Một vài ứng dụng của phép đo yếu, giá trị yếu trong thông tin lượng tử

Đề tài nghiên cứu của tôi về “Một vài ứng dụng của phép đo yếu, giá trị yếu trong thông tin lượng tử” weakmeasurement, weak values in quantum Information là một vấn đề rất mới hứa hẹn nh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DINH THI HAI

MOT VAI UNG DUNG CUA PHEP DO YEU,

GIA TRI YEU TRONG THONG TIN

LUONG TU

LUAN VAN THAC Si KHOA HQC VAT CHAT

HA NOI, 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DINH THI HAI

MOT VAI UNG DUNG CUA PHEP DO YEU,

GIA TRI YEU TRONG THONG TIN

LUONG TU

Chuyén nganh: VAT LY LY THUYET VA VAT LY TOAN

Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHÁT

Người hướng dẫn khoa học: TS TRÀN THÁI HOA

HÀ NỘI, 2013

LOI CAM ON

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Thái Hoa,

người đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng, trực tiếp

để tôi hoàn thành bài luận văn này Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng

tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học,

trong Khoa Vật Lý Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ

đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi

trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2013

Học viên

Đinh Thị Hải

Tên tôi là: Đinh Thị Hải, học viên cao học khóa 2011 - 2013, chuyên ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tôi xin cam đoan đề tài: “Một vài ứng dụng của phép đo yếu, giá trị yếu trong thông tin lượng tử”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác

Hà Nội, tháng 7 năm 2013

Học viên

Đinh Thị Hải

MUC LUC

MO DAU occ ccssessssssssssssssssssecsssscsssscsssscsssecssscsssscsssscsssscsssscsssecssicessicessecssseceseess 1 NỘI DUNG 222222222212221112271127111277112211112.01110.01.11 2c 3

CHUONG 1: TONG QUAN VE PHEP DO YEU, GIA TRI YEU 3

LoD GiGi thie eeccccecccceescssseesssseesssseesssssesssusesssseecsssecessseessssseessseesesseessssseesesees 3

CHƯƠNG 2: NHỮNG NÉT KHÁI QUÁT VE VAT LY LUONG TU,

2.2.3 Rối lượng tử ©-2-+2+k22E122211227112711171122711.2711 2111.11.11 32 2.2.4 Qubit đưới dạng chồng chập của hai trạng thái kết hợp 34 CHUONG 3: MOT VAI UNG DUNG CUA PHEP DO YEU, GIA TRI

3.1 Phép đo yếu trong lý thuyết lượng tử đo lường -. -c5+ 39

k0 pc 54

KET LUAN 0a - 1Ä+*+ŒH,H DHH , 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO . -22-©25222S2222S222EESEEEeSrxerrrkerrrvee 57

MO DAU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay tại Việt Nam, các hướng nghiên cứu về vật lý lý thuyết

đang gặp nhiều khó khăn về nhân lực và vật lực Mặt khác trong hơn hai

thập kỉ qua, khoa học thông tin lượng tử đã trở thành một trong những lĩnh

vực thu hút được nhiều sự quan tâm nhất của các nhà khoa học Nó được

xem là một lĩnh vực mới có khả năng tạo ra sự đột phá mạnh mẽ trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật có liên quan đến sự tính toán, thông tin liên lạc, phép đo chính xác và khoa học lượng tử cơ bản Mặc dù đã có những thành công không thể nào phủ nhận được song thông tin cô điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cổ điển Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng phép đo yếu, giá trị yếu vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học, và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc Đề tài nghiên cứu của tôi về “Một vài ứng dụng của phép đo yếu, giá trị yếu trong thông tin lượng tử” (weakmeasurement,

weak values in quantum Information) là một vấn đề rất mới hứa hẹn nhiều

đóng góp cho lĩnh vực vật lý lượng tử và vạch ra những lý thuyết mới làm nền tảng cho vật lý thực nghiệm

Đề tài nghiên cứu này mang tính chất lượng tử sâu sắc và ứng dụng phép đo yếu trong các bài toán thực tiễn về việc đo đạc

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài tập trung vào việc nghiên cứu các phép

đo yếu, các giá trị yếu và một số ứng dụng của chúng trong thông tin lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về phép đo yếu, các giá trị yếu và một số ứng dụng của chúng trong thông tin lượng tử

Thông tin lượng tử & các vấn đề đo đạc trong thông tin lượng tử

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của vật lý lượng tử, vật lý lý thuyết và vật lý

toán.

NOI DUNG CHUONG 1

TONG QUAN VE PHEP DO YEU, GIA TRI YEU

1.1 Giới thiệu

Trong cơ học lượng tử, cái thường được xem là không thê là việc biết

mọi thứ về một hệ cùng một lúc Chẳng hạn, nếu đo vị trí của một hạt thật

chính xác, thì động lượng của hạt sẽ đột ngột trở nên rất kém rõ ràng Các nhà

vật lí gọi những cặp biến như vị trí và động lượng là “liên hợp” chúng vốn đĩ

liên hệ với nhau, nên phép đo tiến hành trên một hạt về cơ bản làm hỏng mat théng tin vé hat kia

Nhìn bên ngoài, hiện tượng này được hậu thuẫn trong nguyên lí bất định nỗi tiếng của Heisenberg làm hạn chế thông tin mà các nhà vật lí có thể thu được từ việc nghiên cứu các hệ lượng tử Nhưng trong 20 năm qua, những

kĩ thuật mới đã và đang được phát triển để xử lí tốt hơn về độ bắt định và giới

hạn chính xác mà nó biểu hiện Gọi là những phép đo yếu, chúng bao gồm việc thực hiện những cái “nhìn lén” tính vi vào hệ lượng tử, nên thông tin có thé thu được từng chút một, mà không làm ảnh hưởng gì lớn lên hệ lượng tử

Li thuyết “đo yếu” được đề xuất lần đầu tiên hồi năm 1998 và được phát triển bởi nhà vật lí Yakir Aharonov cùng nhóm của ông tại trường Đại học Tel Aviv, Israel, đã thu hút ít nhiều hứng thú trong những năm gần đây

Lí thuyết trên phát biểu rằng người ta có thể đo “yếu” một hệ va từ đó thu

được một số thông tin về một tính chất mà không gây nhiễu đáng kẻ đối với tính chất bỗ sung và do đó không gây nhiễu đối với sự phát triển tương lai của

toàn bộ hệ Mặc dù thông tin thu được đối với mỗi phép đo là tối thiểu, nhưng

nếu lấy trung bình nhiều phép đo sẽ mang lại một ước tính chính xác của số

đo của tính chất đó mà không gây nhiễu đối với kết cục của nó.

