Phòng giáo dục và đào tạo triÖu s¬n.. §Ò chÝnh thøc.[r]
Trang 1Phòng giáo dục và đào tạo
triệu sơn Kiểm định chất lợng học sinh giỏi lớp 8 Năm học: 2011 - 2012
Đề chính thức
Số báo danh
………
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 09/05/2012
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức: P = (x+12 −
3
x −1 −
x+7
1 − x2) : 1 −2 x
x2−1 .
1 Rút gọn biểu thức P.
2 Tìm x để P < 0.
Câu 2: (4,0 điểm)
1 Giải phơng trình: 4 x2−4 x −5|2 x − 1|− 5=0.
2 Giải bất phơng trình: (2 x2+3 x +4)2 −( x2
+x+4)2 > 0
Câu 3: (4,0 điểm)
1 Tìm cá số tự nhiên n để (n2−8)2+36 là số nguyên tố
2 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất đẳng thức:
10 x2
+20 y2+24 xy+8 x −24 y +51<0
Câu 4: (6,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH Cho biết AB = 15cm và AC = 20cm.
a) Chứng minh rằng: AH.BC = AB.AC Tính: BC, AH
b) Kẻ HM AB, HN AC Chứng minh: Δ AMN Δ ACB
c) Trung tuyến AK của tam giác ABC cắt MN tại I Tinh diện tích tam giác AMI
2 Cho tam giác ABC cân tại A, có BAC = 108 ❑0 Tính tỷ số BC
AC .
Câu 5: (2,0 điểm )
Cho a, b, c là ba số dơng và 1
a+
1
c=
2
b .
Chứng minh rằng: a+b
2 a − b+
c+b
2 c − b ≥ 4 .
- Hết
-Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Đáp án và thang điểm
Câu 1:
4,0
điểm
1.
2đ Rút gọn: P = 2
1 −2 x
2đ
2.
2đ Để P < 0, nghĩa là: 2
1 −2 x < 0 x >
1 2
2đ
Câu 2: 1. Giải phơng trình: 4 x2−4 x −5|2 x − 1|− 5=0. (1)
Trang 2điểm
2đ
Nếu: x 1
2 (1) 2x(2x – 7) = 0
x=0 (loai )
¿
x =7
2
¿
¿
¿
¿
1đ
Nếu: x < 1
2 (1) (2x + 5)(x – 1) = 0
x=1(loai)
¿
x=−5
2
¿
¿
¿
¿
Vậy (1) có nghiệm x = - 5
2 ; x =
7 2
1đ
2.
2đ Giải bất phơng trình: (2 x2+3 x +4)2 −(x2
+x+4)2 > 0
Nhận xét: vì 3x ❑2 + 4x +8 = (x + 2) ❑2 + 2x ❑2 + 4 > 0
x(x + 2) > 0 x < - 2 x > 0
1đ
Câu 3:
4,0
điểm
1.
2đ Tìm cá số tự nhiên n để (n2−8)2+36 là số nguyên tố
Ta có: (n2−8)2+36 =
n4−16 n2
+64+36=n4
+100− 16 n2
=(n2
+10)2− 36 n2
=(n2
+10− 6 n) (n2+10+6 n)
1đ
Để (n2−8)2+36 là số nguyên tố, điều kiện cần là: n2+10 −6 n=1
n −3¿2=0⇔n=3
¿ Thử lại: với n = 3 thì: (n2−8)2+36 = 37 là số nguyên tố
Vậy n = 3 thì (n2−8)2+36 là số nguyên tố
1đ
2.
2đ Biến đổi: 10 x2+20 y2+24 xy+8 x −24 y +51<0
(3 x+ 4 y)2+(x+ 4)2+(2 y −6)2−1<0
1đ
¿
3 x+4 y=0
x +4=0
2 y − 6=0
⇔
¿x =−4 y=3
¿{ {
¿
1đ
Câu 4:
6,0
điểm
1 a.
ABH CBH AB
BC=
AH
AC(∗)
AH.BC = AB.AC
Và tính dợc: BC = 25 cm (1) AH = AB AC
b. Chứng minh: ACB HCA HCA NHA NHA = AMN AMN ACB
c. N❑1 = B❑ (AKC cân tại K)
Và A❑1 = C❑ , mà B❑ + C❑ = 90 ❑0 N❑1 + A❑1 = 90 ❑0
AIN vuông cân tại I và NHA ACB (chứng minh trên)
Trang 3 NH
AC=
AH
AC AH
20 12
25 =9,6 cm.
AM = NH = 9,6 cm
Và IMA AMN IMA ACB AM
BC =
IM
AC=
AI
AB=
9,6
25 .
IM = 192
15 ; AI =
144
25 S ❑AMI =
1
2 AI.IM = 1
2.
192
25 .
144
25 =
13824
K
1
M
C
N A
2.
B
A
Ta có: AMB BAC AB
BC=
BM
AC ⇒AB+BC
BM+AC
BC AC BC
AC=1+
AB
BC=1+
AC
BC Đặt: x =
BC
AC (x > 0) x = 1 + 1
x x2− x −1=0 GiảI ra ta đợc: x =
1+√5
Vậy: BC
1+√5 2
Câu 5:
2,0
điểm
Từ: 1
a+
1
c=
2
b 2a – b =
ab
c và 2c – b =
bc
a .
a+b
2 a − b+
c +b
2 c +b=
a+b
ab
c
+c +b
bc
a
=c
b+
c
a+
a
b+
a
c ≥ 4
4
√acb2≥ 4 .
Bất đẳng thức Cosi và a, b, c dơng
Dấu bằng xẩy ra a = b = c