NW359 360 DẠNG 10 đạo hàm của hàm số mũ GV

Định nghĩa: •Hàm số mũ là hàm số được cho bởi công thức x y a=.. Trong đó : a là hằng số cho trước gọi là cơ số.. Trong đó : a là hằng số cho trước gọi là cơ số... CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG

Trang 1

DẠNG TOÁN 10: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Hàm số mũ

a Định nghĩa:

•Hàm số mũ là hàm số được cho bởi công thức

x

y a= Trong đó : a là hằng số cho trước (gọi là cơ số).

+) Tập xác định : D=¡

+) Tập giá trị : M =(0;+∞)

b Định lý

Định lý: Hàm số

x

y a= liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định của nó và tính theo công thức

( )a x ′ =a x.lna

• Công thức đạo hàm của hàm hợp :

Nếu hàm số u u x= ( )

có đạo hàm trên D

thì hàm số

( )

u x

y a=

cũng có đạo hàm trên D

và tính theo công thức :

( )

( )u x ( ) u x( ).ln

a ′ =u x a′ a

2 Hàm số logarit

a Định nghĩa:

• Hàm số logarit là hàm số được cho bởi công thức

loga

, (a>0,a≠1)

Trong đó : a là hằng số cho trước (gọi là cơ số).

+) Tập xác định :

*

D=¡ +

+) Tập giá trị : M =¡

b Định lý

 Định lý: Hàm số y=loga x

, (a>0,a≠1)

liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định của

nó và tính theo công thức

(log ) 1

ln

a x

x a

′ =

• Công thức đạo hàm của hàm hợp :

Nếu hàm số u u x= ( )

có đạo hàm trên D

thì hàm số y=loga(u x( ) )

cũng có đạo hàm trên D

và tính

Trang 2

( ) ( ) ( ) ( )

log

.ln

a

u x

u x a

′

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Đạo hàm của hàm số mũ – hàm số logarit

 Đạo hàm của hàm số hợp (của hàm số mũ – hàm số logarit)

 Đạo hàm của hàm số phải sử dụng một số phép biến đổi mũ và logarit

 Đạo hàm cấp cao

BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA LẦN 01-BDG 2020-2021) Đạo hàm của hàm số 2

x

y= là

A. 2 ln 2

x

y′ =

x

y′ =

2

ln 2

x

y′ =

1

2x

y′ =x −

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN:Đây là dạng toán tính đạo hàm của hàm số mũ

x

y a=

2 HƯỚNG GIẢI:

Ta áp dụng công thức( )a x ′ =a x.lna

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lờigiải Chọn A

Tập xác định D=¡

Ta có y′ =( )2x ′=2 ln 2x

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Đạo hàm của hàm số 3

x

y= là

A.

3

ln 3

x

y′ =−

x

y′ =

3

ln 3

x

y′ =

x

y′ = −

Lờigiải Chọn B

Tập xác định D=¡

Ta có 3 3 ln 3

y= ⇒ =y′

, với mọi x∈¡

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số

2 x

A

2 x ln 4

1

4 ln 4x

y′ = −

2

2 ln 2x

y′ =

2

2 ln 2x

y′ =

Lời giải Chọn C

Trang 3

Áp dụng công thức đạo hàm ( )a u ′ =u a′ .lnu a

Ta có y′ =(22 1x− )′ =(2x−1 2)′ 2 1x−.ln 2 2 ln 2= 2x

Câu 3. Đạo hàm của hàm số

1 2

e x

là

A.

