Luận văn sư phạm Ứng dụng của phép biến đổi tích phân để giải phương trình vi phân, tích phân

là hàm kh tích ngh a là:.

L i c m n

hoàn thành khoá lu n em xin bày t lòng bi t n sâu s c t i th y

trình th c hi n đ tài này

Em c ng xin chân thành c m n các th y cô giáo trong khoa Toán,

ki n thu n l i đ em hoàn thành đ tài

Xin chân thành c m n các b n sinh viên trong nhóm đ tài, cùng các

b n sinh viên trong l p K29B – Toán đã giúp đ tôi

Vì th i gian có h n nên ch c ch n đ tài c a em còn nhi u thi u sót kính mong s đóng góp c a th y cô và các b n

Em xin chân thành c m n!

Hà N i, tháng 5 n m 2007

Sinh viên

Nguy n Th Hi n

L i Cam đoan

Khoá lu n t t nghi p này đ c hoàn thành d i s h ng d n c a Ti n

S Khu t V n Ninh và có s d ng sách tham kh o c a m t s tác gi Tôi xin cam đoan:

Khoá lu n này là k t qu c a riêng tôi

K t qu này không trùng v i b t k c a tác gi nào đã công b

N u sai tôi xin hoàn toàn ch u trách nhi m

Sinh viên

Nguy n Th Hi n

M c l c

Ch ng 1: M t s ki n th c liên quan

1.1 Các đ nh lý quan tr ng c a lý thuy t tích phân 5

` 1.2 Không gian Lp, 1  p   6

1.3 Tích ch p 6

1.4 M t s đ nh lý v không gian Banach và không gian Hilbert 8

Ch ng 2: Phép bi n đ i Fourier 2.1 Chu i Fourier 9

2.2 Tích phân Fourier 10

2.3 Bi n đ i Fourier 10

Ch ng 3: ng d ng c a phép bi n đ i Fourier 3.1 Gi i ph ng trình truy n nhi t 21

3.2 Gi i ph ng trình truy n nhi t không thu n nh t 22

3.3 Gi i ph ng trình trình truy n sóng 23

Ch ng 4: Phép bi n đ i Laplace 4.1 Bi n đ i Laplace 25

4.2 Bi n đ i Laplace ng c 34

4.3 Tính không ch nh c a bi n đ i Laplace 37

4.4 Tích phân Duhamel 39

4.5 B ng đ i chi u g c và nh 41

Ch ng 5: ng d ng c a phép bi n đ i Laplace 5.1 ng d ng phép bi n đ i Laplace đ gi i ph ng trình vi phân 43 5.2 ng d ng phép bi n đ i Laplace đ gi i ph ng trình tích phân 49

m đ u

1 Lý do ch n đ tài:

B môn ph ng trình vi phân và ph ng trình tích phân là m t môn toán c b n v a mang tính lý thuy t v a mang tính ng d ng r ng rãi Thông

th ng các ph ng trình vi phân và ph ng trình tích phân đ c b t ngu n t

th c ti n trong V t lý, K thu t, Sinh h c…Có nhi u ph ng pháp gi i các

ph ng trình vi phân và ph ng trình tích phân và m t trong nh ng ph ng pháp gi i cho hi u qu đ c bi t cao là s d ng phép bi n đ i tích phân đ c

bi t là hai phép bi n đ i: bi n đ i Fourier và Laplace Vì v y nghiên c u các phép bi n đ i tích phân là r t c n thi t đ i v i m i sinh viên các chuyên ngành Toán, V t lý…

Trong 4 n m h c qua, chúng ta đã h c v chu i Fourier, đ ng th c Paseval, b t đ ng th c Holder trong giáo trình gi i tích hàm, đó là m t trong

nh ng ti n đ đ nghiên c u phép bi n đ i Fourier, bi n đ i Laplace Ngoài

ra đ có đi u ki n nghiên c u đ y đ , chúng ta ph i n m đ c tích phân Lesbesgue, lý thuy t hàm … tìm hi u sâu v phép bi n đ i tích phân, em

