Sử dụng thao tác tư duy phân tích để tìm cách vẽ hình phụ trong việc giải bài toán hình học không gian lớp 11

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM SỬ DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH ĐỂ TÌM CÁCH VẼ HÌNH PHỤ TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11... Định lí ba đường vuông góc: Chươn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

SỬ DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH

ĐỂ TÌM CÁCH VẼ HÌNH PHỤ TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn:

Cô Ngô Thị Bích Thuỷ đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian hoàn thành khoá luận

Các thầy cô trong khoa Toán đã góp ý cho em những kiến thức quý báu để hoàn thiện khoá luận

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục 2

Các chữ và kí hiệu viết tắt 3

Mở đầu 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

4 Phương pháp nghiên cứu 5

5 Phạm vi nghiên cứu 5

6 Cấu trúc luận văn 5

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 6

1.1 Giới thiệu thao tác tư duy phân tích 6

1.2 Các kiến thức hình học sử dụng trong đề tài 7

1.2.1 Định lí Pytago: 1.2.2 Định lí Talet trong mặt phẳng: 1.2.3 Định lí cosin: 1.2.4 Hệ quả của định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng: 1.2.5 Định lí điều kiện để đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau: 1.2.6 Định lí về tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng: 1.2.7 Tính chất liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng: 1.2.8 Định lí ba đường vuông góc: Chương 2: SỬ DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH ĐỂ TÌM CÁCH VẼ HÌNH PHỤ TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 9

2.1 Dạng 1: Tính diện tích thiết diện, diện tích đa giác 9

2.2 Dạng 2: Các bài toán liên quan đến tỉ số, đẳng thức 21

2.3 Dạng 3: Chứng minh các yếu tố vuông góc 29

2.4 Dạng 4: Các bài toán quỹ tích, tập hợp điểm 34

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

CÁC CHỮ VÀ KÍ HIỆU VIẾT TẮT

mp : mặt phẳng

đpcm : điều phải chứng minh

Mặt khác, nghị quyết hội nghị Trung ương 8 khoá XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực”

Hiện nay, trong chương trình toán trung học phổ thông, hình học không gian được dạy và học ở hai khối 11 và 12 Bộ môn này yêu cầu người học phải có óc quan sát, hình dung, tưởng tượng, tư duy logic, Để giúp học sinh hình thành và phát triển tốt những kĩ năng trên, đòi hỏi giáo viên cũng phải có những phương pháp cụ thể Đó là những phương pháp phân tích, tổng hợp, suy luận logic giúp học sinh có thể tự mình tìm ra những lời giải thích hợp cho từng bài toán

Trong chương trình toán hình lớp 11 hiện nay, đa số các em học sinh đều gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán hình học không gian, đặc biệt là dạng toán vẽ thêm hình phụ trong quá trình tìm lời giải Đôi khi ta sẽ không tìm được đáp số của bài toán nếu không

vẽ thêm hình phụ Thế nhưng việc tạo ra hình phụ thích hợp cho từng bài toán cụ thể là vấn đề không đơn giản Muốn giải quyết vấn đề đó, người học không chỉ cần kiến thức, phương pháp vững vàng mà còn phải rèn luyện tư duy, đồng thời phải có kĩ năng phân tích từng giả thiết của bài toán

Với những lí do trên, tôi chọn đề tài: “Sử dụng thao tác tư duy phân tích để tìm cách vẽ hình phụ trong việc giải bài toán hình học không gian lớp 11”

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra một số phương pháp vẽ hình phụ trong việc giải bài toán hình học không gian lớp

11

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

-Nghiên cứu cơ sở lý luận

-Nghiên cứu cách phân tích giả thiết, phương pháp tư duy để tìm cách vẽ hình phụ trong việc giải bài toán hình học không gian lớp 11

4 Phương pháp nghiên cứu

-Nghiên cứu cở sở lý luận và thực tiễn của việc dạy học hình học không gian lớp 11 -Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp dạy học toán, những tài liệu liên quan đến hình học không gian lớp 11

5 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu thao tác tư duy phân tích để tìm cách vẽ hình phụ trong việc giải bài toán hình học không gian lớp 11 (sách hình học 11 nâng cao)

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1: Cơ sở lý luận

1.1 Giới thiệu thao tác tư duy phân tích

1.2 Các kiến thức hình học sử dụng trong đề tài

Chương 2: Sử dụng thao tác tư duy phân tích để tìm cách vẽ hình phụ trong việc giải bài toán hình học không gian lớp 11

