Ứng dụng của phép biến đổi tích phân để giải phương trình vi phân, tích phân

Lý do chọn đề tài: Bộ môn phương trình vi phân và phương trình tích phân là một môn toán cơ bản vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi.. Thông thường các phương trình vi

Lời cảm ơn

Để hoàn thành khoá luận em xin bày to lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo — TS Khuất Văn Ninh, đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài này

Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, các cô chú quản lý thư viện trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều

kiện thuận lợi để em hoàn thành dé tai

Xin chân thành cảm ơn các bạn sinh viên trong nhóm dé tài, cùng các bạn sinh viên trong lớp K29B — Toán đã giúp đỡ tôi

Vì thời gian có hạn nên chắc chắn đề tài của em còn nhiều thiếu sót kính mong sự đóng góp của thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Lời Cam đoan

Khoá luận tốt nghiệp này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Tiến

Sĩ Khuất Văn Ninh và có sử dụng sách tham khảo của một số tác giả Tôi xin cam đoan:

Khoá luận này là kết quả của riêng tôi

Kết quả này không trùng với bất kỳ của tác giả nào đã công bó

Nêu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Mục lục

Chương 1: Một số kiến thức liên quan

1.1 Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân

` 1.2 Không gian /,1< p<œ

1.3 Tích chập

1.4 Một số định lý về không gian Banach và không gian Hilbert

Chương 2: Phép biến đổi Fourier

2.1 Chuỗi Fourier

2.2 Tich phan Fourier

2.3 Biến đối Fourier

Chương 3: ứng dụng của phép biến đối Fourier

3.1 Giải phương trình truyền nhiệt

3.2 Giải phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

3.3 Giải phương trình trình truyền sóng

Chương 4: Phép biến đổi Laplace

4.1 Biến đối Laplace

4.2 Biến đối Laplace ngược

4.3 Tính không chỉnh của biến đổi Laplace

4.4 Tích phân Duhamel

4.5 Bảng đối chiếu gốc và ảnh

Chương 5: ứng dụng của phép biến đổi Laplace

5.1 ứng dụng phép biến đối Laplace dé giai phương trình vi phân

43 5.2 ứng dụng phép biến đổi Laplace dé giải phương trình tích phân 49

mớ đầu

1 Lý do chọn đề tài:

Bộ môn phương trình vi phân và phương trình tích phân là một môn toán cơ bản vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Thông thường các phương trình vi phân và phương trình tích phân được bắt nguồn từ thực tiễn trong Vật lý, Kỹ thuật, Sinh học Có nhiều phương pháp giải các phương trình vi phân và phương trình tích phân và một trong những phương pháp giải cho hiệu quả đặc biệt cao là sử dụng phép biến đổi tích phân đặc biệt là hai phép biến đổi: biến đổi Fourier và Laplace Vì vậy nghiên cứu các phép biến đổi tích phân là rất cần thiết đối với mỗi sinh viên các chuyên ngành Toán, Vật lý

Trong 4 năm học qua, chúng ta đã học về chuỗi Fourier, đẳng thức Paseval, bat dang thức Holder trong giáo trình giải tích hàm, đó là một trong những tiền đề để nghiên cứu phép biến đổi Fourier, biến đổi Laplace Ngoài

ra để có điều kiện nghiên cứu đầy đủ, chúng ta phải nắm được tích phân Lesbesgue, lý thuyết hàm Đề tìm hiểu sâu về phép biến đổi tích phân, em

đã chọn đề tài: "ứng dụng của phép biến đổi tích phân để giải phương trình

vi, tích phân" đề thực hiện khoá luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu định nghĩa và tính chất của hai phép biến đổi Fourier và Laplace, nghiên cứu các ứng dụng của hai phép biến đổi này vào việc giải phườg trình vi phân và phương trình tích phân.Đặc biệt đi sâu vào nghiên cứu ứng dụng cuả phép biến đổi Laplace

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số kiến thức liên quan

Nghiên cứu về pháp biến đỗi Fourier

Nghiên cứu về ứng dụng của phép biễn đổi Fourier

Nghiên cứu về pháp biến đối Laplace

Nghiên cứu về ứng dụng của phép biễn đổi Laplace

4 ý nghĩa lý luận thực tiễn

Hai phép biến đối Fourier và Laplace có hiệu quả cao trong giải phương trình

vi, tích phân vì vậy việc nghiên cứu để tài này có ý nghĩa thực tiễn cao.Nó giúp giải một số hệ phương trình tích phân phức tạp một cách đơn giản, có lời giải ngắn gọn mà khi sử dụng phương pháp khác cho lời giải dài dòng, phức tạp

