NW359 360 DẠNG 14 NGUYÊN hàm đa THỨC GV

+ Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: *Tính nguyên hàm bằng địng nghĩa và bảng nguyên hàm.. *Nguyên hàm của hàm hữu tỉ.. DẠNG TOÁ

3 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

+

∫

4) Một số phương pháp tính nguyên hàm

a) Áp dụng bảng nguyên hàm

b) Phương pháp đổi biến

 Định lí: Cho òf u u( )d =F u( )+C và u=u x( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

f u x u x xéêë ùúû ¢ =F u xéêë ùúû+C

ò

Có sẵn Tách từ hàm Nhân thêm

Một số dạng đổi biến thường gặp DẠNG TOÁN 14: NGUYÊN HÀM HÀM ĐA THỨC

m n

n

PP n

1( ln ) d

I =òf(sinx±cos ).(sinx xmcos )dx x ¾¾ ¾PP ® Đặt t=sinx±cos x

 Lưu ý: Sau khi đổi biến và tính nguyên hàm xong, ta cần trả lại biến cũ ban đầu là x

+ Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ và dv= phần còn lại.

+ Lưu ý: Bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.

+ Dạng mũ nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần luân hồi.

5) Nguyên hàm của hàm ẩn

Nhóm 1 Sử dụng định nghĩa F x¢ =( ) f x( )

Nhóm 2 Sử dụng định nghĩa giải bài toán nguyên hàm của hàm ẩn

Vận dụng tính chất òf x x¢( )d =f x( )+C, òf x x¢¢( )d =f x¢( )+C, vào các dạng sau:

- = ç ÷ç ÷çè ø = +

g

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

*Tính nguyên hàm bằng địng nghĩa và bảng nguyên hàm

*Nguyên hàm của hàm hữu tỉ

f x dx= − +x C

Lời giải

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm nguyên hàm hàm đa thức

2 HƯỚNG GIẢI:

Sử dụng sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản và tính chất nguyên hàm

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn B

x

Lời giải Chọn D

Ta có ( ) 1 2021

d2021

e 3

x x

C

x + + D ex+2x C+

Lời giải Chọn A

3d

Câu 6 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( ) =3cosx−8x là

A 3sinx− 8x2 +C B − 3sinx− 4x2 +C C 3sinx− 4x2 +C D.3cosx− 8x2 +C

Lời giải Chọn C

Ta có: ∫ f x x( )d =x2 +lnx C+ .

x

=+ là.

A 1ln 2( 3)

2 x+ +C C ln 2x+ +3 C D 2ln 2x+ +3 C

Lời giải Chọn B

+

Lời giải Chọn C

P F 

=  ÷ 

A P=32 B P=34 C P=18 D P=30

Lời giải Chọn B

x

52

x

F x = − −e

Lời giải Chọn C

Ta có ( ) (5 1 e d) x

F x =∫ x+ x.Đặt 5 1

Câu 6 Nếu ∫ f x( )dx= +ex sinx C+ thì f x bằng( )

A ex−cosx B ex+sinx C ex−sinx D ex+cosx

Lời giải Chọn D

Câu 8 Nếu F x là nguyên hàm của hàm số ( ) f x( ) =sin 5 sin 2x x thì:

A F x( ) =sin 36 x−sin 714x+C B F x( ) =sin 36 x−cos 714 x+C

C F x( ) =cos36 x−cos 714 x+C D F x( ) =cos36 x+cos 714 x+C

Lời giải Chọn A

Ta có: 2f x( ) =2sin 5 sin 2x x=cos 5 2( − )x−cos 5 2( + )x=cos3x−cos 7x

Suy ra : 2 ( ) sin 3 sin 7 ( ) sin 3 sin 7

Ta có : ( ) sin 2 d 1cos 2

Đặt t= +1 lnx ta có dt 1dx

x

= Khi đó F x( ) =∫ f x x( )d =∫t td = +t22 C ( )2

1 ln2

x C

x> ) thỏa mãn F( )5 =7

A F x( ) =2 2x−1 B F x( ) =2 2x− +1 1

C F x( ) = 2x− +1 4 D F x( ) = 2x− −1 10

Lời giải Chọn B

t

t t t

d1

t t

=+

Ta có I =∫ f x x( )d =∫xe3xd x

d d 1

3

x x

Ta có F x( )=òe xcos 2xdx Đặt u cos 2x x du x 2sin 2 xdx

Khi đó F x( )=e xcos 2x+2òe xsin 2xdx=e xcos 2x+2 *I( )

