Tính compact, liên thông của tập nghiệm trong phương trình vi tích phân trong không gian banach

Trong khuôn khổ của bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về tính compact, liên thông của tập nghiệm cho các bài toán sau : ở đây u0,U1,f được cho trước, hàm chưa biết ux,t và

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM

TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Mã số: CS2004.23.56 Chủ nhiệm: Lê Hoàn Hóa

Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004

Tháng 9 năm 2004

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM

TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Mã số:CS2004.23.56

Chủ nhiệm:L Ê H OÀN H ÓA

Thời gian thực hiện:7/2003 - 7/2004

Tháng 9 năm 2004

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ

TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP NGHIỆM

TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Cán bộ tham gia thực hiện: Lê Thị Phương Ngọc,

Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang

Thời gian thực hiện: 7/2003 - 7/2004

BÁO CÁO NGHIỆM THU ĐỀ TÀI CẤP CƠ SỞ

Tên đề tài:

Tính compact, liên thông của tập nghiệm trong phương trình vi tích phân trong không gian Banach

Mã số: CS2004.23.56

Các thành viên tham gia :

1 - PGS.TS LÊ HOÀN HÓA (chủ nhiệm đề tài)

2 - Nghiên cứu sinh : LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC

BÁO CÁO TỔNG QUAN

Đề tài về tính compact, liên thông của một số phương trình phi tuyến đã được chúng tôi nghiên cứu trong thời gian hai, ba năm Một số kết quả đã được trình bày dưới dạng : luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ, báo cáo khoa học, báo cáo tại Hội nghị toán học toàn quốc, báo cáo tại Hội nghị Quốc tế về phương trình vi phân Trong khuôn khổ của bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về tính compact, liên thông của tập nghiệm cho các bài toán sau :

ở đây u0,U1,f được cho trước, hàm chưa biết u(x,t) và giá trị biên chưa biết p(t) thỏa phương tình phi tuyến sau :

P(t) = g(t) + H(u(0,t))-∫ , trong đó g,H,k là các hàm

cho trước

BÁO CÁO KẾT QUẢ

Báo cáo kết quả gồm hai phần :

1 Một ghi chú về tính compact, liên thông của tập nghiệm của bài toán tiến hóa

2 Tính compact, liên thông của tập nghiệm yếu của một phương trình sóng nửa tuyến tính liên kết với một phương trình tích phân phi tuyến

MỘT GHI CHU VỀ TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN TIẾN HÓA

Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị Phương Ngọc 2

1.Trưởng ĐHSP Tp.HCM

2.Trường CĐSP Nha Trang

Tóm tắt : Bài báo chứng minh rằng tập hợp tất cả các nghiệm của các phương trình

sau là khác rỗng, compact và liên thông :

ở đây : (1) A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H

(2) f : H→ H hoàn toàn liên tục, thỏa điều kiện : Có các số dương

không đổi a, b và α (0 < α< 1) sao cho | f(x) | < a + b | x |α , ∀x∈H

Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trường vectơ compact và các tính chất của toán tử tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe

1 Lời giới thiệu :

Trong bài báo [1] mới đây, chúng tôi đã đưa ra các điều kiện cho toán tử A và toán tử

f để có được tính khác rỗng, compact, liên thông của tập hợp nghiệm của hai bài toán (I), (II) Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một điều kiện mới, tốt hơn cho toán tử f để có được kết quả tương tự cho hai bài toán trên

2 Các kết quả chính :

Cho H là không gian Hinbe và chuẩn được sinh ra bởi tích vô hướng trên H

được ký hiệu là |.| Xét các phương trình

và với giả thiết:

(1) A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, không âm trong không gian Hinbe H

(2) f : H→ H hoàn toàn liên tục, thoả điều kiện: Có các số dương

không đổi a, b, α (0 < α < 1) sao cho |f(x) | < a + b |X |α, ∀x∈H Ta có :

Định lý 1 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2) Khi đó tập hợp các nghiệm của

phương trình (I) khác rỗng, compact và liên thông

Định lý 2 : Giả sử A và f thoả các điều kiện (1), (2) Giả sử thêm rằng nếu u(t) là

| u(0) | < E, với E là hằng số dương cho trước

Khi đó tập hợp các nghiệ m của phương trình (II) khác rỗng, co mpact và liên t hông

Chú thích : Sự thu hẹp |u(0)|< E, với E là hằng số dương cho trước, là

chấp nhận được theo ý nghĩa vật lý của bài toán trên, (xem [2], [3])

Chứng minh định lý 1:

Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh định lý 1 ở bài báo [1], với các ký hiệu giố ng như ương [1] Do đó trong chứng minh sau đây chỉ trình bà y k ỹ một số ý cần thiết

Gọi X= C([0,1], H ) là khô ng gian Banach các ánh xạ liên tục trên [0, 1], nhận giá trị trong không gian H inbe H với chuẩn ||.|| thông thường; X1 =

u→ F(u) sao cho F(u)(t) = f(u(t)), ∀t ∈ [0, 1]

- Bổ đề : Với giả thiết (1), (2), các tính chất sau là đúng :

i T là toán tử tuyến t ính liên tục và khả nghịch T-1 là toán tử tuyến t ính liên tục ii Toán tử F là toán tử compact iii.Toán tử T-1F là toán tử compact

Chứng minh ii Rõ ràng F liên tục Điều này có được do f, u liên tục Khi đó nếu u→ u 0 thì ∀t∈ [0,l], u(t)→ u0(t) => ∀t∈ [0, 1], f(u(t))→ f(u0(t)) => F(u)

