NW49 KIỂM TRA cực TRỊ hàm số đề THEO MA TRẬN tự LUẬN GV

DẠNG TOÁN: Tìm cực trị của hàm số.. HƯỚNG GIẢI: Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau: Lời giải Từ bảng biến thiên ta có hàm số có giá trị cực đại bằng 4.. DẠNG TOÁN: Đây là một

Trang 1

TRƯỜNG  THPT

-ĐỀ TỰ LUẬN

KIỂM TRA CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian: 45 phút

Câu 1. Tìm giá trị cực đại của hàm số y x 3 3x2 2

Lời giải

 Tập xác định của hàm số là D  �.

 Ta có y�3x26x Ta có y�0�3x26x0� x0,x2.

 Ta có y�0� � � �x  ;0 2;� và y� � �0 x  0;2 nên hàm số đạt cực đại tại

 

0, cd 0 2

x y  f  .

Câu 2. Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ

Tìm số điểm cực đại của hàm số

Lời giải

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu

Vậy hàm số có 2 điểm cực đại

Câu 3. Gọi A x y 1; 1 , B x y2; 2 là hai điểm cực trị của hàm số y13x34x2 x 4

Tính

1 2

y y P

x x







Lời giải

Tập xác đinh D  �.

2

' 8 1

y  x  x

4 17 ' 0

4 17

x y

x

�  

 � �

 

128 34 17

4 17

3

x  �y  

128 34 17

4 17

3

x  �y  

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là

128 34 17 128 34 17

4 17; ; 4 17;

Trang 2

Vậy

34 3

P 

Câu 4. Cho hàm số y= f x( )

có bảng biến thiên như hình sau

Tìm giá trị cực đại của hàm số trên

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Tìm cực trị của hàm số

2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

+ Định nghĩa cực trị của hàm số:

Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0�K Ta nói:

 x là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng 0  a b;

chứa x sao cho 0  a b; �K

và f x   f x 0 , �x    a b; \ x0 Khi đó f x 0

được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

 x là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng 0  a b;

chứa x sao cho 0  a b; �K

và f x   f x 0 , �x    a b; \ x0 Khi đó f x 0

được gọi là giá trị cực đại của hàm số f

+ Điều kiện để hàm số đạt cực trị.

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm 0 x thì0

 0

' 0

f x  .

 Nếu f x�  0 trên khoảng x0h x; 0 và f x�  0 trên khoảng x x0; 0h thì x là một 0

điểm cực đại của hàm số f x 

 Nếu f x�  0 trên khoảng x0h x; 0 và f x�  0 trên khoảng x x0; 0h thì x là một 0

điểm cực tiểu của hàm số f x 

3 HƯỚNG GIẢI:

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

Từ bảng biến thiên ta có hàm số có giá trị cực đại bằng 4

Câu 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

4 2 1.

y x    x

Lời giải

Tập xác định D �

3

4 4

y �  x  x.

Cho y �  0 � 4 x3  4 x 0

1 1

x x



�

� �  �� . Bảng biến thiên

Trang 3

Đồ thị hàm số y x   4 2 1 x

-3 -2 -1 1 2 3

-2 -1

1 2

x y

Câu 6. Tìm m để đồ thị hàm số y mx 4m x2 22016 có 3 điểm cực trị.

Lời giải

Tập xác định D �.

Tính y�4mx32xm2.

Để hàm số có 3 điểm cực trị khi 3

0 0

0 0 8 0

m a

m

�



�  � 

Câu 7. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên như hình bên Gọi D là giá trị cực đại và d là giá trị

cực tiểu của hàm số y f x  Tính giá trị D2d.

1 DẠNG TOÁN: Đây là một bài toán xác định điểm cực trị dựa vào bảng biến thiên

Với bảng biến thiên:

 f x� 

đổi dấu từ  (dương) sang  (âm) qua điểm x thì 0 x là điểm cực đại.0

 f x� 

đổi dấu từ  (âm) sang  (dương) qua điểm x thì 0 x là điểm cực tiểu0

Với đồ thị hàm số:

 Đồ thị “đi lên” rồi “đi xuống” thì đây là cực đại

Đồ thị “đi xuống” rồi “đi lên” thì đây là cực tiểu

B1: Quan sát sự thay đổi chiều biến thiên của đồ thị hàm số tại các điểm x  , 1 x và giá 1 trị hàm số tại các điểm này

Trang 4

Lời giải

Từ bảng biến thiên trên ta thấy:

Giá trị cực đại của hàm số y f x  là D3

Giá trị cực tiểu của hàm số y f x  là d  2

Suy ra D2d     3 2 2  1.

