Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn O vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn O, P, N là hai tiếp điểm.. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác
Trang 1Së gd & ®t
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010
MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:
1 3x2 + 4x + 10 = 2 14x2−7
2. 44−x2 −4 x4− +16 4x+ +1 x2+y2−2y− = −3 5 y
3 x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên)
Bài 2: (2.5 điểm)
1 Tìm số tự nhiên n để n+18 và n−41 là hai số chính phương.
2 Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6= + 4
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
Bài 3: (3,25 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O)
vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O), (P, N là hai tiếp điểm).
1 Chứng minh rằng 2 2
MN =MP =MA MB
2 Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
3 Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Bài 4: (1,5 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính
OP Trên trục hoành lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0) Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường tròn (K) tại A; B ; C Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a; b; c.
Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 0
Chứng minh rằng: 19b - a3 23 +19c - b3 23 +19a - c3 23 3(a + b + c)
ab + 5b cb + 5c ac + 5a ≤
Hết./
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN THI: to¸n
(Thời gian làm bài 150 phút)
Trang 3Câu Ý Nội dung Điểm
1
(2,5đ)
1.1
x<− x≥
⇔ x2+4x+ +4 2x2− −1 2 2x2−1 7 7+ = 0
2 (x 2) ( 2x 1 7) 0
2
2
2 0
2 2
2 1 7 0
2
x x
x x
x
x
= −
+ =
= − (Thỏa mãn)
0,25 0,25
0,25
1.2
(1.0đ)
Điều kiện :
2 2
16 0 (2)
2 3 0 (4)
x x x
− ≥
− ≥
+ − − ≥
Từ (2) ⇔(x2 – 4)(x2 + 4) ≥ ⇔0 x2− ≥4 0 kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2 Thay vào (4): y2 – 2y + 1 0≥ ; Đúng với mọi giá trị của y
Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5)
0.5đ 0,5
1.3
(0,75đ) Biến đổi đưa được pt về dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) = 0
⇔x2 – 2y – 5 = 0 ⇔ x2 = 2y2 + 5 ⇔x lẻ
Đặt x = 2k + 1 ; ( k Z∈ )⇔ 4k2 + 4k +1 = 2y2 + 5⇔2y2 = 4k2 + 4k – 4
⇔y2 = 2(k2 + k – 1) ⇔y chẵn
Đặt y = 2n; (n Z∈ ) ⇔4n2 = 2(k2 + k – 1) ⇔2n2 + 1 = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và
k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) ⇔(*) vô nghiệm⇔pt đã cho vô nghiệm
0,25 0,25 0,25
2
(2,0đ)
2.1
(1,0đ)
Để n+18 và n−41 là hai số chính phương
2 18
⇔ + = vàn−41=q p q2( , ∈N)
Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30
Từ n+ =18 p2 =302 =900 suy ra n=882
Thay vào n−41, ta được 882 41 841 29− = = 2 =q2 Vậy với n=882 thì n+18 và n−41 là hai số chính phương
0,5
0,5
2.2
( 1,0đ) Gọi số cần tìm là : ab=10a b+ (a, b là số nguyên và a khác 0)
Theo giả thiết: 10a b a+ = + b là số nguyên, nên ab và b là các số chính phương,
do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9
10a b a+ = + b⇔10a b a+ = +2a b b+ ⇔2 5a − b =a
2 5 b a
⇔ − = (vì a≠0)
0,5
Do đó a phải là số chẵn: a=2k, nên 5− b k=
Nếu b= ⇒ = ⇒1 a 8 81 8= + 1 9= (thỏa điều kiện bài toán) Nếu b= ⇒ = ⇒4 a 6 64 6= + 4 8= (thỏa điều kiện bài toán) Nếu b= ⇒ = ⇒9 a 4 49 4= + 9 7= (thỏa điều kiện bài toán)
0, 5
3
3,25đ)
3.1
(1,0)
d
d '
D
B
I E N
P
H O
M