- Ta chứng minn tập nghiệ m của phương trình :

bị chặn Nghĩa là chứng minh có một số dương khô ng đổ i M để mọ i nghiệ m u(t) của phương tình (3) đều thoả điều kiện : |u(t)| < M, ∀T∈ [0,1], ∀Λ∈ [0,1], (4) Chứng minh như sau :

Nếu u(t), T∈[0,1] là nghiệm của (3) thì:

(ut, u) = - (Au, u) + (f(u), u) và u(0) = 0

Từ đó, với các giả thiết (1),(2) và 0 ≤ λ ≤ 1, ta có :

Nên :

Để có (4), trước hết ta chú ý rằng :

Trường hợp 1 Với mọ i Λ∈ [0,1], nếu f |u(t) I < R , ∀T∈ [OA] thì (4) đúng Trường hợp 2 Với mọ i Λ∈ [0,1] nếu tồn tại t0∈ [0,1] sao cho |u (t0)| ≥ R thì (4) cũng đúng Thật vậ y,

Vì |u(t)| liên tục trên đoạn [0,1], tồn tại một lân cận của t0 sao cho |u(t)| ≥ R, với mọ i t thuộc vào lân cận đó Mặt khác, | u(0) | = 0 và |u(t0)| > R, nên có s'

∈(0, t0) sao cho |u(s')| = R

Suy ra tồn tại s ∈ (0, t0) sao cho |u(t)| ≥ R, ∀T∈ [s, t0] và |u(s)| = R Như thế,

V t∈ [s, to], theo trên ta có :

Suy ra với mọi Ta nhận được :

w(t0)< w(s) +4(1-β)b (t0 - s) < w(s) +4(l-β)b

Nên

Vậy (4) sẽ đúng ương cả hai trường hợp, nếu ta chọn

Do đó tồn tại tập mở và bị chặn D trong X sao cho u ∈ D và u ∂D(ở đây ∂Dlà biên của D), với mọi λ∈[0,1] Suy ra mọi nghiệm của phương trình (3) (nếu có), với mọi λ∈[0,1] đều chứa trong D nhưng không chứa trong ∂D

- Bằng việc chứng minh toán tử T-1F : ⊂ X→X1* thỏa mãn các điều kiện

của định lý Krassosel'skii-Perov bước 1 hoàn thành

Bước 2 : Xét χ ≠ 0

Với mọi u thuộc tập nghiệm của (I), đặt u* : [0,1]→Hs sao cho: u*(t) = u(t)-χ

Khi đó

u* ∈X1, u*(0)= 0 và u*t = ut Suy ra

Như thế u*(t) là nghiệm của phương trình (I)'

trong đó f* : H→ H

X→ f*(x) = f(x+χ ) -A(χ )

Ngược lại, nếu u*(t) là nghiệm của (I)' thì u(t) = u*(t)+ χsẽ là nghiệm của (I)

Rõ ràng, tập nghiệm của (I) khác rỗng, compact, liên thông khi và chỉ khi tập nghiệm của (I) khác rỗng, compact, liên thông

Ta có f* hoàn toàn liên tục vì f hoàn toàn liên tục Mặt khác : ∀x∈ H,

| f*(x)| ≤ | f (x+χ)||A(x)|≤ a +|A(χ)|+ b | x +χ|α≤;

≤a +|A(χ)| + b ( | x | + |χ|)α< a *+bC| x |α, với a* = >a+| A(χ)| > 0; b > 0; 0 < α < 1 và C >1 là các hằng số cho trước, nếu và

chỉ nếu

Từ tính chất nà y của f* bằng cách chứng minh tương tự NHƯ Ở BƯỚC 1, ta sẽ chứng minh được tập nghiệm của (I') khác rỗng, compact, liên thông Bước 2 hoàn thành

Tóm lại tập các nghiệm của phương trình :

với các điều kiện (1),(2) là khác rỗng, compact và liên thông

Nếu u(t), t∈ [0,1] là nghiệm của ( 5 ) thì(ut,u)= -(Au,u)+ λ (f(u),u) và u(1)=0

Từ (1), (2) v à 0 ≤ λ ≤ 1, ta có

Để có (6), trước hết ta chú ý rằng :

Nên với hằng số dương ,ta xét hai trường hợp :

Trường hợp 1 Với mọi λ∈ [0,1], nếu |u(t)|≤ R , ∀t∈ [0,1] thì (6) đúng

Trường hợp 2 Với mọi λ∈ [0,l], nếu có t0 ∈ [0,1] sao cho |u(t0)| > R thì (6) đúng Thật vậy,

Vì |u(t)| liên tục trên [0,1], có một lân cận của t0 sao cho |u(t)| ≥ R với mọi t thuộc vào lân cận đó Ta lại có |u(1)| = 0 và |u(t0)| > R nên có s' ∈ (t0,l) sao cho |u(s')| = R Nhưng ta không

sử dụng được s' trong chứng minh ở đây, ta cần thêm giả thiết |u(0)|< E

Nếu có s∈ [0, t0) sao cho |u(s)| ≤ R thì như ở (4), ta có (6) đúng

Nếu không như vậy thì ∀t∈ [0, to], ta có |u (t)| > R Suy ra :

W(t0)< W(0)+4(1- β)b < + 4(1- β)b Nên

Do đó (6) đúng

Như thế (6) sẽ đúng trong cả hai trường hợp nếu ta chọn :

Tóm lại tập các nghiệm của phương trình :

với các điều kiện đã đưa ra là khác rỗng, compact và liên thông

Tài liệu tham khảo :

