Phữỡng phĂp khai triºn thứa số riảng phƯn
Cho ph¥n thùc f(x) = u(x) v(x), trong â u(x) v v(x) l c¡c a thùc cõa x bêc m v n tữỡng ựng, vợi m < n, ta l m nhữ sau:
Khai triºn v(x) th nh cĂc thứa số ỡn giÊn cõ dÔng v(x) = (x−x1) k 1 (x−x2) k 2 (x−xr) k r trong â k 1 +k 2 + +k r = n.
Nhữ vêy, cõ thº khai triºn h m f(x) = u(x) v(x) th nh têng c¡c ph¥n sè sì c§p câ d¤ng: A ij
(x−x i ) k i −j+1 , trong õ i lĐy tĐt cÊ cĂc giĂ trà tứ 1 án r, cỏn j lĐy tĐt cÊ cĂc giĂ trà số tứ 1 án k i
A ij (x−x i ) k i −j+1 , tĐt cÊ hằ số Aij cừa khai triºn n y ữủc tẳm theo cổng thực A ij = 1
Cổng thực n y cõ thể được thay thế bằng các phương pháp số trong phép tính tích phân Khi tính tích phân của các phần số hữu tỉ, việc áp dụng các kỹ thuật số học là rất cần thiết Đặc biệt, những phương pháp này rất hiệu quả trong các trường hợp phức tạp liên quan đến hàm số v(x) trong một khoảng hợp lệ.
Náu tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa v(x) ỡn thẳ khai triºn cõ dÔng ỡn giÊn: v(x) = (x−x 1 )(x−x 2 ) (x−x n )x j 6= x k khi j 6= k, F(x) n
Vẵ dử 1.1 PhƠn tẵch phƠn thực F(x) = 8−(x+ 2)(4x+ 10)
(x+ 1)(x+ 2) 2 th nh têng c¡c ph¥n thùc ìn gi£n.
GiÊi: Ta bián ời F(x) th nh:
(x+ 1)(x+ 2) Theo biºu thùc ¢ cho ta câ :
Tẵch phƠn suy rởng v sỹ hởi tử
ành nghắa 1.1 (Tẵch phƠn suy rởng) GiÊ sỷ f l mởt h m số xĂc ành trản khoÊng [a,+∞) v khÊ tẵch trản mồi oÔn [a, b] vợi b > a Náu b→+∞lim b
Z a f(x)dx = I, trong õ I ∈ R, I = +∞ ho°c I = −∞ thẳ I ữủc gồi l tẵch phƠn suy rởng cừa f trản khoÊng [a,+∞) v ữủc kẵ hiằu l
Z a f(x)dx tỗn tÔi Náu I l hỳu hÔn tực l I ∈ R thẳ ta nõi rơng
Z a f(x)dx l hởi tử Tẵch phƠn khổng hởi tử gồi l phƠn ký.
Vợi mồi số thỹc b > 0, ta cõ: b
Do õ tẵch phƠn suy rởng
0 dx tỗn tÔi những phƠn kẳ. ành lỵ 1.1 a) Náu cĂc tẵch phƠn suy rởng
Z a g(x)dx hởi tử thẳ tẵch phƠn suy rởng
Z a f(x)dx hởi tử v λ l mởt hơng số thỹc thẳ tẵch phƠn
Z a f(x)dx. ành lỵ 1.2 GiÊ sỷ f l mởt h m số xĂc ành trản khoÊng [a,+∞), khÊ tẵch trản mồi oÔn [a, b) vợi b > a Náu f(x) ≥ 0 vợi mồi x ∈ [a,+∞) thẳ tẵch phƠn
Z a f(x)dx luổn luổn tỗn tÔi (hỳu hÔn ho°c bơng +∞). Chùng minh: °t F(b) b
H m số b 7→ F(b) tông trản [a,+∞) nản tỗn tÔi lim b→+∞F(b) b→+∞lim b
Z a f(x)dx hởi tử khi v ch¿ khi sup b≥a b
Z a f(x)dx bà ch°n trản [a,+∞). ành lỵ 1.3 (DĐu hiằu so sĂnh) GiÊ sỷ f v g l hai h m số xĂc ành trản khoÊng [a,+∞) v khÊ tẵch trản mồi oÔn [a, b] vợi b > a.
