Phép biến đổi Laplace
Định nghĩa 1.1 Ta gọi hàm phức tùy ý f(t) của biến thực t là hàm gốc nếu nó thỏa mãn 3 điều kiện sau:
Hàm f(t) và các đạo hàm bậc cao của nó liên tục trên toàn trục, ngoại trừ một số điểm gián đoạn loại I tại các điểm hữu hạn trong khoảng [a, b] với a, b thuộc R Hàm này không tăng quá nhanh, tồn tại M > 0 và s ≥ 0 sao cho với mọi t, |f(t)| < M.e^s Định nghĩa 1.2 giới thiệu hàm F(p) của biến phức p = a + ib với điều kiện Rep = a > 0 và a > s.
0 e −pt f(t).dt được gọi là hàm ảnh của f(t)
0 e −pt f(t).dt Ánh xạ ứng với mỗi hàm thuộc lớp hàm nói trên với một hàm phức của biến p là: f 7−→ L(f, p) được gọi là phép biến đổi Laplace.
Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Tính chất tuyến tính
Tính chất vị tự
L(f(α.t), p) = 1 α.L(f(t), p α) Chứng minh Đặt x = α.t⇒ t = x α ⇒ dt= 1 α.dx
Tính chất trễ
Chứng minh Đặt : t= x−β ⇒x = t+β ⇒ dx = dt
Tính chất dịch chuyển ảnh
Ảnh của đạo hàm
Đạo hàm cấp 1 Nếu f(t) có đạo hàm là f 0 (t) thì
(du = −p.e −pt dt v = f (t) Theo công thức tích phân từng phần ta có:
Vì lim t→∞e −pt = 0 ⇒ lim a→∞e −pa f (a) = 0 nên L(f 0 (t), p) =p.L(f (t), p)−f (0)
Tương tự ta cũng chứng minh được: Đạo hàm cấp 2
Ảnh của tích phân
Lấy Laplace 2 vế của phương trình ta có:
Đạo hàm và tích phân
Chứng minh a) Công thức đạo hàm (chứng minh theo phương pháp quy nạp) :
Giả sử, biểu thức đúng với n= k: d k dp k (L(f (t), p)) = L (−t) k f (t), p
0 e −pt (−t) k+1 f (t)dx = L (−t) k+1 f (t), p b) Công thức tích phân:
Tích chập
Cho hai hàm gốc f(t) và g(t) Tích chập của hai hàm số được xác định bởi công thức sau: f ∗g(x) x
0 e −px g(x−t).dx Đặt: u = x−t ⇒x = u+ t ⇒dx = du
Ta thấy: F(p) =G(p) = 1 p 2 + 1 ⇒ f(t) = g(t) = sin(t) Áp dụng tích chập, ta có:
Công thức Duhamel
Từ công thức biến đổi của tích chập, ta có công thức Duhamel: p.Lg.Lf = L(f ∗g 0 ) +Lf.g(0)
Thật vậy: p.Lf.Lg = f (0).Lg+ (pLf −f (0)).Lg = Lg.f (0) +Lf 0 Lg
= L(g∗f 0 ) +Lg.f (0) p.Lf.Lg = g(0).Lf + (p.Lg −g(0)).Lf = Lf.g(0) +Lg 0 Lf
Phép biến đổi Laplace ngược
Tính chất tuyến tính của phép biến đổi Laplace ngược 15
Giống như phép biến đổi Laplace thuận, phép biến đổi Laplace ngược cũng có tính chất tuyến tính
Ví dụ 1.9 Hàm bậc thang Heaveside u a (t)
R a e −pt dt = lim s→∞ e −pt p s a = e −pa a (Rep > 0)
Định lí dịch chuyển thứ nhất
Ví dụ 1.11 L(e ax cos(bx)) = p−a
Định lí dịch chuyển thứ hai
Nếu F(p) =L(f(t), p) thì L(u a (t).f(t−a), p) =e −ap F(p) (a ≥0) Hay L −1 (e −ap F(p)) = u a (t).f(t−a)
R a e −pt f(t)dt Đặt x = t−a → t = x+a →dt = dx
Đạo hàm của ảnh