Vào năm 2011, các nhà vật lí tại Trung tâm Nghiên cứu quốc gia (NRC) ở Ottawa, Canada, khăng định họ đã có thế sử dụng phép đo yếu để tái

hiện trực tiếp hàm sóng của một hệ lượng tử, cái mô tả một hệ lượng tử diễn

tiến như thế nào theo thời gian Trước phép đo yếu, các hàm sóng chỉ được đo

gián tiếp trong một kĩ thuật gọi là xạ lượng tử Kĩ thuật này bao gồm việc thực

hiện nhiều phép đo bình thường khác nhau lên các hệ lượng tử tương đương các photon đơn lẻ ló ra từ cùng một nguồn Thông tin này sau đó được xử lí

dé tạo ra một bản đồ của trạng thái lượng tử đó

Cũng trong 2011 một đội gồm các nhà nghiên cứu quốc tế vừa lập được bản đồ quỹ đạo hoàn chỉnh của những photon đơn lẻ trong thí nghiệm hai khe Young nổi tiếng Kết quả trên là bước tiến quan trọng đầu tiên hướng đến việc

đo các thông số bổ sung nhau của một hệ lượng tử - cái hiện nay được xem là không thẻ, theo hệ quả của nguyên lí bất định Heisenberg

Trong thí nghiệm hai khe, một chùm ánh sáng chiếu lên một màn ảnh

qua hai khe hẹp, mang lại một hệ vân giao thoa trên màn ảnh Nghịch lí là người ta không thể cho biết các photon đơn lẻ đã đi qua khe nào, vì việc đo thông số này sẽ làm nhiễu hệ vân giao thoa trên màn ảnh ngay “Trong đa số các ngành khoa học, người ta có thê nhìn vào một hệ hiện đang làm gì và từ

đó xác định quá khứ hoặc tương lai của nó Nhưng trong cơ học lượng tử,

việc xem xét quá khứ rốt cuộc là cái không thể nào hiểu nổi”, phát biểu của nhà vật lí Aephraim Steinberg thuộc Trung tâm Thông tin Lượng tử và Điều khiển Lượng tử tại trường Đại học Toronto, Canada, người đã lãnh đạo nghiên cứu mới này

Sau đó họ đã sử dụng một kĩ thuật gọi là “đo yếu”, Steinberg và đội của ông cho biết họ đã làm chủ được việc đo chính xác ca vị tri lẫn xung lượng

của những photon đơn lẻ trong thí nghiệm giao thoa hai khe Công trình nay

có cảm hứng từ một trong những người đồng nghiệp của Steinberg, Howard

Wiseman 6 truong Dai hoc Griffith, Australia, nguoi hồi năm 2007 đã đề xuất

rằng người ta có thể sử dụng những phép đo yếu để xác định xung lượng và vị

trí trong thí nghiệm hai khe Steinberg đã lập tức bị mê hoặc và bắt đầu khảo

sát xem đề xuất này có giá trị thực nghiệm như thế nào

Trong thí nghiệm của họ, các nhà nghiên cứu gửi một tập hợp photon đơn lẻ qua một giao thoa kế hai khe và tiến hành một phép đo yếu đề đo không chính xác xung lượng của từng photon Thao tác này được thực hiện qua việc sử dụng một miếng thạch anh calcite đóng vai trò như một kính phân cực Tùy thuộc vào hướng truyền, từng photon bị phân cực khác nhau và

hướng truyền được đo là một hàm của vị trí Sau đó, các nhà nghiên cứu tiến

hành một phép đo cực kì chính xác vị trí cuối cùng của nơi mỗi photon chạm tới “màn ảnh”, trong trường hợp của họ thì đó là một camera Bằng cách kết hợp những vị trí đo được không chính xác ở nhiều điểm và xung lượng được

đo chính xác tại đích của mỗi photon, họ có thể xây dựng chính xác toàn bộ

hệ dòng chảy cho các photon

Phép đo xung lượng yếu như thế này không gây nhiễu đáng kê đối với

hệ, và người ta vẫn quan sát thấy sự giao thoa Cả hai phép đo phải được lặp lại trên một tập hợp lớn hat dé thu đủ thông tin cho toàn hệ, nhưng chúng ta không làm nhiễu kết cục sau cùng, Steinberg giải thích “Những quỹ đạo chúng tôi đo được, như Wiseman từng dự đoán, phủ hợp với cách hiểu tương đối tính nhưng trái với thông lệ của cơ học lượng tử của những nhà tư tưởng lỗi lạc như David Bohm và Louis de Broglie”

Các photon đơn lẻ họ sử dụng trong thí nghiệm trên được phát ra bởi một chấm lượng tử InGaAs làm lạnh bằng helium lỏng được bơm quang học bởi một laser được phát triển đặc biệt tại Viện Tiêu chuẩn và Công nghệ quốc gia