Chương 1: Một số kiến thức liên quan

1.1 Các định lý quan trọng của lý thuyết tích phân:

Định lý 1.1 (Định lý hội tụ đơn điệu):

Cho dãy (/,) là dãy tăng các hàm kha tich (Lesbesgue) trén tap Qc JR” sao

cho SUPn| f, <o, Khido: f, hoi tuhh trén 0 vé mot ham kha tich trén Q

va

lf -FI,= Ỉ f,x— f (x)|dx >0 khi n ->œ

a Dinh lý 1.2 (Định lý hội tụ bị chặn):

Cho dãy (7,) là dãy các hàm (thực hoặc phức) khả tích trên O Giả sử:

F(x,.)= yt} F(x, y) kha tich trén Q, va

xb [, F(x, y)dy kha tích trên Q,

Kết luận tương tự khi đổi vai tròx cho y, O, cho ©,

và |, &[|ƑŒ.y)dy < =

khi đó Z khả tích trên O,xO,

1.2 Không gian r„ : 1< p<œ

1.2.1 Định nghĩa: Cho pe< & Với 1< p< s ta định nghĩa:

/(©) = {ƒ:O-—>IR(hoặc C); ƒ đo được và |/| khả tích

(@)= {f :Q—>R(hoacc ); ƒ đo được và ƒ, |/(x)<C|h.h } và ký hiệu

Dinh ly 1.5: (Bat dang thire Holder):

Cho fe L’ vag € !7Vvới I<p<œ Khi đó: ƒ.geLvà

[IZ-el<l/I,.Isl„

Định ly 1.6 (Frischer - Riesz):

(a) là không gian Banach với 1< p<œ

(b) Giả sử (7,) là dãy hội tụ về ƒ trong không gian ¡7(1< p<œ), nghĩa

1.3.2.Định lý:

Định lý 1.7: Giả sử ƒ e1(R*)với I<p<œ khi đó với mỗi xe*hàm số

y ƒ(x-y).g(y) khả tích trên ®Ÿ và ƒ *g e1”(R*) Hơn nữa:

I/-sl, <|I.lsl,

Ching minh:

Voi p=oo thi kết quả rõ ràng

Trước hết ta xet trường hợp p=l và đặt

FŒ,y)= ƒ(x~ y).g(y)

Với mọi y ta có: [|F(x, y)dx=|ƒ(|[[f(x~ y)x=lsG)l|7|,<s

và [a[|lFG.y)4=|/l,|sl,<s=

ap dung dinh ly Tonelli ta thấy F e 1'(R* xR*)) Theo định lý Fubini được:

[IF(Œ.»)l@<œ h.h xe &*và [&[|F(x,y)dy <|ƒ| 8,

= ta đã chứng minh trong trường hợp p =1

Giả sử I<p<œ Theo kết quả trên ta biết rằng với mỗi x cố định hàm yE>|ƒ(x~ y)||g(y)|“ là hàm khả tích nghĩa là:

yE>|ƒŒ-— wir leo) là hàm thuộc !(R*) Mặt khác :

ye>|ƒf(x—y)Ï”” e1(R) (plà số liên hợp của p)

dựa vào bất đắng thức Holder ta suy ra hàm:

Vp 1p

y>|ƒ(x~— y||e(|=|#@~ y) sơ@lƒŒœ- y)

là khả tích và: [Ifo yillecn|av < (for yen)” ay)” dey”

Nghia 1a |(f.g)(x))’ < (Flelgl” kode ”? ap dụng kết quả trong trường hợp p =1

Nghĩa là: |ƒ.g » sil g „

1.4 Một số định lý về không gian Banach và không gian Hilbert

Dinh lý 1.8(ánh xạ mở):

ChoA là một "toàn ánh" từ X lên Y va gia su A la tuyến tính, bị chặn Khi

đó A(U)mở trong Y với U là một tập mở bắt ky trong x

Định lý 1.9(Lax-Milgram):