Câu 8. Tìm điều kiện của của các số a , b để hàm số y ax 4bx2c a �0

có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Lời giải

 Ta có y�4ax32bx

 Cho

2

0 0

2

x

a



�

� �

�  

 Hàm số có 3 cực trị khi 2 0 0

b

ab a

 Để hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu thì ta có bảng biến thiên

 Vậy để hàm số có 3 cực trị thỏa yêu cầu bài toán thì ta có

0 0

a b



�

� 

�

Câu 9. Cho hàm số y f x  có đạo hàm     4   5

f x� x x x x Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

Lời giải



    4   5

0 2

3 3

x x



�

� 

�



�

 

�

 Trong đó x là nghiệm bội chẵn.2

 Bảng xét dấu đạo hàm:

 Ta thấy đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua nghiệm x nên hàm số đạt cực đại tại0 0

x

Trang 5

 Do đó hàm số đã cho có một cực đại.

Câu 10. Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên � và có bảng biến thiên

Tìm các điểm cực trị của hàm số y f x  ?

Lời giải

Dựa vào BBT ta thấy y� đổi dấu khi qua x0và x1

Vậy hàm số đã cho đạt cực đại tại x0và đạt cực tiểu tại x1.

Câu 11. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y x= 3- mx2+mx đạt cực tiểu tại x=2

Lời giải

 Hàm số đạt cực tiểu tại x a=

( ) ( )

0 0

f a

� � =

�

� ��

� >

 Ta có: y�=3x2- 2mx m+

6 2

y��= x- m.

Hàm số đạt cực tiểu tại x =2

( ) ( )

2 0

y y

�� =

�

� ��

� >

�

3.4 4 0 6.2 2 0

m m m

� - + =

�

� �� - >

�

4

4 6

m

m m

� =

�

=ۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮۮ�

� <

Vậy m thì hàm số 4 y x= 3- mx2+mx đạt cực tiểu tại x = 2

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 1 3 2  2 

3

có hai điểm cực trị trái dấu

1 DẠNG TOÁN: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa điều kiện

Phương trình bậc hai ax2    bx c 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi 0

c

B1: Tính đạo hàm

B2: Dùng điều kiện về điểm cực trị để tìm m.

Lời giải

 Hàm số 1 3 2  2 

3

xác định trên � và có

 Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi và chỉ khi phương trình y�  0 có hai nghiệm phân

biệt trái dấu

Trang 6

 2 

2

4

1

m

Câu 13. Tìm m để hàm số 1 3 1  2 1

1

y  x  m x mx

có cực trị và giá trị cực tiểu bằng

1

3

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số bậc bốn khi biết biểu thức của hàm số

2.1 Một số qui tắc tính đạo hàm:

 x n �nx n 1.

u v�� � �u �v

 ku �ku�(k là hằng số).

2.2 Hàm số y ax 3 bx2   có cực trị khi và chỉ khi phương trình cx d y�0 có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2

B1: Tìm y� và giải phương trình y�0 hoặc tìm tham số để phương trình y�0 có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2

B2: Xác định x và tính CT y CT

B3: Giải điều kiện

1 3

CT

và kết luận

Lời giải

x m

 

�

�    � �     � � � .

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y�0 có hai nghiệm phân m� 1

Xét hai trường hợp :

1

m  : ta có  1 1 1 1 1

CT

m

(loại vì m  ).1 1

m  ta có   1 2  0

3 3

CT

m



�

  �    � �  � �  (vì m  ).1 Vậy m thỏa yêu cầu bài toán.0

Câu 14. Biết đồ thị của hàm số y x   có hai điểm cực trị 3 3x 1 A, B Viết phương trình đường

thẳng AB

Lời giải

 Ta có hàm số y x   , TXĐ: 3 3x 1 D �.

 Suy ra y�3x2 Xét 3 y� 0

 �  

�

� � � �  .

Trang 7

 Bảng biến thiên:

 Với A , B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x   , suy ra 3 3x 1

 

1; 1 1;3

A B



�



 Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng :d y ax b  a�0.

 Ta có hệ phương trình

1 3

a b

  

�

�   

�

2 1

a b

 

�

� �



� .

 Vậy đường thẳng AB có phương trình y   2x 1

Câu 15. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2 3 4 3

x x y

x

 



 .

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2

ax bx c y

b x c

 



� � .

Sử dụng công thức nhớ nhanh đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2

ax bx c y

b x c

 



� � là

2

d y

b





� .

B1: Tìm tập xác định của hàm số

B2: Tính đạo hàm, chúng tỏ đạo hàm có hai nghiệm phân biệt, lập bảng biến thiên kết luận các điểm cực trị của đồ thị

B3: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Lời giải

Tập xác định của hàm số D R\ 3  .