Đề tìm hiểu sâu sắc hơn về phép đo yếu và những ứng dụng của nó tiếp theo ta đi tìm hiểu về sự đối xứng theo nghịch đảo của thời gian trong lí thuyết lượng tử, giả sử ta mô tả hệ lượng tử ở khoảng thời gian giữa hai phép

do là đối xứng theo nghịch đảo thời gian Trước hết, chúng ta hãy thỏa luận

về tính đối xứng thời gian của phương pháp chuẩn Trong lí thuyết lượng tử

của các định luật động lực đối xứng thời gian được coi như là một bản sao cổ

điển, cụ thể là trong các phương trình chuyên động Hamilton Sự bắt đối xứng được xét thông qua lý thuyết của các phép đo Sự “chập lại” của một hàm sóng là một phần của quá trình đo (ít nhất trong cách tiếp cận chuẩn) nhưng

không phải là đối xứng thời gian vì hàm sóng tồn tại trước khi phép đo “chập

lại” Nói chung, ta sẽ có một hàm sóng mới phù hợp với kết quả của phép đo Trong cách tiếp cận chuẩn, nó không rõ ràng làm thế nào để chúng ta khôi phục lại đối xứng nghịch đảo thời gian vì không có trạng thái phát triển ngược lại trong thời gian Ví dụ sau sẽ làm rõ sự khác biệt giữa hai hướng thời gian

Giả sử ta có tập hợp hạt có spin = mà ta tìm thấy ở thời điểm t, trong trạng thái ø„=1 Ta có thể đự đoán rằng xác suất tìm thay Øy=l ngay sau đó là

thấy với Øy=l hoặc nó có thể là tất cả các hạt đã được chuẩn bị với oy=1va

sau đó tat ca ching đều mang lại oy=1 Ta vẫn có thể xác định bởi giả định rằng xác suất tìm thấy ø„=1 trước thời điểm t là 1, tuy nhiên dựa trên kết quả các phép đo các quan sát khác chúng ta đưa vào lý giải trạng thái của hệ trước

thời điểm t Chúng ta giả định rằng một trạng thái tồn tại, và nếu chúng ta không hiểu nó là gì, thì chúng ta không thể tìm thấy xác suất cho các kết quả của hầu hết các phép đo

Với phép đo sau thời điểm t, vấn đề này không phát sinh vì chúng ta không giả định có trạng thái (thậm chí không biết) sự tiếp diễn sau đó Vì vậy,

sự khác biệt giữa trước và sau không phải là một đặc tính trở kháng của sóng

trong lý thuyết lượng tử, nhưng nó là đặc trưng về mũi tên thời gian trong phương pháp của chúng ta Hiện tại chúng ta xem quá khứ như tổn tại và tương lai như không tồn tại (chưa) Tuy nhiên, nếu nhiệm vụ của chúng ta là

mô tả hệ lượng tử giữa 2 phép đo liên tiếp, thì chúng ta biết các điều kiện biên

trong tương lai cũng như trong quá khứ (giả định rằng cả hai phép đo được hoàn thành) Do đó đối với khoảng thời gian không gian, chúng ta có một sự

đối xứng hoàn toàn dưới sự nghịch đảo thời gian Sự mô tả hệ lượng tử từ kết

quả của phép đo đầu là hàm sóng thông thường phát triển từ quá khứ tới

tương lai, từ phép đo đầu tới phép đo cuối, vì tính đối xứng đưới nghịch đảo

thời gian Sự tác động của phép đo cuối tương tự như hàm sóng phát triển ngược trở lại trong thời gian từ phép đo cuối đến phép đo đầu Đây là đề nghị của chúng ta: mô tả một hệ lượng tử giữa hai phép đo bởi hai hàm sóng phát triển theo hướng ngược lại thời gian

Chúng ta xét hệ lượng tử giữa các phép đo của hai biến A và B tại thời điểm t¡ một quan sát A được đo và giá trị riêng a không suy biến đã được tìm thấy, tại thời điểm tạ B được đo và b không suy biến đã được tìm thấy Tại

thời điểm t trung gian hệ được mô tả bởi hai hàm sóng sau: một bra |\F,) (hàm

sóng phát triển hướng tới tương lai) và một ket (¥,| (hàm sóng phát triển hướng tới quá khứ)

t

lự,)=exp —i [Hứr ||A =a) (1.2.1)

L 4

Hai hàm sóng này („| và |, )rất hữu ích cho việc tính toán xác suất

các phép đo tại thời điểm t Chúng được sử dụng trong mục đích này bởi Ahanorov, Bergman, Lebonitz vào năm 1964 Tiếp theo chúng ta cho thấy làm thế nào mô tả hai hàm sóng dẫn đến một ý tưởng về phép đo yếu mà mang lại 1 loại mới của giá trị: các giá trị yếu

1.2.2 Giá trị yếu

Trong cơ học lượng tử, Phép đo lượng tử yếu là một trường hợp đặc biệt của mô hình chuẩn von Neumann cho phép đo lượng tử, trong đó hệ lượng tử cần đo tương tác hoặc liên kết yếu với máy đo Một hệ quả quan trọng của quá trình này là "giá trị yếu" thể hiện trên máy đo Trái ngược với các phép đo chuẩn của cơ học lượng tử, giá trị yếu có thể nằm ngoài vùng trị

riêng khả dĩ của biến lượng tử mô tả cho phép đo và thậm chí nó có thể là một

số phức Đặc điểm này của giá trị yếu hoàn toàn không đối nghịch với các

khái niệm cơ bản của cơ học lượng tử và là một ví dụ của nguyên lý bất định

Heisenberg

Khái niệm phép đo lượng tử yếu và giá trị yếu được đề xuất lần đầu bởi

Y Aharonov, D Z Albert và L Vaidman trong bài nghiên cứu với tiêu đề hấp dẫn "Làm thế nào đề phép đo thành phần spin của một hạt spin 5 đạt

giá trị 100" Các thí nghiệm cho phép đo lượng tử yếu được hiện thực hóa lần

đầu vào năm 1990 và năm 1992 Mới đây, phép đo yếu đã được sử dụng để nghiên cứu nghịch lý Hardy

Giá trị yếu của một biến lượng tử, nó là một đặc tính vật lý của một hệ

lượng tử giữa hai phép đo, tức là, đặc tính của một hệ lượng tử thuộc một tập

hợp là cả sự chọn trước và chọn sau Đặc tính này có thể biểu thị chính nó

thông qua phép đo mà đáp ứng một số yêu cầu của “sự yếu” Thực tế, ảnh hưởng của một tương tác bất kỳ đủ yếu sẽ phụ thuộc rất nhiều vào giá trị yếu giá trị yếu của một biến có thê khác nhau đáng kể từ giá trị riêng của một toán

tử liên quan Vì vậy đặc tính này của phép đo yếu có thể dùng như một chương trình mở rộng mới

