 32 1
g) lim1 11 3 3
1
Bài 7: Tìm các giới hạn sau:
a)
2
15 lim
2
x
x
x
2
15 lim
2
x
x x
3
lim
3
x
x
Trang 7Bài 8: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra:
2
x khi x x
khi x
b)
2
x khi x
x khi x
c)
2 3 4
8
2
x
x
d)
2 2
1
1 2
x
Bài 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra::
a)
mx khi x
2 2
khi x
0 3
khi x x
d) f x( ) x x2 3m x m 3 khi x khi x 11tại x1
III Hàm số liên tục
1 Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x 0
x x f x f x
Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x 0 ).
B2: Tính
0
lim ( )
x x f x
(trong nhiều trường hợp ta cần tính
0
lim ( )
x x f x
0
lim ( )
x x f x
B3: So sánh
0
lim ( )
x x f x
với f(x 0 ) và rút ra kết luận.
2 Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và
lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a f x f a x b f x f b
4 Hàm số đa thức liên tục trên R.
Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5 Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x 0 Khi đó:
Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x 0
Hàm số y = ( )
( )
f x
g x liên tục tại x 0 nếu g(x 0 ) 0.
6 Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = 0 Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít
nhất một nghiệm c (a; b).
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] Đặt m = min ( );
a b f x , M = max ( ) ;
a b f x Khi đó với mọi
T (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c (a; b): f(c) = T.
Trang 8Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
khi x
b)
1
4
x
khi x
c)
2 3 2
x x x khi x
khi x
d)
2
e) f x( ) 1 cosx 1x khi x khi x00 tại x0
Bài 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
a) f x( )2x2mx 3 khi x khi x11 tại x1
0 6
( 3)
3
x x
d)
2
e)
1
x khi
4
1
x khi 1
2 2
8 9
x x x
x x
f)
1
x khi 1
x
1
x khi 3
1
x x
2
x khi
1
2
x khi 2
3 2 1
x
x x
h)
3
x khi 1
2x
3
x khi 3
6 5
2
x x x
x
5
x khi
3
5
x khi 3 1 2
5
x
x x
l)
3
x khi 12x
1
3
x khi 9
3
2
x x x
1
x khi 1
1
x khi 1 1
3
x
x x
f
tại x = 1
Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a)
3 3
1 ( )
3
x
f x
khi x
b)
Trang 9c)
khi x
d)
khi x
e)
2
x khi
3
2
x khi 2
2
2
x x x x
2
x khi 5
2
x khi 2
2 3
2
x x x
x
f
g)
2
x khi 20
-2x
2
x khi 2 2
x
x x
1
x khi 3
2x
1
x khi 2
1 2
x x x
x
f
Bài 4: Tìm tham số để hàm số sau liên tục tại điểm đang xét đ
a)
2
x khi 4
1 ax
2
x khi 2
2 2 3
3
x x x
1
x khi 3ax
1
x khi 1
1
x
x x
f
tại x = 1
c)
2 1
x khi
a
2 1
x khi 1 3 2
1 2
x x x
1
x khi 1 ax
1
x khi
x 2
x x
f
tại x = 1
e)
1
x khi
a 3x
1
x khi 3
2 2
2 3
a x x x
x x
-1
x khi 2 mx
-1
x khi 1 1
2
x
x
x
Bài 5: Tìm các giá trị của m để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
a)
2
b)
c)
d) f x( )2x mx2 3 khi x khi x11
e)
1
x khi 1 m 2
1
x khi 1 1
3
x
x x
f f)
2
x khi 4
-a
2
x khi 2
10 7
2
x x x
x
f
g)
2
x khi 1 -m 5
2
x khi 8 4 8
3
x
x x
f h)
1
x khi
x a
1
x khi
1
1
x khi 1 x
3
x
f
Bài 6: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) x3 3x 1 0 b) x36x29x 1 0 c) 2x6 13 x 3
Bài 7: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) x5 3x 3 0 b) x5 x 1 0 c) x4x3 3x2 x 1 0
Bài 8: Chứng minh rằng phương trình: x5 5x34x1 0 có 5 nghiệm trên (–2; 2)
Bài 9: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) m x( 1) (3 x 2) 2 x 3 0 b) x4mx2 2mx 2 0
Trang 10c) (a x b x c b x c x a c x a x b )( ) ( )( ) ( )( ) 0 d) (1 m x2)( 1)3x2 x 3 0 e) cosx m cos2x0 f) (2cosm x 2) 2sin 5 x1
Bài 10: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) ax2bx c với 2a + 3b + 6c = 00 b) ax2bx c với a + 2b + 5c = 00 c) x3ax2bx c 0
Bài 11: Chứng minh rằng phương trình: ax2bx c luôn có nghiệm x 0 0;1
3
với a 0 và 2a + 6b + 19c = 0
Bài 11: Chứng minh các phương trình sau
a) 3x2 + 2x – 2 = 0 cĩ ít nhất 1 nghiệm
b) 4x4 +2x2 – x – 3 = 0 cĩ ít nhất hai nghiệm thuộc (-1, 1)
c) x3 – 3x + 1 =0 cĩ ít nhất 3 nghiệm phân biệt
d) x4 – x – 3 = 0 cĩ 1 nghiệm thuộc (1, 2)
e) 2x3 – 6x + 1 = 0 cĩ 3 nghiệm thuộc -2, 2