Nghiên c u m t s ki n th c liên quan

Hai phép bi n đ i Fourier và Laplace có hi u qu cao trong gi i ph ng trình

vi, tích phân vì v y vi c nghiên c u đ tài này có ý ngh a th c ti n cao.Nó giúp gi i m t s h ph ng trình tích phân ph c t p m t cách đ n gi n, có l i

gi i ng n g n mà khi s d ng ph ng pháp khác cho l i gi i dài dòng, ph c

t p

 f x dx x

 f x dx x

dx x f

1

) (



nh lý 1.6 (Frischer - Riesz):

L là không gian Banach v i 1  p  

(b) Gi s  f n là dãy h i t v f trong không gian p

g

( * v i gi thi t là tích phân trên t n t i

đ c g i là tích ch p c a f vàg

F dx

x

f

y  (  ) ( ) là hàm kh tích ngh a là:

) ( )

1

y g y

1

) ( ) ( ) ( ) ( )

) (

) ( ) ( )

( )

Gi s a c ng b c trên H, ngh a là có s   0 sao cho :

Khi đó v i m i phi m hàm tuy n tính liên t c l:H   t n t i duy nh t m t

H

ul  ph thu c liên t c vàol, tho mãn: a ( ul, v )  l , v  ,  v  H

H u u

v

u

a ( , )   2,  

Ch ng 2: Phép bi n đ i Fourier 2.1 Chu i Fourier

0

) sin cos

( 2

nh lý 2.1: Cho f  L1  , . N u f tho mãn đi u ki n Dirichlet trong

  ,  thì chu i Fourier c a f h i t v f (x ) t i các đi m x   ,  mà t i

(i) T n t i f ( a), f ( b) và f có bi n phân b ch n trên  a, b

(ii) Có h u h n đi m thu c  a, b sao cho khi b đi các lân c n tu ý c a

nh ng đi m này thì f có bi n phân b ch n trên các ph n còn l i c a  a, b

2.1.3 S h i t đ u:

nh lý 2.2: Cho f  L1  ,  Gi s r ng f b ch n tho mãn đi u ki n

Dirichlet trên   ,  Gi s f liên t c trên kho ng  u , v  (   ,  ) Khi đó chu i Fourier c a f h i t đ u v f trên m t đo n b t k  a , b  u , v



x f t

t x e dx f f f

x f t

Cho tr c   0có C0( R )trù m t trong L1( R )nên ta tìm đ c hàm g lien t c

trên R và tri t tiêu bên ngoài m t đo n b ch n  A, Asao cho f  g p  

Tính liên t c đ u c a g cho ta 1 s   0 , A th a mãn

t s R t s A

t g s

Vì v y suy ra gs  gt p   B ng cách đ i bi n ta

có: h p  h pv ih  Lp(R )V y:

,

, , 3 ) ( )

g g

g g

f

f g g

g g

f f

f

t p

t s p

s

p t t p t s p s s p



 d e f x

2

1 ) (

(tích phân này đ c hi u theo ngh a Lesbesgue).khi đó:

c c

(b) f ( x )  g ( x ) h u h t trênR

Ch ng minh:

(a): c ch ng minh đ n gi n b ng cách suy ra t b đ 2.1

(b): Ch ng minh khá ph c t p, c n nhi u ki n th c nên ta có th tham kh o

f  v i f ch n, th a mãn gi thi t c a đ nh lý 2.2 và f liên

*M t s ví d :

Ví d 1: Cho ( )    x ,   0

e x

Gi i: Ta có: fˆ () 

 e x( cos x i sin x ) dx 2

1

x d

2

1

xdx e

x



x d

2

a x

a x x

f

0 0

2 / 1

1 )