1 2

2e x

1 2

e x

y′ = +

1 2

2e x

x

y′ =

Lờigiải Chọn A

Xét hàm số

1 2

e x

Ta có: y′ = +(1 2x)′e1 2 + x =2e1 2 + x

Câu 4. Tính đạo hàm của hàm số f x( ) =eπ +x 1

A f x′( ) =πeπx+ 1

B f x′( ) =eπx+ 1lnπ

C f x′( ) =πeπx

D f x′( ) =e lnπx ( )π

Lời giải Chọn A

Ta có f x′( ) =( )eπx+ 1 ′ =(πx+1 e)′ πx+ 1=πeπx+ 1

Câu 5. Tính đạo hàm của hàm số 20

x

20

l 20

x

1

20 x

y′= − − −

x

y′ = − −

D 20 n 20l

x

y′= − −

Lời giải Chọn D

Áp dụng công thức: ( )a u ′ =u a′ lnu a

ta có: y′ =( )20−x ′ = −20−x.ln 20

1 2

2 x

A

1 2

2.2 x

y′ = − −

1 2

2 xln 2

y′ = −

2 2

2 xln 2

y′ = − −

D y′ = −(1 2 2x) −2x

Ta có

1 2

2.2 xln 2

y′ = − − = −22 2 − xln 2

Câu 7. Đạo hàm của hàm số .3

x

y x=

là

A y′ =3 1x( +xln 3)

B y′ =3 1x( −xln 3)

C .3 ln 3

x

y′ =x

D =3 1x( +x)

3x 3 ln 3x

y′ = +x =3 1x( +xln 3)

x

= +

Trang 4

1 e 3

x

y

x

′ = +

1

ex

y

x

′ = +

3

ex

y

x

′ = +

1

e ln 3x ex

x

Lờigiải Chọn B

Ta có e ln 3 e ln 3 ln

1

ex

y

x

′

⇒ = +

1 x

y e

−

 

=  ÷ 

A

x

e

y′ = − −

1 ln

x

e e

 ÷

 

′

x

e

y′ =

x

e

y′ = −

Ta có

1 x x

e

−

 

= ÷ =

  ⇒ =y′ e x

Câu 10. Đạo hàm của hàm số 3 2

x x

y=

là

A

3

6 ln 2

x

y′ =

B 2 ln 2 3 ln 3

.C 2 3 ln 3.ln 2

x x

y′ =

D 6 ln 6

x

=

( )

3 2x x 2.3 x 6x

y= = = ⇒ =y′ 6 ln 6x

 Mức độ 2

Câu 1. Cho f x( ) =2.3log 81x+3

Tính f′( )1

A

2

C f′( )1 =1

D f′( )1 =1

TXĐ: D=(0;+∞)

81

2.3 x.ln 3 log

2.3 ln 3

ln 81

x

=

1 2.3 ln 3

ln 81

4ln 3

2

=

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số y=(x2−2x+2 e) x

A y′ =(x2+2 e) x

B

2ex

y′ =x

C y′ =(2x−2 e) x

x

y′ = − x

Lời giải Chọn B

Trang 5

Ta có: y′ =(x2 −2x+2 e) x′ =(x2−2x+2)′ex+(x2−2x+2) ( )ex ′

= − + − + =x2ex

Câu 3. Tính đạo hàm của hàm số 2 ( )

2

7 x log 5

A.

2

2.7 ln 2 7

ln 5 5

x

y

x

2.7 ln 7

ln 5

x

y

x

C.

2.7 ln 7

ln 2

x

y

x

2

2.7 ln 2

ln 7 5

x

y

x

Lờigiải ChọnC

Ta có

2

7 x log 5 log

y= − − x⇒ =y′ 2.7 ln 72x −xln 21

sin

e x

y=

A

sin

cos e x

cos

e x

y′ =

sin e x

D

sin

cos e x

Ta có: y′ =(sinx)′.esinx =cos ex sinx

2 1

8x

y= +

A

2

2 8x

y′ = x

B y′ =2 x x( 2+1 8 ln 8) x2

C y′ =(x2+1 8) x2

2 1

6 8x ln 2

y′ = x +

Vì ( )8x2+1 ′ =2 8x x2+1.ln 8 =2 8x x2+1.3.ln 2 =6 8x x2+1.ln 2

Câu 6. Tính đạo hàm của hàm số y=log e( x+2)

A.

e

e 2

x x

y′ =

+ B. (e e2 ln10)

x x

y′ =

+

C.