2.1 Dạng 1: Tính diện tích thiết diện, diện tích đa giác

2.2 Dạng 2: Các bài toán liên quan đến tỉ số, đẳng thức

2.3 Dạng 3: Chứng minh các yếu tố vuông góc

2.4 Dạng 4: Các bài toán quỹ tích, tập hợp điểm

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Giới thiệu thao tác tư duy phân tích

1.1.1 Mô tả:

Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần hoặc từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó

1.1.2 Tác dụng trong dạy, học toán:

Trong dạy học toán, thao tác tư duy phân tích giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lý

Đây là thao tác cơ bản luôn được sử dụng để tiến hành các thao tác khác

1.2.3 Biện pháp thực hiện:

Khi dạy học sinh giải bài tập toán, cần phải:

-Nhìn bao quát một cách tổng hợp, xem bài toán đã cho thuộc loại nào? Phân tích cái đã cho và cái cần tìm

-Thực hiện phân tích và tổng hợp xen kẽ nhau Sau khi phân tích được một số ý thì tổng hợp lại xem ta có thu được điều gì bổ ích không? Còn thiếu yếu tố nào nữa?

-Tách bài toán đã cho thành nhiều bài toán thành phần, bài toán đặc biệt đơn giản hơn và

dễ hơn, rồi cuối cùng tổng hợp lại để có kết quả

Ví dụ: Cho a+b 2 (1) Chứng minh a3

+b3 a4

+b4 (2)

Bước 1: Biến đổi kết luận

Nhận thấy trong hai vế của kết luận đều có chứa cả a lẫn b nên đưa về một vế để đặt thành thừa số chung

Bước 2: Làm cho gải thiết và kết luận gần nhau

Chuyển vế và tách ra trong (1) để gần gũi với (3)

(1) (a-1) + (b-1)  0 (4)

Bước 3: Tiếp tục phân tích vế trái của giả thiết Tổng của hai số mà không âm thì chỉ có

ba khả năng xảy ra:

Khả năng 1: a-1  0 và b-1  0 suy ra a  1 và b  1 Lúc này (3) hiển nhiên đúng Bất đẳng thức chứng minh xong

01

01

b a

01

01

a b

b a

Hai khả năng trên đây là tương tự, ta chỉ cần xét một là đủ

b a

111

1

Từ điều kiện b 1 ta phân tích thành các trường hợp sau:

b=0 hay b=1 và a 1 thì (3) hiển nhiên đúng





Bất đẳng thức này đúng vì:

đã rèn luyện cho học sinh thao tác tư duy phân tích có hiệu quả

1.2 Các kiến thức hình học sử dụng trong đề tài

1.2.4 Hệ quả của định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng:

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó

1.2.5 Định lí điều kiện để đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau:

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau cùng nằm trong mặt

phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P)

1.2.6 Định lí về tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng:

Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt (P) thì cắt theo giao tuyến song song với a

1.2.7 Tính chất liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng:

Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại

1.2.8 Định lí ba đường vuông góc:

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a'

của a trên (P)

Chương 2: SỬ DỤNG THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH

ĐỂ TÌM CÁCH VẼ HÌNH PHỤ TRONG VIỆC GIẢI BÀI TOÁN

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

2.1 Dạng 1: Tính diện tích thiết diện, diện tích đa giác

Bài toán 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Kéo dài BC một đoạn CE bằng a, kéo dài BD

một đoạn DF bằng a Gọi M là trung điểm của AB

a) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (MEF)

b) Tính diện tích thiết diện trên theo a

Giải:

H

K M

Nối HK thì HK là giao tuyến của mp (MEF) với mp (ACD)

Vậy thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (MEF) là tam giác MHK

b) Ta vẽ tam giác MHK để dễ tính diện tích của nó

Muốn tính diện tích tam giác MHK, ta cần có độ dài đáy và đường cao Hiện tại tam giác MHK chưa có đường cao nên ta vẽ đường cao MI của nó

2 (từ đây ta sẽ suy ra độ dài HK dựa vào định lí Talet trong tam giác ACD)

3

2a

Tiếp theo ta tính độ dài MI ta thấy đoạn MI chỉ liên quan đến tam giác vuông MHI nên

ta sẽ tính độ dài MH và HI rồi áp dụng định lí Pytago để tính MI

Làm sao để tính đoạn MH? Ta thấy MH là một cạnh của tam giác AMH cân tại A Do đó

áp dụng định lí cosin trong tam giác AMH ta được:

Hai tam giác AMH và AMK có cạnh AM chung, AH=AK, 

MAK =60(do các mặt của tứ diện ABCD là các tam giác đều bằng nhau) nên hai tam giác này bằng nhau, suy ra MH=MK, tức là tam giác MHK cân tại M