Hằ quÊ 1.1 GiÊ sỷf v g l nhỳng h m số xĂc ành trản khoÊng[a,+∞) v khÊ tẵch trản mồi oÔn [a, b] vợi b > a Náu f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 trản [a,+∞) v f ∼ g khi x → +∞ thẳ cĂc tẵch phƠn
Z a g(x)dx cũng hởi tử ho°c cũng phƠn kẳ.
Vẵ dử 1.5 X²t tẵnh hởi tử cừa tẵch phƠn
Ta cõ: 0 < e −x 2 ≤e −x vợi mồi x ≥ 1 Ta biát rơng
Chú ý: Ảnh lý 1.2, 1.3 và hàm quy 1.1 chứa đựng các ứng dụng cho trường hợp hàm số dữ liệu tách phân khổng ơm (với giá trị từ lợn cừa a) Ảnh lý 1.4 (Tiêu chuẩn Cauchy và sự hội tụ của tách phân) giới thiệu hàm số xác định trên khoảng [a,+∞) và khái niệm tách phân mồi ôn [a, b], với b > a Khi thực hiện tách phân, cần chú ý đến các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính chính xác của các kết quả.
Z a f(x)dx hởi tử náu v ch¿ náu vợi mởt số dữỡng ε bĐt kẳ, tỗn tÔi mởt số thỹc b 0 ≥a sao cho
Chựng minh: Gồi F l h m số xĂc ành trản [a,+∞) bði b 7→ F(b) b
Theo tiảu chuân Cauchy vã sỹ tỗn tÔi giợi hÔn cừa h m số, ∃ lim b→+∞F(b) khi ch¿ khi ∀ε > 0,∃b 0 ≥a sao cho:
Z b 1 f(x)dx nản tứ õ suy ra iãu cƯn chựng minh. ành nghắa 1.2 (Tẵch phƠn hởi tử tuyằt ối) Ta nõi rơng tẵch phƠn
Z a f(x)dx hởi tử tuyằt ối náu
|f(x)|dx hởi tử. ành lỵ 1.5 Tẵch phƠn hởi tử tuyằt ối thẳ hởi tử.
Chựng minh: GiÊ sỷ tẵch phƠn
Z a f(x)dx hởi tử tuyằt ối, tực l tẵch ph¥n
|f(x)|dx hởi tử Cho ε > 0 tũy ỵ, theo tiảu chuân Cauchy vã sỹ hởi tử cừa tẵch phƠn, tỗn tÔi b 0 ≥ a sao cho: b 2 ≥b 1 ≥b 0 ⇒ | b 2
Z a f(x)dx hởi tử (theo tiảu chuân Cauchy).
Vẵ dử 1.6 X²t sỹ hởi tử cừa tẵch phƠn I +∞
0 e −x sinαxdx, α ∈ R. Vẳ |e −x sinαx| ≤ e −x vợi mồi x ∈ R v
0 e −x dx hởi tử nản tẵch phƠn I hởi tử tuyằt ối.
Khi xét các tách phân khổng, chúng ta thường cần đến hai loại hàm số khác nhau: hàm Dirichlet và hàm Abel Hàm Dirichlet được định nghĩa trên khoảng [a, +∞) và hàm số b được ánh xạ thành F(b).
Z a f(x)dx bà ch°n trản [a,+∞) ( ∃M > 0 sao cho: |F(b)| ≤ M, ∀b ≥ a), b) H m số g ỡn iằu trản [a,+∞) v lim x→+∞g(x) = 0. Khi õ tẵch phƠn
Chựng minh: Ta chựng minh ành lỵ vợi giÊ thiát bờ sung: h m số g cõ Ôo h m liản tửc trản [a,+∞).
Ta Ăp dửng tiảu chuân Cauchy vã sỹ hởi tử cừa tẵch phƠn Cho ε > 0 tũy ỵ Ta biát rơng h m số x 7→ F(x) x
Z a f(t)dt l mởt nguyản h m cừa h m số f trản [a,+∞) Vợi mồi số thỹc b 2 ≥ b 1 ≥ a ta cõ: b 2
Với hàm số gỡn iằu trản [a,+∞), hàm g 0 có khối lượng người dùng trản không n y Theo ảnh lý và giá trị trung bình mở rộng của tách phân, tồn tại một số thực c ∈ [b1, b2] sao cho: b2.