1

ex 2

y′ = + D.y′ =(ex 2 ln101)

+

(e e 2 ln10)2 (e e2 ln10)

y

′ +

Trang 6

Câu 7. Đạo hàm của hàm số e

x x

y= +

là

A (x2+x)e2 1x+

B (2x+1 e) 2x+1

2x+1 ex+x

D (2x+1 e) x

Ta có y′ =(x2+x)′.ex2+x ( ) 2

2 1 ex x

Câu 8. Tính đạo hàm của hàm số y=log 23( x+1)

A y′ = (2x 11 ln 3)

+

B

1

2 1

y x

′ = + C y′ = (2x 21 ln 3)

+

D y′ =(2x+1 ln 3)

Đạo hàm của hàm số

3

log 2 1

y= x+

là y′ = (2x 21 ln 3)

+

Câu 9. Cho hàm số

1 ln 1

y x

= +

Xác định mệnh đề đúng

y

xy′ − =

y

xy′ + = −

y

xy′ − = −

y

xy′ + =

Ta có:

ln 1

1

x

′

′ = − + = −

+

1

y

x xy

′

2

e cosx

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.y′′−4y′+5y=0

B.y′+4y′′+5y=0

C.y′′+4y′+5y=0

D.y′−4y′′+5y=0

Ta có y′ = −2e cos−2x x−e sin−2x x e= −2x(−2cosx−sinx)

2e 2cosx sin e 2sinx cos

y′′ = − − − x− x − − x− x =e 3cos−2x ( x+4sinx)

Ta có y′′+4y′+5y=e 3cos−2x ( x+4sinx)−8e cos−2x x−4e sin−2x x+5e cos−2x x=0

 Mức độ 3

Câu 1. Hàm số

cos sin ln

cos sin

y

+

=

−

có y′ bằng

2

sin 2x

2

cos 2x

Trang 7

Ta có:

cos sin

+

−

Do đó:

y

Câu 2. Tính đạo hàm của hàm số ( ) ( )( 2) ( )

1

f x = − x x− x∈

A

( ) ( 2) ( )

ln 1

x

f x

−

′ =

( ) ( ( ) (2) 2( ) )

ln 1

f x

′ =

C

( ) ( 2) ( )

ln 1

x

f x

− +

′ =

( ) ( ( ) (2) 2( ) )

ln 1

f x

′ =

Lời giải ChọnB

( ) ( ( ) ( ) ( ) )

2

ln

1 2 ln 1

1

'

x x

x

−

+

−

Câu 3. Cho hàm số ( ) x

y= f x =xπ

Tính f′( )1

A f′( )1 =πlnπ

B f′( )1 =π πln

C f′( )1 =ππ

D f′( )1 =π

y=xπ ⇔ y=π x

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

.ln ln

x x

y

x

π

ln ln

x

π

′

Suy ra: f′( )1 =π

Câu 4. Tính đạo hàm số y= f x( ) =logx2+22

2

2 ln 2.log 2

x y

′ = −

2

1

y

x

′ = −

+

2

x y

x

′ = −

+

x y

′ = −

Trang 8

Ta có: 2 2 ( 2 )

2

1 log 2

x

y

x

+

2 2

2

x y

x

′ +

′

⇒ = −

2

2 ln 2.log 2

x

= −

Câu 5. Tính đạo hàm số ( ) log( )2 2

2 x

A

2

2 2

2 ln10

x

x y x

+

′ =

+

2

2 ln10

y x

+

′ =

+

C

2

2 ln 2

2 ln10

x

y x

+

′ =

+

( )

2

2 2

2 ln 2

x

x y x

+

′ = +

Ta có:

2

+

′

Câu 6. Tính đạo hàm số y=ln(x+ x2+1)

A

2 2

1

x y

x

′ =

+

2

2 1

x y

x

′ =

+

C

2 2

1

x y

x x

′ =

2

1 1

y x

′ =

+

Ta có:

2

1

x

Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số

3 3 2 9 3 1

7x x m x

y= + + − +

đồng biến trên đoạn [ ]0;1

?