Tam giác MHK cân tại M, đường cao MI cũng là trung tuyến Do đó MI=

2

1HK=

2a

.2

a

=6

2

a (đvdt)

a) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (MEF):

Vì AC và EM là hai đường trung tuyến của tam giác ABE nên chúng cắt nhau tại H là trọng tâm của tam giác ABE

Tương tự AD và MF cắt nhau tại K là trọng tâm của tam giác ABF

Ta có: (MEF)  (ABC)=MH

(MEF)  (ABD)=MK

(MEF)  (ACD)=HK

Suy ra thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng (MEF) là tam giác MHK

b) Tính diện tích thiết diện:

H và K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABE và ABF nên:

2

3

2a

Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMH ta được:

MH2=AM2+AH2-2AM.AH.cos 

Hai tam giác AMH và AMK có cạnh AM chung, AH=AK, 

MAK =60(do các mặt của tứ diện ABCD là các tam giác đều bằng nhau) nên hai tam giác này bằng nhau, suy ra MH=MK, tức là tam giác MHK cân tại M

Tam giác MHK cân tại M, đường cao MI cũng là trung tuyến Do đó MI=

2

HK

=3

2

1.3

2a

.2

a

=6

2

a (đvdt)

Bài toán 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a Lấy S là điểm nằm ngoài mp (ABCD) sao

cho tam giác SAB đều, SC=SD=a 3 Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SA, SB Lấy điểm M trên cạnh AD, đặt AM=x (0 x  a) Mp (HKM) cắt BC tại N

a) Chứng minh HKNM là hình thang cân

b) Tính diện tích tứ giác HKNM theo a và x

a) Theo giả thiết, mp (HKM) cắt BC tại N nên trước tiên ta phải xác định vị trí điểm N

Ta thấy điểm M vừa thuộc mp (HKM), vừa thuộc mp (ABCD) nên ta sẽ xét hai mp đó

Ta có mp(ABCD) chứa AB, mp(HKM) chứa HK mà HK//AB nên hai mặt phẳng này có giao tuyến là MN thì MN//AB//HK Vậy ta vẽ đường thẳng qua M và song song với AB cắt BC tại N

Tiếp theo ta chứng minh HKNM là hình thang cân

SD SB

, BN=AM (do MN//AB) nên  BKN=  AHM Suy ra

NK=MH (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác HKNM là hình thang cân

b) Ta vẽ hình thang HKNM để tính diện tích của nó

Muốn tính diện tích hình thang HKNM, ta cần có độ dài đáy lớn, đáy bé và đường cao Hiện tại hình thang HKNM chưa có đường cao nên ta vẽ đường cao HH'

a

vì HK là đường trung bình của tam giác SAB

Mặt khác, MN//AB, mà ABCD là hình vuông nên ta cũng dễ thấy MN=a

Việc còn lại là tính độ dài KK'

Ta thấy KK' là một cạnh của tam giác vuông NKK' Do

đó ta sẽ tính độ dài KN và NK'

rồi áp dụng định lí Pytago để tính KK'

Làm sao để tính KN? Ta sẽ áp dụng định lí cosin cho tam giác BKN

Muốn vậy ta phải tính cos 

KBN bằng cách áp dụng định lí cosin cho tam giác SBC có:

SC BC

SB

2

2 2

2  

=

2

2 2 2

2

3

a

a a

=2

22

2 2

x

a x

a

2

14

K H

22

' '

a

a a K H MN

2 2

16

a) Chứng minh HKNM là hình thang cân

Ta có mp(ABCD) chứa AB, mp(HKM) chứa HK mà HK//AB nên hai mặt phẳng này có giao tuyến là MN thì MN//AB//HK (1)

Vì SA=SB=a, AD=BC=a, SC=SD=a 3 nên hai tam giác SBC và SAD bằng nhau Suy

ra 

SAD

SD SB

, BN=AM (do MN//AB) nên  BKN=  AHM Suy ra

NK=MH (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác HKNM là hình thang cân

b) Tính diện tích tứ giác HKNM theo a và x

Ta có HK=

2

AB

=2

a

vì HK là đường trung bình của tam giác SAB

Mặt khác, MN//AB, mà ABCD là hình vuông nên ta cũng dễ thấy MN=a

Áp dụng định lí cosin cho tam giác SBC có: SC2

SC BC

SB

2

2 2

2  

=

2

2 2 2

2

3

a

a a

=2

22

2 2

x

a x

a

2

14

2 2

22

' '

a

a a K H MN

16

Bài toán 3: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D AD=a,

DC=2a, AB=3a Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại A Gọi M là một điểm di động

trên cạnh AD, (P) là mặt phẳng qua M song song với SA và DC, (P) cắt các cạnh BC, SC,

