NW359 360 DẠNG 15 NGUYÊN hàm của hàm số LƯỢNG GIÁC GV

CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Lý thuyết về nguyên hàm.. Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TOÁN 15: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC... DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm nguyên hàm của hàm số lượ

Trang 1

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Nguyên hàm

 Định nghĩa:

 Cho hàm số f x 

xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F x 

được gọi là nguyên hàm của hàm số f x 

trên K nếu F x�   f x  với mọi x K�

2 Các công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác

1)�sinxdx cosx C 2) �sin(ax b dx )  1acos(ax b ) C

3) �cosxdxsinx C 4) �cosax b dx  1asinax b  C

2

1

tan cos ax b dxa ax b C



�

2

1

cot sin ax b dx  ax b C



�

9)

sin

cos

x

sin

x

3 Một số phương pháp tìm nguyên hàm:

 Phương pháp đổi biến số: Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u u x ( )có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f u  liên tục sao cho f u x[ ( )] xác định trên K Khi đó nếu F là

một nguyên hàm của f, tức là �f u du F u( )  ( )C thì �f u x u x dx[ ( )] ( )� �f u x du x[ ( )] ( )F u x[ ( )]C.

 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:

Định lý: Nếu u u x ( )và v v x ( ) là hai hàm có đạo hàm liên tục trên K thì

u x v x dx u x v x�   u x v x dx�

� � hay �u dv u v  �v du

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Lý thuyết về nguyên hàm

 Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

 Tính nguyên hàm của hàm dạng đối xứng

 Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phân

 …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021)Tìm nguyên hàm của hàm số f x  cos 2x.

2

f x x x C

2

f x x  x C

C �f x x d 2sin 2x C . D �f x x d  2sin 2x C .

Phân tích hướng dẫn giải

DẠNG TOÁN 15: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Trang 2

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác

2 HƯỚNG GIẢI:

Ta có thể sử dụng công thức

1

a

� để giải quyết bài toán.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

GVSB: Trần Đông; GVPB: Hải Quan

Chọn A

Tự luận: Áp dụng công thức

1 cos(ax b x)d sin(ax b) C

a

� với a� ; thay 0 a và 2 b để có kết 0 quả

Trắc nghiệm: Nhập vào biểu thức vào máy tính

3



shift Sto A os2c A

1

d

x

� � chọn đáp án A.

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1 Cho hàm số F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K Các mệnh đề sau, mệnh đề

nào sai.

A. �f x dx F x( )  ( )C. B.  �f x dx( ) � f x( )

C.  �f x dx( ) � � f x( ). D.  �f x dx( ) � �F x( ).

Lời giải

Chọn C

Ta có �f x dx F x( )  ( )C �F x'   f x  nên phương án A, B, D đúng.

Câu 2 Khẳng định nào sau đây là đúng?

dx C

dx  C

Lời giải

Chọn A

Xét  cos ' sin

cos cos

Vậy khẳng định A đúng

( ) cos 3

6

f x  ��x��

A.

1

f x dx ��x ��C

�

6

f x dx ��x ��C

�

C.

1

f x dx  ��x ��C

�

1

f x dx ��x ��C

�

Lời giải

Trang 3

Chọn D

f x dx ��x � �� d x �� ��x ��C

Câu 4 Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?

A. f x  sin 2x và g x  cos2 x. B. f x  tan2 x và   2 2

1 cos

g x

x



C. f x  e x và g x  ex. D. f x  sin 2x và g x  sin2 x.

Lời giải

Chọn D

Vì  2 /

sin x 2sin cosx xsin 2x

Câu 5 Cho hàm số f x( ) cos  x Tìm họ nguyên hàm của hàm số  2

( )

y f x�

A

1

2 4

x

y x  x C

2 4

x

y x  x C

�

C.

1

2

y x x  x C

2

y x x  x C

�

Lời giải

Chọn A

f x  x   x; y( '( ))f x 2 ( sin )x 2 sin2x1 cos 2 x 2 .

sin 2

x

cos sin

x dx x

� ” Bạn An giải bằng phương pháp đổi biến như sau: + Bước 1: Đặt usinx, ta có ducosxdx

+ Bước 2: 2 2

sin

+ Bước 3: Kết luận 2

sin

x

� Hỏi bạn An sai ở bước nào?

A. Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D. Không sai

Lời giải

Chọn C

Dễ thấy bước 1,2 đúng

Bước 3 sai vì đưa về biến cũ sai, đúng phải là 2

x

cos ( ) sin

x

f x

x



có một nguyên hàm F x( ) bằng

A 4

1

4sin x



4

sin x



Trang 4

Lời giải

Chọn B

x

Câu 8 Tìm một nguyên hàm F x 

của hàm sốyxsin 2x

x

Lời giải

Chọn D

Ta có:�xsin 2xdx

Đặt:

1

2

du dx

u x



�



�

Khi đó:

x

Câu 9 Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( )xcos x

A �f x dx x( )  sinxcosx C B �f x dx( )  xsinxcosx C

C �f x dx( )  xsinxcosx C D �f x dx x( )  sinxcosx C

Lời giải

Chọn D

Tự luận: Đặt cos sin

�

x xdx x x xdx x x x C

Câu 10 Kết quả củaF x( )�xsin dx x là

Lời giải

Chọn A

�

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

F x  x x� xdx x x x C .

 Mức độ 2

Trang 5

Câu 1 Tính F x( )�xsin cosx xdx Chọn kết quả đúng:

A

1

x

1

x

C

1

x

1

x

F x   x x C

Lời giải

Chọn A

1

2

F x �x x xdx�x xdx

Đặt

1 1

2 2

1

2

� 

2

F x �x xdx

A

2 ( ) ( 2)sin 2 cos

F x  x  x x x C B F x( ) 2 sin x2 x x cosxsinx C

C F x( )x2sinx2 cosx x2sinx C D F x( ) (2 x x 2) cosx x sinx C

Lời giải

Chọn A

2

F x �x xdx Đặt

2

n

2 si os

c

u x

x v

xdx dv



�

2sin 2 si

(

F x x x�x xdx

�

2sin 2 cos 2cos 2sin 2 cos 2sin

3 2

sin cos

x dx x

� ta được kết quả nào sau đây?

A

3 2

sin

x

� . B 32

sin

x

C

3 2

cos

x

� . D 32

cos

x

Lời giải

Chọn C

1 cos sin sin sin sin



Đặt cosx t �sinxdx dt

Trang 6

 2  2 2

1 cos

� � � � 1 cos 1

cos

Câu 4 Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số f x  xcos x?

A F x  2x xsin x6 cosx x12 xsin x c os xC

B F x  x xcos x3 sinx x6 xcos xsin xC

C F x  2x xsin x6 cosx x12 xsin xcos xC

D F x  x xcos x3 sinx x6 xcos xsin xC

Lời giải

Chọn A

Đặt t x suy ra I �2 cost3 tdt.

Đặt

3 2 cos

�

� 

� suy ra

2 6 sin

� 

� Suy ra

I  t t�t costdt

Tiếp tục tích phân từng phần 2 lần nữa ta được F t  2 sint3 t6 cos -12 sint2 t t tcostC Vậy F x  2x xsin x6 cosx x12 xsin x c os xC

Câu 5 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) ( x 1).sin 2x

A

1

2

f x dx x x x C

f x dx  x x x C

�

C

1

2

f x dx x x x C

f x dx  x x x C

�

Lời giải.

Chọn D

Đặt

1

2

du dx

u x



�

 

�

Khi đó

sinx cos x dx

�

A

3

sinx

3 cos

�

sinx

3 cos

�

C

3

sinx

3 cos

�

sinx

3 cos

�

Lời giải

Trang 7

Chọn C

Đặt cosx t �sinxdx dt

1

3

sin

1 cos

3



cos sin

d sin cos

x





�

A

cos sin

d 2 sin cos sin cos



�

B

cos sin

d 2 sin cos sin cos



�

C

cos sin

d 3 sin cos sin cos



�

D

cos sin

d 3 sin cos sin cos



�

Lời giải.

Chọn A

Đặt sinxcosx t �sinxcosx t 2, cos xsinx xd 2 dt t

d d 2 d 2 2 sin cos sin cos

t



Câu 8 Tính � 1xcosxdxta được kết quả nào sau đây?

A 1xsinxcosx C . B 1xsinxcosx C .

C 1xsinxcosx C . D 1xsinxsinx C .

Lời giải.

Chọn A

Đặt

1

�

1xcosxdx 1 xsinx sinxdx 1 xsinxcosx C

Câu 9 Tính �xsin 2 x1dx.

x

2

x

Lời giải

Chọn D

Đặt: sin 2 1 1cos 2 1

2

dx du

x u



�



�

Trang 8

Câu 10 Tính cos2

x dx x

x

cos

x

cos

x

Lời giải

Chọn C

1

tan cos

u x

du dx

x



�

cos

x

 Mức độ 3

Câu 1 Biết F x 

là một nguyên hàm của f x  sin3xcosx và F 0  Tính F� �� 2 .

A 2

F� � � � 

1

F� � � � 

1

F� � � � 

 

� �

� �

Lời giải

Chọn C

d sin cos d sin d sin

4

x

 0 sin 04

4

 

4

x



Câu 2 Cho hàm số f x( ) ( ax b c x ) os thỏa mãn �f x dx x( )  .sinx2sinxcosx C Tính

S a b ?