ˆ

r

f r



ˆ 1

Tính ch t 2: V i y  R t: fy( x )  f ( x  y ).Ta có:

dx e x f

R L

f  ph i gi i tích trên C

Tính ch t 4: Cho dãy ( fn)n1 , 2 h i t trong L1( R ).Khi đó dãy ( ˆ ) 1 , 2 ,

n nf

ˆ

) (

e f

b i a i b

a x i

1 ) (

tính ch t 4 ta có dãy ( ˆ ) 1 , 2 ,

n n

f h i t đèu v fˆ trênR Suy ra fˆ liên t c à

ti n v 0 khi   

Tính ch t 6: Cho f  L1( R ) th a mãn tính ch t f '  L1( R )và f liên t c tuy t

đ i trên m i kho ng h u h n Khi đó

( ' 2

1 ) (

2 1

f  N u f’’ t n t i vàf ''  L 1 ( R ) thì ˆ 1 ( )

R L

Tính ch t 9: Cho f  L1( R ) và th a mãn I f  L1( R ) v i Ilà ánh x đ ng nh t

x

x  do đó ng i ta th ng vi t x.f(x) thay choI f Khi đó fˆ kh vi và

) ( (

i dx

e x f d

e x g

1 2 )

)(

(

) (

) ( 2

Suy ra ( ) 2

) (

x

M x f

B t đ ng th c trên cho th y xp f(q) L1( R ).Theo tính ch t 9 thì

) ( ) ( ) ( ) ( )

.(

)(i p i q xp f x  i p xp f q x

Suy ra f ˆ  S vì (xpf)(q)(x) Mvà ( xp f )(q) L1( R )

Tính ch t 11 cho th y phéo bi n đ i Fourier là ánh x t SvàoS Ng i ta

c ng ch ng minh đ c đây là 1 song ánh

2.4 Bi n đ i Fourier trongLp( R ), 1  p  2

e x

bi n đ i Fourier cho hàm : f  Lp(R ) v i 1  p  2 c bi t khi p=2 thì ta có

k t qu r t quan tr ng là bi n đ i Fourier b o toàn c u trúc không gian L2( R )

2 2

f ˆ ( ) ( ). i x2

1

2 1



f ˆ ( )ˆ ( )

2 1



 ( Trong đó f (x ) là liên h p c a f (x )) Suy ra g ˆ 2  g 2,  g  S (  ) Trong đó .2 là chu n trong L2( R ) V i f  L2( R )

tri t tiêu bên ngoài đo n b ch n a, a thì c ng thu cL1( R ).Ta có Cc (  a , a )

a L

ˆ

ˆ

m n m

N x N x

f x

) ( ) (

( ).  ( )

2

1 ).

N M

Ch ng minh (c) hoàn toàn t ng t

Ph n ch ng minh tính ch t toàn ánh c aF tham kh o [2]

nh lý 2.7: ( Housdorff – Young): Cho f  L2( R )  L1( R ) Gi s 1  p  2 và

f

1 1

1

2

1

) ( ) ( )

Ch ng 3: ng d ng c a phép bi n đ i Fourier

3.1 Bài toán gi i ph ng trình truy n nhi t

Bài toán: Tìm nghi m u ( t x , ) c a ph ng trình vi phân sau:

x

u a t

u

, 0 , 2

2

Tho mãn đi u ki n ban đ uu ( x , 0 )  f ( x ),   x   và tho mãn các đi u

ki n: (i) u , u x , u xx liên t c, kh tích trên R theo bi n x , t  0 c đ nh

, ( 2

1

t u dx e t x u t

dx e t x

2 2

e u

u  a t



M t khác có : 2 2 2/ 4 2 ^

2

^ 4

/

^ 4

2

2

1

2

1 )

, (

t a f

e t a t

1 t)

 

).

(

t a

x

2 2

4 ) (

).