Thay v o cổng thực trản ta ữủc: b 2
Vẳ lim x→+∞g(x) = 0 nản tỗn tÔi mởt số thỹc b0 ≥ a sao cho x ≥ b0 ⇒ |g(x)|< ε
Z a f(x)g(x)dx hởi tử. ành lỵ 1.7 (DĐu hiằu Abel) Náu a) H m số f liản tửc trản khoÊng [a,+∞) v tẵch phƠn
Z a f(x)dx hởi tử, b) H m số g ỡn iằu v bà ch°n trản khoÊng [a,+∞) thẳ tẵch phƠn
Chựng minh: Vẳ h m số g ỡn iằu v bà ch°n trản [a,+∞) nản h m số g cõ giợi hÔn hỳu hÔn khi x →+∞: lim x→+∞g(x) =A ∈ R.
H m số g−A ỡn iằu trản [a,+∞) v lim x→+∞[g(x)−A] = 0 Tứ a) suy ra rơng h m số b 7→ b
Z a f(x)dx bà ch°n trản [a,+∞) Theo dĐu hiằu Dirichlet, tứ õ ta suy ra tẵch phƠn
Af(x)dx nản tẵch phƠn
Nhưc lÔi mởt số khĂi niằm trong phữỡng trẳnh vi phƠn
ành nghắa 1.3 Phữỡng trẳnh dÔng dy dx +P(x)y = Q(x) (1.1) ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt.
Trong phữỡng trẳnh (1.1) ta luổn m°c ành P(x) v Q(x) l xĂc ành trản khoÊng (a, b) n o õ Nghiằm tờng quĂt cừa phữỡng trẳnh (1.1) tẳm ữủc dữợi dÔng: y = e −
R P (x)dx dx+C]. ành nghắa 1.4 Phữỡng trẳnh cõ dÔng
Phương trình vi phân thường bậc n được biểu diễn dưới dạng F(x, y, y', y'', , y(n)) = 0 Trong đó, hàm y = y(x) là hàm cần tìm Nếu hàm y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương trình vi phân thường (1.2), thì khi thay thế y = ϕ(x), y' = ϕ'(x), , y(n) = ϕ(n)(x) vào phương trình (1.2), ta sẽ nhận được một kết quả nhất định.
Phương trình F(x, ϕ(x), ϕ'(x), , ϕ(n)(x)) = 0 là một dạng phương trình vi phân Phương trình đồng bậc hai có dạng y'' + py' + qy = f(x), trong đó p và q là các hệ số, còn f(x) là một hàm số xác định Đây được gọi là phương trình vi phân cấp hai với các hệ số hằng.
A 0 d n y dx n +A 1 d (n−1) y dx (n−1) + +A n−1 dy dx +A n y = 0 vợi A i , i = 0, n l hơng số, A 0 6= 0, ữủc gồi l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp n thuƯn nhĐt vợi hằ số hơng, tữỡng ựng vợi nõ, phữỡng trẳnh:
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng A0 d^n y/dx^n + A1 d^(n−1) y/dx^(n−1) + + An−1 dy/dx + An y = f(x) là một loại phương trình quan trọng trong toán học Tương tự, phương trình động y(n) + P1(x)y(n−1) + + Pn−1(x)y' + Pn(x)y = f(x) cũng là phương trình vi phân tuyến tính nhưng có hệ số biến đổi P1(x), P2(x), theo x, thể hiện tính linh hoạt trong việc mô tả các hiện tượng vật lý phức tạp.
Pn(x) (trong õ P1(x), P2(x), , Pn(x) xĂc ành v liản tửc trong mởt kho£ng (a, b) n o â).
Ph²p bián ời Laplace v cĂc tẵnh chĐt
ành nghắa 2.1 GiÊ sỷ f(t) l mởt h m số liản tửc tứng khúc, ph²p bián ời Laplace cừa h m f(t) l tĂc ởng cừa toĂn tỷ L v o h m f(t) ữủc ành nghắa
0 e −st f(t)dt = F(s), (2.1) náu tẵch phƠn
ToĂn tỷ L tĂc ởng v o h m gốc f(t) cho ta mởt h m Ênh F(s).
Vẵ dử 2.1 Tẳm ph²p bián ời Laplace cừa h m f(t) = 1.
GiÊi: Tứ cổng thực (2.1) ta cõ:
Nhữ vêy, tẵch phƠn trản ch¿ hởi tử khi s > 0, kát quÊ l :
Vẵ dử 2.2 Tẳm ph²p bián ời Laplace cừa h m f(t) = t.
