treân moät maët caàu: Cách 1: Ta chứng minh các điểm M, N, P, Q cách đều một điểm O cố định cho trước Cách 2: Ta chứng minh các điểm M, N, P, Q cùng nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuô[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
(Ôn thi đại học)
A MỘT SỐ DẠNG TOÁN
01 Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: (α) và
(β)
Cách 1: Tìm hai điểm chung
Cách 2:
* Tìm một điểm chung
* Chứng minh hai mặt phẳng( ) và( ) chứa hai
đường thẳng song song hay mặt này chứa một
đường thẳng song song với mặt kia
Lưu ý: Nếu bài toán có giả thiết hai mp song
song thì ta có thể chuyển về giả thiết đường thẳng song song với mp để tìm giao tuyến theo cách hai Ví dụ: mp( ) song song với mp(SAB)
mp( ) song song với SA, SB, AB
02 Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt
phẳng (α)
Cách 1: Mở rộng mp( ) để tìm giao điểm của
đường thẳng d với mp( )
Cách 2:
* Chọn mp phụ( ) chứa d
* Tìm giao tuyến a của hai mp( ) và( )
Gọi O=da Khi đó O là giao điểm cần tìm Cách 3(GT): Lập PTTS của đường thẳng d;
PTTQ của mặt phẳng( ) và giải hệ
03 Chứng minh các điểm A, B, C thẳng hàng
Cách 1: Ta chứng minh các điểm A, B, C cùng
thuộc hai mp( ) và( )
Cách 2(GT):
Ta có: AB=
→
(a1;a2) AC=→(b1; b2) ⇒ a1
b1=
a2
AC→ cùng phương ⇒ các điểm A, B, C thẳng
hàng
04 Chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng qui
Cách 1: Gọi I = ab Ta chứng minh c qua I bằng cách chứng minh c là giao tuyến và I là điểm chung của hai mp( ) và( )
Cách 2: Sử dụng định lí: Nếu ba mp cắt nhau
theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó song song hay đồng qui
Cách 3(GT):
Lập phương trình đường thẳng a, b, c Tìm giao điểm I của a và b
Chứng minh điểm I thuộc đường thẳng c
05 Tìm thiết diện của măt phẳng (α) hình Cách 2(GT):
Trang 2Ta mở rộng mp( ) để tìm các đoạn giao tuyến
của mp( ) với các mặt của hình chóp Thiết
diện cần tìm là đa giác nối các đoạn giao tuyến
06 Chứng minh song song
a) Cách chứng minh hai đường thẳng a, b song
song:
Cách 1: Sử dụng tính chất bắc cầu, tính chất
đường trung bình, tính chất hình thang, tính chất
hình bình hành, kết quả của định lí
* Ta thấy: a b
* Tìm VTCP → a của đường thẳng a, tìm VTCP
b
→
của đường thẳng b
* Chứng minh → a và b → cùng phương
b) Cách chứng minh đường thẳng a song song
với mặt phẳng (α) :
Cách 1: Ta chứng minh đường thẳng a song song
với một đường thẳng trong mp( )
Cách 2(GT):
* Ta thấy: a mp( )
* Tìm VTCP → a của đường thẳng a và tìm
VTPT → n của mp( )
* Chứng minh: → a → n ⇒ đường thẳng a
song song với mp( )
c) Cách chứng minh hai mp (α) , (β) song song:
Cách 1: Ta chứng minh mp( ) chứa hai đường
thẳng a, b cắt nhau và song song với mp( )
Cách 2(GT):
* Ta thấy: mp( ) mp( )