Cho H 1a khong gian Hilbert va a: HxH > ©

®=R (hodc® =C) la dang song tuyén tinh liên tục trên #7 Nghĩa là khi giữ

cố định một biến thi a tuyén tinh theo biến còn lại và:

law.v|< Mal vy

,Vu,V € A

Giả sử a cưỡng bức trên , nghĩa là có sô øz >0 sao cho :

a(u,v)= alu ? Vụ eH

Khi đó với mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tuc 1: H > © t6n tại duy nhất một

u,cí phụ thuộc liên tục vào/, thoả mãn: a(,,v) =<l,y >,Vyc H

Chương 2: Phép biến đối Fourier 2.1 Chuỗi Fourier

2.1.1 Định nghĩa: Với hàm /ƒe/[—z,z] nghĩa là/ khả tích Lesbesgue trên|—z.z]|.ta định nghĩa chuỗi Fourier của / là chuỗi hàm lượng giác như

Định lý 2.1: Cho /ƒe[_z.z] Nếu f thoả mãn điều kiện Dirichlet trong

(_—z.z) thì chuỗi Fourier của / hội tụ về /(+) tại các điểm xe(_—z,z) mà tại

đó hàm /ƒ liên tục, hội tụ về 2œ )+7% | nếu x là điểm gián đoạn thông

thường, hội tụ về slew Fe] tại x=+z nếu ƒ(—z') và /(z-) tồn tại Trong đó điều kiện Dirichlet là:

(i) Tén tai f(a"), f(b) va f c6 bién phan bi chan trên [a,b]

(ii) Co hiru han diém thuéc [a,b] sao cho khi bỏ đi các lân cận tuỳ ý của

những điểm này thì ƒ có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của [a,] 2.1.3 Sự hội tụ đều:

Định lý 2.2: Cho f eL'[-2,z] Gia sit rang ƒ bị chặn thoả mãn điều kiện

Dirichlet trên [_z,z] Giả sử f lién tục trên khoảng (w,v)—(—z.z) Khi đó chuỗi Fourier của ƒ hội tụ đều về / trên một đoạn bất ky [a,b]c (uv)

2.2 Tích phan Fourier:

Xét hàm ƒ e1!(R) ta dat: a, =_Ƒ ƒ(Œ)cosArdr — (2.3) ee

b,= +f f (t)sin Atdt qe (2.4)

Ta cho / liên kết với tích phân sau, gọi là tích phan Fourier:

ƒŒ)~ Ỉ “(a, cos Ax +b, sin Ax)da (2.5)

Ta thấy các công thức (3.1),(3.2), (3.3) tương tự như chuỗi Fourier của một hàm thuộc U[Ƒ z,z]

Định lý 2.3 (Định lý về sự hội tụ của tích phân Fourier ):

Cho ƒ e/(L) thoả mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng mở hữu hạn Giả

str f(x*) va f(x) ton tại thì ta có:

[ @, cos Ax-+b, sin Axjda = slr + for )] (2.6)

Chứng mỉnh: Tham khảo chứng minh trong [1]

2.3 Biến déi Fourier:

2.3.1 Định nghĩa: Xét hàm ƒ<//(R) Vì Ê_70)coÃ0=x)ár la ham chan theo 4 nên ta có: ƒ w= I" al” ƒŒ)cos qe 2+ 4Œ — x)đr nếu ƒ thoả mãn giả thiết

của định lý 2.3 và giả thiết liên tục tại x

Tuong tu ham 2b Ƒ ƒŒ)sin Äứ— x)đr là lẻ theo 4 nên

1 po 1 pe

in [afl rosin ag—xadr =0

Vậy f(y= Ữ da f(Olcos AG — x) -isin A(t — x) [it

27“ te

tục, tiễn dần về 0 tại vô cực Hơn nữa:

Hàm dưới dấu tích phân ở trên bị chặn bởi 2|/(x)| và hội tụ từng điểm tới

không khi z-—>œ Vì vậy ?ứ,) > fa) Do định lý hội tụ bị chặn Hay ƒ liên

Cho trước e >0có Cạ(#) trù mật trong 7/(R) nên ta tìm được hàm g lien tục trên R và triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn |— A,A]sao cho ||ƒ - sl, <é Tính liên tục đều của g cho ta I số 6 €(0,A) thỏa mãn

|g()— øgữ)| <(3A) ”.e,Vs,t e R.|s—|< ở

Vi vay suy ra |, - g,||, < £- Bằng cách đối biến ta

có: |ii|„ = |h„ |„ vớih e (R) Vậy:

