Một vài ứng dụng của hàm đặc trưng

Khác với một số môn Toán học trừu tượng, lý thuyết xác suất được xây dựng dựa trên các công cụ Toán học hiện đại như Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo, … nhưng lại gắn liền với các bài toán

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôn Thất

Tú, người đã hướng dẫn, giúp đỡ tôi tận tình, chu đáo trong suốt quá trình thực hiện đề tài này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả các quý thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong ban Quản lý Thư viện thuộc trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện cho tôi thực hiện khóa luận này

Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô đã dành thời gian quý báu để đọc khóa luận này và đóng góp cho tôi nhiều kinh nghiệm quý báu

Xin cảm ơn gia đình, các đồng học đã quan tâm, bên cạnh, động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này

Đà Nẵng, ngày 19 tháng 5 năm 2013

Sinh viên thực hiện

Cao Thị Thùy Dung

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

1 Lí do chọn đề tài 5

2 Mục đích chọn đề tài 5

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5

4 Phương pháp nghiên cứu 5

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 5

6 Tóm tắt nội dung khóa luận 6

PHẦN NỘI DUNG 7

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1 Đại lượng ngẫu nhiên 7

1.1 Định nghĩa 7

1.2 Tính chất 7

1.3 ĐLNN độc lập 7

2 Hàm phân phối 7

2.1 Định nghĩa 7

2.2 Tính chất 8

3 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục tuyệt đối 8

3.1 Phân phối rời rạc 8

3.2 Phân phối liên tục tuyệt đối 9

4 Hàm của các ĐLNN 12

4.1 Trường hợp ĐLNN có phân phối rời rạc 12

4.2 Trường hợp ĐLNN có phân phối lttđ 12

5 Một số đặc trưng của ĐLNN 14

5.1 Kì vọng toán học 14

5.2 Phương sai 19

Chương 2: HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA HÀM ĐẶC TRƯNG 22 1 Hàm đặc trưng 22

1.1 Hàm đặc trưng 22

1.2 Hội tụ theo xác suất 27

2 Một vài ứng dụng của hàm đặc trưng 28

2.1 Tìm phân phối xác suất 28

2.2 Tìm phân phối giới hạn 31

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết xác suất là một ngành toán học ra đời vào khoảng thế kỷ XVII Dưới sự nghiên cứu của nhiều nhà Toán học, cho đến nay nó đang là một trong những ngành khoa học phát triển cả về lý thuyết cũng như ứng dụng Nó được ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, khoa học giáo dục và các ngành kinh

tế, kĩ thuật, y học, … Đối tượng nghiên cứu của xác suất là các hiện tượng ngẫu nhiên, các quy luật ngẫu nhiên mà chúng ta thường gặp trong thực tế Khác với một số môn Toán học trừu tượng, lý thuyết xác suất được xây dựng dựa trên các công cụ Toán học hiện đại như Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo, … nhưng lại gắn liền với các bài toán thực tế cuộc sống, trong tự nhiên và xã hội

Được A.M Liapounov (1857 – 1918) nghiên cứu, hàm đặc trưng được coi là một trong những khái niệm lý luận quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết xác suất Có thể nói hàm đặc trưng là một công cụ khá sắc sảo và giúp giải quyết nhiều vấn đề quan trọng trong lý thuyết xác suất Để góp phần làm rõ thêm một vài ứng dụng của hàm đặc trưng trong xác suất, em đã mạnh dạn chọn hàm đặc trưng làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích chọn đề tài

Tìm hiểu hàm đặc trưng trong việc nghiên cứu tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập đồng thời tìm hiểu ứng dụng của nó trong việc chứng minh một vài định lý giới hạn quan trọng trong lý thuyết xác suất

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là một vài ứng dụng của hàm đặc trưng trong lý thuyết xác suất

Ở đây em chỉ dừng lại ở mức độ nghiên cứu một số ứng dụng của hàm đặc trưng liên quan đến việc tìm phân phối của các đại lượng ngẫu nhiên trong một vài trường hợp thường gặp trong lý thuyết xác suất

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, đánh giá, tổng hợp

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tổng quan các kết quả của các tác giả đã nghiên cứu liên quan đến hàm đặc trưng và ứng dụng của hàm đặc trưng nhằm xây dựng một tài liệu tham khảo cho những ai có thích thú với bộ môn lý thuyết xác suất