Tính I=òe xsin 2x Đặt u sin 2x x du x2cos 2xdx

Khi đó I =e xsin 2x- 2òe xcos 2xdx=e xsin 2x- 2F x( ) ( )2*

Thay ( )2* vào ( )* ta được:

( ) cos 2 2( sin 2 2 ( ) ) ( ) (cos 2 2sin 2 )

Áp dụng định nghĩa F x'( )= f x( ), Ta có: ( )

4(3) ln3.

3

f = Tính P = -f( 7)+ (11).

A P =ln162 B P =ln18 C P =2ln3 D P = +3 ln2

Lời giải Chọn A

2

1ln( 2) khi 2

= +∫ =xtanx+ln cosx C+ ⇒F x( ) =xf x( )−xtanx−ln cosx C+

Lại có: F( )0 =0⇒ =C 0, do đó: F x( ) =xf x( )−xtanx−ln cosx

A.sin 2x−cos 2x C+ B.sin 2x+cos 2x C+

C.−sin 2x+2cos2 x C+ D.−sin 2x−cos 2x C+

Lời giải Chọn D

F x + e + = là?

A 3 B 2 C 1 D 0

Lời giải Chọn C

Đặt 1

1

x x

e

F x

e

=+

Giải phương trình: ( ) ln( 1) 3 ln ln( 1) 3 ln 3 3

Ta có: ( ) ( ) 2018 ( ) 2018 ( ) ( )

f x′ f x  x= x x⇔ f x  f x = −x +C

Bảng biến thiên của hàm số:

Do đó phương trình f x( ) = −1e có đúng 2 nghiệm

Câu 10 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) 2 2 ( ) ( )

Câu 11 Biết rằng F x là một nguyên hàm trên ¡ của hàm số ( ) ( )

( 2 )2021

20201

x

f x

x

=+ thỏa mãn F( )1 =0 Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x ( )

2021

1 22

2

m=

Lời giải Chọn B.

Ta có ( )

( 2 )2021

20201

Ta có F x( )=òe xcos 2xdx Đặt u cos 2x x du x 2sin 2xdx

Khi đó I =e xsin 2x- 2òe xcos 2xdx=e xsin 2x- 2F x( ) ( )2*

Thay ( )2* vào ( )* ta được:

( ) cos 2 2( sin 2 2 ( ) ) ( ) (cos 2 2sin 2 )

Khi đó ( ) 2 sin 2 (cos 2 2sin 2 ) 2 sin 2 cos 2 0

Áp dụng định nghĩa nguyên hàm, ta có: ( )

4(3) ln3.

3

f = Tính P = -f( 7)+ (11)

A P =ln162 B P =ln18 C P =2ln3 D P = +3 ln2

Lời giải Chọn A

= +∫ =xtanx+ln cosx C+ ⇒F x( ) =xf x( )−xtanx−ln cosx C+

Lại có: F( )0 =0⇒ =C 0, do đó: F x( ) =xf x( ) −xtanx−ln cosx

Vì cos x là một nguyên hàm của hàm số 2 f x e( ) 2 x nên:

nghiệm S của phương trình F x( )+ln(e x+ =1) 3

Lời giải

Đặt 1

1

x x

e

F x

e

=+

Giải phương trình: ( ) ln( 1) 3 ln ln( 1) 3 ln 3 3

Bảng biến thiên của hàm số:

Do đó phương trình f x( ) = −1e có đúng 2 nghiệm

Câu 10 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) 2 2 ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

x

f x

x

=+ thỏa mãn F( )1 =0 Tìm giá trị nhỏ nhất m của F x ( )

2021

1 22

2

m=

Lời giải Chọn B.

Ta có ( )

( 2 )2021

20201