Định lý 2.5: Giả sử ƒ e/'() và / e (R).Đặt g(x) = val (Aje*da

(tich phan nay duoc hiéu theo nghia Lesbesgue).khi do:

(a) g eC, voi C, la khéng gian các hàm liên tục trén R va tién dan vé v6 cực

(b) f(x) = g(x) hau hết trên R

Ching minh:

(a): Được chứng minh đơn giản bằng cach suy ra tit bé dé 2.1

(b): Chứng minh khá phức tạp, cần nhiều kiến thức nên ta có thể tham khảo

của F Tích phân (Theo nghĩa Lesbesgue) là xác định nếu Ƒ e /!(R)

Xét biến đối Fourier có dạng khác:

Xét hàm ƒ e/!(R) với ƒ chan, thỏa mãn giả thiết của định lý 2.2 và ƒ liên

tục tại x Khi đó ta có:

f(x)= + Ỉ “cos anf” f(t)cos aur yin + =f sin anf” f(t)cos sua ia

2 po N

= SỈ cos aff feos sar ia 7Zr 90 0

Công thức trên dẫn đến khái niệm về phép biến đối Fourier - Cosin của hàm

thuộc (R') Cho ƒ eU(R') ta định nghĩa phép biến đối Fourier — Cosin của

ƒlà hàm: F(4)= [EF roveos teas vim 0

Vậy nếu ƒ thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên mọi khoảng hữu hạn (z,b)c R* và

ƒ liên tục tại x thì theo định lý 2.2 ta có:

2œ f(x)= li F(Â)cos Âxdx we

Tương tự ta có định nghĩa biến đổi Fourier — sin cua ham f €Z'(R*) la ham

(A) = er F(A)sin Axda Khi dé néu f thoa man gia thiết như đã nói ở trên

F(A)= 2 feos aut = = 4a

͈ được hiểu là lim f’ 0 q—»s J0

2.3.3 Cac tinh chat cia bién déi Fourier:

Tính chất 1: Với x >0đặt ƒ,(x) = f(x) Ta có

A 1, A f,A=-fO

Chứng minh: Có (4) = al fixe“ Ta dx > f € L(R) phai giải tích trên C

Tính chất 4: Cho dãy (ƒ,,)„-¡›, hội tụ trong /'(&).Khi đó dãy (ƒ„)„¬

hội tụ đều trên R

Chứng minh: Ta có bị chặn do fa) < fF |foolax

Trường hợp / là hàm đặc trưng của [z,b|thì:

?@)= = [e>= aos và là hàm liên tục về tiến 0 khi

|A| >s

Nếu ƒ là hàm bậc thang thì f 1a t6 hop tuyến tính của các hàm đặc trưng Từ

đó do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier ta cũng có ƒ liên tục và tiến

về 0 khi |4| > 0

Cuối cùng nếu ƒ e/!(R), do tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong 7!(R)ta

tìm được dãy các hàm bậc thang Œ )„-2 hội tụ trong U(R) về ƒ áp dụng

tính chất 4 ta có dãy Cf, )nat.2,,,.h6i tu déu vé f trénR Suy ra f lién tuc a

tiến về 0 khi |A|—> œ

Tính chất 6: Cho ƒ <7/(R) thỏa mãn tính chất ƒ'e7'(®)và ƒ liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn Khi đó

(f) =i

Chứng minh: Vì / liên tục tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn nên:

ƒŒ@)= ƒ(0)+ Ỉ ƒ'œ)á: Hơn nữa: ƒ'e L'(R) nên về phải của đẳng thức trên có

giới hạn khi x—>+s.Ngoài ra giới han đó phải bằng 0 vì ƒ e/!(R) Vậy:

Tính chất 7: Nếu ƒ có đạo hàm bậc càng cao trong /'(R) thì ƒ hội tụ về 0

càng nhanh khi |4|—› ©, nghĩa là:

2 (rsa

#4=———

li

Diéu này có được nhờ tính chất 6

Tinh chat 8: Cho f < r'(R).Nếu f” tồn tại và /' e1) thì fe L(R)

Chứng ninh: ƒ bị chặn do tính chất 5 và giản về 0 nhanh hơn _ khi [AJ > 0

Do tính chất 7 tir dé f eL'(R)