Đạo hàm

2 2

6 5 ( 3)

x x y

x

 

�

 ; phương trình

0 6 5 0

5

x



�

� �    � �� . Bảng biến thiên hàm số

Trang 8

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(1; 1) và B(5;7), do vậy đường thẳng

5 1 7 1

AB    � AB x y  

Vậy AB: 2x y  3 0.

Câu 16. Tìm điểm cực tiểu của hàm số y x 4x2 .

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  a b;

chứa điểm x0 và có đạo hàm trên  a b;

hoặc

   a b; \ x0

- Nếu f x� 

đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x thì f đạt cực tiểu tại 0 x 0

- Nếu f x� 

đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x thì f đạt cực đại tại 0 x 0

Để tìm cực trị của hàm số y f x  , ta thực hiện các bước như sau:

- B1: Tìm tập xác định của hàm số

- B2: Tính y� Tìm các điểm mà tại đó y�  hoặc y� không xác định0

- B3: Lập bảng xét dấu y� - bảng biến thiên (tìm lim tại vô cùng, tại x0 mà y’ không xác định – giới hạn một bên) Từ đó kết luận các điểm cực trị của hàm số

Lời giải

Tập xác định D  2; 2 .

2

4 2 4



�   

y� �x� .

Bảng biến thiên

Trang 9

Dựa vào bảng biến thiên suy ra điểm cực tiểu của hàm số là x=- 2.

Câu 17. Cho hàm số y f x  , bảng biến thiên của hàm số f x'  như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số  2 

2

y f x  x

Lời giải

 Ta có y�2x1  f x� 22x.

1 0

2 0

x y

f x x



�

� � ��

 

�

 

 Phương trình (1) vô nghiệm, các phương trình (2),(3),(4) đều có hai nghiệm phân biệt khác

1 và do b c d, , đôi một khác nhau nên các nghiệm của phương trình (2), (3),(4) cũng đôi một khác nhau Do đó f x� 22x 0

có 6 nghiệm phân biệt

 Vậy y�0 có 7 nghiệm phân biệt, do đó số điểm cực trị của hàm số y f x 22x

là 7

Câu 18. Cho hàm số y2x33m1x26mx 1 

, với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số

 1

có hai điểm cực trị A B, sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y x 2.

Lời giải

Ta có y' 6 x26m1x6m6��x2m1x m ��

Điều kiện để hàm số  1

có hai cực trị là phương trình y' 0 hay x2m1x m 0,  2

có hai nghiệm phân biệt, tức là   , 0

m  � m � ۹m m m m .

● Khi m� , ta có 1  2

1

x m x



�

� �� . Hai điểm cực trị của đồ thị là A1;3m1 ,  B m m ; 3 3m2

Trang 10

Ta có uuurABm  1; m3 3m23m1 Đường thẳng y x 2 có vectơ chỉ phương ur  1;1 Yêu cầu bài toán tương đương với:

3 2

0 1 3 3 1 0

AB u �m m  m  m 

uuur r

3 3 2 2 0 0;1; 2

m  m  m m

Kết hợp với điều kiện ta được m0, m2.

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x 8 (m4)x5(m216)x4 đạt 1

cực tiểu tại x ?0

Lời giải

Ta có y' 8 x75(m4)x44(m216)x3 x3��8x45m4x m 216��x g x3  

●Trường hợp 1: g 0 0�m�4.

Với m4� y' 8 x7 Khi đó y' 0 � x0 là nghiệm bội lẻ, đồng thời dấu của y’ đổi từ âm sang dương, nên x là điểm cực tiểu của hàm số,do đó 0 m nhận.5

Với m 4�y'x4(8x340) 0 �x0 là nghiệm bội chẵn, do đó y’ không đổi dấu khi đi qua x , 0 m  loại.4

● Trường hợp 2: g 0 �۹�0 m 4.

Để hàm số đạt cực tiểu tại x thì qua giá trị 0 x dấu của 0 y' phải chuyển từ âm sang dương

do đó g 0 0�   4 m 4.

Kết hợp hai trường hợp ta được 4  � m 4

Do m� � �� m   3; 2; 1;0;1; 2;3;4 .

Vậy có 8 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.

Câu 20. Cho hàm số

4 8 2 7

Hãy tìm các giá trị cực đại của hàm số?

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm cực trị của hàm số

- Công thức tính đạo hàm của hàm số căn thức, hàm số lũy thừa:

' ( )'

2

u u

u

( )'x n nx n

- Cách lập bảng biến thiên

- Chuyển về hàm chứa căn bậc hai

- Tính đạo hàm y', giải y' 0 , lập bảng biến thiên và kết luận

Lời giải

 Ta có 4 2  4 2 2



2

4 2

'

y



  y' 0 �4x316x0� � ��x x02

 Ta có BBT của hàm số như sau

Trang 11

Hàm số có các giá trị cực đại là 7 và 9

Câu 21. Cho hàm số y3x32m1x23mx m 5 Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x x 1, 2

đồng thời y x y x   1 2 0.

