DẠNG TOÁN: Đây là dạng khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.. Ta thực hiện các bước sau: B1: Tập xác định.. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba..
Trang 1TRƯỜNG THPT
-XXXXXX
CHUYÊN ĐỀ KHỐI CẦU NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian: 45 phút
Câu 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x= +3 3x2−2
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3
Ta thực hiện các bước sau:
B1: Tập xác định
B2: Sự biến thiên
B3: Đồ thị
2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Các dạng đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+ +cx d (a≠0)
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Tập xác định: D=¡ .
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
2
x
x
=
= + = ⇔ = −
Giới hạn vô cực:
Trang 23 2
→+∞ + − = +∞
3 2
→−∞ + − = −∞
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ −; 2)và ( 2;− +∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng
( 2;0)−
Hàm số đạt cực đại tại x CD = −2,y CD =2
Hàm số đạt cực tiểu tại x CT =0,y CT = −2.
Đồ thị:
Câu 2. Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào?
Lời giải
Đồ thị hàm số trên có dạng y=ax4+bx2+ suy ra c y'=4ax3+2bx.
Đồ thị đi qua các điểm A(2; 5− ), B(0; 1- )
và y' 2( ) =0
Suy ra:
1
a
ìïï
Trang 3 Suy ra
4
y= x - x
-
Câu 3. Xác định a , b , c để hàm số
1
ax y
bx c
−
= + có đồ thị như hình vẽ bên?
y
2 1
Lời giải
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng
b x c
−
=
và tiệm cận ngang
a y b
=
1 2
1
b c a b
ax
bx c
−
−
0 2 1 1
b c
a b c
+ =
=
0 2 1
b c
c
+ =
= −
1 1
c
= − =
= −
Câu 4. Khảo sát dự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=- x3+3x2+1
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba
2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba
- Tìm tập xác định
- Tính y¢, giải phương trình y¢= 0 tìm các nghiệm
- Kết luận về tính đơn điệu và cực trị
- Tính xlim , limy x y
®+¥ ®- ¥
- Lập bảng biến thiên
- Vẽ đồ thị
3 HƯỚNG GIẢI:
B1: Tìm tập xác định
B2: Khảo sát hàm số
B3: Vẽ đồ thị hàm số.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Tập xác định: D= ¡
x
é = ê
ê = ë
2 Hàm số đồng biến trong khoảng (0 2; )
, nghịch biến trong các khoảng (- ¥ 0; )
và (2;+¥ )
Hàm số đạt cực đại tại x= Þ2 yCÑ=5, đạt cực tiểu tại x= Þ0 yCT =1
Trang 4lim ; lim
®+¥ =- ¥ ®- ¥ =+¥
Bảng biến thiên
Vẽ đồ thị:
Câu 5. Giả sử hàm số y ax= 4+bx2+c có đồ thị như hình bên dưới Hãy tìm a , b , c
Lời giải
Ta có: y' 4= ax3+2bx.
Nhìn vào đồ thị, ta có:
( ) ( ) ( )
1
c
Câu 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1 1
x y x
+
=
− .
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây là bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số nhất biến
2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ: nêu kiến thức về hàm nhất biến: TxĐ, BBT, Đồ thị
Ta nhớ các bước:
Trang 5(a) Tìm tập xác định;
(b) Xét sự biến thiên-xác định các đường tiệm cận;
(c) Vẽ đồ thị
Lời giải
+ Điều kiện x- ¹1 0Û x¹ Tập xác định 1 D= ¡ \ 1{ }
2 0, 1
x
-¢= < " Î
+ Vì xlim y 1
®±¥ =
và lim1
x - y
® =- ¥
nên y= là đường tiệm cận ngang và 1 x= là đường tiệm1 cận đứng Tính giới hạn rồi mới suy ra TCĐ
+ Đồ thị
Câu 7. Cho hàm số y ax= 3+bx2 + +cx d có đồ thị như hình bên Xác định dấu các hệ số a b c, ,
Lời giải
Dựa vào đồ thị, nhánh cuối đi xuống ⇒ <a 0.
