Phép biến đổi laplace

Lý do chọn đề tài Phép biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân vô cùng quantrọng trong toán học.. Nguồn gốc của ứng dụngnày là ở chỗ phép biến đổi Laplace cho phép chuyển từ phép

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

KHOA TOÁN

Nguyễn Trần Quyền

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Ngành: Sư phạm Toán

Giảng viên hướng dẫn: TS Lê Hoàng Trí

Đà Nẵng - 2019

Lời đầu tiên trước khi trình bày các nội dung chính của khoá luận, emxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến Sỹ Lê Hoàng Trí người đã tậntình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khoá luận này.

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể các giảng viên đãtận tình dạy bảo em trong suốt quá trình học tập tại trường

Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình,bạn bè và đặc biệt là tập thể các bạn trong lớp 15ST đã luôn động viên,giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện khoá luậntốt nghiệp

Đà Nẵng, ngày 23 tháng 01 năm 2019

Sinh viên

Nguyễn Trần Quyền

Mục lục

Lời mở đầu 4

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Tích phân suy rộng 7

1.2 Hàm số Gamma Euler 16

1.3 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 19

1.4 Một số vấn đề liên quan đến hàm biến phức 25

CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN 33

2.1 Định nghĩa về phép biến đổi Laplace 33

2.2 Điều kiện tồn tại của phép biến đổi Laplace 36

2.3 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 39

2.4 Đạo hàm và tích phân của phép biến đổi Laplace 52

2.5 Phép biến đổi Laplace ngược 56

2.5.1 Dùng khai triển phân thức 58

2.5.2 Dùng tích chập 60

2.5.3 Sử dụng thặng dư của tích phân phức 63

2.6 Giá trị đầu và giá trị cuối 68

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 70

3.1 Phương trình vi phân tuyến tính 70

3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 73

3.3 Ứng dụng trong các bài toán dao động 74

3.3.1 Bài toán dao động điều hoà không có lực cản 74 3.3.2 Bài toán dao động tắt dần với lực cản tỉ lệ bậc nhất với

vận tốc 75

3.3.3 Dao động cưỡng bức không có lực cản 75

3.4 Ứng dụng trong các bài toán về mạch điện 80

3.5 Nghiệm của phương trình tích phân 82

3.6 Nghiệm của phương trình sai phân và vi sai phân 88

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phép biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân vô cùng quantrọng trong toán học Ứng dụng lớn nhất của nó là để giải các bài toán vềphương trình vi phân và các bài toán liên quan Nguồn gốc của ứng dụngnày là ở chỗ phép biến đổi Laplace cho phép chuyển từ phép tính vi tíchphân trên hàm sang các phép tính đại số trên ảnh của hàm qua phép biếnđổi Laplace Các phép biến đổi cho phép chuyển như vậy được gọi chung

là phép tính toán tử (operational calculus)

Phép biến đổi được đặt theo tên của nhà toán học và thiên văn vănhọc nổi tiếng người Pháp Pierre Simon Laplace (23/03/1749-05/03/1827).Phép biến đổi Laplace được ông nghiên cứu từ năm 1782 Tuy nhiên tínhhữu dụng của phương pháp này không được công nhận Các kỹ thuật củaphép biến đổi Laplace vô cùng hiệu quả như hiện nay là do nhà một kỹ

sư điện người Anh là Oliver Heaviside (1850-1925) phát triển khoảng mộtnăm sau đó Vì vậy phép biến đổi Laplace cũng còn được gọi là phép tínhHeaviside (Heaviside calculus)

Việc tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết của phép biến đổi Laplace và cácứng dụng của nó rất có ý nghĩa đối với không chỉ sinh viên ngành toán màcòn với các sinh viên các ngành vật lý hay kĩ thuật Do đó, được sự giúp

đỡ và hướng dẫn của giảng viên Lê Hoàng Trí, em quyết định chọn đề tài

"Phép biến đổi Laplace" làm đề tài khoá luận tốt nghiệp của mình

2 Mục tiêu đề tài

Nhằm hiểu thấu đáo hơn về lý thuyết cơ bản của phép biến đổi Laplacenhư định nghĩa, tính chất, biến đổi Laplace ngược và một số phương pháp

biến đổi Laplace thông dụng.

Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải một số phương trình vi phânthường, phương trình sai phân, vi sai phân và các bài toán liên quanthường xuất hiện trong vật lý và khoa học kỹ thuật

3 Đối tượng nghiên cứu

Phép biến đổi Laplace và các ứng dụng liên quan của nó

4 Phạm vi nghiên cứu

Các cơ sở lý thuyết về các vấn đề liên quan đến phép biến đổi Laplace

và các bài toán vật lý có thể giải được bằng phép biến đổi Laplace

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong khoá luận này em chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu lýthuyết để thực hiện đề tài Trước tiên là thu thập các bài báo khoa học,sách vở liên quan đến đề tài khoá luận, tìm hiểu các vấn đề đó Sau đótrình bày các kết quả đề tài theo hệ thống khoa học với các chứng minhchi tiết

Đồng thời sử dụng các kiến thức và kết quả đã có của Hàm biến phức,Biến đổi tích phân, Phương trình vi phân,