GiÊi: Tứ cổng thực (2.1) ta cõ:
Nhữ vêy, tẵch phƠn trản ch¿ hởi tử khi s > 0, kát quÊ l :
L{t} = F(s) = 1 s 2 Vẵ dử 2.3 Tẳm ph²p bián ời Laplace cừa h m f(t) = e at
Tứ cổng thực (2.1) ta cõ:
−(s−a) | n 0 Náu s−a > 0 thẳ e −(s−a)n →0 khi n →+∞, do õ ta cõ:
Vẵ dử 2.4 Tẳm ph²p bián ối Laplace cừa f(t) = sinat, g(t) = cosat. Gi£i: Ta câ: F(s) = L{sinat} +∞
Vẵ dử 2.5 Tẳm ph²p bián ời Laplace cừa h m f(t) = coshat.
Ta câ: f(t) = coshat = e at +e −at
BÊng cĂc ph²p bián ời Laplace cho cĂc h m °c biằt
STT H m gốc f(t) H m Ênh F(s) Miãn hởi tử
(s−a) 2 +k 2 s > aTẵnh chĐt 2.1 L{c 1 f 1 (t) +c 2 f 2 (t)} = c 1 F 1 (s) + c 2 F 2 (s).(Chựng minh cõ thº tham khÊo t i liằu [1])
Vẵ dử 2.6 Tẳm ph²p bián ời Laplace cừa h m f(t) = 4t 2 −3 cos 2t+ 5e −t GiÊi: p dửng ph²p biºn ời Laplace cừa cĂc h m bữợc v h m lữủng giĂc ð trản ta cõ:
Chựng minh: Theo ành nghắa cừa ph²p bián ời Laplace, ta cõ: L{f(at)} +∞
Chựng minh: Theo ành nghắa cừa ph²p bián ời Laplace ta cõ: L{f 0 (t)} +∞
Tữỡng tỹ ta cõ tẵnh chĐt 6 v 7.
Vẵ dử 2.7 Chựng minh: L{sinat}= a s 2 +a 2
Ta câ: f(t) = sinat ⇒F(s) = L{f(t)}, suy ra: f 0 (t) = acosat, f 00 (t) =−a 2 sinat, f(0) = 0, f 0 (0) = a
Theo tẵnh chĐt 6 ta cõ:
⇒ L{sinat} = a s 2 +a 2 Tẵnh chĐt 2.7 L{f (n) (t)} = s n F(s)−s n−1 f(0)−s n−2 f 0 (0)− −f (n−1) (0). Tẵnh chĐt 2.8 L{ t
0 f(u)du ⇒g 0 (t) =f(t), g(0) = 0 Tứ tẵnh ch§t 5 ta câ:
L{tf(t)} = − d dsF(s) =F 0 (s). ành lþ 2.1 (ành lþ gi¡ trà ¦u) f(0+) = lim s→∞sF(s).
Tứ ph²p bián ời cừa Ôo h m (Tẵnh chĐt 5): L{f 0 (t)} = sF(s)−f(0+). LĐy giợi hÔn khi s → +∞ s→+∞lim L{f 0 (t)} = lim s→+∞[sF(s)−f(0+)] m lim s→+∞L{f 0 (t)}= lim s→+∞
M f(0+) l hơng số nản f(0+) = lim s→∞sF(s). ành lþ 2.2 (ành lþ gi¡ trà cuèi)
Tứ ph²p bián ời cừa Ôo h m (Tẵnh chĐt 5): L{f 0 (t)} = sF(s)−f(0+). LĐy giợi hÔn khi s → 0 lims→0L{f 0 (t)} = lim s→0
0 f 0 (t)e −st dt = lim s→0[sF(s)−f(0+)] m lim s→0
Ph²p bián ời Laplace ngữủc
ành nghắa 2.2 Ph²p bián ời Laplace ngữủc ữủc ành nghắa nhữ sau:
2 CĂc tẵnh chĐt cừa ph²p bián ời laplace ngữủc
Vẵ dử 2.8 XĂc ành ph²p biºn ời Laplace ngữủc cừa h m
Vẵ dử 2.9 Tẳm ph²p bián ời Laplace ngữủc cừa h m F(s) = lns+ 1 s−1. Gi£i: Ta câ:
Chú ỵ: Trong cĂc ph²p bián ời ngữủc, cĂc mău số cƯn ữủc chuyºn vã d¤ng nh÷ b£ng sau:
DÔng cừa mău số Chuyºn vã dÔng cừa phƠn thực ax+b A ax+ b
ành lỵ vã tẵch chêp
Ph²p nhƠn chêp (tẵch chêp) cừa hai h m f(t) v g(t) tũy ỵ ữủc kỵ hiằu giỳa chúng bði dĐu * l h m f ∗g sao cho
0 f(t−τ)g(τ)dτ; ho°c biºu diạn qua mởt tẵch phƠn vổ hÔn ối vợi hai h m f v g tũy ỵ l f ∗g +∞
Náu f, g v h l cĂc h m tũy ỵ, a l hơng số, tẵch chêp cừa hai h m số cõ tẵnh chĐt: f ∗g = g ∗f;f ∗(g∗h) = (f ∗g)∗h; f ∗(g +h) = (f ∗g) + (f ∗h);a(f ∗g) = (af)∗g = f ∗(ag).
LĐy Ôo h m tẵch chêp, ta cõ: (f ∗g) 0 = f 0 ∗g = f ∗g 0 , ho°c lĐy tẵch ph¥n ta câ:
−∞ g(t)dt], trong õ tẵch phƠn n y khổng thay ời giĂ trà khi ời chộ cĂc h m f(t) v g(t), do õ tẵch chêp cừa hai h m ối xựng nhau ối vợi cĂc h m nhƠn chêp.
Vẵ dử 2.10 Tẵch chêp cừa cost v sint l :
0 cosτ sin(t−τ)dτ. p dửng cổng thực lữủng giĂc cosAsinB = 1
Giới thiệu về phép biến đổi Laplace, hai hàm f(t) và g(t) là những hàm liên tục với t ≥ 0, và |f(t)|, |g(t)| được chấp nhận bởi M e ct khi t tiến tới vô cực Khi áp dụng phép biến đổi Laplace cho tích chập f * g, điều kiện tồn tại là s > c.
Nhữ vêy dũng tẵch chêp chúng ta cõ thº tẳm ữủc ph²p bián ời cừa
Vẵ dử 2.11 Vợi f(t) = sin 2t v g(t) = e t , ta cõ:
Ch÷ìng 3 ÙNG DệNG PHP BIN ấI
LAPLACE GII PH×ÌNG TRNH
Ùng dửng ph²p bián ời Laplace cho phữỡng trẳnh vi phƠn 26
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng: ay''(t) + by'(t) + cy(t) = f(t), với các hằng số a, b, c và điều kiện ban đầu y(0) = y₀, y'(0) = y₀₀ Ở đây, y₀ và y₀₀ là các giá trị xác định tại t = 0 Để thực hiện biến đổi Laplace cho phương trình (3.1), ta có: aL{y''(t)} + bL{y'(t)} + cL{y(t)} = L{f(t)}.
⇒Y(s) = F(s) + (as+b)y 0 +ay 0 0 as 2 +bs+c Nhữ vêy, náu biátf(t), ta suy ra F(s) Do õ ho n to n xĂc ành ữủc
Y(s) Suy ra nghiằm phữỡng trẳnh (3.1) vợi iãu kiằn ban Ưu (3.2) l : y(t) = L −1 {Y(s)}.
Nhữ vêy, viằc giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh vợi hằ số hơng số bơng ph²p bián ời Laplace ữủc thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau:
Bước 1: Dùng phép biến đổi Laplace để chuyển đổi hai phương trình thành một phương trình vi phân bậc nhất theo biến s.
Bữợc 2: GiÊi phữỡng trẳnh Ôi số trản, chuyºn vá º tẳm Y(s).
Bữợc 3: Dũng ph²p bián ời Laplace ngữủc º tẳm y(t) = L −1 {Y(s)}. Trong ph²p bián ời Laplace cõ cĂc tẵnh chĐt sau:
GiÊ sỷ f, f 0 , , f (n−1) l cĂc h m liản tửc v f (n) l h m liản tửc tứng khúc, thẳ:
L{f 0 (t)} = sF(s)−f(0). iãu kiằn ban Ưu tÔi t = 0, y(0) v y 0 (0) cõ thº thay v o trong cĂc biºu thực trản.