Lời giải

Chọn C

�

Khi đó �f x dx( ) (ax b ).sinx�asinxdx

(ax b)sinx ac x C axos sinx bsinx acosx C

Câu 3 Biết F x( ) là một nguyên hàm của hàm số

2

x

f x x

thỏa

1 (0) 2

Tính F( ).

Trang 9

A

2

1

2

F     �

B

2 1 ( )

4 2

C

2

1

4

F     �

D

2

1

2

F     �

Lời giải

Chọn B

2

F x  f x dx x x x dx

�

    1 2 sin sin

2 2

x

� � 1 2 sin cos

2 2

x

Vì

F  �  C �C 

Vậy

2 1

2 2

x

Do đó

2 1

2 2

 �  �

Câu 4 Gọi F x 

là một nguyên hàm của hàm số f x  xcos 2 x Biết rằng  0 1

4

, giá trị F  là:

A F  1 B   1

4

F  

C   1

2

F  

D F  0

Lời giải

Chọn B

Đặt cos 2

u x



�

� 

sin 2 2

du dx

x v



�

� 

�

Khi đó   cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2

Do  0 1

4

nên C0.

Từ đó suy ra F  14

Câu 5 Cho hàm số f x( ) biết f x'( )xsinxvà f( ) 0  Tính f 3



� �

A

3 7

f � � � � 

3 7

f � �  � � 

C

3 7

f � �  � � 

3 7

f � � � � 

Lời giải

Chọn A

Trang 10

( ) sin ( cos ) cos sin

f x �x xdx�xd  x  x x x C ,

f   �C   � f x  x x x

Nên

3 7

f � � � � 

Câu 6 Biết rằng I �e cos x2x 3 dx=e2xacos 3x b sin 2xc, trong đó a, b, c là các hằng số Khi đó, tổng a b có giá trị là:

A

1 13



5 13



5

1 13

Lời giải

Chọn C

I �e cos xdx �cos xd e  e x �e d x (từng phần lần 1)

 

(từng phần lần 2) Suy ra

x

I e �� x x��

,

a b a b 

Câu 7 Cho hàm số y f x  thỏa mãn hệ thức �f x sinx dx-f x cosx�x cosx dx Hỏi

 

y f x là hàm số nào trong các hàm số sau?

A f x  lnx



 

B f x  lnx



 C f x  x.ln . D f x   x.ln .

Lời giải

Chọn B

Ta có �f x sin dx = x �f x   d cosx

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có:

 cos   dx

f x x f x cosx�

Mà theo giả thiết �f x sinx dx-f x cosx�x cosx dx

Suy ra     dx

ln

x



Câu 8 Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 /m s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển

động chậm dần đều với v t    5 10t m s/ , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Lời giải

Trang 11

Chọn C

Quãng đường vật di chuyển      5 10 5 2 10

2

t

� �

Tại thời điểm t thì 0 s t  0, do đó C và 0   5 2 5 2

t

Xe dừng hẳn khi được quãng đường 10 m 

kể từ lúc đạp phanh

Câu 9 Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc v t  2 t0� �t 30 m s/  Giả sử tại thời điểm t thì 0 s Phương trình thể hiện quãng đường theo thời gian ô tô đi được là0

A 4 3 

3

s t m

B s2 t m . C 4 3 

3

s t m

D 2t m 

Lời giải

Chọn A

   

1 1

3

1 2

t



� � �

sin cos 1 cos 2

sin cos 2 sin cos 2

m n

x

�

với m n, �� Tính A m n 

Lời giải

Chọn C

cos sin sin cos cos 2

sin cos 2 sin cos 2

x



Đặt usinxcosx2�ducosxsinx dx

2

u

 Mức độ 4

sin 2 cos

d

1 cos

x





�

ta được kết quả có dạng

2

cos x acosx bln cosx 1 C

A.

1 4

a

b 

a

b  

a

b 

a

b 

Lời giải

Chọn B

Ta có

sin 2 cos

d

1 cos

x





1 cos

x x





1 cos

x

x x x





�

 

2 f cosx sin dx x

Trang 12

Đặt: �tcosx .

Suy ra: 2 2  d 2 2 d

� � 2 1 1 d 2 2 ln 1

t

  �  �   �    �



�

Đổi lại biến số x , ta được: I   t2 2t 2 ln t  1 C cos2x2cosx2ln cos x 1 C

a

b

Câu 2 Xác định các nguyên hàm: 2 2

sin 2 d

x x I



�

có dạng

a

b

?

a b c d   

Lời giải

Chọn B

Đặt: t 3cos2x4sin2 x8 �t23cos2x4sin2x8.