Ta có y′ =(3x2+6x+ −(9 3m) )7x3+3x2+ −( 9 3m x) +1.ln 7

Hàm số

3 3 2 9 3 1

7x x m x

y= + + − +

đồng biến trên [ ]0;1 ⇔ y′ ≥0, ∀ ∈x [ ]0;1

⇔ 3x2+6x+ −(9 3m) ≥ ∀ ∈0, x [ ]0;1 ⇔ m x≤ 2+2x+ ∀ ∈3, x [ ]0;1

Trang 9

⇔ [ ] ( 2 ) [ ]

0;1

m≤ x + x+ ∀ ∈x

⇔ m≤3

Do m nguyên dương nên m∈{1; 2;3}

Câu 8. Cho hàm số f x( ) =ln(x2−2x)

Tính đạo hàm của hàm số 2( )

1

y

f x

=

1

x y

−

′ =

−

x y

− +

′ =

C ( 2 ) (3 2 )

4 4

x y

−

′ =

2

x y

−

′ =

−

Ta có:

y

−

f x

′

−

2

2 2 2 ln 2

−

x

−

= −

Câu 9. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y ln= (x2+ −1) mx+1

đồng biến trên khoảng (−∞ +∞; ).

A (−∞ −; 1]. B (−∞ −; 1). C [−1;1]. D B(5; 6; 2)

Ta có 2 1

x

Để hàm số đồng biến trên (−∞ + ∞; ) ⇔ y x′( ) ≥ ∀ ∈0, x ¡ 2 ,

1

x

Xét hàm số ( ) 2 1

x

f x

x

= + có

( )

2 2 2

1

x

f x

x

′ =

+ Bảng biến thiên :

Dựa vào BBT 2 1,

x

Trang 10

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

ln 2

m x y

x m

−

=

− −

nghịch biến trên (e2;+∞)

A m≤ −2

hoặc m=1

C m< −2.

D m< −2

hoặc m>1

Tập xác định D=(0;+∞)\{ }e m+1

2

x x m

−

′

−

+

−

=

Vậy yêu cầu bài toán tương đương

2 2

;

1 2

m

m m

e

m

m m

e

m

+

− +  >

− <

 ⇔ < − ⇔ < −

Cách 2: Đặt t=lnx

, ta biết rằng hàm số f x( ) =lnx

đồng biến trên (e2;+∞)

Xét hàm số

( ) mt 21

g t

t m

−

=

− −

với t∈(2;+∞)

, ta có

( ) ( 2 )2

2 1

g t

t m

′ =

− −

Vậy hàm số ban đầu nghịch biến trên (e2;+∞) ⇔

hàm số g

nghịch biến trên (2;+∞) ⇔

( )

0

1 2;

g t

m

′ <



 + ∉ +∞



2 0

1

1 2

2

1

m

 >  >

− − + <  

⇔ ⇔ < − ⇔ < − +

2

m

⇔ < −

 Mức độ 4

Câu 1. Hàm số

2

3 1

x x x

y e

− +

=

có giá trị lớn nhất trên đoạn [ ]0;3

là

Tập xác định D=¡ \{ }−1

Ta có

′

[ ] [ ]

3 0;3

x

 = ∈

′ = ⇔ + − = ⇔ 

= − ∉



Mà

y e

=

; y( )0 = y( )3 =1

Trang 11

Vậy hàm số

3 1

x x x

y e= −+

có giá trị lớn nhất trên đoạn [ ]0;3

là 1

( ) ln 2018 ln

1

x

f x

x

= +  + ÷

Tính S = f ' 1( )+ f ' 2( )+ f ' 3( )+ +L f ' 2017 ( )