[1] L H Hóa - L T P Ngọc Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm của bài toán tiến hóa Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Tp HCM, tháng 5/2004

[2] Nguyen Thanh Long - Alain Pham Ngoc Dinh, Approximation of a

parabolic nonlinear evolution equation backwards in time Inverse Problem 10 (1994) 905-914 Printed in the UK

[3] Richard E Ewing, The approximation of certain parabolic equations

backward in time by Sobolev equations SIAM J Math Anal Vol 6, No 2, April

1975

Note on the connectivity and compactness of solution set of the evolution problem

Abstract : The paper proves that for the following equations the sets of

solutions are nonempty, compact and connected :

where where : (1) A is any non-negative, self-adjoint operator which does not depend

on t and χ is a given vector in a Hilbert space H

(2) f : H→H is completely continuous and satisties the following condition : There are positive constants a, b, α (0 < α < 1) such that |f(x)| a+b ∀x∈H

The main tools are the topological degree theory of compact vector field and properties of the non-negative, self-adjoint operator

TÍNH COMPACT, LIÊN THÔNG CỦA TẬP HỢP NGHIỆM YẾU CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH SÓNG NỬA TUYẾN TÍNH LIÊN KẾT VỚI

MỘT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN PHI TUYẾN

Lê Hoàn Hóa 1 - Lê Thị Phương Ngọc 2

1 Trường ĐHSP Tp.HCM 2.Trường CĐSP Nha Trang

Tóm tắt: Bài báo này chứng tỏ tập hợp các nghiệm yếu của phương trình sóng thỏa điều kiện đầu và điều kiện biên sau đây là khác rỗng, liên thông và compact

trong đó U0, U1, f được cho trước, hàm chưa biết u(x, t) và giá trị biên chưa biết P(t) thoa phương trình tích phân phi tuyến sau :

ở đây g, H, k là các hàm cho trước

Công cụ chính là lý thuyết bậc tôpô của trường vectơ compact

1 Lời giới thiệu :

Trong các bài báo [1], [2], [3] gần đây các tác giả đã chỉ ra được tính khác rỗng, compact và liên thông của các tập hợp nghiệm của một số phương trình vi phân, tích phân và của bài toán tiến hóa Trong bài báo này, chúng tôi lại tiếp tục nghiên cứu tính chất đó cho tập hợp các nghiệm yếu của phương trình sóng nửa tuyến tính với các điều kiện ban đầu và điều kiện biên như sau :

trong đó U0, U1 ,f là các hàm cho trước, hàm chưa biết u(x,t) và giá trị biên P(t) chưa

biết thoả phương trình tích phân phi tuyến

ở đây g, H, k là các hàm đã cho

Bài toán này đã được Nguyễn Thành Long và Trần Minh Thuyết ([4]) nghiên cứu Một trong những kết quả mà hai tác giả nghiên cứu được là chứng minh sự tồn tại và sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán trên với các điều kiện tương ứng Sử dụng kết quả này và lý thuyết bậc tôpô của trường vectơ compact kết hợp với việc vận dụng định lý Krassnosel'skii-Perov (xem [2], [3]) và sự xấp xỉ Lipschitz

địa phương của hàm f (xem [1], [2], [3]), trong mục 3 chúng tôi chứng minh tập hợp các nghiệm yếu tìm được theo phương pháp xấp xỉ Galerkin ([4]) của bài toán nói trên khác rỗng, compact và liên thông

2 Các định lý :

Chúng tôi nhắc lại các định lý quan trọng ở đây để sử dụng cho chứng minh ở mục 3

Định lý 1 : (Định lý Krassnoserskii-Perov)

Cho (E,|.|) là không gian Banach, D là tập con mở và bị chặn của E và T:

là toán tử compact Giả sử 0 (I-T) δD

và deg (I-T,D,0) ≠ 0 Giả sử T thoả

thêm điều kiện:

Với mọi ε >0có toán tử compact Tε sao cho | Tε (x)-T(x)|< ε ( * )∀x ∈ ̅ và với mỗi h (*) mà|h|< ε phương trình x= Tε (x)+h có nhiều nhất

một nghiệm trên

Khi đó tập các điểm bất động của T khác rỗng, compact và liên thông

Định lý 2 [4] (Định lý về sự tồn tại và tồn tại duy nhất nghiệm yếu)

-Các ký hiệu được sử dụng trong định lý 2 :

ở đây H1, H2 là các không gian Sobolev trên Ω

Chuẩn trong không gian L2 được ký hiệu là||.||,< , > là ký hiệu tích vô hướng trong

L2 hoặc để chỉ sự cặp đôi đối ngẫu của một hàm tuyến tính liên tục với một phần tử trong không gian hàm,||.||x ký hiệu cho chuẩn trong không gian Banach X và X' là đối ngẫu của X

Lp(0, T ; X), 1 < p < là không gian Banach các hàm số thực đo được u : (0, T) →X với

-Các giả thiết :(A1) u0∈H1, u1∈ L2;

(A2) g∈ H 1 ( 0 , T ) , ∀ T > 0 ; (A3) k ∈ H1(0, T), ∀T>0 và k(0) = 0;

(A4)Hàm H ∈ C1(R) thoa H(0) = 0 và có một số không đổi h0 > 0

sao choHàm f: R2→ R thỏa điều kiện f(0, 0) = 0 và các điều kiện sau :

Có hai số không đổi α, β∈ (0, 1] và hai hàm số B1, B2 : R+→R+ liên tục, sao cho :

- Định lý 2 :Giả sử các giả thiết (A1) - (A4) và (F1) -(F3) đúng Khi đó với mọi số T>0, tồn tại một nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1.1)-(1.5) sao cho