* Tìm VTPT → n1 của mp( ) , tìm VTPT → n2 của mp( )
* Chứng minh → n1 và → n2 cùng phương
07 Chứng minh vuông góc
a) Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông
góc:
Cách1: Sử dụng kiến thức hình học phẳng, kiến
thức về góc, kết quả một số định lí trong hình
học không gian
Cách 2(GT):
* Tìm VTCP → a của đường thẳng a, tìm VTCP
b
→
của đường thẳng b
* Chứng minh → a và b → vuông góc
c) Chứng minh hai mp (α) và (β) vuông góc:
Cách1: Ta chứng minh mặt phẳng này chứa một
đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia
Cách 2(GT):
* Tìm VTPT → n1 của mp( ) , tìm VTPT → n2
b) Chứng minh đường thẳng Δ và mp (α) vuông góc:
Cách1: Ta chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau trong mp ( )
Cách 2(GT):
* Tìm VTCP → a của đường thẳng , tìm VTPT
n
→
của mp( )
* Chứng minh: → a và → n cùng phương
Trang 3của mp( )
* Chứng minh → n1 và → n2 vuông góc
08 Khoảng cách
a) Khoảng cách từ điểm M o đến đt Δ :
* Trong mặt phẳng:
Tìm điểm Mo(xo; yo) và lập phương trình đt
: Ax+By+C = 0
Ta có:
d(Mo; )=
|Axo+Byo+C|
√A2 +B2
* Trong không gian:
Đường thẳng qua M1 và có VTCP → a
⇒ M0M →1⇒[a,→ M0M →1]
⇒d (M o , Δ)=| [a,→ M0M →1] |
|a
→
|
❑
b) Khoảng cách từ điểm M đến mp (α) :
Cách 1:
Kẻ MH mp( ) Khi đó:
Lưu ý:
d(a;( ) ) với a//( ) và d(( ) ;( ) ) với( ) //( )
09 Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau: Cách 1: Ta chuyển về tính góc giữa hai đường
thẳng cắt nhau bằng cách thay đường thẳng đó bởi đường thẳng khác song song với nó
chuyển về
chéo nhau cắt nhau
Cách 2(GT):
* Tìm VTCP → a của đường thẳng a, tìm VTCP b → của đường thẳng b
* Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng Tacó:
cos ϕ =
|a → → b|
|→ a||→ b|
b) Góc (a; (α) ) với a cắt mp (α) tại A:
Cách 1:
Kẻ MH mp( ) Khi đó:
Cách 2(GT):
* Tìm VTCP → a của đường thẳng a, tìm VTPT → n của mp( )
* Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng a và mp( ) d(M; ( ) ) = MH
(a;( ) ) = (a; AH) = MAH
Trang 4được chuyển về khoảng cách từ điểm đến mp
Cách 2(GT):
Tìm điểm Mo(xo; yo; zo) và lập phương trình mp
( ) : Ax +By + Cz +D = 0
Ta có:
d(Mo;( ) )= |Axo+Byo+Czo+D|
√A2+B2+C2
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b
chéo nhau:
Cách 1:
Ta thường tính dựa vào các tính chất sau:
* d(a;b) = d(a;( ) ) với mp( ) chứa a và song
song với b
* d(a;b) = d(( ) ;( ) ) với mp( ) , mp( ) chứa
a, b và mp( ) song song với mp( )
Cách 2(GT):
Đường thẳng a qua M1 và có VTCP → a ,
đường thẳng b qua M2 và có VTCP b →
⇒ M1M →2và [a,→ → b]
⇒d (a,b)=| [a,→ → b] M1M →2|
| [a,→ → b] |
❑
Tacó:
sin ϕ =
|a → → n|
|a
→
||n
→
|
c) Góc ( (α) ; (β) ) với mp (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến Δ :
Cách 1:
* Lấy O trên , trong mp( ) kẻ a qua O và vuông góc , trong mp( ) kẻ b qua O và vuông góc với