f là hàm liên tục trên [0,∞) và L(f(t), p) =F(p) Khi đó: d n dp n F(p) =L((−1) n t n f(t), p) (∀n ∈ N ∗ )
Chứng minh (Dùng phương pháp quy nạp)
Giả sử biểu thức đúng khi n= k d k dp k F(p) = L((−1).t k f(t), p)
= L((−1) k+1 t k+1 f(t), p) Đặc biệt: khi n= 1 d dpF(p) = L(−tf(t), p)
Ví dụ 1.13 Tìm f(t) biết: f(t) = L −1 ln p 2 +a 2 p 2 +b 2
Tích phân của ảnh
Nếu f là hàm liên tục trên [0,∞) ; L(f(t), p) = F(p) và lim t→0 + f(t) t tồn tại thì :
Vì lim a→∞e −at = 0 nên lim a→∞
= [ln(p)−ln(p+ 1)] ∞ p = ln(p+ 1)−ln(p) = ln p+ 1 p
Chương 2 Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi tích phân
Phép biến đổi Laplace là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết nhiều loại phương trình, bao gồm phương trình sai phân, phương trình vi sai phân, phương trình tích phân và phương trình vi tích phân.
• Biến đổi Laplace hai vế của phương trình ban đầu
• Giải phương trình đại số đó tìm được hàm ảnh của ẩn hàm
• Biến đổi Laplace ngược để tìm hàm gốc
Chú ý: Từ đây ta hiểu L(y(t), p) =L(y(t)).
Phương trình vi phân
Bài tập 2.1 Giải phương trình sau: y 00 (t) +y(t) = 2.cos(t) với y(0) = 0;y 0 (0) = −1
Lấy Laplace hai vế phương trình trên, ta có:
Bài tập 2.2 Giải phương trình sau: y 00 (t) +y(t) = 1 với y(0) = y 0 (0) = 0
Lấy Laplace hai vế của phương trình trên ta có:
Bài tập 2.3 Giải phương trình sau: y 0 (t)−y(t) =t 2 e t với y(0) = 2
Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta có:
(p−1) 4 + 2 1 p−1 Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược, ta được: y(t) = L −1
Bài tập 2.4 Giải hệ phương trình sau:
Lấy Laplace hai vế của từng phương trình, ta có:
Từ hai phương trình trên, ta có:
(p−1) 2 Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược, ta được: y(t) = 1−2e −t +te t z(t) = 2e t −te t
Bài tập 2.5 Giải phương trình sau: y 00 (t) +y 0 (t) = 1, y(0) = y 0 (0) = 0
Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta có:
Bài tập 2.6 Giải phương trình sau: y 0 (t)−y(t) =e t , y(0) = 0
Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta có: L(y 0 (t))− L(y(t)) = L(e t )
(p−1) 2 Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược, ta được: y(t) = L −1
Bài tập 2.7 Giải phương trình sau: y 00 (t) +y(t) = cos(t), y(0) = y 0 (0) = 0
Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta có: L(y 00 (t)) +L(y(t)) =L(cos(t))
Phương trình tích phân
Muốn giải phương trình tích phân:y(t) = λ t
Ta lấy Laplace hai vế phương trình, theo tính chất nhân chập, ta có: L(y(t)) = λ.L(K(t)).L(y(t)) +L(B(t))
Từ đó, ta dùng phép biến đổi Laplace ngược sẽ tìm được hàmy(t) cần tìm.