(hội tụ mạnh) trong H1, (hội tụ mạnh) ương L2

Hệ này được viết lại thành một hệ phương trình tương đương với hệ phương trình có dạng :

ở đây c = (c1,c2, ,cm), Uc = ((Uc)1,(Uc)2, (Uc)m), (chỉ số m được lược bỏ trong thành phần thứ j, 1 ≤ j ≤m )

(2.5) (Uc)j (t)= Gj(t) + ∫

||G||1 *=||G||0 * +||G’||0 * = +

Khi đó S là tập con lồ i, đóng và bị chặn của khô ng gian Banach

và toán t ử U:S Y có các tính chất: U liên t ục trên S,

phương tình (2.1)-(2.3)có nghiệ m

Bước 2:Tìm các ước lượng để có thể lấy = T với mọ i m

Bước 3: Chuyển qua giới hạn tồn tại mộ t dãy co n của dã y(được chọn hai lần), cũng ký hiệu làUm,Pm, sao cho :

um→u trong L∞ (0,T;V) yếu * ,um→u mạnh trong L2 (Qt)

u’m→u’ trong L∞(0,T;L2) yếu *,

um (0,t) → u (0,t) trong L∞(0,T) yếu* , um (0,t) → u (0,t) mạnh trong C0 ([0,T]),

u’m (0,t) → u’ (0,t) trong L2(0,T) yếu,

Pm→P^ trong H1(0,T) yếu , P ≡ P^h.k.n trong Qt

f(um,u’m ) →f(u,u’) trong L∞(0,T;L2) yếu *,

u(0) =U0,u'(0) = u1

Khi đó (u, P) chính là nghiệm yếu cần tìm

Bước 4 Chứng minh nghiệm tồn tại duy nhất với giả thiết của bài toán

3 Kết quả chính :

Định lý : Giả sử các giả thiết (A1) - (A4) và (F1) -(F3) đúng Khi đó với mọi số T>0, tập hợp các nghiệm yếu (u, P) của bài toán (1.1)-(1.5) sao cho :

u ∈ L∞(0, T; V), ut ∈ L∞(0, T; L ), ut(0, t) ∈ L2(0,T), P(t)∈ H1(0, T), tìm được theo phương pháp trên khác rỗng, compact và liên thông (với cách chọn phù hợp)

Chứng minh : Ta chứng minh lần lượt theo các bước sau :

Bước 1 : Tập các điểm bất động c của toán tử U : s →Y là tập khác rỗng,

compact, liên thông

Ở đây

là bao đóng của tập con lồi, mở và bị chặn :

với M > 0 sẽ được chọn thích hợp dưới đây

Chứng minh : Ta có f:(u, ) ∈ R2→ f(u, ) ∈ R liên tục nên ∀ε > 0, có ánh xạ

fε: (u, )→ fε (u,.) là xấp xỉ lipschitz địa phương của f theo biến thứ nhất sao cho

bất đẳng thức (2.26) và chứng minh toán tử u liên tục (xem [4])

đẳng thức (2.26) trong [4] vẫn đúng và có tính chất Lipschitz địa phương nên với

hai nghiệm của hệ phương trình (2.1)-(2.2)

(Để cho gọn ta lược bỏ chỉ số m trong ký hiệu trên cũng như trong các ký hiệu tương ứng sau đây.)

Rõ ràng c = d khi và chỉ khi u1 = u2, do hệ ωj độc lập tuyến tính Vậy ta chứng minh u1 = u2

Ta có u1(0) = u2(0) = u0

Đặt b = max {a € [0, T] : u1 (t) = u2(t), ∀t∈ [0, a]} Ta chứng minh b = T

Giả sử 0 < b < T

Ta có ánh xạ f ε(u, ): R2→R có tính chất Lipschitz địa phương nên với u1 (b) =

u2(b) ∈ R, tồn tại một lân cận B của u1(b) có bán kính r > 0 và số L> 0 sao cho :

Ta lại có u1 (t) , u2(t) liên tục trên [0, T] nên liên tục tại b Do đó, với số r >0 ở trên, tồn tại số

δ > 0 sao cho u1(t), u2(t) thuộc B với mọi t ∈ [b, b + δ ]

Như thế: ||fε(u1(s),u2'(s))-fε(u2(s),u2'(s)|| ≤ L||u1-u2||v,∀s ∈ [0, b + δ ]

Từ tính chất này và chứng minh tương tự như chứng minh định lý 2 ở bước 4,

ta có u1=u2 trên [0,b+ δ].Điều này mâu thuẫn với cách chọn b

Suy ra u1=u2 trên [0,T]

đó

là hai nghiệm của hệ phương trình (2.1')-(2.3f) :

- Cuối cùng ta chỉ ra deg (I-U, D, 0) 0, (3.10)

, nên theo tính bất biến đồng luân, ta có: deg(I - s, 0) không phụ thuộc Suy ra deg(I - s, 0) = deg(I - s, 0), trong đó I - = I - U,I - = I -G với G là ánh xạ hằng vì

hay deg(I -U, s, 0) = deg(I - G, s, 0) = I

Từ (3.6) - (3.10) và áp dụng định lý Krassnosel'skii-Perov, ta chứng minh xong Bước 1 Bước 2 : Tập các nghiệm tìm được tương ứng là tập khác rỗng, compact,

liên thông

Điều này có được do ánh xạ đặt tương ứng c =(c1m, c2m,…, cmm) với um sao cho

là ánh xạ liên tục

Bước3 : Tập các nghiệm yếu (u, P) có được do chuyển các nghiệm (um,Pm)qua giới

hạn là khác rỗng, compact, liên thông

Điều này có được do ánh xạ đặt tương ứng mỗ i nghiệ m (um, pm) với nghiệ m yếu (u, P) là ánh xạ liên tục