Sau đây chúng ta tìm hiểu để có cái nhìn sơ khai về giá trị yếu Xét một

hệ hạt được chuẩn bị ở trạng thái |), và ta muốn đo biến lượng tử Â trên hệ

hạt này Một phép đo chỉ diễn ra khi có sự tuơng tác giữa hệ cần đo và máy

đo Theo mô hình Von Neumamn cho phép đo lượng tử, sự tương tác này được biểu diễn bởi hàm Hamiltonian tương tác:

Trong đó ÊÊ là toán tử động lượng của kim chỉ trên máy đo Toán tử liên hiệp với nó là toán tử tọa độ của kim chi @: là hàm phụ thuộc thời gian, biểu trưng cho sự tuơng tác giữa hệ cần đo và máy đo Thông thường, phép đo chỉ diễn

ra trong một khoảng thời gian rất ngắn Do đó, ta có thể giả định g() = gồ(t— tạ), trong đó g là một hằng số Bởi vì phép đo cũng là một

hệ lượng tử, do đó nó phải có trạng thái lượng tử, giả sử |Ò) Ban đầu, trạng thái của toàn hệ là |W,) @ |b) Khi máy đo tương tác với hệ cần đo, trạng thái của toàn hệ sẽ là eet? I,)|¿) Sau đó, sự lựa chọn sau (,| được áp đặt lên

hệ cần do, dẫn đến trạng thái của kim chỉ trên máy đo (chưa được chuẩn hóa)

biến đổi thành:

(al=(¥ Je |,)6) (1.24)

Trong các phép đo thông thường, hệ số tương tác lớn, nên hàm sóng của kim chỉ trên máy đo sau tương tác sẽ có dạng $(Q— g(&) với (& là giá

trị trông đợi của toán ti A Néu ta giới hạn hệ số tương tác g ở mức rất nhỏ,

ta có thể bỏ qua các phần tử chứa bậc cao và chỉ giữ lại phần tử phụ thuộc bậc nhất theo g trong khai triển Taylor của trạng thái của kim chỉ trên máy đo:

)~(#,|,)e ** l8) (1.2.5)

Kết quả này cho thấy khi tiến trình đo kết thúc, hàm sóng của kim chỉ

(œ|~#,|Ï—¡igÄÊ|#,)|ð)= (,|#,)đ—¡gA„P)

sẽ là ‡(Q—gA,) Ở đây, A, được định nghĩa là giá trị yếu của toán

tử Â với |.) và |W,) là các trạng thái lựa chọn trước và sau:

mm

Trong các phép đo thông thường, cơ học lượng tử bắt buộc rằng kim chỉ của máy đo bị giới hạn trong vùng trị riêng của toán tử và nó phải là số thực Quan sát công thức này, ta thấy rằng A,„ nói chung là một số phức và có thể nằm ngoài khoảng trị riêng khả dĩ của ## Điểm đặc trưng này của phép

đo yếu không hoàn toàn bác bỏ các lập luận của cơ học lượng tử Thay vào

đó, nó có thể được coi là một kết quả của nguyên lý bất định Heisenberg Nghĩa là, vì ta đã suy giảm hệ số tương tác của phép đo, ta không thể thu được thông tin chính xác về kết quả của phép đo, ở đây là giá trị trông

dgi (A)

Trong trường hợp tổng quát, trạng thái chọn lọc trước có thể là trạng thái hỗn hợp : 6 va su chon loc sau được thay thế bởi bộ phép đo các toán tử dương : in (tiéng Anh: Positive-operator valued measure - POVM) thi biéu

thức tổng quát cho giá trị yếu được cho bởi:

tr IT'A6

11

Hiện nay có 2 cách trình bày đề dẫn đến giá trị yếu Cách lập luận theo

hệ số tương tác được trình bày ở đây dựa trên bài báo của R.Jozsa và được coi

là cách thuận tiện nhất đề giới thiệu giá trị yếu va dé dàng cho ngành thông tin lượng tử Một cách dẫn giải khác dựa trên độ bất định ban đầu của kim chỉ

được trình bày trong bài báo của L.Vaidman Cách dẫn giải này phù hợp với trường hợp liên tục (tọa độ, động lượng ) và dễ nêu lên mối liên hệ với nguyên lý bất định Heisenberg nhưng quá trình tính toán lại khá phức tạp 1.2.3 Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu

Giá trị yếu là kết quả của phép đo yếu Chúng ta xem xét ngắn gọn quá

trình đo chuẩn Von Neumann Hamilton mô tả tương tác với một thiết bị đo là:

H=-g(t)qgA (1.2.8) Trong d6 g(t) là hàm chuẩn hóa với sự hỗ trợ nhỏ gần thời gian đo

lường và q là một biến chuẩn (chính tắc) của thiết bị đo với momen liên hợp

P Sau sự tương tác (1.2.8) trên, chúng tôi có thể xác định giá trị của A từ giá

trị cuối của p:

A=p,—P, =6p (1.2.9) Phép do bat kì chính xác của A làm nhiễu loạn cần thiết trong một cách không thé kiểm soát các giá trị quan sát không thê giao hoán với A Đây là do thực tế phép đo chính xác của A yêu cầu giá trị của p cố định xác định trong khoảng thời gian của phép đo Do đó, sự bất định trong q trong suốt tương tác phép đo mô tả trong phương trình (1.2.8) (và do đó độ mạnh của tương tác đó

là có thể) lớn tùy ý (điều này giải thích làm thế nào phép đo C trong ví đụ

chương 2 thay đổi giá trị của A và B, do đó không mang đến kết quả a+b)