6 Tóm tắt nội dung khóa luận

Nội dung khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, bao gồm các kiến thức liên quan đến đại lượng ngẫu nhiên

Chương 2: Hàm đặc trưng và một vài ứng dụng của hàm đặc trưng Bao gồm: Định nghĩa và một số tính chất của hàm đặc trưng; một vài ứng dụng của hàm đặc trưng: bao gồm các bài tập sử dụng hàm đặc trưng để tìm phân phối xác suất của một vài đại lượng ngẫu nhiên và tìm phân phối giới hạn

PHẦN NỘI DUNG

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Đại lượng ngẫu nhiên

(iv) F(x) liên tục trái trên ℝ

3 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục tuyệt đối

3.1 Phân phối rời rạc

3.1.1 Định nghĩa

ĐLNN X được gọi là có phân phối rời rạc nếu miền giá trị của X là một tập hữu hạn hay đếm được Lúc đó, ta còn gọi X là ĐLNN rời rạc

Kí hiệu: 𝐼𝑚(𝑋) là tập các giá trị của X

3.1.2 Hàm mật độ của phân phối rời rạc

3.1.3 Một số phân phối rời rạc thường gặp

3.1.3.1 Phép thử Bernoulli và phân phối nhị thức

a) Phép thử Bernoulli

Định nghĩa:

Dãy n phép thử thỏa các điều kiện sau được gọi là dãy phép thử Bernoulli:

- Mỗi phép thử có hai biến cố đối nhau, kí hiệu là T (thành công) và 𝐵 = 𝑇𝑐 (thất bại)

- Các biến cố T, B ở các phép thử trong dãy là độc lập

3.1.3.2 Phân phối Poisson

Giả sử 𝜆 là một số thực dương, ta nói X là ĐLNN có phân phối Poisson với tham số 𝜆

nếu:

{

𝐼𝑚(𝑋) = {0,1,2, … } 𝑃[𝑋 = 𝑘] = 𝑒

−𝜆𝜆𝑘𝑘! ∀𝑘 ∈ 𝐼𝑚(𝑋)

Kí hiệu: 𝑋~ p (𝜆)

Rõ ràng hệ xác suất:

𝑝𝑘 = 𝑃[𝑋 = 𝑘] =𝑒

−𝜆𝜆𝑘𝑘! ≥ 0 ∀𝑘 ∈ 𝐼𝑚(𝑋)

3.1.3.3 Phân phối Pascal (phân phối hình học)

ĐLNN X được gọi là có phân phối Pascal với tham số p (0 < p <1) nếu:

{𝐼𝑚(𝑋) = {0,1,2, … } 𝑃[𝑋 = 𝑘] = 𝑝𝑘(1 − 𝑝) ∀𝑘 ∈ 𝐼𝑚(𝑋)

3.2.3 Một số phân phối lttđ thường gặp

3.2.3.1 Phân phối đều

ĐLNN X được gọi là có phân phối đều trên [𝑎, 𝑏] nếu:

𝑓(𝑥) = 𝑓𝑋(𝑥) = {

1

𝑏 − 𝑎 𝑛ế𝑢 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)

0 𝑛ế𝑢 𝑥 ∉ (𝑎, 𝑏)Khi đó hàm phân phối có dạng:

Khi đó hàm phân phối có dạng:

𝐹(𝑥) = {1 − 𝑒−

𝑥

𝜃 𝑛ế𝑢 𝑥 > 0

0 𝑛ế𝑢 𝑥 ≤ 03.2.3.3 Phân phối gamma

b) Phân phối gamma

ĐLNN X được gọi là có phân phối gamma tham số 𝛼, 𝑝, kí hiệu 𝑋~𝐺(𝛼, 𝑝), nếu:

3.2.3.4 Phân phối chuẩn

ĐLNN X được gọi là có phân phối chuẩn 𝑁(𝑎, 𝜎2) nếu:

𝑓(𝑥) = 1

√2𝜋𝜎2𝑒

−(𝑥−𝑎)22𝜎2 ∀𝑥 ∈ ℝ trong đó 𝑎, 𝜎 là các hằng số dương

3.2.3.5 Phân phối Cauchy

ĐLNN X được gọi là có phân phối Cauchy nếu:

𝜋(1 + 𝑥2) ∀𝑥 ∈ ℝ

4 Hàm của các ĐLNN

Giả sử X là ĐLNN trên (Ω, A, P) với hàm mật độ 𝑓𝑋(𝑥), g là một hàm Borel đo được

trên ℝ, khi đó 𝑔(𝑋) là ĐLNN Ta sẽ tìm hàm mật độ của 𝑔(𝑋) qua 𝑓𝑋(𝑥)

4.1 Trường hợp ĐLNN có phân phối rời rạc

Giả sử 𝐼𝑚(𝑋) = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑖, … , 𝑖 ∈ 𝐼}, 𝑌 = 𝑔(𝑋), 𝑔( ) là một hàm Borel đo được, khi đó 𝐼𝑚(𝑌) = {𝑔(𝑥𝑖), 𝑖 ∈ 𝐼} Ta cần tính 𝑃[𝑌 = 𝑦] Ta có:

∀𝑦 ∈ 𝐼𝑚(𝑌), 𝑓𝑌(𝑦) = 𝑃[𝑌 = 𝑦] = 𝑃[𝑔(𝑋) = 𝑦] = 𝑃[𝑋 ∈ 𝑔−1(𝑦)]

ở đây 𝑔−1(𝑦) là nghịch ảnh của {𝑦} qua g

Ví dụ 4.1.1: Cho X là ĐLNN có phân phối rời rạc, g(.) là một hàm Borel đo được Tìm hàm mật độ của g(X) trong các trường hợp sau:

4.2 Trường hợp ĐLNN có phân phối lttđ

Khi các ĐLNN có phân phối đồng thời liên tục tuyệt đối, ta sử dụng mệnh đề sau coi

như một áp dụng của định lý về đổi biến số trong tích phân n lớp

Mệnh đề 4.2

Giả sử:

(i) (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) là các ĐLNN có phân phối đồng thời liên tục tuyệt đối với hàm mật

độ 𝑓𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

(ii) 𝑈1 = 𝑈1(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛), 𝑈2 = 𝑈2(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛), … , 𝑈𝑛 = 𝑈𝑛(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛) là các ánh xạ 1 – 1 từ ℝ𝑛 vào ℝ𝑛 liên tục cùng với ánh xạ ngược 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖(𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛), 𝑖 = 1, 𝑛̅̅̅̅̅ (iii) Các đạo hàm riêng

−𝑦22

Xét phép biến đổi 𝑦 = 𝜎𝑥 + 𝑎, (𝜎 > 0) Ta có phép biến đổi ngược của nó là:

𝐸(𝑋) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥

+∞

−∞

được gọi là kì vọng toán của X

Kí hiệu: Trong cả hai trường hợp, người ta thường kí hiệu toán học là 𝐸(𝑋) hay EX

Dựa vào định nghĩa trên ta có thể thấy kì vọng toán EX thực chất là tích phân Lebesgue trừu tượng của X theo độ đo P trên Ω, tức là:

Kì vọng 𝐸𝑋 là đại lượng đặc trưng cho giá trị trung bình của các giá trị của ĐLNN X

5.1.3 Kì vọng của một số một số phân phối thường gặp

a) Phân phối Bernoulli và phân phối nhị thức

Khi 𝑋~𝐵(1, 𝑝), ta có bảng phân phối của X là:

Khi đó :

𝐸𝑋 = 0 𝑃[𝑋 = 0] + 1 𝑃[𝑋 = 1] = 0 (1 − 𝑝) + 1 𝑝 = 𝑝 Khi 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝)

Ta có bảng phân phối của X là:

x 0 1 … 𝑖 … 𝑛 𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑖 … 𝑝𝑛 trong đó: 𝑝𝑘 = 𝐶𝑛𝑘𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘, 𝑘 = 0, 𝑛̅̅̅̅̅ Đặt 𝑞 = 1 − 𝑝 ⇒ 𝑝 + 𝑞 = 1, ta có:

b) Phân phối Poisson

(do hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ)

Ta có, nếu 𝑋~𝑁(0,1) và 𝑌 = 𝜎𝑋 + 𝑎 (𝜎 > 0) thì 𝑌~𝑁(𝑎, 𝜎2) (theo ví dụ 4.2.1.b) Suy