Định lý hoàn toàn được chứng minh

Tài liệu tham khảo :

[1] L H Hóa - V T T Nhiều - N T Phương, The co nnect ivit y and

co mpact ness o f so lut ion sets Hội nghị Toán học toàn quốc, Huế, 7

-10/09/2002 Chương trình và tóm tắt các báo cáo, 82 - 83

[2] L H Hóa - L T P Ngọc, Tính liên thông và tính co mpact của tập hợp nghiệ m Hộ i nghị Khoa học T oán-Tin học, ĐHSP Tp HCM, tháng

12/2002

[3] L H Hóa - L T p Ngọc, Tính liên thông và tính co mpact của tập hợp nghiệ m của bài toán tiến hóa.(Đang chuẩn bị gởi đăng ở Tạp chí khoa học của Trường ĐHSP Tp HCM.)

[4] Nguyen Thanh Lo ng - Tran Minh Thuyet , A semilinear wave

equat ion associated vit h a nonlinear int egral equat ion, Demo nstrat io

Mathemat ica, Vo l.XXXVI, No 4, 2003

Abstract : The paper proves that for the follo wing semilinear wave

equat ion wit h the init ial-boundary, the set of weak so lut io ns is no nempt y,

co mpact and connected :

where U0,U1 f are given funct ions, the unknown funct ion u (x,t) and the unknown boundary value P(t) satisfy the fbllo vving nonlinear integral

equat ion

where g, H, k are given funct ions

The main tool is the topological degree theory o f co mpact vector field

KẾT LUẬN

Đối với đề tài nghiên cứu cấp cơ sở "Tính compact, liên thông của tập

nghiệm của phương trình vi t ích phân trong không gian Banach", ngoài bài báo "Tính co mpact, liên thông c ủa tập nghiệm của bài toán tiến hóa" đăng trong Tạp chí Khoa học tự nhiên số 36 (2-2004) Trường Đại học Sư phạm Tp.HCM tháng 5/2004, trong phần báo cáo này, chúng tôi đã trình bày một kết quả khác về t ính co mpact, liên thông c ủa tập nghiệm cho phương trình tiến hóa với một điều kiện mớ i tốt hơn và tính co mpact, liên thô ng c ủa tập nghiệm yếu cho phương trình sóng nửa tuyến t ính liên kết với một phương trình t ích phân phi tuyến

Chúng tôi sẽ t iếp tục gửi đăng các kết quả trên trong các t ạp chí trong nước và ngoài nư ớc

THE CONNECTIVITY AND COMPACTNESS

OF SOLUTION SETS

Le Hoan Hoaa, Le Thi Phuong Ngocb, ( 1 )

° Department of Mathematics, Ho Chi Minh City University of Education,

280 An Duong Vuong Sir Dist 5 Ho Chi Minh City, Viet Nam

h Nhatrang Educational College, 0 1 Nguyen Chanh Str., Nha Trang City, Viet Nam

Abstract : The paper shows that the solution sets of the following equations (in three forms:

integral equation, differential equation, partial differential equation) are nonempty, connected and compact The main tool is the topological degree theory of compact vector fields with applying the theorem of Krasnosel'skii-Perov and locally Lipschitz approximation of a

continuous mapping

1 Introduction

Besides the existence problem for solution, the number of solutions or the structure of the solution set for many equations such as differential equations, integral equations, partial differential equations, have been considered by many mathematicians The matter is of particular importance in many nonlinear problems, for example the theory of waves, auto -oscillations, or forms of loss of stability in elastic sy stems Many authors have considered the connectivity property of the solution set A paradigmatic application is the following theorem : if a mixed boundary value problem for a quasilinear parabolic equation has two different solutions, then there must be a continuum of solutions

According to [7], the first theorem stating that the solution funnel has connected sections was stated by A Kneser (*) Connectedness of the solution set was first established

by M Fukuhara(*) These theorems have been extended by various authors to more general classes of differential equations There are three generalizations which are particularly

important E.E Viktorovskii(*) treated the case of equations with mutivalued right hand side, V.A Cecik(*) dealt with the singular Cauchy problem, and A.D Myskis (*) with equation with a retarded argument A topological approach to proving connectivity of the solution set

of operator equations was invented by M.A Krasnosel'skii and A.I Perov(*) This approach was further developed and applied by several authors There are many important

contributions The contributions by M.A Krasnosel'skii and P.E Sobolevskii (*) to equations with unbounded operators in Banach spaces and to partial differencial equations of parabolic type, by V.A Pogorelenko and P.E Sobolevskii (*) to equations of hyperbolic type, by V.F Subbotin (*) to new classes of equation with a retarded argument, by A.E Rodkina and B.N Sadovskii (*), R.V Ahmerov and A.E Rodkina (*) to equations of neutral type, and by W.V Petryshyn (*) to equation with operators in some special classes (The papers (*) were given

in [7], Ch.6 -316 with the references therein.)