Tính chất 9: Cho ƒ eL(R) và thỏa mãn !.ƒ e/'(R) với 7 là ánh xạ đồng nhất

xr>x do đó người ta thường viết x.Ñx) thay cho/.ƒ Khi đó / khả vi và

df = (-ilf)(A) cting có thể viết (—i/Ö(4)

Chứng mỉnh: Có

ial jag foe es) Feel aoe sa

đ v2 — 2 2$

on (A) = (-ixf (A)

Điều này cho thấy nếu f giảm càng nhanh thì cang tron

Tính chất 10: Với ƒ,g e'(R) và (ƒ *g)(x) = In cL!(R) Khi đó

Tinh chat 11: Gọi s là tập hợp các hàm khả vi vô hạn và giảm nhanh Nghĩa

la: f eC” va:Vp,geN,4M > 0,V+,|x".ƒ!(x)| <M

Suy ra |x’ f (|< =

Bắt đẳng thức trên cho thấy x”./“ e 7!(R) Theo tính chat 9 thì

= (i) GA)" [x fol =Car’ [x cw]

hàm không nằm trong 7!'(R) Mục này ta xét khả năng mở rộng địng nghĩa

biến đổi Fourier cho hàm : ƒ e !(R) với 1< p<2.Đặc biệt khi p=2 thi ta cd

kết quả rất quan trọng là biến đối Fourier bảo toàn cầu trúc không gian /(R) Định lý 2.6: (Plancherel - 1910) : Với mọi ƒ e /”(R),N > 0ta đặt

F,{f\(a) = xt ƒ@œ)e 24x khi đó : (a) F„{7} hội tụ trong 12) đến một hàm F{/} khi é ->œ hơn nữa

IFU = [,IF4742 = [renee =|;

(b) Nếu ƒ e/?(R)¬1@) thì r{7}= Ê h.h trên R

(c) Dat ®„(+) = [ "FA f\Aedd thi ©, hội tụ trong /7®) đến f khi

Noo,

(d) Toán tử F là một đắng cấu từ 7?(R) vào 7?(R)

Chứng minh : Với mọi f,, f, ¢S.Theo tính chất 11 ta có : , Ệ e § c 7!{R)

Từ định lý 2.4 và định lý Fubini ta suy ra được :

Suy ra £||, = |s||,.Vø < S.@) Trong đó ||, là chuẩn trong /2(R) Với ƒ e I?(R)

triệt tiêu bên ngoài đoạn bị chặn [—z,ø] thì cũng thuộc /!{®).Ta có €Ƒ(-a,a) trù mật trong /?(—a,a) do đó có một dãy hàm (ƒ,) c Cƒ(-a,a) hội tụ về f trong P2(-a.a) dẫn đến hội tụ trong "'(—a,a) với bất đẳng thức Holder

7, — /Ì ta có thê xem như ƒ, Š nêu nới

Si, =Ÿl› „„ <v2a L(a,a)

réngmién xac dinh của f, lên toàn R với ƒ, triệt tiêu bén ngoai(—a,a) nhuw vay

7, hội tụ về ƒ trong /(R) và/(R) Từ tính chất 4 của biến đối Fourier ta có :

f, > ƒ đều trên R.(ee)

Theo (e) thi i -fal, =|f,-f,, do do (7,) là dãy Cauchy trong /7(£) hội tụ

trong L’(R) về mot ham g

Két hop (ee) và sir dung dinh ly Fischer — Riesz ta co:

f=geL(R)

f , f 2 =lim||f,|, =||f, (@**) Đúng cho hàm ƒ bắt kỳ trong 7?(&) noo)

= sll, = lim n—>el fr

và triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn

Tiếp theo ta xét f e (R) tuỳ ý Đặt:

f(x) -N<x<N /00=| 0 lx>M

Ta có lim |ƒy — ƒ N~»e , =0 Ngoài ra ƒy e L(R) nên:

2 1 = idx

iy) J" fale Made = Fyl fA)

Theo (sss)thì |Z,/]l, =|Fel, =[Vfuls

Và: |f,{7]- F„17ÌI, =|

= (F,{f}) la day cơ bản trong /?(R) nên hội tụ về một hàm F[/] trong /(R)

F1)

Fy — Ful, = [fu Fords

Vậy: |F{/]|, = lim| > = Jm ||, = | No!