Đề nghị của chúng tôi là để sửa đối các quá trình đo Von Neumamn bởi

sự yếu tương tác (1.2.8) Điều này có thể được làm bằng cách chuẩn bị một trạng thái đầu của thiết bị đo mà xác suất tìm thấy ø lớn là đủ nhỏ Bây giờ chúng tôi sẽ chứng minh rằng “phép đo yếu” của A biểu diễn trên tập hợp các

hé, ma were preselected (duoc chon dau tién) trong trạng thái |,) và were postselected (được chọn sau) trong trạng thái |") sé mang lai két qua ma chúng ta gọi là giá trị yếu của A

Hy=-g(tqiAi (1.2.11)

Trong đó chỉ số ¡ đề cập cho hệ thứ ¡ trong tập hợp hoặc thiết bị đo thứ

¡ Để thuận tiện, chúng tôi đưa trạng thái đầu của từng thiết bị đo tới hệ

chúng tôi thu thập các kết quả p; chỉ của hệ đó mà trạng thái cuối trở thành là|*,)

Để đơn giản hóa các điều kiện sau, chúng tôi lưu ý rằng sự thay đổi trật

tự thời gian giữa các phép do p; và phép đo postselected (chọn sau) sẽ không ảnh hưởng đến kết quả của chúng Thật vậy, sau tương tác phép đo trên, không có tương tác hơn nữa giữa các hệ của tập hợp và thiết bị đo tương ứng,

và do đó, bất kì tác dụng trên hệ không ảnh hưởng kết quả của các phép đo

được thực hiện trên bất kì hệ khác.

13

Chuỗi các sự kiện này, trong đó chúng tôi đo p¡ chỉ sau khi postselection (được chọn sau), là đơn giản hơn đề phân tích Nó cũng phù hợp với một phương pháp thực tế dé thực hiện các phép đo loại này

Trạng thái đã được chọn sau của mỗi thiết bị đo được đưa ra, đến yếu tố chuân hóa, bởi hàm sóng sau:

Giá trị yếu của A, A„ như định nghĩa ở (1.2.11) có thể có, cũng có thé

do một phần tưởng tượng Phần này ảnh hưởng đến sự phân bố của các biến q

cô điển (chính tắc) Thật vậy, trong các biểu diễn q trạng thái của thiết bị đo

sẽ đưa ra là:

[7 2 ?

Ị + 2(W)“ Im(A exp iqRe(A,) exp] ae (Wa) oS Tmt 2]

| ˆ 4w}

(1.2.17)

Do đó, phân bố xác suất của q 1a hé Gaussian voi khoang réng Aq tim

tại q=-2(Aq)” Im (A„) Sự bất định ở p và q sẽ không cho phép chúng ta kết

luận Re(A,„) hoặc Im(A„) từ một phép đo duy nhất Tuy nhiên, thực hiện phép

đo trên một tập hợp N hệ sẽ làm giảm sự bất định của kết quả bởi một nhân tố

LAN Vì vậy, bằng cách lấy N đủ lớn | 2qVN | = Re(A,,),Im(A, ),

chúng tôi có thé đo giá trị phức của A„ với bất kì độ chính xác mong muốn

Yêu cầu (1.2.16) đảm bảo rằng kết quả của phép đo là A„ được xác định bởi phương trình (1.2.11) Đặc biệt, nếu trạng thái đầu hoặc cuối là trạng

15

thái riêng của A thì (1.2.15) là thỏa mãn Điều này được như vậy bởi vì giá trị

yếu là ¡ trong trường hợp đặc biệt này, cũng là giá trị “mạnh” của A

Người ta cĩ thể lập luận rằng một giá tri yếu thu được sau một vài thao

tác tốn học trên tập hợp và khơng cĩ ý nghĩa vật lý Để nhắn mạnh “thực tế” của một giá trị yếu, chúng tơi lưu ý rằng sau tương tác (1.2.12) của một tập

hợp vật lý của hệ giống hệt nhau với một tập hợp các thiết bị đo (nhưng trước khi quan sát các thiết bị đo) cĩ một biến vật lý của các thiết bị đo mà bác bỏ

giá trị yếu của các biến đo Thực tế quan sát yp, /N co 1 giá trị trung bình bang Aj, trong khi sự bất định 2VqVN “số thể bỏ qua khi số lượng các phần tử trong tập hợp lớn

Các đặc tính của giá trị yếu (1.2.11) hàm ý rằng nếu C=A+B thì

Cọ= Aø+ Bạ Chúng ta xét phép do yếu của C=A+B giữa các phép đo A và B

Từ |y,)=|A=a), y,)=(B=b|ching tơi c6 Ag=a; Bo=b, va do đĩ, giá trị

yéu C thuc su bang a+b Các đặc tính cơ bán của phép đo yếu, cụ thể là sự nhiễu loạn gây ra bởi chúng cĩ thể được bỏ qua trong ví dụ này Từ Hamilton tương tác của phép đo yếu là đủ nhỏ, phép đo yếu của B gây ra một sự thay đổi khơng đáng kể trong A và ngược lại Vì vậy, kết quả của các phép đo yếu của A và B vẫn khơng thay đối, ngay cả nếu chúng ta thực hiện chúng cùng một lúc sự ảnh hưởng của phép đo yếu C

1.2.4 Sự chọn lọc trước và sau

Các khái niệm chọc lọc trước và sau được đề xuất cũng chính bởi AAV

trong bài báo đầu tiên về phép đo yếu, trong đĩ sự chọn lọc sau đĩng vai trị rất quan trọng trong khái niệm phép đo yếu Sự chọn lọc trước, trong ngơn ngữ thơng thường của cơ học lượng tử, cĩ thể được coi là giai đoạn chuẩn bị trạng thái lượng tử Từ biểu thức của giá trị yếu, ta cĩ thé thay rằng nếu sự

chọn lọc sau giống với sự chọn lọc trước, ta thu lại được giá trị trơng đợi cho

phép đo của Â, hoàn toàn phù hợp với lý thuyết phép đo chuẩn của von Neumanmn Ngược lại, rắc rỗi chỉ xảy ra khi các trạng thái chọn lọc trước và sau trực giao với nhau, M, |;)= 0 Việc xây dựng giá trị yếu trong trường hợp này đòi hỏi nhiều sự chỉnh sửa trong cách tính toán dẫn đến giá trị yếu và những lập luận mang tính tổng quát hơn

Mục đích chính của AAV khi phát triển lý thuyết phép đo yếu là để nghiên cứu sự biến đổi của trạng thái lượng tử trong quá trình tương tác Nhận thấy vai trò quan trọng của sự chọn lọc trước và sau trong giá trị yếu,

Aharonov đã mở rộng các khái niệm này để xây dựng mô hình lý thuyết dựa

trên vector của 2 trạng thái (tiếng Anh: two-state vector formalism) và nhắn

mạnh quan điểm thời gian là đối xứng trong cơ học lượng tử.