Bài tập 2.8 Giải phương trình sau: y(t) =e −t +λ t
Lấy Laplace hai vế phương trình trên ta được:
= 2 p+ 1 + 1 p 2 − 1 p Biến đổi Laplace ngược, ta có: y(t) = L −1
Bài tập 2.9 Giải phương trình sau: t.e −at t
Lấy Laplace hai vế phương trình trên ta có:
Biến đổi Laplace ngược ta được: y(t) = L −1
Bài tập 2.10 Giải phương trình sau: y(t) t
Lấy Laplace hai vế của phương trình trên, ta có: L(y(t), p) =L(sin(t), p).L(y(t), p)
Bài tập 2.11 Giải phương trình sau: y(t) t
Lấy Laplace hai vế của phương trình trên, ta có: L(y(t), p) =L(cos(t), p).L(y(t), p)
Bài tập 2.12 Giải phương trình sau: y(t) = sin(t) + t
Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta có:
Bài tập 2.13 Giải phương trình sau: y(t) t
Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta có:
Bài tập 2.14 Giải phương trình
Lấy Laplace hai vế phương trình, ta có:
Phương trình vi tích phân
Phương trình vi tích phân có dạng: y 0 (t) = αy(t) +β t
Lấy Laplace hai vế phương trình trên, ta được:
⇒ L(y(t)) = L(f(t)) +y(0) p−α −βL(K(t)) Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược, ta tìm được hàm y(t).
Bài tập 2.15 Giải phương trình sau: y 0 (t) = y(t) + t
Bài tập 2.16 Giải phương trình sau: y 0 (t) + t
Bài tập 2.17 Giải phương trình sau: y 0 (t) = 2y(t) + t
Chương 3 Áp dụng phép biến đổi Laplace đối với các phương trình vi phân có chậm
Trong toán học, phương trình vi phân có chậm là loại phương trình mà các đạo hàm phụ thuộc vào giá trị của hàm tại thời điểm trước Để giải quyết các phương trình này, có thể sử dụng phương pháp từng bước hoặc phương pháp tính Tuy nhiên, chương này sẽ trình bày một cách tiếp cận khác là sử dụng phép biến đổi Laplace, giúp chuyển đổi các phương trình vi phân có chậm thành các phương trình đại số của toán tử Laplace Để tìm nghiệm, chỉ cần thực hiện phép Laplace ngược.
Phương trình dạng y 0 (t) = αy(t − h) + f (t)
Để giải phương trình dạng này, đầu tiên ta lấy Laplace của hai vế phương trình đã cho, ta được:
⇒ L(y(t), p) = L(f(t), p) +y(0) p−αe −ph Sau đó, áp dụng phép biến đổi Laplace ngược, ta sẽ tìm được hàm y(t).
Bài tập 3.1 Giải phương trình sau: y 0 (t)−2y(t−1) = t với y(t) = 0;t ≤ 0
2 n e −np p n+3 Áp dụng định lí dịch chuyển thứ hai, ta có:
Bài tập 3.2 Giải phương trình sau: y 0 (t) = 3y(t−2)−t 2 , y(t) = 0, t ≤0
3 n e −2pn p n+4 Áp dụng định lí dịch chuyển thứ hai, ta có:
Bài tập 3.3 Giải phương trình sau: y 0 (t) = y(t−1) + sin(t);y(t) = 0, t ≤ 0
(p−e −p )(p 2 + 1) Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược: y(t) = L −1
= 1 p−e −p Theo công thức về tích chập, ta có:
Phương trình dạng y 00 (t) = α.y(t − h) + f (t)
Lấy Laplace hai vế phương trình trên, ta được:
⇒ L(y(t)) = L(f(t)) +py(0) +y 0 (0) p 2 −αe −ph Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược, ta tìm được hàm y(t)
Bài tập 3.4 Giải bài toán sau: y 00 (t) = y(t−1) +t;y(0) = y 0 (0) = 0
P n=0 e −np p 2n+4 (Rep > 1) Áp dụng định lí dịch chuyển thứ hai:
Bài tập 3.5 Giải phương trình sau: y 00 (t)−y(t−1) = δ(t) với y(t) =y 0 (t) = 0, t ≤ 0