Lời giải

 Ta có y�9x24m1x3m.

 Hàm số có hai điểm cực trị � y�0 có hai nghiệm phân biệt  2

4 m 1 27m 0

�

    

�

2

4m 35m 4 0

�

35 3 129 8

m m

�  

�

�  

�

 Theo giả thiết y x y x   1 2 0 suy ra đồ thị hàm số y3x32m1x23mx m 5 tiếp xúc với trục hoành

3x 2 m1 x 3mx m  5 0

x1 3�x22m5x m 5�0

� � � có nghiệm kép

2

1

x



�

 Trường hợp 1: phương trình 3x22m5x m  5 0 có hai nghiệm phân biệt có một nghiệm x 1

Với x1�m 13.

Với m  có phương trình 13

3 21 18 0

6

x



�

   � �� .

Do đó m  thỏa mãn.13

 Trường hợp 2: Phương trình 3x22m5x m  5 0 có nghiệm kép khác 1

4 32 35 0

2 13

13

m m

m

�      �     �



�



�

Vậy

8 3 11 13;

2

m��  � ��

Trang 12

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để điểm M2 ;m m3 1 cùng với hai điểm cực trị của hàm

số y2x33 2 m1 x26m m 1x tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ nhất.

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng cực trị hàm số bậc ba chứa tham số có yếu tố hình học

 Hàm số y ax 3bx2  có hai cực trị cx d

0 0

y

a

�

� � �

 Diện tích tam giác ABC:  1  , 

2

ABC

S BC d A BC

Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị Tìm tọa độ hai điểm cực trị A, B của đồ thị hàm số

Tính diện tích tam giác MAB và tìm giá trị nhỏ nhất của nó

Lời giải

 Tập xác địnhD �.

 y' 6 x26 2 m1 x6m m 1 .



3 2

y

x m

y



�



 � �

�

 Vì phương trình y�0 có 2 nghiệm phân biện với mọi m nên đồ thị hàm số luôn có hai

điểm cực trị với bất kì m

 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A m( ;2m33m2), (B m1;2m33m2  1)

 uuurA B (1; 1)�AB 2 Phương trình đường thẳng AB:

3 2

3

0

2

2 3

 Khoảng cách từ điểm M2 ;m m3 1

đến đường thẳng AB:

2 1 3 2 3

 Diện tích tam giác ABM là   2  

2

3 1

m

S  d M AB A B   m  �

 Vậy diện tích tam giác ABM đạt giá trị nhỏ nhất là bằng

1

2 khi và chỉ khi m0

Câu 23. Cho hàm số y x 42 1 m x2 2 m 1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành tam giác có diện tích lớn nhất

Lời giải

 Tập xác định D �.

 Ta có y�4x34 1 m x2 4x x 2 1 m2 2 2

0 0

1

x y



�

�

 

 Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì 1m2 0 �  1 m 1.

Trang 13

 Với điều kiện trên thì đồ thị hàm số có các điểm cực trị là A0;m1,

B m m  m m

, C 1 m2;m42m2m

 Tam giác ABC cân tại A nên có diện tích

1 , 2

ABC

1 m 1 m 1,

   � m�1;1 .

 Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi m 0

Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số ymsinx tan2x1

nghịch

biến trên

;

6 2

 

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm lượng giác

+ Công thức lượng giác:

2

1 tan 1

cos

x

 

+ Định nghĩa tính đơn điệu của hàm số:

- Hàm số y f x( ) gọi là đồng biến trên khoảng  a b; nếu với mọi x x1, 2� a b; mà x1x2 thì

1 2

( ) ( )

f x  f x

- Hàm số y f x( ) gọi là nghịch biến trên khoảng  a b;

nếu với mọi x x1, 2� a b; mà x1x2

thì f x( )1  f x( )2

- Hàm số y f x( ) gọi là đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng  a b;

ta nói hàm số ( )

y f x đơn điệu trên khoảng  a b;

+ Định lí: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

- Nếu f x'  �0

với mọi x K� và f x'   0

chỉ tại một số hữu hạn điểm x K� thì hàm số f

đồng biến trên K .

- Nếu f x'  �0

với mọi x K� và f x'   0

chỉ tại một số hữu hạn điểm x K� thì hàm số

f nghịch biến trên K

B1: Áp dụng công thức lượng giác biến đổi về hàm sin x

B2: Lập bảng biến thiên của hàm số

B3: Kết luận

Lời giải

Ta có    2 

Đặt

1

2

t  x t � ���

, xét hàm   2

1







m t

g t

t ,

1

;1 2

t � ���

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	844,75 KB