𝑝Γ(𝑝)Γ(𝑝) 𝛼=

𝑝𝛼e) Phân phối Cauchy

Khi X có phân phối Cauchy, ta có hàm mật độ của X là:

a) Giả sử X là ĐLNN rời rạc với miền giá trị {𝑥𝑖, 𝑖 ∈ 𝐼}, 𝑔( ) là hàm Borel đo được trên

ℝ, khi đó 𝑔(𝑋) có kì vọng và:

𝐸𝑔(𝑋) = ∑ 𝑔(𝑥𝑖)

𝑖∈𝐼

𝑃[𝑋 = 𝑥𝑖] nếu và chỉ nếu:

𝐸(𝐼𝐴) = 𝑃(𝐴)

Chứng minh:

Ta có:

 Giả sử X là ĐLNN có kì vọng EX, nếu tồn tại 𝐸(𝑋 − 𝐸𝑋)2 thì ta nói đó là phương sai

của X, kí hiệu 𝐷(𝑋), đôi khi ta cũng dùng kí hiệu 𝐷𝑋, 𝜎2(𝑋) hay Var(X) để chỉ phương

sai của X

 𝜎(𝑋) = √𝐷(𝑋) được gọi là độ lệch quân phương của X

Từ tính chất của kì vọng ta thấy rằng nếu tồn tại thì DX không âm

b) Ý nghĩa

Phương sai cũng như độ lệch quân phương là đại lượng đặc trưng cho mức độ tập

trung quanh kì vọng EX của các giá trị của ĐLNN X

Phương sai DX càng nhỏ thì nhìn chung các giá trị của X càng gần với giá trị trung bình EX, phương sai càng lớn thì các giá trị của X càng phân tán xa EX

5.2.2 Tính chất của phương sai

Trong điều kiện tồn tại phương sai có các tính chất sau:

5.2.3 Phương sai của một số phân phối thường gặp

a) Phân phối Bernoulli và phân phối nhị thức

𝑋~𝐵(1, 𝑝), ta có bảng phân phối của X:

Chương 2: HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA

ở đây i là đơn vị ảo

Từ định nghĩa, ta suy ra:

Hàm 𝜑𝑋(𝑡) còn được gọi là biến đổi Fourier – Stieljes của 𝐹𝑋(𝑥)

- Nếu X là ĐLNN rời rạc với miền giá trị {𝑥𝑗, 𝑗 ∈ 𝐼} thì:

|𝑒𝑖ℎ𝑥 − 1| < ℎ𝐴 < 𝜀

2 (𝑑𝑜 (2)) nghĩa là

ℎ < 𝜀2𝐴 ≔ 𝛿

Ở tích phân thứ hai trong (1) ta chọn A đủ lớn để

∫ 𝑑𝐹𝑋(𝑥)

|𝑥|≥𝐴

< 𝜀4Với A, h đã chọn như trên, ta có:

|𝜑𝑋(𝑡 + ℎ) − 𝜑𝑋(𝑡)| < 𝜀

2+ 2 ∙

𝜀

4= 𝜀 Vậy 𝜑𝑋(𝑡) liên tục đều trên ℝ

Ví dụ 1.1.2.1: Các hàm sau đây có phải là hàm đặc trưng không?

a) 𝜑(𝑡) = 1 + 2 sin 𝑡 ( 𝑡 ∈ ℝ)

b) 𝜑(𝑡) = 1 + cos 𝑡

2 (𝑡 ∈ ℝ)

b) Xét ĐLNN X có bảng phân phối như sau:

4

12

14

Vậy 𝜑(𝑡) là hàm đặc trưng

Mệnh đề 1.1.2.2

Nếu {𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛} là họ ĐLNN độc lập thì

𝜑∑𝑛 𝑋𝑗𝑗=1 (𝑡) = ∏ 𝜑𝑋𝑗(𝑡)

Hàm đặc trưng của ĐLNN là một hàm xác định dương Nghĩa là, với mỗi số tự nhiên

n, với mỗi bộ số thực tùy ý: 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 và với n số phức 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑛 tùy ý, ta có:

∑ 𝜑𝑋(𝑡𝑘 − 𝑡𝑗)𝑧𝑘𝑧̅𝑗

𝑛

𝑘,𝑗

≥ 0 Thật vậy, với 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑛 ∈ ℝ; 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧𝑛 ∈ ℂ theo tính chất hàm đặc trưng ta có: ∑ 𝜑𝑋(𝑡𝑘 − 𝑡𝑗)𝑧𝑘𝑧̅𝑗