* Khi đó:
Lưu ýù: Trong trường hợp tổng quát góc giữa
( ) và( ) được xác định như sau:
* Kẻ mp(R) , tìm giao tuyến
a và b của mp(R) với hai mp( ) và( )
* Khi đó:
Cách 2(GT):
* Tìm VTPT → n1 của mp( ) , tìm VTPT → n2
của mp( )
* Gọi ϕ là góc giữa hai mp( ) và( )
Tacó:
cos ϕ =
|n1→.→ n2|
|→ n1|.|→ n2|
d) Chứng minh các điểm M, N, P, Q cùng nằm Cách 2(GT):
(( ) ;( ) ) = (a;b)
(( ) ;( ) ) = (a;b)
Trang 5trên một mặt cầu:
Cách 1: Ta chứng minh các điểm M, N, P, Q
cách đều một điểm O cố định cho trước
Cách 2: Ta chứng minh các điểm M, N, P, Q
cùng nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuông
e) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp:
Cách 1:
* Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa
giác đáy
* Xác định tâm của mặt cầu: là giao điểm giữa
trục với mp trung trực của một cạnh bên
Lưu ý: Một số bài toán có giả thiết mặt bên
vuông góc với mặt đáy thì ta nên tìm tâm mặt
cầu là giao điểm giữa trục với trục của đường
tròn ngoại tiếp một mặt bên đó
* Lập phương trình trục Δ của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và lập phương trình mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên
* Tìm tâm I của mặt cầu là giao điểm của Δ
và ( )
10 Các công thức tính diện tích và thể tích
i) VKhối hộp chữ nhật = abc
Với a, b, c là ba kích thước của hình hộp chữ
nhật
⇒ VKhối lập phương = a3
Với a là cạnh của hình lâïp phương
ii) VKhối chóp = 13 Bh
Với B là diện tích đáy và h là độ dài đường cao
⇒ VKhối nón = 13 ( π R2)h
Với R là bán kính đáy và h là độ dài đường cao
iii) Vkhối lăng trụ = Bh
Với B là diện tích đáy và h là độ dài đường cao
⇒ VKhối = ( π R2)h
Với R là bán kính đáy và h là độ dài đường cao
v) VKhối cầu = 43 π R3
Với R làbán kính hình cầu
iv) V Khối Chóp cụt = 13 h(B1+B2+ √B1B2 )
với B1, B2 là diện tích hai đáy và h là độ dài đường cao
⇒ V Khối nón cụt = 13 π h( R1 2+R2 2 +
R1R2)
Với R1, R2 là hai bán kính của hai đáy và h là độ dài đường cao
vi) S xq(hình trụïï) = (2 π R)L
Với R là bán kính đáy, L là đường sinh
vii) S xq(hình nón) = ( π R)L
Với R là bán kính đáy, L là đường sinh
viii) S xq(nón cụt) = π ( R1+R2)L
Với R1, R2 là hai bán kính của hai đáy, L là
đường sinh
ix) S mặt cầu = 4. π .R2với R là bán kính của mặt cầu
Trong hình học giải tích, ta có:
a) Diện tích tam giác ABC: S= 1
2| [AB ; →AC→ ] |
Trang 6b) Thể tích tứ diện ABCD: V= 1
6| [AB,→ AC→ ] AD→ |
c) Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: V= | [AB,→ AD→ ] AA'→ |
BÀI TẬP
Bài 01: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a sao cho SA = a và tam giác SAB
vuông tại A Trên cạnh AD lấy điểm M với DM = x(0 < x < a) Qua M dựng mp( ) song song với
CD và SA cắt BC, SC, SD tại N, P, Q
a) Thiết diện MNPQ là hình gì?