Hoành độ tâm đối xứng 0 3 0 0
b
a
−
= > ⇒ >
Ta có y′ =3ax2+2bx c+ Gọi x x là hoành độ cực trị 1, 2 1 2 0 0 0
3
c
a
Câu 8. Cho hàm số y ax= 4+bx2+c (a≠0) có đồ thị như hình vẽ dưới đây Xác đinh dấu của a, b, c.
Trang 6Lời giải
Ta thấy nhánh bên phải của đồ thị hướng lên nên a>0.
Ta thấy đồ thị giao với trục tung tại điểm ( )0;c
Từ đồ thị ta thấy được c<0.
Đồ thị có 1 cực trị nên ta có: a b≥0 Do
0
0 0
a
b ab
>
≥
Vậy a>0,b≥0,c<0.
Câu 9. Cho hàm số f x( ) 2ax 1
x b
+
=
− có đồ thị như hình vẽ Hãy xác định các hệ số ,a b
Lời giải
Đồ thị hàm số có tiệm cân ngang y= −1 2 1
a
⇒ = −
2
a
Đồ thị hàm số có tiệm cân đứng x=1 2 1
b
⇒ =
2
b
Câu 10.Gọi y y lần lượt là giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số 1, 2 y x= −3 3x2 −9x+4 Tính
1 .2
P= y y
Lời giải
Tập xác định: D= ¡ .
Ta có: y′ =3x2 −6x−9
3
x
x
= −
Bảng biến thiên:
Trang 7Dựa vào bảng biến thiên suy ra y1 =9;y2 = −23.
Vậy P= y y1 2 = −23.9 = −207.
Câu 11.Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x1<0 và đạt
cực đại tại điểm x Tính giá trị biểu thức2 2
2 2020 1
P x= − x .
Lời giải
Dựa vào đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại điểm x1= −1 và đạt cực đại tại điểm x2 =0
Khi đóP x= 22−2020x1=2020.
Câu 12.Cho hàm số y x= 3−3x2+m Tìm m sao cho hàm số có hai cực trị là độ dài hai cạnh của hình
chữ nhật có độ dài đường chéo là 26
Lời giải
Ta có: y′ =3x2−6x,
0 0
2
x y
x
=
′ = ⇔ = , hàm số có hai cực trị lần lượt là
y = y =m y =y = −m .
Yêu cầu bài toán tương đương với
1
2
2 2
1 2
0 0 26
y
y
>
>
0
4 0
m m
>
⇔ − >
4
m
>
4
5 1
5
m
m m
m
>
⇔ = − ⇔ =
=
Vậy với m=5 bài toán thỏa mãn.
Câu 13.Đồ thị của hàm số y=3x4−4x3−6x2+12x+1 đạt cực tiểu tại M x y( 1; 1)
Tính tổng x1+y1?
Lời giải
y′ = x − x − x+ ;
( ) ( )2
1
x
x
=
′ = ⇔ − − + = ⇔ + − = ⇔ = −
Trang 8Lập bảng biến thiên, ta thu được điểm cực tiểu là M(− −1; 10) ⇒ + = −x1 y1 11.
Câu 14.Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Giá trị lớn nhất của
hàm số đã cho trên khoảng (−3;0) bằng bao nhiêu?
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy max( 3;0) f x( ) 2 x 2
Câu 15.Cho hàm số ( )f x =ax4 +bx2 +c a( ¹ 0) có bảng biến thiên như sau
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )f x trên
1 5
;
2 4
æ ö÷ ç- ÷
çè ø
Lời giải
f ( )0 = −1⇒c= −1
f ' 1( ) = ⇒0 4a+2b=0
f ( )1 = ⇒ + + = ⇒ + = ⇒ = −3 a b c 3 a b 4 a 4;b=8
f = ⇒ f x ≥ − ∀ ∈ −x
Vậy
( )
1 5;
2 4
æ ö÷
ç- ÷
ç ÷
ç ÷
çè ø
=-Câu 16.Cho hàm số f x( ) =ax4+bx3+ +cx d có đồ thị như hình vẽ
Tìm số điểm cực trị của hàm số g x( )= f x( +2)?