A

4035 2018

S =

B

2017 2018

S =

C

2016 2017

S =

D S=2017

Lờigiải ChọnB

Ta có

( ) ln 2018 ln

1

x

f x

x

= +  + ÷ f x( ) ( 1 1) 1 11

′

Do đó

1 2 2 3 2017 2018

2018 2018

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số

2 2018

log 2018

2

xác định với mọi giá trị x thuộc [0;+∞)

A m>9

B 0< <m 1

C m<1

D m<2

Hàm số đã cho xác định ∀ ∈ +∞x [0; )

2

⇔ − − − > ∀ ∈ +∞

2

⇔ − − > ∀ ∈ +∞

YCBT ⇔ [ ) ( )

0;

min

x

∈ +∞

<

Đặt

( ) 2018 2 , [0; )

2

f x = − −x x∈ +∞

( ) 2018 ln 2018x ( ) 1

2018 ln 2018x 1 0, 0;

Khi đó f x′( )

đồng biến trên x∈ +∞[0; )

và f′( )0 =ln 2018( )− >1 0 Suy ra f x( )

đồng biến trên x∈ +∞[0; )

và f ( )0 =1 Vậy m<1

thì thỏa YCBT

Trang 12

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=8cotx+(m−3 2) cotx+3m−2

(1) đồng biến trên

; 4

π π

÷

 

A − ≤ <9 m 3

B m≤3

C m≤ −9

D m< −9

Đặt

cot

2 x =t

vì

; 4

x∈π π

÷

 

nên 0< ≤t 2

Khi đó ta có hàm số: y t= +3 (m−3)t+3m−2

(2)

2

Để hàm số (1) đồng biến trên

; 4

π π

÷

 

thì hàm số (2) phải nghịch biến trên (0; 2]

hay

( ]

2

3t + − ≤ ∀ ∈m 3 0, t 0;2 ⇔ ≤ −m 3 3 ,t2 ∀ ∈t (0; 2]

Xét hàm số: f t( ) = −3 3 ,t2 ∀ ∈t (0; 2] ⇒ f t′( ) = −6t

( ) 0

f t′ = ⇔ =t 0

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy − ≤9 f t( ) < ∀ ∈3, t (0;2]

Vậy hàm số (1) đồng biến trên

; 4

π π

÷

 

khi m≤ −9

Câu 5. Cho hàm số y= f x( )

có đồ thị như hình vẽ bên:

Trang 13

Tìm số điểm cực trị của hàm số

( ) ( )

= f x − f x

y

Dựa vào đồ thị hàm số f x( )

ta thấy f x( ) ≥ − ∀ ∈1, x ¡

Khi đó xét hàm số g x( ) =2f x( ) −3f x( )

Ta có

( ) ( ) 2 ( ).ln 2 3 ( ).ln 3

′ = ′  f x − f x 

( ) 0

′ =

g x

( )

0

2 ln 2 3 ln 3 0

′ =



⇔ 

 f x f x

f x

Xét phương trình

2f x.ln 2 3− f x.ln 3 0=

trên khoảng (−∞ + ∞; )

( )

3

2

3

 

 

f x

(loại)

Do đó số điểm cực trị của hàm g x( )

cũng bằng số điểm cực trị của hàm f x( )

Tức là hàm g x( )

có 3 điểm cực trị

Câu 6. Cho hàm số f x( ) =e10x+20

Tìm

( 2021 )( )

A

( 2021 )( ) 10 20

200 x

10 20 x

C

( 2021 )( ) 10! 10x 20

( 2021 )( ) 102021 10 x 20

Ta có

( ) ( 10x 20) (10 20) 10x 20 10 10x 20

; ( ) ( ) (10 10x 20) 102 10x 20

; ( ) ( ) (102 10x 20) 103 10x 20

;