7

x x  t t

�

Suy ra:

2

7

t t

t



Vậy a2,b7,c4,d 8�a b c d   21

Câu 3 Xác định nguyên hàm: I � sin4xcos4xsin 2 dx x? ta thu được kết quả có dạng

3

C

Khi đó a2 b ?

A. 28 B 30 C 28 D 30

Lời giải

Chọn A

Không phải lúc nào cũng áp dụng ngay công thức hạ bậc vào các nguyên hàm khó đổi biến số,

mà nên rút gọn thử xem biểu thức trong dấu nguyên hàm có thể đơn giản hơn được không

Ta có: sin4xcos4xsin 2x   2 2 2 2 2 

sin x cos x 2sin xcos x sin 2x

2 1

sin4 xcos4xsin 2x

1 1 cos 2 sin 2

Suy ra:

2

1 1 cos 2 sin 2 d

2 2

I  ��  x�� x x

�

; đặt tcos 2x�dt 2sin 2 dx x. Suy ra

2

1 1 cos 2 sin 2 d

2 2

I  ��  x�� x x

Trang 13

1

t

Đổi lại biến số:

Khi đó a  4, b  12 � a b2  28.

Câu 4 Xác định nguyên hàm

x x x I

x







� ta thu được kết quả

I  x n x C

Khi đó m2 n2 ?

Lời giải

Chọn D

Đây là dạng nguyên hàm lượng của lượng giác đối xứng

Ta biến đổi như sau:

x x x x x x x x x I

x x x x x

Đặt tsinxcosx�dt(cosxsin )dx x

Suy ra:

2

x x dx t



Vậy m1,n1� m2n2  2

sin cos d sin 2 2

I

x







� sin cos 

k



(k là một số vô tỉ).

Khi đó k2  16 ?

Lời giải

Chọn A

Đây là dạng nguyên hàm lượng của lượng giác đối xứng

Ta biến đổi như sau:

sin cos d sin cos d sin cos d sin 2 2 3 (1 2sin cos ) 3 sin cos

I

Đặt tsinxcosx�dt(cosxsin )dx x

2

arcsin arcsin

x x x I







� ? ta thu được kết quả có dạng 1ln sin 2

sin 2

C



Khi đó a b c  ?

Trang 14

Lời giải

Chọn B

Đây là dạng nguyên hàm của hàm lượng giác đối xứng

I

Đặt:

2

sin cos

2

�



�

Suy ra:

2

I

t



2

�

vậy a1,b6,c2.

2



là các số tự nhiên và

a

b ,

c

d là phân số tối giản Khẳng định nào sau đây đúng?

A c  a 2b. B c a 2b. C c a 2b. D c  a 2b.

Lời giải

Chọn A

Biểu thức trong dấu nguyên hàm là hàm lượng giác đẳng cấp, rất dễ dàng đưa về hàm “tan” bằng cách chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của hàm “cos” như sau:

2

1 2 tan

cos

x

Đến đây ta tiến hành đặt:

2

t

t x t x x x x x

 Suy ra:

4 1 ( 4)( 1)

I

Đến đây thuần túy là nguyên hàm phân thức Ta có:

2



t t

x

Trang 15

Vậy a1,b3,c5

d

1 cos

x x

x







2

I  a  ��  �� x C

� � với a là một số tự nhiên Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a� 3, 1

B. a�1,2

C. a� 3,5

D.  1,3

Lời giải

Chọn D

Đặt

2

2 2

1 tan

2

x



Khi đó ta có:

2



Suy ra

2

1 1

t





2

I t t t t t t t t C

t t t



Đổi lại biến số:

2

Vậy a 2

Câu 9 Tính nguyên hàm:

d



� .I 2x3ln sinx a cosx b C  Khi đó

a  b

Lời giải

Chọn C

Tách tử số theo mẫu số 4sinx7 cosx2�sinx2cosx 1 cosx2sinx

4sinx 7 cosx 2  2 sinx 2  cosx  

Suy ra

2 3ln sin 2 cos 1

�

Trang 16

Vậy a2,b1

Câu 10 Tính nguyên hàm:

d



A.

x

.

B

x

C

x

D

x

Lời giải

Chọn D

Tách tử số theo mẫu số 3sinx2cosx1�2sinxcosx 1 2cosxsinx

3sinx2cosx1 2  sinx 2 cosx  

8 5

1

2 2

5



 

 



� 

�

 

�

�  

�

� Suy ra

d



�

1

I  x x x  I

�

Với 1

1

d



2d

t



Khi đó

2

sin ;cos



Suy ra

2

2d

t



Thay vào I ta được

x

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	816,34 KB