Trang 9Lời giải Cách 1:
Từ đồ thị hàm số y= f x( )
ta thấy hàm số có các điểm cực trị làx=0,x=1,x=2.
Ta có: g x( )= f x( + ⇒2) g x′( )= f x′( +2)
′ = ⇔ ′ + = ⇔ + = ⇔ = −
Vậy phương trình g x′( ) =0 có 3 nghiệm và g′ đổi dấu qua các nghiệm đó nên hàm số
g x = f x+ có 3 điểm cực trị.
Cách 2:
Tịnh tiến đồ thị hàm số y= f x( )
theo véctơ vr= −( 2;0)
ta được đồ thị hàm số g x( )= f x( +2).
Do đó số điểm cực trị của hàm số g x( )= f x( +2)
bằng số điểm cực trị của hàm sốy= f x( ).
Vậy hàm số g x( )= f x( +2) có 3 điểm cực trị.
Câu 17.Từ đồ thị (C) của hàm số y=x3−3x2 +3, vẽ đồ thị (G) của hàm số y = x3− 3 x2 + 3
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( ) khi ( ) ( ) 0
khi 0
y f x
Suy ra ( ) ( ) ( )G = C1 ∪ C2 với ( )C1
là phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành ( y( )C ≥0)
, còn ( )C2 là phần đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành ( )
( y C <0)
Trang 10Câu 18.Gọi S là tập hợp các điểm cực trị của hàm số g x( )= x4−8x3+22x2−24x+6 2
Tổng giá trị các phần tử của S là
Lời giải
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số g x( )= f x( )
bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số
( )
y f x= cộng số giao điểm (khác điểm cực trị) của đồ thị hàm số y f x= ( ) với trục hoành.
Xét hàm số y f x= ( )= −x4 8x3+22x2−24x+6 2.
Ta có f x′( )=4x3−24x2+44x−24.
Khi đó
3
x
x
=
=
Bảng biến thiên của hàm số y f x= ( )
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số y f x= ( ) có 3 cực trị và phương trình f x( )=0 có bốn nghiệm phân biệt là x ; 1 x ; 3 x ; 5 x thỏa mãn7
1 2 1 3 4 2 5 6 3 7
x < = < < = < < = <x x x x x x .
Đồng thời x ; 1 x ; 3 x ; 5 x là nghiệm của phương trình 7 f x( ) =0 nên theo Định lí Viet ta có
1 3 5 7 8
x + + + =x x x .
Vậy S có 7 phần tử với tổng các giá trị là (x1+ + +x3 x5 x7) (+ x2+ +x4 x6) = + + + =8 1 2 3 14.
Câu 19.Cho hàm số ( ) 1 3
2 3
y= f x = x + -x
có đồ thị ( )C
như hình sau
Trang 11Từ đồ thị ( )C
, suy ra đồ thị hàm số y= f x( - 2).
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Biến đổi đồ thị
2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Từ đồ thị ( )C y: = f x( ) suy ra đồ thị ( )C¢:y= f x k( + )
, kÎ ¡
Phương pháp: Tịnh tiến đồ thị ( )C sang phải (theo phương Ox) k đơn vị nếu k<0 và sang
trái k đơn vị nếu k>0
3 HƯỚNG GIẢI:
Tịnh tiến đồ thị đã cho sang phải (theo phương Ox) 2 đơn vị
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Dạng đồ thị y= f x k( + )
với k=- <2 0
Tịnh tiến đồ thị đã cho sang phải (theo phương Ox) 2 đơn vị
Câu 20.Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ sau Hãy xác định đồ thị của hàm số y= f x( −2).