P n=0 e −np p 2n+2 (Rep > 1) Áp dụng định lí dịch chuyển thứ hai:
Bài tập 3.6 Giải phương trình sau: y 00 (t) = 2y(t−1) +t 2 , y(t) = 0, t ≤ 0
2 n+1 e −pn p 2n+5 Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược, ta có: y(t) = L −1
Phương trình dạng y 0 (t) = αy(t) + βy(t − h) + f (t)
Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta được:
⇒ L(y(t)) = L(f(t)) +y(0) p−α −βe −ph Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm hàm y(t)
Bài tập 3.7 Giải phương trình sau: y 0 (t) = 2y(t) +y(t−2) + 1 với y(t) = 0, t ≤ 0
Bài tập 3.8 Giải phương trình sau: y 0 (t) = y(t) +y(t−1) +t với y(t) = 0, t ≤ 0
Bài tập 3.9 Giải phương trình sau: y 0 (t) = 2y(t) +y(t−1) + sin(t) với y(t) = 0, t ≤0
(p 2 + 1)(p−2−e −p ) Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược: y(t) = L −1
= 1 p−2−e −p Theo công thức về tích chập, ta có:
Phương trình dạng
Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta được:
⇒ L(y(t)) = L(f(t)) +y(0) p−αe −ph − L(K(t)) Sau đó, áp dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm hàm y(t)
Bài tập 3.10 Giải phương trình sau: y 0 (t) = 2y(t−1) + t
Bài tập 3.11 Giải phương trình sau: y 0 (t) = y(t−1) + t
Bài tập 3.12 Giải phương trình sau: y 0 (t) = 2y(t−1) + t
= 1 p−2e −p − 1 p 2 Theo công thức tích chập, ta có:
Phương trình dạng y 00 (t) = αy(t) + βy(t − h) + f (t)
Lấy Laplace hai vế phương trình trên, ta được:
⇒ L(y(t)) = L(f(t)) +py(0) +y 0 (0) p 2 −α−βe −ph Sau đó, áp dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm y(t)
Bài tập 3.13 Giải phương trình sau: y 00 (t) = y(t) +y(t−1) +t, y(t) =y 0 (t) = 0, t ≤ 0
Bài tập 3.14 Giải phương trình sau: y 00 (t) = 2y(t) +y(t−1) + cos(t), y(t) =y 0 (t) = 0, t ≤ 0
= 1 p 2 −2−e −p Theo công thức tích chập, ta có:
(2n+ 1)! cos(t−s)ds Bài tập 3.15 Giải phương trình sau: y 00 (t) = y(t) + 2y(t−1) +e 2t , y(t) =y 0 (t) = 0, t ≤ 0
= 1 p 2 −1−2e −p Theo công thức tích chập, ta có:
Phương trình dạng
Lấy Laplace hai vế phương trình đã cho, ta được:
⇒ L(y(t)) = L(f(t)) +y(0) p−α −βe −ph − L(K(t)) Sau đó, áp dụng phép biến đổi Laplace ngược để tìm y(t)
Bài tập 3.16 Giải phương trình sau: y 0 (t) = y(t) +y(t−1) + t
Bài tập 3.17 Giải phương trình sau: y 0 (t) = y(t) + 2y(t−1) + t
Một số hàm được sử dụng trong bảng:
Bảng 3.1: BẢNG ĐỐI CHIẾU CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE THÔNG DỤNG
42 sin(at) − at cos(at) 2a 3
43 sin(at) + at cos(at) 2ap 2
46 sinh(at) + at cosh(at) p 2
Khóa luận đã thực hiện các công việc sau:
• Tổng hợp các kiến thức trong hàm phức và tìm hiểu về phép biến đổi Laplace.
• Áp dụng phép biến đổi Laplace để giải một số loại phương trình khác nhau như phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân,
• Đặc biệt, sử dụng phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi phân có chậm.
Do thời gian thực hiện hạn chế và kiến thức còn thiếu, khóa luận vẫn còn nhiều thiếu sót Hướng nghiên cứu tiếp theo sẽ tập trung vào việc giải quyết các phương trình vi phân có chậm khác, bao gồm các dạng phương trình tương tự.