17

CHUONG 2

NHUNG NET KHAI QUAT VE VAT LY LUONG TU,

THONG TIN LUQNG TU

2.1 Vat li lwong tir

2.1.1 Những nét khái quát về vật lý lượng tử

Ngày 14 tháng 12 năm 1900, ngày khai sinh ra thuyết lượng tử, Max Planck dua ra ý tưởng là năng lượng phát xạ bị lượng tử hóa dé giải thích về

sự phụ thuộc của năng lượng phát xạ vào tần số của một vật đen Planck cho

rằng năng lượng cũng giống như vật chất, được cấu tạo từ những thành phần

nhỏ nhất không thể phân chia

Năm 1905, Einstein giải thích hiệu ứng quang điện dựa trên ý tưởng lượng tử của Planck nhưng cho rằng năng lượng không chỉ phát xạ mà còn hấp thụ theo những lượng tử gọi là quang tử

Năm 1913, Bohr giải thích quang phổ vạch nguyên tử của hydrogen bằng giả thuyết lượng tử Năm 1924, Louis de Broglie đưa ra lí thuyết về sóng vật chất

Các lý thuyết trên, mặc dù thành công trong giải thích một số thí

nghiệm nhưng vẫn bị giới hạn ở tính hiện tượng luận Chúng không được

chứng minh một cách chặt chẽ về tính lượng tử Tất ca các lí thuyết đó được

gọi là lí thuyết lượng tử cố điền

Thuật ngữ “vật lí lượng tử” do Johnston đưa ra lần đầu tiên trong bài

“Vũ trụ của Planck dưới ánh sáng của vật lí hiện đại”

Cơ học lượng tử hiện đại được ra đời năm 1925, khi Heisenberg phát triển cơ học ma trận và Schrodinger sáng tạo ra cơ học sóng và phương trình

Schrodinger Sau d6 Schrodinger ching minh rang hai cach tiếp cận trên là tuong duong

Heisenberg đưa ra nguyên lí bất định vào năm 1927 và giải thích Copenhagen cũng hình thành vào cùng thời gian đó Bắt đầu vào năm 1927,

Paul Dirac thống nhất lí thuyết tương đối hẹp với cơ học lượng tử Cũng vào

khoang thoi gian nay, John von Neumann da đưa ra cơ sở toán học chặt chẽ cho cơ học lượng tử như là một lí thuyết về toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert được trình bày trong cuốn sách của ông xuất bán năm 1932 Các

lí thuyết này cùng với các nghiên cứu khác từ thời kì hình thành cho đến nay vẫn đứng vững và ngày càng được sử dụng rộng rãi

Đầu năm 1927, các cố gắng nhằm áp dụng cơ học lượng tử vào các lĩnh

vực khác nhau như là các hạt đơn lẻ dẫn đến sự ra đời của lí thuyết điện động

lực học lượng tử và lý thuyết trường lượng tử Những người đi đầu trong lĩnh vực lý thuyết trường lượng tử là Paul Dirac, Wolfgang Pauli

Vật lý lượng tử đã mang lại những điều kì lạ thú vị và thách đồ các trực

giác của con người về sự hoạt động của thế giới vật chất Một số vấn đề cơ

bán của lý thuyết này vẫn được tiếp tục đi sâu nghiên cứu

Các nhà nghiên cứu hiện đang tìm kiếm các phương pháp để can thiệp

vào trạng thái lượng tử Những hiểu biết hiện đại về vật lý lượng tử đã định

hình những ngành công nghệ mới hiện nay như máy tính lượng tử có thể thực hiện các tính toán nhanh hơn các máy tính hiện nay hàng tỷ lần, viễn chuyển lượng tử có thé cho phép truyền tức khắc các trạng thái lượng tử đến những khoảng cách bắt kì, còn mật mã lượng tử cho phép truyền thông tin một cách

an toàn Từ các thí nghiệm như thí nghiệm tưởng tượng “con mèo của Schrodinger” dẫn đến “hiệu ứng zeno lượng tử” vào năm 1990 đã nói lên quá trình phát triển vượt bậc trong vật lý lượng tử

19

Trước tính kì lạ lượng tử, Richard Feynman nói rằng: “Chẳng ai hiểu

nổi cơ học lượng tử” Tuy nhiên, vật lý lượng tử đã đạt được những thành

công vang dội trong việc giải thích rất nhiều các đặc điểm của thế giới Tắt cả

các tính chất riêng biệt của hạt vi mô tạo nên tất cả các dạng vật chất chỉ có

thể mô tả bằng cơ học lượng tử

Các nhà nghiên cứu hiện đang tìm các phương pháp đề can thiệp vào

các trạng thái lượng tử Nhiều thí nghiệm cho thấy, cơ học lượng tử mang lại

những mức độ tương quan mà trên đó không biết các điều kiện còn đúng không điều đó dẫn đến câu hỏi “Có phải các tính chất của các hạt lượng tử là không có thật, mà chỉ tồn tại như là một hệ quả của tri giác chúng ta” đó là câu hỏi mà ai trong chúng ta cũng muốn có câu trả lời

Giải Nobel năm 2012 đã được trao cho hai nhà khoa học Serge Haroche

và David Wineland Hướng nghiên cứu của hai ông đã mở ra một kỉ nguyên mới trong việc nghiên cứu và quan sát trực tiếp các hạt lượng tử riêng lẻ mà không phá hủy chúng