On the basis of the above theorems, we have considered the structure of the solution sets of the following equations

(1) Corresponding author

E-mail address: phuongngoccdsp@dng.vnn.vn (L.T.P Ngoc)

and we also consider this problem for the.following semilinear wave equation with

the ninitial-boundary

where u0, u1 f are given functions the unknovvn function u (x,t) and the unknown

boundary value P(t) satisfy the follovving nonlinear integral equation

are given functions

The solution existence of the equations (I)-(VI) was established in ([5], [6], [8] [9]

[10]) On the basis of the results of these papers and the topological degree theory of

compact vector field with applying Krasnosel'skii-Perov"s theorem and locally

Lipschitz approximation of a continuous mapping, we prove that the solution sets of

the above equations are nonempty.compact and connected

The paper consists of six sections In section 2, we recall the fixed point

theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space, the theorem of Krasnosel'skii-Perov

on the connectiviry and compactness of fixed points set of a completely continuous

operator T: where D is a bounded open subset of the real Banach space E, and the theorem on the locally Lipschitz approximation In section 3 we present the content of the main theorems on the connectiviry and compactness of the solution seis (or weak solution set) of the equations (I)-(VI) These theorems will be proved in sections 4 5 and 6

2 The theorems

The fixed point theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space

Condition (A) ([5], [6])

Let X be a locally convex topological vector space and let P be a

separating family of seminorms on X Let D be a subset of X and let U :

D X For any a X define Ua : D→X by Ua(x)=U(x)-a

The operator U: D→X is said to satisfy condition (A) on a subset Ω o fX i f: (A.1) For any a∈ Ω,Ua(D) ⊂ D

(A.2) For a n y a∈ Ω a n d p ∈ P there exists k3 ∈ Z- with the property : for any ε > 0, there exist r ∈ N and δ > 0 such that for x, y ∈ D with Α 3P(x, y) ε<+ δ implies Α 3P(Uar(x), Uar(y)) <

ε , where Α3P(x,y) = max {p(Uai(x) - Uaj(y)), i, j = 0, 1,2, ka}, N={ 1, 2, 3, } and

Remark 1 ([5]) Let X be a locally convex space with a separating family of seminorms P

Let D be 2 sequentially complete subset of X Let U be a unifonmly continuous operator on

D and U satisfies condition (A) on a subset Ω of X Then the operator (I-U)-1 is well defined and continuous on Ω Furthermore, if δ in condition (A) can be chosen independent of a

∈ Ω then the operator (I-U)-1 is uniformly continuous in Ω

Theorem 2.1 (The fixed point theorem of Krassnosel'skii type in locally convex space, [5])

Let X be a sequentially complete locally convex space with a separating family of

seminorms p Let U and C be operators on X such that (i) U satisfies condition (A) on X (ii) For any p ∈ P , there exists k > 0 (dependins on p) such that

y ∈ X, (iii)There exists X0 ∈ X with the property : for any p ∈ p, there exist r ∈ N and λ ∈ [0, 1) ( r and λ depending on p) such that p (Ux0r(x) - U rx0 (y)) < λ p (x - y),

(iv)C is completely continuous, p(C(A)) < ∞ whenever p(A) <∞ , for A ⊂ X, (v)

(v) lim p(C(λ))/p(x) = 0 for all x∈ X

x→∞

Then U - C has a fixed point

Remark 2 From the proof of theorem 2.1 ([5]) we have : I n case family of seminorms p

is finite there exists a bounded open convex subset D of X with boundary δD and closure ̅ such that (I-U)-1C( ̅) ⊂ D and (I-U)-1C has a fixed point in ̅ (not in δD) which is precisely

a fixed pont of u + c in ̅ (not in δD) Indeed

I n the proof of theorem 2.1 ([5]), we only choose 2R3p- 2βp(x0) > R'3p> R3p > 2βp(x0) + βR2p,

then D is a bound open convex subset of X,

̅p={x ∈ X /p(x-x0) ≤R'3p} and ̅ = ∩p∈ p ̅p is a bounded closed convex subset of X satisfying the above conditions

The following theorems are known and are proved, let us recall these theorems without having the proofs

Theorem 2.2 (Krasnosel'skii-Perov) Let (E, I I) be a real Banach space, D be a bounded

open set of E and T: ̅ → E be a compact operator Assume that 0Ể(I-T)δD and that deg

(I-T, D,0) ≠ 0 Assume in addition that T satisfies the condition

Foreach ε > 0,there isacompact operator Tεsuch that|Tε(x)-T(x)| < ε, ∀x ∈

̅ (*) and such that for each h with |h| < ε the equation X = Tε(x)+h has at

(*) mostone

solution in ̅

Then the set of fixed points of T is nonempty, compact and connected

Theorem 2.3 (The locally Lipschitz approximation)

Let E, F be Banach space, D be an open subset of E and f: D→ F be continuous Then for each E >0, there is a mapping ft: D→ F that is locally Lipschitz such that for all

x ∈D and fc(D) c cof(D), where cof(D) is the convex hull off(D)

3, The main results

Let E be a real Banach space with norm |.| and let r > 0 be given Let C = C([-r, 0], E)

be the Banach space of all continuous functions on [-r, 0] to E with the usual norm For each continuous function x: R→ E and for t > 0, we let x1 ∈ C be defined by xt( ) =x(t+ ), ∈[-r,0]

Let E) be the Frechet space of all continuous functions on [0, oo) to E with the

Consider the integral equation :

Where f, g satisfy the conditions as follows :

(1.1) f: (0, ∞) ∞ E → E is continuous with the prorerty : for each n ∈ N, 3 kn > 0 such that

(1.3) =0 uniformly with respe:: to (t s) e [0, ∞)2

Remark 3 Here, the condition ( 1 1 ) relaxs the condition (1.1) of theorem 5 in [5] but

the theorem also holds That is f: [ 0 , ∞) xE →E is continuous such that there exists a

constant k > 0 satisfying |f(x,t)-f(t,y)| k|x-y|,∀x.y ∈ E And we consider the following