𝑛

𝑘,𝑗

= ∑ 𝐸(𝑧𝑘𝑒𝑖𝑡𝑘𝑥 𝑧̅̅̅̅̅̅̅̅)𝑗𝑒𝑖𝑡𝑗 𝑥 𝑛

Ta đã biết nếu 𝑋~𝑁(0,1) và 𝑌 = 𝜎𝑋 + 𝑎 (𝜎 > 0) thì 𝑌~𝑁(𝑎, 𝜎2) Áp dụng mệnh đề 1.1.2.2, ta có:

𝜑𝑌(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡𝑎𝜑𝑋(𝜎𝑡) = 𝑒𝑖𝑡𝑎 − 𝜎

2 𝑡22

Vậy nếu 𝑋~𝑁(𝑎, 𝜎2) thì:

𝜑𝑋(𝑡) = 𝑒𝑖𝑡𝑎 − 𝜎

2 𝑡22

d) Phân phối gamma

BẢNG HÀM ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT SỐ PHÂN PHỐI THƯỜNG GẶP

b) Nếu hàm đặc trưng 𝜑𝑋(𝑡) khả tích trên ℝ thì 𝐹𝑋(𝑥) liên tục tuyệt đối và hàm mật

độ 𝑓𝑋(𝑥) được tính bởi công thức:

𝑓𝑋(𝑥) = 1

2𝜋 ∫ 𝑒−𝑖𝑡𝑥 +∞

−∞

𝜑𝑋(𝑡)𝑑𝑡

𝐹𝑛(𝑥) → 1

2𝜋 ∫ 𝑒− 𝑢

2 2 𝑥

2 Một vài ứng dụng của hàm đặc trưng

2.1 Tìm phân phối xác suất

Do tính duy nhất của hàm đặc trưng nên ta suy ra:

Do tính duy nhất của hàm đặc trưng nên ta có:

𝑌~𝑁(𝑚𝑎 + 𝑛, 𝑚2𝜎2)

Bài tập 4:

Cho 𝑋1~𝑁(𝑎1, 𝜎1), 𝑋2~𝑁(𝑎2, 𝜎2), 𝑋1, 𝑋2 độc lập, 𝑌 = 𝛼𝑋1+ 𝛽𝑋2+ 𝛾 Tìm phân phối của 𝑌

= 𝑒𝑖𝑡(𝛼𝑎1+𝛽𝑎2+𝛾)− (𝜎1 𝛼

2 +𝜎 2 𝛽2)𝑡22

Do tính duy nhất của hàm đặc trưng nên ta có:

𝑌~𝑁(𝛼𝑎1+ 𝛽𝑎2+ 𝛾, 𝜎12𝛼2+ 𝜎22𝛽2)

Nhận xét:

Một cách tổng quát, cho các ĐLNN {𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛} độc lập, 𝑋𝑗~𝑁(𝑎𝑗, 𝜎𝑗2), 𝑗 = 1, 𝑛̅̅̅̅̅, đặt:

3𝑡33! 𝑛3+ ⋯ = 1 +𝑖𝑡

𝑛 + 0 (

1

𝑛2)

√𝑛𝑝(1 − 𝑝))

2

+ 13!(− 𝑖𝑡𝑝

𝑖𝑡

√𝑛𝑝(1 − 𝑝))

2

+ 13!(

𝑝2𝑛(1 − 𝑝)) 𝑡2+ 0 (1

→ 𝑒− 𝑡

2

2 = 𝜑𝑍(𝑡) (𝑍~𝑁(0,1))

⇒ 𝐹𝑍𝑛(𝑥)𝑛→∞→ 𝐹𝑍(𝑥)

→ 𝑒𝑖𝑡𝑎 = 𝜑𝑎(𝑡)

⇒ 𝐹𝑌𝑛(𝑥)𝑛→∞→ 𝐹𝑎(𝑥)

⇒ 𝑌𝑛→ 𝑎 (𝑛 → ∞) 𝑑

⇒ 𝑌𝑛→ 𝑎 (𝑛 → ∞) (theo mệnh đề 1.3.2.2) 𝑃

Bài tập 3: (Chứng minh định lý giới hạn trung tâm Lindeberg)