( 2

u t

x t

Gi i : áp d ng k t qu c a bài toán tìm nghi m c a ph ng trình truy n nhi t

trong tr ng h p t ng quát ta có ngay k t qu :

t t

x

2

1 ) ,

3.2 Bài toán c a ph ng trình truy n nhi t không thu n nh t :

Bài toán : Tìm nghi m u ( t x , ) c a ph ng trình vi phân sau :

2 2

t x f t x x

u a t x t

t a t x

x

) , (

2

1 ) , ,

2

4 ) (

Ki m tra ta th y hàm này tho mãn ph ng trình :

2

2 2

x

u a t

, (    là nghi m c a bài toán ban

t x V t

t x f t x V x

u a t

t a

t f d d

t x V t

x

u

) ( 4 ) (

2 2

2

) , ( )

, , ( )

) , (

2

2 2

x x

u

t x f x

u a t

t a

t f d

d e

t a t

x

x

) ( 4 ) (

0 4

) (

2 2 2

2

) ( 2

) , (

2

) ( )

0 , 0 ) , ( ) , (

x u x g x u

t t x u t x u

t

xx tt

0 , 0 ) , ( ˆ ) , ( ˆ

x u x g x u

t t x u t x u

t xx tt

) 0 , ( ˆ ), ( ˆ ) 0 , ( ˆ

0 ) , ( ˆ ) , (

t x

u x g x u

t x u t x u

t

ây là m t ph ng trình vi phân th ng, v i m i   R c đ nh ta tìm nghi m d ng : u ˆ   et (  ,   C )

0 ) 0 , (

ˆ

), (

ˆ

) 0

u x g x

g u) ˆ

Ch ng 4: Phép bi n đ i Laplace 4.1 Bi n đ i Laplace:

4.1.1.Hàm g c:

nh ngh a: Cho hàm s f tho mãn các tính ch t sau:

(i) f đo đ c trên 0 , 

   0 ,  M  0 , f ( t )  M et,  t  0

S 0  inf , v i t t c  tho mãn (ii) , đ c g i là ch s t ng c a f L u ý

có th (ii) không tho mãn v i  0 m có các tính ch t (i) - (ii) đ c g i là hàm g c

0 ) (

0

t

t t

Thì bi n đ i Laplace c a  0 là:

1 0

1 )

(

p t

t e p dt e p

Ví d 4.2: Tìm bi n đ i Laplace c a hàm: t

e t

f ( )  

p t

e p dt

e e p

1

0

1

dt e t p

n dt e t n t

e t p

pt n pt

n pt

u e dt t e p

p

) ( )

( )

    1  ,

n

n t

e dt e



và b t đ ng th c không ph thu c vào ptrong mi n Re p  0  2 , suy ra s

h i t đ u trên mi n đó

Ngoài ra v i m i n  N , F ngi I tích trên mi nRe p   Th t v y,xét pc đ nh

ht

e e t f t h

p F h p F p

ht pt h

n n

( lim ) ( ) ( lim )

(

0 1

h

pt

dt e t tf dt

ht

e e

t tf

Theo đ nh lý c a Weierstrass, ch.1, hàm F c ng gi i tích trên mi n Re p   0

4.1.4 Tính ch t c a bi n đ i Laplace:

Tính ch t 1: (tính ch t tuy n tính):

nh lý 4.2: Cho các hàm g c f k có các ch s t ng là  k, bi n đ i Laplace là

n k

Fk,  1 , 2 , , Khi đó bi n đ i Laplace c a hàm t h p tuy n tính f c a các

e L t

2

1 ) (

(b) T ng t thì ta có:

p e

e L t

, )

( 2

p e

e L t

4

4 2

1 1

1 ) (

1 ) ( )

(

c

p F c du u f e c dt ct e

ct

f

Ví d 4.8: Tìm bi n đ i Laplace c a hàm f ( t )  cos  t

Gi i: Ta có:   2 2 2

1

1 ) (

p p

F f

T ng t ta có ngay v i f ( t )  sin  tthì   2 2 2

1

1 1 sin

f t

f

,

, ) (

0 )

Khi đó ( )  ( ), Re  0

p p F e p f





 p e f t dt e f t  dt f

0

) (

) ( )

), (

)

f e

) ( )

( )



p F dt t f e t

f e

p t

nên theo tính ch t 4 ta suy ra   2 2

) (

nên theo tính ch t 4 ta suy ra   2 2

) ( sin

c) Do:  

p t h

Ví d 4.10: Tìm hàm g c c a nh

5 2

1 )