(II.4) f: [0, ∞) x C → E is continuous with the property : For each n ∈ N, 3 kn > 0 such that

|f(x,t)-f(t,y)| kn|x-y|,∀x.y ∈ C , ∀t ∈ [0,n] or

(III.5) f: [0 ∞) x E → E is continuous with the property : For each n e N, 3 kn > 0 such that

|f(x,t)-f(t,y)| kn|x-y|,∀x.y ∈ E , ∀t ∈ [0,n] and

( I I I 6) g : [ 0 , ∞)x→E is completely continuous such that | | uniformly with respect to t in each bounded set of [0, )

We have the following theorems

Theorem 3.1 Suppose that f and g satisfy (1.1), (1.2), (1.3) respectively Then the solution

set of equation (I) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected

Theorem 3.2 Suppose that f and g satisfy (I1.4),(III.6) respectively Then the solution set of

equation (II) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected

Theorem 3.3 Suppose that f and g satisfy (III.5), (III.6) respectively Then the solution set of

equation (III) on [0, ∞ ) is nonempty, compact and connected

Remark 4 Here, the equations (I), (II), and (III) are only considered on the domains which

are chosen as follows (see the following proofs of these theorems)

Let H be Hilbert space with |.| denotes the norm in H We consider the following equations :

(IV) {

where : (IV.1) A is any non-negative, self-adjoint operator which does not depend on t and χ

is a given vector in a Hilbert space H

(IV.2) f : H → H is completely continuous and satisfies the following condition: There are positive constants a b α (0< α < 1) such that|f(.x) | < a - b | x | a ∀x∈H We have:

Theorem 3.4 Suppose that A and f satisfy (IV 1) (IV 2) respectively Then the solution set

of the equation (IV) is nonempty, compact and connected

Theorem 3.5 Suppose that A and f satisfy (IV.1),(IV.2), respectively Suppose in addition

that if u(t) is a solution of the equation (IV) {

| u (0)|<E,

where E is some known positive constant

Then the solution set of the equation (V) is nonempty, compact and connected

Remark 5 It is known that, the restriction | u (0)|< E is acceptable because of a physical

reasonning, (see [8], [11])

Let Ω= (0, I), QT = Ω x (0, T), T > 0, Lp = LP(Ω), H1 = Hl(Ω), H2 = H2(Ω), where H1,

H2 are the usual Sobolev spaces on Ω

The norm in L2 is denoted by ||.|| , < , > denotes the scalar product in L2 or pair of dual scalar product of continuous linear functional with an element of a function space, the norm of a Banach space X is denoted by ||.|| x LP(0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞ denotes the Banach space of the real

function u : (0, T)→X measurable, such that ||u|| Lp (0,T;X)=(∫ [ ] , if 1 p ∞

and ||u||L∞ (0,T;X) =ess ||u(t)||x , if p= ∞

Put

V is a closed subspace of H' and on V, ||v||H, and are two equivalent norms The notations are used :

The following assumptions are made ([10]):

(A4) The function H ∈ C1(R) satisfies H(0) = 0 and there exists a constant h0> 0 such that The function f: satisfies f(0, 0) = 0 and the following conditions :

There are two constant α, β ∈ (0, 1] and two functions B1 B2 : continuous and

Let U C: be defined as follows:

Then, by proof of theorem 5 in [5], we have :

And C is completely continuous operator on satisfying

This implies that U and C satisfy the conditions of theorem 2.1, hence by that theorem and remarks 1: 2 (1-U)-1 is well defined and is uniformly continuous on Xn Further there exits a bounded open convex subset D in Xn with boundary δD and closure ̅ such that

(I-U)1C( ̅ )⊂D

and (I-U)-1C has a fixed point in ̅ (but it is not in ∂D), clearly ̅ is bounded closed convex subset of Xn

LetT = (I-U)-1C

It is clear that I-T = (I-U)-1(I-U-C) , so fixed points set of T in ̅ is also fixed points set of U-C) which is precisely solutions set of equation (I) with the domain is ̅ If we can prove the set of fixed points of T in ̅ is nonempty, compact and connected then the proof of step 1 completes

(I-Since C is completely continuous operator on Xn, T is completely continuous operator on Xn Otherwise T( )⊂D and D convex , so we have deg(I-T, D, 0) = 1 S has no fixed point in ∂D , so 0 e (I-T)( ∂D)

∀ Ε > 0, since (I-U)-1 is uniformly continuous on Xn, there exists Δ> 0 such that ||x-y||n<Δ

=>||(l-U)-1(x)-(I-U)-1(y)||n<Ε , ∀x.y∈Xn

Let K= {x(s)/s ∈ [0,n], x ∈ } Then K is bounded in E

Let g* be the extension of g/[0, n]2x K on [0, n]2xE (g/A denotes the restriction of g on A) such that: g*([0, n]2xE) ⊂cog([0, n]2xK)

Using theorem 2.3, there is gΕ that is a locally lipschitz operator on [0, n]2xE such that:

|gΕ(t s, x)-g* (t, s, x)| < Δ/2n for all s,t∈ [0, n], for all x∈E,

and gΕ([0, n]2 x E) ⊂cog*([0, n]2 x E)⊂cog([0, n]2 x K)

Since g is completely continuous, g([0,n]2 K) is relatively compact It follow that ([0,n]2 E) is relativly compact We obtain is completely continuous

Let CΕ : Xn → Xn be defined by

Then TΕ is completely continuous

Finally, we verify that T satisfies condition (*) of Theorem 2.2 on ̅

We have :