Giả sử dãy các ĐLNN độc lập {𝑋𝑛𝑘}𝑘=1𝑛 , 𝑛 = 1,2, …thỏa các điều kiện:

𝐹𝑌𝑛(𝑥)𝑛→∞→ 1

2𝜋 ∫ 𝑒− 𝑢

2 2 𝑥

Phép chứng minh được chia thành nhiều bước:

a) Một số bất đẳng thức cần dùng:

∀𝛼 ∈ ℝ, |𝛽| < 1

2 , |𝑒𝑖𝛼 − 1| ≤ |𝛼| (1)

|𝑒𝑖𝛼 − 1 − 𝑖𝛼| ≤𝛼

2

2 (2) |𝑒𝑖𝛼− 1 − 𝑖𝛼 +𝛼

2

2| ≤ |𝛼|

3

6 (3) |ln(1 + 𝛽) − 𝛽| ≤ |𝛽|2 (4)

− 𝑡|0𝛼|

𝑘≤𝑛|1 − 𝜑𝑛𝑘(𝑡)|𝑛→∞→ 0 (5) Thật vậy, từ giả thiết 𝐸𝑋𝑛𝑘 = 0, nhờ (2) ta được:

𝑘≤𝑛|1 − 𝜑𝑛𝑘(𝑡)|𝑛→∞→ 0 nên với n đủ lớn, ∀𝑘 ≤ 𝑛 ta có:

|1 − 𝜑𝑛𝑘(𝑡)| <1

2

⇒ ln 𝜑𝑛𝑘(𝑡) = ln[1 + (1 − 𝜑𝑛𝑘(𝑡))]

=|𝑡3|

6 𝜏 ∑ 𝐸 (|𝑒𝑖𝑡𝑋𝑛𝑘 − 1 − 𝑖𝑡𝑋𝑛𝑘 +𝑡

và vì điều kiện (𝐿0) được thực hiện nên với giá trị 𝜏 đó, với n đủ lớn ta có:

𝑡2𝐿𝑛(𝜏) <𝜀

2 ⇒ 𝜌𝑛 < 𝜀

2+

𝜀

2= 𝜀 ⇒ 𝜌𝑛𝑛→∞→ 0

2 2

Vậy:

𝐹𝑌𝑛(𝑥)𝑛→∞→ 1

2𝜋 ∫ 𝑒− 𝑢

2 2 𝑥

−∞

𝑑𝑢

Phần chứng minh sự hội tụ đều xem [3]

KẾT LUẬN

Có thể nói hàm đặc trưng là một công cụ khá mạnh trong lý thuyết xác suất Nó giúp giải quyết nhiều vấn đề quan trọng trong bộ môn này Bằng cách sử dụng hàm đặc trưng, các tính chất của hàm đặc trưng kết hợp với các phép biến đổi giải tích, ta có thể dễ dàng giải quyết được các bài toán về tìm phân phối xác suất và tìm phân phối giới hạn mà nếu giải theo phương pháp thông thường trong xác suất thì khá là phức tạp

Tuy nhiên ta cũng thấy rằng hàm đặc trưng cũng có một nhược điểm đó là đối với các bài toán mà giả thiết của nó là các ĐLNN không độc lập với nhau thì hàm đặc trưng dường như là một công cụ khó sử dụng Bởi vì các tính chất của hàm đặc trưng phần lớn chỉ áp dụng được đối với các ĐLNN độc lập với nhau

Vì thời gian và hiểu biết có hạn nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong được quý thầy cô và các bạn đọc đóng góp ý kiến để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] TRẦN TUẤN ĐIỆP, LÝ HOÀNG TÚ – Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán – Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1977

[2] G M FICTENGON – Cơ sở giải tích toán (tập 1, 2) – Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1977

[3] ĐINH VĂN GẮNG – Lý thuyết xác suất và thống kê – Nhà xuất bản Giáo dục, TP

[6] NGUYỄN VĂN HỮU, HOÀNG HỮU NHƯ – Bài tập lý thuyết xác suất và thống

kê toán) – Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1976

[7] PHẠM VĂN KIỀU – Giáo trình xác suất thống kê – Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội 2005

[8] HOÀNG TỤY – Giải tích hiện đại (tập 1, 2) – Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1978