Gi i: Ta vi t l i bi u th c trên nh sau:

2 ) 1 ( 2

2 )

(





 p p

2

2 2

sin



 p t

2 ) 1 (

2 2

2

1 )

f p

f p F p

f

) 1 ( 2

' )

(

Ch ng minh: S d ng công th c tích phân t ng ph n, ta s ki m ch ng đ c

công th c trên đúng v i n  1 Gi s quy n p r ng công th c trên đúng v i

N

n  1 , , khi đó:

 ( 1 )  ' ( )

) ( N N

f L f

f p

f p f L

p ( ) (0 ) (0 ) ( ) (0 )

) 1 ( ' 2

'' '

'

Và L f'  pF ( p )  f ( 0)

' 1

) 1

)

N N

N

p

f p

f p

f p F p f

Ví d 4.11:Tìm nghi m c a ph ng trình vi phân sau:

)

' 2

y p Y p p

y p

Y

P

1

1 ) 3 2 )(

p

p

Y

1 3

1 )

1 )(

3 )(

1 (

1 )

B p

A p

p p

C B A

1

1 4

1 3

1 8

1 1

1 8

p p

Y

L  et  et  et

4

1 8

1 8

e e

e t

4

1 8

1 8

  

0 ( t )n f ( t ) e ptdt t n t i v i m i n  1 , 2 ,

0 e f ( t ) dt 0 ( t ) e f ( t ) dt dp

n n

   

0 ( ) )

1 ( n tnf t e ptdt

Suy ra L(  t )n f ( t ) F(n)( p )

Tr ng h p đ c bi t: ' ( )  ( )

t tf L p

Ví d 4.12: Ta có:

) (

2 sin

dp

d t

t L t

t

L

2 2 2 2

) (

2 6

) (

2 sin

) ( sin

p dp

d t

t t L t

s t ng c a f thì  0    1 ta có

t

e M

t e

M d

e M d f

) (

nh lý 4.9: Gi s L f  Fvà

t

t f

Ch ng minh: t

t

t f t

1 Re ( 0

) (Re

0 1 Re

.

) ( )

(

t z

e M dt e

M dt t g e

z

G

z z

t z

Trong đó

0 1

arctgq q

dq t

t L

2 1

q

arctgq q

dq dt

e M d t g f d

t g f

g

f

0

) )(

( ) ( 0

0

0

0 )

( ) ( )

( ) ( )

   tt 

d e

e M

0

) ( ) ( 0  0 0 

0 0

0 0 )

( 2

) ( 1

0 0

e M

 e F p dp x i

t

i x

Tích phân trong (4.1) đ c hi u theo ngh a giá tr chính và công th c này g i

là công th c Mellin

Ch ng minh: V i x   0 đ t g ( t )  extf ( t ) Ta có g c ng tr n t ng khúc trên m i kho ng h u h n c a n a tr c t  0 Ngoài ra ta có:

) ( 0

0

)

( )

M x  t

Ch n   0 sao cho x  0    0 thì khi đó gkh tích

áp d ng công th c tích phân Fourier và l u ý g (u )tri t tiêu khi u  0 ta có:

u g d

e g t

0

) (

) ( 2

1 )

) (

) ( 2

1 )

( 2

1 )

( ( ) i bi n p  x  i  ta đ c đi u ph i

ch ng minh

Chú thích: Vì v trái c a công th c Mellin đ c l p v i x , x   0 nê tích phân

trong v ph i có th l y d c theo m t đ ng th ng x  a tu ý sao cho a   0

áp d ng đ nh lý trên ta có tính ch t sau c a phép bi n đ i Laplace:

M M t

( ).

i t g e dt t g t f e

g

f

i x vt pt

t p v

dt t g e dv v F

) (

) ( )

( 2

(ii) Khi p   trong mi n Re p   0 thì hàm F ti n v 0 đ u theo

n n n

p

c p

! )

(

n

n n

n

t c t

1

!