SD lần lượt tại N, E, F Đặt AM=x (0<x<a)

a) Chứng minh MNEF là hình thang vuông

b) Tính diện tích của tứ giác MNEF theo a và x

Giải:

E F

N S

D

B A

C M

a) Muốn chứng minh MNEF là hình thang vuông, ta cần chứng minh nó là hình thang có

một góc vuông

Trước hết ta chứng minh nó là hình thang Muốn vậy, ta phải chú ý các yếu tố song song

có trong bài toán Ta có (P)//CD, (P)  (ABCD)=MN, (P)  (SCD)=EF nên MN//EF//CD Suy ra MNEF là hình thang

Tiếp theo, ta cần chứng minh hình thang MNEF có một góc vuông Quan sát hình trên, ta

dự đoán MN  MF Ta sẽ chứng minh điều đó

Ta thấy (P)//SA, (P)  (SAD)=MF nên MF//SA

Vì MF//SA, MN//AB(do CD//AB), SA  AB nên MN  MF

Do MN//EF, MN  MF nên EF  MF

Vậy MNEF là hình thang vuông tại M và F

b) Muốn tính diện tích hình thang MNEF, ta cần tính độ dài đáy lớn MN, đáy nhỏ EF và đường cao FM

Trước tiên ta tính độ dài MN Ta thấy MN nằm trong hình thang ABCD nên ta vẽ hình thang đó

B

C D

H A

M

Để tính độ dài MN, qua C ta vẽ đường thẳng vuông góc với AB và cắt AB tại H, cắt MN tại K Tiếp theo ta tính độ dài MN=MK+KN

Làm sao để tính MK? Ta dễ thấy MK=CD=2a

Làm sao để tính NK? Vì AB//MN//CD nên áp dụng định lí Talet vào tam giác CHB ta có:

DA

DM CH

HB DM

DM SA

AM CD

2

3(3a+x)(a-x) (đvdt)

a) Chứng minh MNEF là hình thang vuông:

Ta có (P)//CD, (P)  (ABCD)=MN, (P)  (SCD)=EF nên MN//EF//CD Suy ra MNEF là hình thang

Mặt khác (P)//SA, (P)  (SAD)=MF nên MF//SA

Vì MF//SA, MN//AB(do CD//AB), SA  AB nên MN  MF

Do MN//EF, MN  MF nên EF  MF

Vậy MNEF là hình thang vuông tại M và F

b) Tính diện tích của tứ giác MNEF theo a và x:

Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB và cắt AB tại H, cắt MN tại K, ta có:

MK=CD=2a

Vì AB//MN//CD nên áp dụng định lí Talet vào tam giác CHB ta có:

DA

DM CH

HB DM

DM SA

AM CD

2

3(3a+x)(a-x) (đvdt)

2.2 Dạng 2: Các bài toán liên quan đến tỉ số, đẳng thức

Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD Gọi E là trung điểm của cạnh BC F và H là hai điểm lần

lượt thuộc hai cạnh AC và BD sao cho FC=2FA, HB=3HD Gọi G là giao điểm của mặt phẳng (EFH) với cạnh AD Tính tỉ số

C

I F

E

a) Theo giả thiết G là giao điểm của mp (EFH) với cạnh AD, mà AD nằm trong mp (ACD) nên G phải thuộc mp (EFH) và mp (ACD) Khi đó G sẽ nằm trên giao tuyến của hai mp đó Ta sẽ xác định giao tuyến của mp (EFH) và mp (ACD) Muốn vậy, ta phải tìm hai điểm chung của hai mp đó

Đầu tiên ta thấy điểm F nằm trên đường thẳng AC nên nó là điểm chung thứ nhất của mp (EFH) và mp (ACD)

Ta để ý thấy mp (EFH) chứa đường thẳng EH, mp (BCD) chứa đường thẳng CD, mà EH

và CD đồng phẳng nên trong mp(BCD),ta vẽ I là giao điểm của EH và CD Khi đó I là điểm chung thứ hai của mp (EFH) và mp (ACD)

Hai mặt phẳng (EFH) và (ACD) có hai điểm chung là F và I Do đó giao tuyến của chúng

là đường thẳng FI

Như đã nói ở trên, điểm G sẽ thuộc giao tuyến FI của hai mp (EFH) và mp (ACD), đồng thời G cũng thuộc đường thẳng AD Vậy G là giao điểm của FI và AD.Khi đó G là giao điểm của mp(EFH) với cạnh AD

Ta cũng sẽ dùng các cạnh song song để áp dụng định lí Talet Ở đây

ta đã có E là trung điểm BC nên gọi K là trung điểm của CD thì ta được EK//BD Ta có hình phụ sau: