Sè phùc - d¢y sè phùc - chuéi sè phùc
ành nghắa 1.1.1 GiÊ sỷ ta °t C={(a, b) :a, b∈R} Trản C xĂc ành hai ph²p to¡n sau :
Khi õ, têp Cl mởt trữớng v ta gồi l trữớng số phực.
Mội phƯn tỷ z = (a, b) gồi l mởt số phực.
Kẵ hiằua =Rez gồi l phƯn thỹc cừa z, b =Imz gồi l phƯn Êo cừa z
Một số phức z = (a, 0) được định nghĩa với a ∈ R Khi i = (0, 1), ta có i² = (0, 1)·(0, 1) = (-1, 0) = -1 Định nghĩa 1.1.2 (Số phức của số phức) cho biết số phức z = (a, b) ∈ C Khi đó, biểu thức z = a + bi được gọi là số phức của z, và z = a - bi là số phức liên hợp của z.
4 z+z = 2.Rez, z−z = 2.Imz, z =z ành nghắa 1.1.3 (Mổun cừa số phực) Mội số phực z =a+bi, mổun cừa z ữủc xĂc ành l
5 |Rez|≤|z|, Imz≤|z|. ành nghắa 1.1.4 (Argument cừa số phực) GiÊ sỷ z =a+bi6=0 Gõc ϕtÔo bði vectì −→
Oz v chiãu dữỡng cừa trửc Ox gồi l argument cừaz.
• Argument chẵnh : Kẵ hiằu argz =ϕ, vợi −π≤ϕ≤π.
Trong toán học, đối với số phức z khác 0, ta có thể biểu diễn nó dưới dạng z = r(cosϕ + isinϕ), trong đó r = |z| là mô đun của số phức và ϕ = argz là lập phương của số phức Đặc biệt, lập phương này có thể được điều chỉnh bằng cách cộng thêm k2π, với k thuộc tập hợp số nguyên Z.
Chú ỵ: Cõ thº chựng minh ữủc tẵnh chĐt sau Ơy : z n =r n (cosnϕ+isinnϕ)
Cổng thực mô phỏng số phức được biểu diễn dưới dạng \( z = re^{i\phi} \), trong đó \( r = |z| \) là độ lớn của số phức và \( \phi = \arg z \) là góc của số phức Công thức này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của số phức trong không gian phức.
2i ành nghắa 1.1.7 ( Côn bêc n cừa số phực) Vợi n≥1 v z∈C, côn bêc n cừa z l số phực w∈Cthọa mÂn : w n =z.
Mội số phực z6=0 s³ cõ n côn bêcn khĂc nhau v ữủc kẵ hiằu l √ n z v ữủc xĂc ành nh÷ sau :
ành nghắa 1.1.8 (DÂy số phực hởi tử) Cho (z n )⊂C v z∈C Ta nõi dÂy (z n ) hởi tử tợi z ữủc kẵ hiằu v xĂc ành nhữ sau : n→∞lim z n =z ⇔ lim n→∞|z−z n |= 0.
Tực l , vợi mồi ε >0, tỗn tÔi n 0 sao cho ∀n > n 0 ta cõ :|z n −z|< ε.
Náu z n =x n +iy n , z =x+yi thẳ ta cõ : n→∞lim z n =z ⇔
Khi n tiến đến vô cực, giới hạn của dãy số phức \( z_n \) sẽ là vô cực nếu và chỉ nếu giới hạn của mô-đun \( |z_n| \) cũng tiến đến vô cực Điều này có nghĩa là với mọi số dương \( M > 0 \), tồn tại một số tự nhiên \( n_0 \) sao cho với mọi \( n > n_0 \), ta có \( |z_n| > M \) Theo tiêu chuẩn Cauchy, dãy \( (z_n) \) hội tụ trong không gian số phức \( \mathbb{C} \) nếu và chỉ nếu dãy này thỏa mãn điều kiện: với mọi \( \epsilon > 0 \), tồn tại một số tự nhiên \( n_0 \) sao cho với mọi \( m, n > n_0 \), ta có \( |z_m - z_n| < \epsilon \) Ngoài ra, chuỗi số phức được định nghĩa là tổng của dãy số phức \( (u_n) \) trong \( \mathbb{C} \), được biểu diễn dưới dạng \( u_1 + u_2 + \ldots + u_n + \ldots \).
Khi õ, ta cõ dÂy tờng riảng (Sn)⊂C.Ta ành nghắa sỹ hởi tử v phƠn kẳ cừa chuội sè phùc nh÷ sau :
- Náu tỗn tÔi giợi hÔn lim n→∞S n =S6=∞ thẳ ta nõi chuội hởi tử v cõ tờng bơngS v ta viát : ∞
- Chuội khổng hởi tử thẳ ta nõi chuội õ phƠn kẳ. ành lỵ 1.1.2 (Tiảu chuân Cauchy) Chuội hởi tử khi v ch¿ khi vợi mồi ε >0, tỗn tÔi n 0 sao cho : ∀n > n 0 , ∀p≥1 ta cõ :
Mởt số khĂi niằm Tổ pổ trản m°t ph¯ng phực
• r-lƠn cên: r-lƠn cên cừa iºm a∈C l hẳnh trỏn tƠm a bĂn kẵnhr, ữủc kẵ hiằu v x¡c ành nh÷ sau :
• LƠn cên: Têp U⊂C gồi l lƠn cên cừa a náu tỗn tÔir >0 sao cho : D(a, r)⊂U.
• Têp mð, têp õng: TêpG⊂C ữủc gồi l têp mð náu Gl lƠn cên cừa mồi a∈G Têp F⊂C ữủc gồi l têp õng náu têp C\F l têp mð.
• iºm trong: Cho têp X⊂C iºm a∈X gồi l iºm trong cừa X náu X l mởt lƠn cên cừa a Têp hủp tĐt cÊ cĂc iºm trong cừa X gồi l phƯn trong cừa X, kẵ hiằu l : IntX
IntX l têp mð lợn nhĐt chựa trongX.
• iºm tử: Cho X⊂C, iºm a∈C ữủc gồi l iºm tử cừaX náu vợi mồi lƠn cên
U a cừa a ta cõU a ∩X\{a}6=0 Têp tĐt cÊ cĂc iºm tử cừa X ữủc kẵ hiằu l : X 0 v gồi l têp dăn xuĐt thự nhĐt cừa X.
• iºm cổ lêp: iºm a∈X ữủc gồi l iºm cổ lêp cừa X náu tỗn tÔi lƠn cên U a cõa a sao cho : U a ∩X =a.
Têp tĐt cÊ cĂc iºm tử v iºm cổ lêp cừa X ữủc gồi l bao õng cừaX, kẵ hiằu
X Mội a∈X ữủc gồi l iºm dẵnh cừa X.
Têp X⊂Cl õng náu v ch¿ náu X =X.
• iºm biản: iºma⊂C ữủc gồi l iºm biản cừaX náu vợi mồi lƠn cênU a cừa a thẳ U a ∩X =φ Têp tĐt cÊ cĂc iºm biản cừaX kẵ hiằu l :∂X V ta cõ :
• Têp Compact: Têp X⊂C ữủc gồi l têp compact náu mồi dÂy trong X chựa mởt dÂy con hởi tử tợi mởt iºm thuởc X.
• Miãn: Têp D⊂C ữủc gồi l mởt miãn náu nõ thọa mÂn 2iãu kiằn sau : i.D l têp mð ii.D liản thổng, tực l vợi mồi a, b∈D, tỗn tÔi mởt ữớng cong L⊂D nối a vợi b.
Ảnh hưởng tràn mặt chu tuyến là một hiện tượng quan trọng trong C Khi xảy ra, nó chia một phần phức tạp thành hai miền cơ bản là miền bậc chọn khả hiểu (Dγ+) và miền còn lại là miền bậc không chọn khả hiểu (Dγ−).
Khi õ, chiãu dữỡng trản γ l chiãu m khi ngữới quan sĂt i theo chiãu õ thẳ s³ nhẳn thĐy miãn D γ + ð bản trĂi.
• Miãn ỡn liản: MiãnD ữủc gồi l ỡn liản náu vợi mồi chu tuyán γ⊂D thẳ
Náu tỗn tÔi cĂc chu tuyán γ 1 , γ 2 , sao cho cĂc miãn D γ 1 , D γ 2 , khổng bao h m trong D thẳ ta nõi D l miãn a liản.
H m số bián phực
Giới thiệu về hàm số phức w = f(z), với z thuộc tập D, cho thấy sự phụ thuộc của w vào giá trị của z Trong trường hợp w = ∞, z được gọi là biến ở điểm cực, trong khi w được xem là biến phụ thuộc Điều này giúp hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các biến trong phân tích hàm số phức.
Náu ựng vợi mởt giĂ trà cừa z tữỡng ựng ch¿ mởt giĂ trà cừa w thẳ h m w z =f(z) ữủc gồi l h m ỡn trà, ngữủc lÔi h m f(z)ữủc gồi l h m a trà.
Têp hủp tĐt cÊ nhỳng iºm z∈D ữủc gồi l miãn xĂc ành cừa f(z), trong khi têp E tĐt cÊ cĂc giĂ trà tữỡng ựng cừa w=f(z) được gồi l têp bián thiản cừa h m số Hàm phức w=f(z) có thể được viết dưới dạng w=f(z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y), với z = x + yi ∈ D Định nghĩa 1.2.2 về giới hạn của hàm phức cho biết rằng nếu f : D−→C và z0 ∈ D là một điểm giới hạn của D, thì số phức a được gọi là giới hạn của f tại z0 nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho ∀z ∈ D, 0 < |z − z0| < δ, ta có f(z) = a.
Giợi hÔn vổ cũng : z→∞,z∈Dlim f(z) =a⇔ ∀ε >0,∃M >0 :∀z∈D,|z|> M ta câ : |f(z)−a|< ε.
Giới hạn của hàm số phức f(z) tại điểm z₀ ∈ D được xác định là ∞ nếu và chỉ nếu với mọi M > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi z ∈ D, khi |z - z₀| < δ, ta có |f(z)| > M Hàm số f: D → C được gọi là hàm phức liên tục tại z₀ nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện: i) z₀ là điểm biên của D, hoặc ii) nếu z₀ không phải là điểm biên của D thì lim z→z₀ f(z) = f(z₀) Nếu f(z) = u(z) + iv(z), thì f liên tục tại z₀ ∈ D khi cả hai hàm u và v đều liên tục tại z₀.
Hàm số phức được gọi là liên tục trên miền D nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi z₁, z₂ ∈ D, nếu |z₁ - z₂| < δ thì |f(z₁) - f(z₂)| < ε Nếu f là hàm số phức liên tục trên tập compact K ⊂ C, thì f cũng là hàm số phức liên tục trên K Hơn nữa, nếu f là hàm số phức liên tục trên K, thì giá trị tuyệt đối |f(z)| đạt cực tiểu và cực đại trên K Ngoài ra, nếu f là hàm số phức liên tục trên K, thì f(K) cũng là tập compact Cuối cùng, chuỗi hàm (fₙ) xác định trên tập D ⊂ C được gọi là chuỗi hàm xác định trên D, với biểu thức f₁(z) + f₂(z) + + fₙ(z) + ∞.
Tờng riảng cừa chuội h m l h m sau :
Náu vợi z∈D dÂy h m (S n (z))hởi tử thẳ ta nõi chuội tữỡng ựng hởi tử hay khÊ têng t¤i z.
Têp D 1 ={z|z∈D} gồi l miãn hởi tử cừa chuội.
Têp D 2 =D\D 1 gồi l miãn phƠn kẳ cừa chuội.