b) Tính diện tích của thiết diện theo a và x Tìm x theo a để diện tích thiết diện là lớn nhất? c) Gọi I là giao điểm của MQ và NP CMR: khi M di động trên đoạn AD, điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định
Bài 02: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh bằng a
a) Chứng minh rằng D’B vuông góc với mp(A’C’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’D’ và A’B
Bài 03: Cho hình chóp OABC có các cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một tại O và
OA=a, OB=b, OC=c
a) Tính chiều cao của hình chóp kẻ từ O
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC
Bài 04: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, cạnh AB = a, đường cao
SA = a 3
a) CMR: tam giác SBC vuông
b) Lấy điểm M thuộc cạnh AB với AM = x(0 < x < a), gọi ( ) là mp qua M và vuông góc với
AB Tìm thiết diện của mp( ) với hình chóp
c) Tính diện tích thiết diện theo a và x Tìm x theo a để diện tích thiết diện đó lớn nhất
Bài 05: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C với AB=a √2 Trọng tâm
G của tam giác ABC là hình chiếu của đỉnh S; SG=h Tính h theo a để mp(SAC) và mp(SBC) tạo với nhau một góc 60o
Bài 06: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đường cao SA =2a
a) Kẻ BK AC(K thuộc AC) CMR: BK SC
b) Gọi ( ) là mp qua B và vuông góc với SC Tìm thiết diện của mp( ) với hình
chóp và tính diện tích thiết diện theo a
Bài 07: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường cao
SA = a 3 Gọi ( ) là mp chứa AB và vuông góc với mp(SCD)
a) Tìm thiết diện của mp( ) với hình chóp
b) Tính diện tích thiết diện theo a
Trang 7Bài 08: Cho hình lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy là tam giác đều; cạnh bên bằng a và hai
đường thẳng AB’, BC’ vuông góc với nhau Tính thể tích khối lăng trụ đó
Bài 09: Cho hình chóp đều S.ABCD Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp trong các trường hợp sau:
a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b
b) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300, cạnh đáy bằng a
c) Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600, cạnh đáy bằng a
d) Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300, cạnh bên bằng b
e) Góc giữa măït bên và mặt đáy bằng 300, cạnh bên bằng b
Tính thêm thể tích khối chóp, khối cầu và giải bài toán trên trong trường hợp cho hình chóp đều
S ABC
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, đường cao
SA = b Kẻ: AB’ SB(B’ thuộc SB), AD’ SD(D’ thuộc SD)
a) CMR: mp(AB’D’) SC
b) Tính b theo a để B’AD’ = 450
c) Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(B’A D’)
Bài 11: Cho tam giác OAB vuông cân tại O với OA=OA=a(a>0) M là trung điểm AB Từ O và M
kẻ các tia Oz và Mm về cùng một phía của mp(OAB) và vuông góc với mp(OAB) Trên tia Oz lấy điểm N, trên tia Mm lấy điểm I sao cho 2MI=ON=a Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AN Chứng minh rằng OH vuông góc với NI
Bài 12: (ĐH KB.2003) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt
đáy bằng ϕ (0o < ϕ <90o) Tính tang góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ và tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a và ϕ
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A Tìm điểm M trong không gian thỏa mãn bất đẳng thức:
MB2 + MC2 MA2
Bài 14: (ĐH KA.2003) Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ Tính số đo góc phẳng nhị diện [B,
A’C, D]
Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
cạnh a và nằm trong mp vuông góc với đáy Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bài 16: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3 Gọi M, N là trung điểm của cạnh AB, AC
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC)
b) Dựng thiết diện của hình chóp với mp( ) qua MN và vuông góc với mp(SBC)
c) Tính diện tích thiết diện
Bài 17: (ĐH KA 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A Cạnh SB vuông góc với đáy
ABC Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC Chứng minh rằng SC vuông góc với mn(BHK) và diện tích tam giác BKH biết AC=a, BC=a √3 , SB=a √2 (a>0)
Trang 8BÀI 19: Cho hình chóp S.ABCD với S(0;0;4), A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;0;2)
a) Xác định toạ độ tâm O và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
b) Tính: cos((ABCD);(OBC))
Bài 20: (ĐH KB 2002) Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh a
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B, CD, A’D’ Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N
Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA là đường cao và SA=a
√3 Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC)
Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA=SB=SC= a2√3 Gọi (α) là mặt phẳng qua A, song song với BC và vuông góc với mặt phẳng (SBC) Gọi I là trung điểm của BC
a) Mặt phẳng ( α ) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
b) Tính góc giữa AB và mặt phẳng ( α )
BÀI 23: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều cạnh a và nằm trong mp vuông góc với đáy Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
BÀI 24: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2, cạnh bên bằng 3 Gọi M, N là trung điểm của cạnh AB, AC
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC)
b) Dựng thiết diện của hình chóp với mp( ) qua MN và vuông góc với mp(SBC)
c) Tính diện tích thiết diện
Bài 25: (ĐH KA 2006)
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mp(0xy) một góc biết
1 cos
6