………

Câu 7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) =x x

tại điểm có hoành độ bằng 2

4 4

Trang 14

C y=4 1 ln 2( + )x−8ln 2 4−

Hàm số y= f x( ) =x x

xác định trên khoảng (0;+∞)

Ta có y= f x( ) =x x⇒ln f x( ) =lnx x ⇒ln f x( ) =xlnx

Lấy đạo hàm hai vế, ta có

( )

( ) 1 ln

f x

x

f x

′

= +

( ) ( ) (1 ln )

f x′ f x x

( ) x(1 ln ) ( )2 2 1 ln 22( ) 4 1 ln 2( )

f x′ x x f′

Ta có f ( )2 =22 =4

Vậy, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng 2

là

( ) (2 2) ( )2

y= f′ x− + f

hay y=4 1 ln 2( + )x−8ln 2 4−

.

( )

5

2020 2021

x m x

y

=  ÷

Biết rằng .e

b

( với a b c, , ∈¢

) thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )2;5

Tính 5

log c b

A

1 125

S =

D S =6561

Lời giải

Ta có

x m x

Để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng( )2;5

thì y′ ≥ ∀ ∈0, x ( )2;5

5

5e x m 3 ex 0

, ∀ ∈x ( )2;5 ⇔ ≤m 5e4x− ∀ ∈3, x ( )2;5 ⇔ ≤m 5e8−3 Suy ra a=5;b=8;c= −3

log c b log 5c b b 3 6561

Câu 9. Tính đạo hàm cấp n (n∈ Ν*)

của hàm số

ln 2 3

y= x−

A

( ) ( ) (1 ) 2

2 3

n n

n

x

= − −  − ÷

( ) ( 1 !) 2

2 3

n n

x

= −  − ÷

Trang 15

C

( ) ( ) (1 1 !) 2

2 3

n n

n

x

= − −  − ÷

( ) ( ) (1 ) 1

2 3

n n

n

x

= − −  − ÷

Ta có:

ln 2 3

y= x− ⇒ =y′ 2x2 3

− ( )

2

1 1

2

2 3

y

x

−

′′

− ( )

2 3

3

1.2

2 1

2 3

y

x

′′′

− ( ) (1 ) 2

2 3

n n

n

x

= − −  − ÷

Giả sử

( ) ( ) (1 ) 2

1 1 !

2 3

n n

n

x

= − −  − ÷ ( )1

Ta chứng minh công thức ( )1

đúng Thật vậy:

Với n=1

ta có:

2

2 3

y x

′ =

−

Giả sử ( )1

đúng đến n k=

,

*

2 k≤ ∈ Ν

tức là

( ) ( ) (1 ) 2

1 1 !

2 3

k k

k

x

= − −  − ÷

Ta phải chứng minh ( )1

đúng đến n k= +1

, tức là chứng minh

1 !

2 3

k k

k

x

+

 − ÷

Ta có:

(k 1 ) ( )k

y + y ′

=   ( ) ( )

1 1 !

2 3

k k

k

x

= − −  − ÷

1 1

2

1 2 2 3

1 1 !.2

2 3

k

x

−

− ( ) ( 1) 1

2

1 !

2 3

k k

k

k x

+ +

= −

2 3

k k

k x

+

−

Vậy

( ) ( ) (1 ) 2

1 1 !

2 3

n n

n

x

= − −  − ÷

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a (a 0> )

thỏa mãn

2021

2021 2021

a a

a

A.0< <a 1

B.1< <a 2021

C.a≥2021

D.0< ≤a 2021

Ta có

2021

2021 2021

a a

a

Trang 16

a

2021

a a

a

Xét hàm số

1

2

1

x

 + 

Ta có

4 1

0

x

'

y

+

2

4 ln4 4 1 ln 4 1 1

0

x

y

x

+

, ∀ >x 0

Nên y= f x( )

là hàm giảm trên (0;+∞)

Do đó f a( ) ≤ f (2021)

,(a>0)

khi 0< ≤a 2021

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	774,71 KB