6 Cấu trúc khoá luận

CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày, hệ thống một số lý thuyết về tích phân suy rộng,tích phân suy rộng phụ thuộc tham số và một số vấn đề của hàm biếnphức nhằm thuận tiện trong việc trình bày các kiến thức trong Chương 2

và Chương 3

CHƯƠNG 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ CÁC TÍNHCHẤT CƠ BẢN

Chương này trình bày, hệ thống về định nghĩa, các tính chất, các định

lý cơ bản, điều kiện tồn tại của phép biến đổi Laplace và một số phương

pháp tìm phép biến đổi ngược Laplace của một số hàm ảnh cho trước.CHƯƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔILAPLACE

Chương này trình bày một số cách giải phương trình vi phân tuyếntính, hệ phương trình vi phân tuyến tính, phương trình tích phân, phươngtình sai phân và phương trình vi sai phân bằng cách ứng dụng phép biếnđổi Laplace Đồng thời trình bày một số bài toán cơ học trong dao động

và các bài toán về mạch điện có thể giải được bằng phép biến đổi Laplace

CHƯƠNG1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

b 0

b 0

= lim

b→+∞arctan b = π

2

xα với α là một số thực bất kì cho trước.

Nếu α = 1 thì với mọi b ∈ R, b > 1 ta có

b 1

(ii) Hội tụ đến 1

α − 1 nếu α > 1.Định lí 1.1.5 Giả sử f là hàm số xác định trên nửa khoảng [a; +∞),khả tích trên mọi đoạn [a; b] với a < b Nếu f (x) > 0 với mọi x ∈ [a; +∞)thì tích phân

g(x)dx cùng phân kỳ hoặc cùng hội tụ.

Chứng minh Vì f ∼ g (x → +∞) nên tồn tại một hàm số h xác địnhtrên [a; +∞) sao cho

f (x) = h(x)g(x) với x đủ lớn và lim

x→+∞h(x) = 1

Do đó tồn số thực a0 > a sao cho h(x) < 2 với mọi x > a0 và ta có

06 f (x) 6 2g(x) với mọi x > a0 Theo nhận xét 1.1.6 nếu

+∞

Z

a

g(x)dx hội

Định lí 1.1.9 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ tích phân) Giả sử f làhàm số xác định trên [a; +∞) và khả tích trên mọi đoạn [a; b] với a < b.Khi đó tích phân

+∞

Z

a

f (x)dx hội tụ khi và chỉ khi với một số dương ε bất

kỳ, tồn tại một số thực b0 > a sao cho

(∀b1, b2 ∈ R) b2 > b1 > b0 ⇒

Định nghĩa 1.1.10 Ta nói tích phân

< ε

Hơn nữa

+∞

0

+ sa

Từ đây dễ dàng ta suy ra điều cần chứng mính

2.2 Điều kiện tồn tại của phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 2.2.1 Hàm f được gọi là một hàm gốc nếu nó thoả mãn bađiều kiện sau

(i) f bị triệt tiêu khi t<0,

(ii) f liên tục từng khúc trên [a; +∞),

(iii) f không tăng nhanh hơn hàm mũ khi t → +∞ nghĩa tồn tại số

Chứng minh Với mỗi ε > 0, tồn tại α sao cho α = α0 + ε Hơn nữa vì f

là hàm gốc nên tồn tại M > 0 sao cho

+∞

Z

0

e−stf (t) dt hội tụ Hơn nữa

do định nghĩa 1.1.10 và định lý 1.1.11 thì tích phân (2.1) hội tụ tuyệt đối

Do đó ta có điều phải chứng minh

Định lí 2.2.3 Cho f là hàm gốc có chỉ số tăng α0, khi đó

+∞

Z

0

e−stf (t)dthội tụ đều trên miền s Re(s) > α với α > α0

Chứng minh Vì f là hàm gốc có chỉ số tăng α0 nên tồn tại M > 0 saocho

+∞

0

s − a (Re(s) > a) Nếu a là số thức thì điều kiện để có L {eat} là Re(s) > Re(a)

Định lí 2.2.5 Chof là hàm gốc có chỉ số tăngα0 Khi đó F (s) = L {f (t)}

là hàm giải tích trong miền Re(s) > α0

Do f là hàm gốc có chỉ số tăng α0, nên tồn tại M > 0, α < Re(s) và

ε > 0 sao cho α > α0 + ε, khi đó

(−t)e−stf (t) 6 tM e−(Re(s)−α0 −ε)t

6 tM e−(α−α0 −ε)t

−stf (t)

dt

tại mọi điểm s thuộc miền trên Do đó F (s) là hàm giải tích trong miềnRe(s) > α0

2.3 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace

Định lí 2.3.1 (Tính tuyến tính) Cho các hàm gốc fk với chỉ số tăng là

αk k = 1; n
, khi đó trên miền xác định Re(s) > max

16k6nαk thìL

Chứng minh Theo tính chất tuyến tính của tích phân ta có điều cần chứngminh

Ví dụ 2.3.2 Xét các phép biến đổi Laplace L {cos ωt} và L {sin ωt} với

+∞

0

s − iω.Tương tự L

e−iωt = 1

s + iω.