Trản miãn hởi tử D 1 cừa chuội, ta xĂc ành h m S :D 1 −→C ữủc xĂc ành bði :
Khi õ, h mS(z) ữủc gồi l tờng cừa chuội trản D 1 v viát :
Chuội h m ữủc gồi l hởi tử ãu tợi h m S(z) trản D 1 náu dÂy h m (S n (z))hởi tử ãu vã S(z)trản D1, tực l :
∀ε >0,∃n 0 :∀n > n 0 ,∀z ∈D 1 ta câ : |S n (z)−S(z)|< ε. ành lỵ 1.2.4 (Tiảu chuân Cauchy) Chuội h m hởi tử ãu trản D⊂Ckhi v ch¿ khi :
∀ε >0,∃n 0 :∀n > n 0 ,∀p≥1,∀z ∈D ta câ : |fn+1(z) +fn+2(z) + +fn+p(z)|< ε ành lỵ 1.2.5 (DĐu hiằu W eierstrass) GiÊ sỷ chuội số dữỡng P ∞ n=1 a n hởi tử v
|f n (z)| ≤a n ,∀n > n 0 ,∀z ∈D khi õ chuội h m hởi tử ãu trản D. ành lỵ 1.2.6 GiÊ sỷ chuội h m hởi tử ãu trản D v cĂc h m fk liản tửc trản D thẳ h m tờng
X k=1 f k (z) cụng liản tửc trảnD. ành nghắa 1.2.6 (Chuội lụy thứa) Chuội h m cõ dÔng sau :
X n=0 c n (z−z 0 ) n =c 0 +c 1 (z−z 0 ) +c 2 (z−z 0 ) 2 + +c n (z−z 0 ) n + gồi l chuội lụy thứa tÔi z 0
BĂn kẵnh hởi tử cừa chuội lụy thứa ữủc xĂc ành nhữ sau :
Khi õ, chuội lụy thứa hởi tử (tuyằt ối) trản |z−z 0 |< R v phƠn kẳ trản
|z−z0|> R. ành nghắa 1.2.7 (H m mụ) H m mụ l h m cõ dÔng w=e z , z∈C.
* Tẵnh chĐt: e z 1 e z 2 =e z 1 +z 2 ,e z 1 e z 2 =e z 1 −z 2 , e z 2 6= 0,∀z∈C. Vợi z =x+yi ta cõ :
|e z |=e x , Arge z =y+ 2kπ, k ∈Z. ành lþ 1.2.7 sinz = e iz −e −iz
Chuội h m bián phực
Chuỗi Taylor là một công cụ mạnh mẽ trong việc giải thích hàm số f(z) trong miền tròn |z−a|< R Khi đó, với mỗi điểm z thuộc miền G, hàm số f(z) có thể được khai triển một cách duy nhất dưới dạng chuỗi lũy thừa quanh điểm a, cho phép ta tính toán giá trị của hàm một cách chính xác.
Trong õ, hằ sốc n ữủc xĂc ành nhữ sau : c n = f (n) (a) n! Chó þ: f (n) (a) = n!
I Γ f(ζ)dζ (ζ−a) n+1 Γ l chu tuyán bao quanh iºm a v nơm ho n to n trongG.
1.3.2 Khổng iºm cừa h m giÊi tẵch ành nghắa: GiÊ sỷ f(z) l h m giÊi tẵch trong G iºm a ữủc gồi l khổng iºm cừa h m f(z)náu f(a) = 0
Náu khai triºn Taylor cừa h m f(z)tÔi lƠn cên iºm a cõ dÔng : f(z) = c m (z−a) m +c m+1 (z−a) m+1 + vợi c m 6= 0
Trong õ, m ữủc gồi l cĐp cừa khổng iºm hay ta nõia l khổng iºm cĐp m cõa h m f(z).
Khi m = 1 thẳ a ữủc gồi l khổng iºm cĐp 1 (khổng iºm ỡn).
∗ iãu kiằn cƯn v ừ º a l khổng iºm cĐp m cừa h m f(z)l : f(a) =f 0 (a) = f 00 (a) = =f (m−1) (a) = 0 v f (m) (a)6= 0 ành lỵ: iãu kiằn cƯn v ừ º iºm a l khổng iºm cĐp m cừa h m f(z) l f(z) cõ thº biạu diạn dữợi dÔng : f(z) = (z−a) m ϕ(z) é Ơy ϕ(z) l h m giÊi tẵch tÔia v ϕ(a)6= 0.
1.3.3 Chuội Laurent cừa h m giÊi tẵch ành nghắa: Náu f(z) l h m giÊi tẵch, ỡn trà trong hẳnh v nh khôn r