Lời giải
Trang 12 Theo định lý về tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ, ta có đồ thị của hàm số
( 2)
y= f x− được xác định bằng cách dịch chuyển đồ thị của hàm số y= f x( ) sang phải 2 đơn vị
Từ đó ta có đồ thị của hàm số y= f x( −2) như sau :
Câu 21.Cho hàm số f x( )=ax3+bx2+ +cx d a b c d( , , , ∈¡ ) có đồ thị như hình vẽ bên Tìm tất cả
các giá trị thực của tham số m đề phương trình 2f x( )− =m 0
có đúng 4 nghiệm thực phân biệt
Lời giải
Gọi tâm mặt cầu là I =(a b; ;0) (∈ Oxy) .
Ta có: 2f x( )− =m 0 ( ) m2
f x
f x( )
là hàm chẵn nên đồ thị như hình sau:
Từ đồ thị ta có phương trình 2f x( )− =m 0
có 4 nghiệm phân biệt khi:
2
m
− < < ⇔ − < <2 m 6.
Trang 13Câu 22.Hình vẽ bên là đường biểu diễn đồ thị hàm số y=x3+3x2 Tìm tất cả các giá trị của tham số
m để phương trình 3x2− =3 m x− 3 có hai nghiệm thực phân biệt.
Lời giải
2
1
1
x x
x
≥
− = −
Số nghiệm của phương trình (1) thỏa mãn x∈ −∞ − ∪ +∞( ; 1] [1; ) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y=x3+3x2 và đường thẳng y m= + 3 trên (−∞ − ∪ +∞; 1] [1; ).
Dựa vào đồ thị ta có: phương trình 3x2− =3 m x− 3 có hai nghiệm thực phân biệt khi
2≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤m 3 4 1 m 1.
Câu 23 [Mức độ 4] Cho hàm số y= f x( ) xác định liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm k để phương trình
2
f x − x =k
là có năm nghiệm phân biệt trên [ ]0;4
Lời giải
Trang 14Đặt t x= −2 2x, ta có t' 2= x−2, từ đồ thị của hàm số ( )f x đã cho ta có (0) 1 f = ,
f = − =f và (8)f = < −m 2.
Ta có bảng biến thiên của các hàm như sau:
Qua bảng ta thấy phương trình
2
f t = ⇔k f x − x =k
có 5 nghiệm phân biệt thì 1< <k 2
Câu 24.Cho hàm số y= f x( ) xác định trên tập số thực ¡ và có đồ thị f x′( ) như hình vẽ.
Hãy tìm điểm cực đại của hàm số g x( ) =2f x( ) +x2.
Lời giải
Ta có: g x′( ) =2f x′( )+2x= ⇔0 f x′( ) = −x.
Vẽ đường thẳng y= −x trên cùng hệ trục với đồ thị hàm số y= f x′( ).
Từ đồ thị ta thấy: đường thẳng y= −x và đồ thị hàm số y= f x′( ) có 4 điểm chung có hoành
độ lần lượt là - 1 0 1 2; ; ;
Trang 15
Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số g x( )
như sau
Suy ra hàm số g x( )
đạt cực đại tại điểm x CD = −1.
Câu 25.Cho hàm số y= f x( ) =ax4+bx3+cx2+ +dx 3(a b c d, , , ∈¡ ) Hàm số y= f x′( ) có đồ thị
như hình vẽ
Tìm hàm số y= f x( )
, biết f( )2 =11
Lời giải
Đạo hàm: y¢= f x¢( )=4ax3+3bx2+2cx d+ ( )1
Dựa vào đồ thị ta thấy
( )
1
1
x
x
é = ê ê
ê
Nên f x¢ =( ) m x( - 1)(x+1)x=mx3- mx( )2
Từ ( )1
và ( )2
, ta có:
4
0
2 2
0 0
a m
b b
d d
ï =
Suy ra f x( )=ax4- 2ax2+3.
f( )2 =11Û 8a= Û8 a=1.
Vậy hàm số cần tìm là y= -x4 2x2+ 3