Vẵ dử 3.1 GiÊi phữỡng trẳnh y 00 −10y 0 + 9y = 5t, y(0) = −1, y 0 (0) = 2. GiÊi: Thỹc hiằn ph²p bián ời Laplace hai vá ta cõ:
⇔s 2 Y(s)−sy(0)−y 0 (0)−10[sY(s)−y(0)] + 9Y(s) = 5 s 2 Thay iãu kiằn Ưu y(0) = -1, y'(0) = 2 ta ữủc: s 2 Y(s) +s−2−10[sY(s) + 1] + 9Y(s) = 5 s 2
TĂc ởng ph²p bián ời Laplace ngữủc v o cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh trản:
81e 9t −2e t Vẵ dử 3.2 Dũng ph²p bián ời Laplace giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn:
GiÊi: p dửng ph²p bián ời Laplace v o hai vá cừa phữỡng trẳnh ta ữủc:
Thay cĂc giĂ trà Ưu y(0) = −4, y 0 (0) = 2 v o ta ữủc:
(s+ 1 2 )(s+ 1)(s+ 2) p dửng cĂc phƠn tẵch riảng phƯn ta cõ:
3e −2t Vẵ dử 3.3 GiÊi phữỡng trẳnh: y 00 + 4y = 2e t , vợi y 0 = 0, y 0 0 = 1.
GiÊi: TĂc ởng ph²p bián ời Laplace v o hai vá cừa phữỡng tẳnh trản ta ữủc:
LÔi tĂc ởng ph²p bián ời Laplace ngữủc ta cõ: y = L −1 { 2
5cos 2t (Theo vẵ dử 2.8, Ăp dửng ành lỵ vã tẵch chêp)
Vẵ dử 3.4 GiÊi phữỡng trẳnh: y 000 −3y 00 + 3y 0 −y = t 2 e t
GiÊi: TĂc ởng ph²p bián ời Laplace v o hai vá cừa phữỡng tẳnh trản ta ữủc: s 3 F(s)−s 2 f(0)−sf 0 (0)−f 00 (0)−3[s 2 F(s)−sf(0)−f(0)]
2 t 2 e t +C2te t +C3e t Vẵ dử 3.5 GiÊi phữỡng trẳnh: ty 00 −ty 0 +y = 2, y(0) = 2, y 0 (0) = −4 GiÊi: p dửng bián ời Laplace hai vá ta cõ:
Phữỡng trẳnh trản l phữỡng trẳnh vi phƠn tuyán tẵnh cĐp 1 nản ta suy ra nghiằm:
Vẵ dử 3.6 GiÊi phữỡng trẳnh: y 00 + 3ty 0 −6y = 2, y(0) = 0, y 0 (0) = 0. GiÊi: p dửng ph²p bián ời Laplace v o cÊ hai vá cừa phữỡng trẳnh trản ta ữủc: s 2 Y(s)−sy(0)−y 0 (0) + 3[−sY 0 (s)−Y(s)]−6Y(s) = 2 s
= 0 ⇒ c = 0 (Theo cổng thực 4.67 trong t i liằu
Ùng dửng ph²p bián ời Laplace cho hằ phữỡng trẳnh vi phƠn 30
Trong mức n y, chúng ta sẽ áp dụng phép biến đổi Laplace để giải hệ phương trình vi phân Phương pháp này giúp tìm ra nghiệm cho các bài toán liên quan đến hệ thống động lực học và điều khiển.
Vẵ dử 3.7 GiÊi hằ phữỡng trẳnh:
GiÊi: p dửng ph²p bián ời Laplace cho hai vá cừa cÊ hai phữỡng trẳnh ta câ:
Thay cĂc iãu kiằn ban Ưu v rút gồn ta ữủc:
Thỹc hiằn ph²p bián ời ngữủc, ta cõ:x 1 (t) = 1
108(133e 6t −28e −3t +3−18t). º tẳm nghiằm thự hai, ta cõ: x 0 ( t) =−6x 1 −t ⇒x 2 Z (−6x 1 −t)dt = − 1
Thay iãu kiằn ban Ưu x2(0) = −1, ta ữủc: C = 3
4. Vêy hằ phữỡng trẳnh  cho cõ nghiằm l :
4. Vẵ dử 3.8 GiÊi hằ phữỡng trẳnh:
GiÊi: Thỹc hiằn ph²p bián ời Laplace hai vá cừa cÊ hai phữỡng trẳnh ta câ: ( sX −8 = 2X −3Y sY −3 = Y −2X ⇒
Dũng quy tưc Cramer giÊi hằ ta ữủc:
( x = 5e −t + 3e4t y = 5e −t −2e 4t Vẵ dử 3.9 GiÊi hằ phữỡng trẳnh:
GiÊi: Thỹc hiằn ph²p bián ời Laplace hai vá cừa cÊ hai phữỡng trẳnh ta câ:
Viát lÔi th nh hằ tuyán tẵnh theo X, Y:
Dũng quy tưc Cramer giÊi hằ ta ữủc:
( x(t) = 30 cost−15 sin 3t+ 3e −t + 2 cos 2t, y = 30 cos 3t−60 sint−3e −t + sin 2t.