Từ những thành tựu đáng kế đó cho ta thấy vật lý lượng tử đã tạo ra những thay đối trong nhận thức trên con đường tìm kiếm bản chất của tự nhiên con day bi an

Liên quan đến nhiều vấn đề ở trên, một trong những hướng nghiên cứu đang được phát triển mạnh trong lĩnh vực vật lý lượng tử chính là thông tin lượng tử Bằng cách vận dụng những trạng thái “đan chẳng nhau” ta có thể truyền tức khắc và an toàn các thông tin được mật mã dưới dạng các trạng thái lượng tử

2.1.2 Giá trị thành phần spin của hạt có sin=2

Một trong những ứng dụng quan trọng trong vật lý lượng tử của phép

đo yếu đó là ta tìm hiểu về giá trị thành phần spin của hạt có spin=2 Sau đây

ta sẽ đi tìm hiểu về chúng

Giá trị yếu A có thể khác nhau rất nhiều từ giá trị riêng bấy kỳ của A

đặc biệt, phần thực Re(A„) có thể lớn hơn (nhỏ hơn) so với giá trị riêng cực

đại (cực tiểu) của A Dé minh họa cách đo yếu có thể mang lại giá trị cam chúng ta xét ví dụ sau đây Cho A=ơ,, B=ø: là các toán tử tương ứng với các

Nếu một hạt ban đầu ở trạng thdi|o, = 1)va được tìm thấy cuối cùng với

o, =1, thi giá tri yếu của G, và G, tại các thời điểm trung bình sẽ cũng là 1 Kết hợp các kết quả trên với phương trình (2.2.1) thu được thấy kết quả đáng ngạc nhiên rằng giá trị yếu của ơạ là:

21

Kích thước của nó là I/cos(@/2) va nó chi theo hướngÔ Giá trị yếu của một

thành phẩn spin trong hướng tùy ý bằng pháp chiếu của vecto yếu Ø„ trên hướng (GØn)a=cosff8)/cos(/2)

Bức tranh hình học đơn giản sau đây minh họa làm thế nào người ta có thé tìm thấy giá trị yếu của spin trong hướng bất kì đưa ra các điều kiện biên trén 6,=1,0:=1 (xem hình 2.1), chúng ta vẽ trong mặt phẳng xy một vecto kích thước /⁄cos(2⁄2) chỉ theo hướngÔ Hình chiếu của nó trên trục bất kỳ trong mặt phẳng xy mang lại giá trị yếu của thành phần này Kết quả này có thể được cho phép đễ đàng từ đặc tính “tuyến tính” của giá trị yếu (tức là, C=A+B nghĩa là C„= A„+ B„) Thành phan spin trong hướng 7) bat kì trong mặt phẳng xy có thể được phân tách theo hướng trực giao 6 vad trong đó:

2Cos(œ /2) 2Cos(œ /2) Phân tích là:

G, =6, cos() + ø, sin(B) (2.1.4) Trong trường hợp thảo luận hiện nay G, =Íl, Ø, =Ï tuy nhiên:

(G,),„=—7———T——v =i tan(a / 2) Cơ = Ilo, = 1) (2.1.7)

Do đó, “vecto yéu” o, trong 3 chiều (các trục (Ô,®,2)) sẽ là:

1

7» _cos(œ /2) ¡ tan(@ | ( ) Vector yếu, ngoại trừ giá trị phức, hoạt động như một vector cỗ điển Đây là kết quả của đặc tính tuyến tính các giá trị yếu

2.1.3 Ý nghĩa của vật lý lượng tử

Ngay từ đầu, nhiều kết quả của cơ học lượng tử ngược với cảm nhận

thông thường đã gây ra rất nhiều các cuộc tranh luận triết học và nhiều cách giải thích khác nhau về vật lý lượng tử Ngay cả các vấn đề cơ bản như các quy tắc Max Bơm liên quan đến biên độ xác suất và phân bố xác suất cũng

phải mắt đến hàng thập ki mới thừa nhận được

Theo cách giải thích của trường phái Copenhagen do Niels Bohr đưa ra

thì bản chất xác suất của các tiên đoán của cơ học lượng tử không thể được

giải thích dựa trên một số lý thuyết tất định, và không chỉ đơn giản phản ánh

kiến thức hữu hạn của chúng ta Cơ học lượng tử cho các kết quá có tính xác suất vì vũ trụ mà chúng ta đang thấy mang tính xác suất chứ không phải là mang tinh tất định

Albert Einstein không thích tính bắt định trong phép do vật lý Ông bảo

vệ ý tưởng rằng có một lý thuyết biến số ấn cục bộ nằm đằng sau cơ học

lượng tử và hệ quả là lý thuyết hiện tại chưa phái là hoàn thiện Ông đưa ra

nhiều phán đối lý thuyết lượng tử, trong số đó thì nghịch lý EPR (Albert

Einstein, Boris Podolsky, va Nathan Rosen) là nổi tiếng nhất John Bell cho

rằng nghịch lý EPR dẫn đến các sai khác có thể kiểm chứng bằng thực nghiệm giữa cơ học lương tử và lý thuyết biến số ẩn cục bộ Thí nghiệm đã được tiến hành và khẳng định cơ học lượng tử là đúng

Năm 1956, Everett cho rang tắt cả các xác xuất mô tả bởi cơ học lượng

tử xuất hiện trong rất nhiều các thế giới khác nhau, cùng tồn tại song song và độc lập với nhau Trong khi đa thế giới là tất định, còn chúng ta thì nhận được

23

các tính chat bất định cho bởi xác suất vì chúng ta chi quan sát được thế giới

mà chúng ta đang tồn tại Trong khi đó, giải thích do David Bohm đưa ra thừa nhận sự tồn tại của các hàm sóng và phi cục bộ Hàm sóng này cho phép các hạt ở xa có thể tương tác tức thời với nhau Dựa trên cách giải thích này Bohm lý luận rằng bản chất sâu xa của thực tại vật lý không phải là tập hợp các vật thê rời rạc như chúng ta thấy mà là một thực thể thống nhất năng động

không thê phân chia và bắt diệt

Vật lý lượng tử đã và đang mang lại những điều kì lạ thú vị và thách đố

các trực giác của con người về sự hoạt động của thế giới vật chất Một số vấn

đề cơ bản của lý thuyết này vẫn được đi sâu nghiên cứu và một trong số đó là bít lượng tử - khả năng mang thông tin vô hạn được giới thiệu trong thông tin lượng tử mà ta sẽ tìm hiểu ngay sau đây