So, ||CΕ(x)-C(x)||n<5 Thus ||(I-U)-1CΕ(x)-(l-U)-1C(x)|n<Ε, it means that ||TΕ(x) -T(x)||n < Ε For each h with ||h||n < Ε, suppose that x, y are the solutions of the equation x = TΕ(x) + h

We shall prove that x(t) = y(t) for all t ∈[0, n] Clearly, x(0) = y(0) = h(0) Let b = max

{α∈[0, n]/ x(t) = y(t), t ∈[0, a]} Suppose in contradiction that 0 ≤ b < n Since gΕ is locally lipschitzian, there is r > 0 such that gΕ is lipschitzian with coefficient m in [0, n]2xBr, where

Br = {x* e E / | x' - x(b) | < r} Since x, y are continuous, there is δ' > 0 such that x(s), y(s)

∈Br for all s ∈[b, b+δ'] For all t ∈[b, b+δ'], we have :

Since x(b) = y(b), this inequality implies that x(t) = y(t) for all t ∈[b, b+δ'] which is a

contradiction to our assumption on b as above

Thus the equation x = Sε (x) + h has at most one solution on ̅ Applying theorem 2.2, the set

of fixed points of T in ̅ is nonempty, compact and connected Step 1 is proved

Step 2 We prove that the solution set of (I) on [0, ∞) is nonempty, compact and connected

First, we note that if x(t) is a solution of (1) on [0 ∞) then x|[0.n) (t) is a solution of (I)

on [0, n], for all n∈N Otherwise, for all n∈N, for each solution xn of (I) on [0, n] there exists a solution x* of (I) on [0 ∞)such that x *|[0.n] = xn In other words, xn is expanded on [0, ∞)

Indeed, we.cpnsider the.equation (I'):

Clearly, x*(t) is a solution of (1) on [0, ∞) and x *|[0.n] = xn

Let S be the solution set of (I) on [0, ∞) By theorem 5 ([5]), S is nonempty

Now, we prove S is compact and connected Here, we only consider the set S such that for each

n∈ N, the set Sn={ x|[o,n], x ∈ S} ⊂ ̅ with ̅ is defined in step 1

By step 1, Sn is nonempty, compact and connected on Xn = C([0, n], E)

Applying proposition 1, ([5]), we have S is relatively compact in X0 =C([0, ∞),E) Furthermore S is closed Indeed, let {xk} be a sequence in S which converges to x0 ,

as k → ∞,

then Xk |[0,n] → X0 |[0,n] It follows from Xk |[0,n]∈ Sn and Sn is compact that X0 |[0,n] ∈

Sn

Hence, x0∈ S Thus S is compact

We prove that S is connected

Suppose, to get a contradiction, that S is not connected Then there exists two sets Saand Sb which are nonempty, compact and disjointed such that S= Sa Sb

Put .={ x|[0,n] , x ∈ Sa}, .={ x|[0,n] , x ∈ Sb} It is clear that San and Sbn are

nonempty,

disjointed and On the other hand S3

n and Sbn are closed Indeed

Let {xk} be a sequence in San which converges to x0, as k → ∞.Then there exists a sequence {x*i} in S3 such that =|[0,n] =xk Since Sa is compact, there exists a subsequence { x*k } of

{x*k} such that x*k converges to y in Sa This implies that x*k =|[0,n] → y|[0,n]

It follows from y ∈ S3 and x*k =|[0,n] = xk , converges to x0 that x0 =y|[0,n] ∈ Then San are

closed Similarly, Sbn is also closed This implies that Sn is not connected which gives the contradiction The theorem 3.1 is proved completely

Proof of Theorem 3.2

The proof is similar to that of theorem 3.1 So, we only prove that for each n ∈ N, the solution set of (II) on [0, n] is nonempty, compact and connected Problem (II), with t

∈[-r, n], is equivalent to the integral equation :

For any x ∈ Xn , put ̅:[-r, n] E be defined as follows:

Then ̅ is continuous on [-r, n] and the mapping x → ̅ is continuous Let U, G: Xn→Xn be defined as follows:

Then, by the proof of theorem 2 in [6], we have : ∀z∈Xn,

And G is completely continuous operator on Xn satisfying

This implies that U and G satisfy the conditions of theorem 2.1, as above (l-U)-1 is well defined and is uniformly continuous on Xn and there exists a bounded open convex subset D

in Xn with boundary ∂D and closure ̅ such that (I-U)-1G( ̅)⊂D and (I-U)-1G has a fixed point in ̅ (but it is not in ∂D) Put T = (I-U)-1G We can prove in a similar manner in step 1

of theorem 3.1, that T satisfies conditions of Theorem 2.2 on ̅ The proof completes z Proof of Theorem 3.3 As above, we only prove that for each n ∈ N, the solution set of (III)

on [0, n] is nonempty , compact and connected

Let Xn, = C([-r n] E) with the norm ||x||n = sup{|x(t)|.t ∈ [-r, n]}

The problem (III), with t ∈[-r, n], is equivalent to the integral equation :

Let Z and H : Xa→ Xn be defined by

Put T = (I - Z)-1H And the remainder of the proof is similar to the one of two above

theorems The proof completes G

5 The proofs of the theorems 4 and 5

Let X = C([0,1], H ) be Banach space of the continuous functions u :[0, 1]→H , with the usual norm is denoted by ||.||, ||u|| = sup{ | u(t) |, t[0, 1]}, u∈X Let X, = C1 ([0,1], H) with the norm is also denoted by ||.||, ||u|| = max { | u(t) | + | u'(t)| t∈[0, l]},u∈X1