Vẵ dử 3.10 GiÊi hằ phữỡng trẳnh:
Thọa mÂn cĂc iãu kiằn Ưu: x(0) = 1, y(0) = z(0) = x 0 (0) = y 0 (0) z 0 (0) = 0.
GiÊi: Ùng dửng ph²p bián ời Laplace v o 2 vá cừa cÊ 3 phữỡng trẳnh v thay iãu kiằn Ưu v o ta ữủc hằ sau:
Nhỳng ữu iºm v nhữủc iºm cừa viằc Ăp dửng ph²p bián ời Laplace trong viằc giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn
ời Laplace trong viằc giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn
Dũng ph²p bián ời Laplace º giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn cõ nhỳng ữu iºm nh÷ :
Thay các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân, chia trong miền cửa t bông các phép toán ô số, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán Việc áp dụng những phép toán này sẽ làm cho việc giải quyết các bài toán trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.
Tỹ ởng ữa các điều kiện ban Ưu và quá trình giải quyết không cần phải tắm nghiềm tường quắt Sau đó, mọi điều kiện ban Ưu sẽ xác định các hằng số.
Những hàm phương trình phi tuyến cho dữ liệu mà chúng ta không thể giải quyết bằng phương pháp ma trận trên những cỡ dữ liệu lớn cần được biến đổi theo phép biến đổi Laplace.
Bản cÔnh õ dũng ph²p bián ời Laplace º giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn cụng cỏn cõ nhỳng m°c hÔn chá nhữ:
- Ch¿ Ăp dửng ữủc ối vợi nhỳng h mf(t)cõ tẵch phƠn suy rởng
- Khi bián ời th nh h m Ênh º lĐy ph²p bián ời Laplace vã h m gốc cỏn hÔn chá vẳ cõ nhỳng h m khổng thº Ăp dửng ph²p bián ời ngữủc ữủc.
KT LUN ã t i Ph²p biến đổi Laplace là một công cụ quan trọng trong lý thuyết giải phương trình vi phân Nó cho phép chuyển đổi các phương trình phức tạp thành dạng dễ xử lý hơn Cụ thể, nó giúp hệ thống hóa các kiến thức và tách biệt suy luận, từ đó giải quyết hiệu quả các phương trình vi phân.
2/ Tẳm hiºu v trẳnh b y khĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt cừa ph²p bián ời Laplace cũng cĂc vẵ dử minh hồa.
3/ Tẳm hiºu v trẳnh b y khĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt cừa ph²p bián ời Laplace ngữủc cũng cĂc vẵ dử minh hồa.
4/ p dửng ph²p bián ời Laplace º giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn v hằ phữỡng trẳnh vi phƠn.
5/ Tứ õ rút ra ữủc nhỳng ữu iºm v nhữủc iºm cừa ph²p bián ời Laplace trong giÊi phữỡng trẳnh vi phƠn.
Xin cảm ơn các thầy cô giáo thuộc khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đã tận tâm giảng dạy và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin gửi lời tri ân đến thầy giáo, TS Lê Hữu Trung, người đã hướng dẫn tôi qua từng buổi học, truyền đạt những kiến thức quý báu và những nội dung cần thiết cho sự phát triển của tôi Mặc dù có nhiều khó khăn, nhưng nhờ sự hỗ trợ của thầy, tôi đã có thể vượt qua những thử thách Tôi rất mong nhận được sự đóng góp của thầy cô để tôi ngày càng hoàn thiện hơn.