! n

n n n

n

n

c n

t

c

Ch ng minh: Ta đi kh o sát s h i t c a chu i (4.2) Gi s chu i (4.1) h i

t bên ngoài đ ng tròn bán kính R 0 Khi đó:

n

t R M

1 1

1 0

n pt n

pt n

N pt nn

n N

n

n n

pt

dt t e dt t e n

c dt

t e n

c dt

n

t c

n n

n

c p

c

1 1

dt t e n

c dt t

e

n

N n t R n

N

n pt

) 1 (

! 1 1

1  

 

n R n

c

n n

1 1

dt t e n

n pt

p

c dt

n

t c

là bài toán không ch nh vì có th vô nghi m ho c có nghi m không ph thu c liên t c vào g, ngh a là s nhi u r t nh c a g có th d n đ n s nhi u l n

Ng i ta ch ng minh đ cAlà toán t t liên h p ngh a là:A   A

e s

f A Af

) ( t e dp dt f

 

0

) ( dt s t

t f

, ( ) (

, ( ) ,

( )

2 2 2

2 2

2 2

2

1 2

1 ) (

2

1 2

) (

) (

Ta có

2 2

) ( 2 )

2 1 2

1 2 2 2

) 1 (

2

t f L p G p pF

0

'

) ( ) ( ) 0 ( ).

( )

( ).

Ch ng minh: Ta có  t  

d t g f L p G p F

0

'

) ( ) ( )

( ).

G

p

F

0 ( )

Nh n xét: Do tính giao hoán nê đ i vai trò c a f (t ) và g (t )ta có công th c

d t f g t f g L p G

( ).

0 ( )

( ).

0

'

) ( ).

( ) ( ) 0

d t g f t g f L

0

'

) ( ).

( )

( ).

0

Các công th c trên đ c g i là các công th c Duhamel hay các tích phân Duhamel r t th ng g p trong các bài toán tìm hàm g c

2 2

2

1 p

2 2 2

) (

2





 p p

t

1

) 1 (





 n

p

2 2 2

2 2

) (

) ( 2

1



 p

cos

2 2

) (

) (

) (

) ( 2

22 t e t ch  t

.

2 2

) (

) (

dp

p F

d ( ) )

1 ( 

24 (n)( ) , ( 0 )     (n 1)( 0 )  0

f f

14 e t ch  t

.

2 2

0 ( ) (    p F ( p ) G ( p )

15 t sin  t

2 2 2

) (

2





 p

1 ( 1 ) (

Trong đó a0  0 tho mãn đi u ki n ban đ u:

) 1 ( 0 )

1 ( ' 0 '

y y

0 2 0 1 )

(

) ( )

n

y y

p y p p Y p

) ( ) ( )

(

p A

p B p F p

n n

a p

a p a p

1 0

)

0 ) 1 ( 0 1 0

1 2 0 ' 0 1 2

1 1 0

0

) (

) (

)

(

)

(

a y a

p

a

y

a p

a p a y a

p a p a

y

p

B

n n

n n

n n

n n

) ( p A

) ( )

p A

p B L t q

1 )

p A L t g

Khi đó theo tính ch t 9 ta có:L 1F(p) f ( t )  g ( t ) (5.8)

Do đó nghi m c a ph ng trình vi phân đ c vi t d i d ng:

q g

y

0 ( ) ( ) ( ) )

TR ng h p đ c bi t n u 0  0'     0(n 1)  0

y y

Do đó ph ng trình đ c vi t d i d ng

) (

) ( ) (

p A

p F p

Nghi m c a ph ng trình vi t y t t f g t  d

0 ( ) ( ) )

p

Y

p2 ( )  4 ( )  2

) 2

1 ( 2

1 ) 4 (

2 )

p p

p

Y

t t

2

1 2

Y p p

p

Y

p

) 2 )(

13 4 (

23 15 2

p

p p

1 3 2

1 18

21 17 3 2

2 18

21 17 )

p

i i

p

i p

Y

2

1 9

1 3 ) 2 (

3 2 ).

21 17 ( 3 ) 2 (

3 2 ).

21 17

i p

i p

i p

i p

Y