áp dụng trực tiếp cơ học lượng tử trong các tính toán và xử lý thông tin

Lý thuyết thông tin cô điển do Claude Shanon phát minh ra cách đây hơn 50 năm đã phát triển và trở thành một trong những nhánh sai quả và đẹp

nhất của ngành toán học Hiện nay, nó thật sự là một lý thuyết không thể thiếu

trong lĩnh vực công nghệ thông tin, bất cứ ở đâu mà thông tin được lưu trữ và

xử lý Mặc dù đã có những thành công không thể nào phủ nhận được song

thông tin cỗ điển vẫn còn tồn tại rất nhiều hạn chế do nó chỉ bám rễ trong phạm vi của vật lý cô điển Chính vì vậy, việc nghiên cứu và áp dụng lý thuyết lượng tử vào việc xử lý thông tin luôn thôi thúc các nhà khoa học,và gần đây, nó đã mang lại nhiều thành công đáng kinh ngạc Kế từ năm 1990,

khi Max Planck đề xuất giả thuyết về tính gián đoạn của bức xạ điện từ phát

ra từ các vật - giả thuyết lượng tử - để giải thích những kết quả thực nghiệm

về bức xạ nhiệt của vật đen thì vật lý học lượng tử đã ra đời Sự xuất hiện của

vật lý lượng tử và thuyết tương đối là cuộc cách mạng của ngành vật lý học

vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 và là cơ sở khoa học của nhiều ngành

công nghệ cao như công nghệ điện tử và vi điện tử, công nghệ viễn thông, công nghệ quang tử, công nghệ tự động hoá, công nghệ thông tin Có thé nói rằng, cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết thành công nhất của thé ky 20 Theo co hoc lượng tử, những hệ vi mô có các tính chất khác hắn so với các hệ vĩ mô Ví dụ, các đối tượng lượng tử có thể ở nhiều trạng thái cùng một lúc Hai đối tượng tách biệt nhau hoàn toàn vẫn có thể bị rối với nhau, có nghĩa là chúng phản ứng đồng thời với các thí nghiệm riêng biệt dù chúng có

ở xa nhau thế nào đi nữa Ngoài ra, cơ học lượng tử cũng đã được xác minh

bằng thực nghiệm: những tiên đoán của nó chưa bao giờ sai dù nó có kỳ lạ như thế nào đi chăng nữa Thật ra, trong thời kỳ đầu đã có rất nhiều nhà tiên phong của cơ học lượng tử cho rằng nó là một lý thuyết không đầy đủ Đại

diện cho số đó chính là Albert Einstein, người đã không đồng ý về tính xác

suất trong cơ học lượng với câu nói: “Chúa không chơi xúc xắc” Đặc biệt,

năm 1935 Einstein, Podolsky và Rosen đã nêu ra nghịch ly EPR [8], cho rang

cơ học lượng tử là không đầy đủ Phải đợi tới 30 năm sau, năm 1964, Bell mới đưa ra được một bất đăng thức (sau này gọi là bất đẳng thức Bell) cho

phép kiểm tra bằng thực nghiệm nghịch lý này [6].

25

Những nghiên cứu mới về cơ học lượng tử trong thời gian gần đây đã

và đang hướng đến một lĩnh vực mới - khoa học thông tin lượng tử Việc áp dụng vật lý lượng tử và công nghệ thông tin có thể làm thay đổi hẳn cách chúng ta giao tiếp và xử lý thông tin Diéu mau chốt khi tìm hiểu lĩnh vực này

là sự tách biệt rõ ràng giữa dấu hiệu hàng ngày của thông tin cô điển và bản đối ứng lượng tử kém trực giác của nó Thông tin cố điển có thé bi doc va sao

chép lại y nguyên mà không hề để lại một dấu vết nào về sự đọc trộm và sao

chép đó Trong khi đó, thông tin lượng tử không thể nào sao chép được

nguyên vẹn và bất cứ một sự đọc trộm nào đều có thể bị phát hiện Đây là một đặc điểm rất quan trọng của cơ học lượng tử mà có thể được tận dụng để trao đổi thông tin một cách hoàn toàn tuyệt mật Các trạng thái rối lượng tử còn có

thé tao ra một mức độ song song trong tính toán cao hơn hắn một máy tính có kích thước bằng cả vũ trụ Đó là các tính toán được thực hiện một cách hoàn

toàn mới, gọi là tính toán lượng tử

Trong lý thuyết thông tin cổ điển, đại lượng cơ bản của thông tin là bit, còn trong thông tin lượng tử thì đại lượng cơ bản của nó là bít lượng tử, còn được gọi qubit, thuật ngữ này đã được Ben Schuhmacher đưa ra năm 1995 Nói chung, thông tin lượng tử được xem như là sự tổng quát hoá hay sự mở rộng của thông tin cổ điển Bắt kỳ một hệ lượng tử nào cũng có thể được xem như là một qubit nếu nó được xác định bởi hai trạng thái độc lập tuyến tính với nhau Các photon phân cực, các hạt có spin 1/2, các nguyên tử hai mức, các cầu trúc chấm lượng tử kép, đều có thê sử dụng như các qubit Ngoài ra còn có thể sử dụng cả các đặc trưng ngoại như hai hướng truyền khác nhau của một hạt như là các qubit

Năm 1985 David Deutsch đã giới thiệu về máy tính lượng tử và cho thấy rằng lý thuyết lượng tử có thể giúp các máy tính thực hiện công việc nhanh hơn rất nhiều Trong khi các máy tính số ngày nay xử lý thông tin cổ