= (a) được chứng minh

Xét trường hợp ƒ e (R)¬() Do 7„ hội tụ về / trong 7!(®) ( Chính là

Fyif})-

hoi tu déu vé f boi tinh chat 4 của biến déi Fourier)

Mặt khác F, {f} cing hdi ty trong 2(R) vé F{f} Vay f = F(f) bh trén R

Nghĩa là (b) được chứng minh

Chứng minh (c) hoàn toàn tương tự

Phần chứng minh tính chất toàn ánh của F tham khảo [2]

Định lý 2.7: ( Housdorff— Young): Cho ƒ e /(R)¬(R) Giả sử 1< p<2 và

q là số thoả mãn Ite 1(q là số đối ngẫu của p) thì:

Chương 3: ứng dụng của phép biến đối Fourier

3.1 Bài toán giải phương trình truyền nhiệt

Bài toán: Tìm nghiệm z(x,?) của phương trình vi phân sau:

2

ou =a" > 0,-00 < x < +00 (1)

Ot Ox

Thoa man diéu kién ban dauu(x,0) = ƒ(x),—=œ < x< +œ và thoả mãn các điều

kiện: (ï) u,u,,u,„ liên tục, khả tích trên R theo biến x,vz >0 cố định

Và thoả mãn các điều kiện :

(i) z„u,„u, liên tục, khả tích trên R theo biến xvới vz >0 cố định

3.2 Bài toán của phwong trinh truyén nhiét khong thuan nhat :

Bai toan : Tim nghiém u(x,t) của phương trinh vi phan sau :

_f' _ f' ” of) 4a? ur) ` "`

Do d6 u(x,t) = [Vx,z0-2)de =—[ def Cala’ dé la nghiém cia phuong trinh ban dau

Từ đó ta có nghiệm của phương trình tổng quát :

na) = [ eH d+ [E5 nen đệ

3.3 Bài toán giải phương trình truyền sóng

i, (x,t) + Zâ(x,0) = 0 â(x.0) = â(3).ñ,(x.0) = 0

Đây là một phương trình vi phân thường, với mỗi 4 e & cố định ta tìm

nghiệm dạng : 2 = fe” (By eC)

Xét điều kiện ban đầu 2(x.0) = ệ(œ)

=> 8= ê() = ñ,(x,0) =0 được thoả mãn

Chương 4: Phép biến déi Laplace 4.1 Biến đối Laplace:

Số ø, =inf ø, với tất cả œ thoả mãn (ii) , được gọi là chỉ số tăng của ƒ Lưu ý

có thể (ii) không thoả mãn với z,.ầm có các tinh chat (ji) - (ii) được gọi là hàm gốc

4.1.2 Định nghĩa biến đối Laplace:

Cho hàm ƒ là hàm gốc với chỉ số tăng œ¿.Hàm phức biến phức # xác định

Giải: Ta có biến đổi Laplace cua f(r) la:

Ví dụ 4.3: Biến đối Laplace của hàm ƒ0)=¿" là:

F(p)Ï]e "trái = hee)

Định lý 4.1: Cho ƒ là hàm gốc có chỉ số tăng là øz„ Khi đó biến đối Laplace

F của ƒ là hàm giả tích trong miền Re p > ø„

Ngoài ra với mỗi øe N,F, giải tích trên miền Re p > z Thật vậy,xét p có định

sao cho Re p > øz, sử dụng định nghĩa hội tụ bị chặn của Lesbesgue, ta có:

—hi-I

= đu“ lim © lim dt = [ if (the "dt Ƒ —pt

Theo dinh ly cua Weierstrass, ch.1, ham F cũng giải tích trén mién Re p > a 4.1.4 Tính chất của biến đối Laplace:

Tinh chat 1: (tính chất tuyến tính):

Định lý 4.2: Cho các hàm gốc ƒ, có các chỉ số tăng là ø,, biến đối Laplace là F.,k =1,2, n Khi đó biến đối Laplace cia hàm tổ hợp tuyến tính ƒ của các hàm ƒ,

f= Veh (t), c, la hang số,

k=l

la ham F xac dinh bởi:

F(p)= Yo, F„(p) với miền xác định Re p > maxø,

k=l

Chứng minh: Suy ra từ định nghĩa và tinh chất tuyến tính của tích phân

Vi dy 4.5: Ta da biét z[e"]=—!— Recp-a) >0