Rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp cho học sinh thông qua việc giải bài tập hình học không gian lớp 11

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Sinh viên thực hiện

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Sinh viên thực hiện : Lê Hoàng Thảo My Chuyên ngành : Sư phạm toán học

Người hướng dẫn : Th.S Ngô Thị Bích Thủy

Đà Nẵng, tháng 5 năm 2015

1

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo – Th.S Ngô Thị Bích Thủy đã tận tình, chu đáo hướng dẫn tôi trong suốt thời gian hoàn thành khóa luận Bên cạnh đó, tôi cũng xin cảm ơn tổ thư viện trường ĐHSP-ĐHĐN đã

hỗ trợ tôi trong quá trình tìm tài liệu cho khóa luận Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn các bạn lớp 11ST đã đóng góp ý kiến để khóa luận được hoàn chỉnh

Đà Nẵng, ngày 24 tháng 04 năm 2015

Lê Hoàng Thảo My

2

MỤC LỤC TRANG PHỤ BÌA LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

MỞ ĐẦU 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Mục đích 5

3 Nhiệm vụ 5

4 Phương pháp nghiên cứu 5

5 Cấu trúc nghiên cứu khoa học 6

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 7

I.1 Thao tác tư duy phân tích và tổng hợp 7

I.1.1 Khái niệm của hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp 7

I.1.2 Mối liên hệ giữa hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp 9

I.1.3 Tác dụng của hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp 10

I.2 Dạy học giải bài tập toán 11

I.2.1 Yêu cầu cơ bản khi giải bài toán 11

3

I.2.2 Các bước tiến hành khi dạy giải bài toán (bốn bước giải của Polya) 13

I.3 Đặc điểm hình học không gian lớp 11 15

I.4 Thực trạng dạy và học hình học không gian lớp 11 ở phổ thông 15

CHƯƠNG II: RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 17

II.1 Các bài toán cơ bản 17

II.1.1 Bài toán 1 17

II.1.2 Bài toán 2 19

II.1.3 Bài toán 3 23

II.1.3 Bài toán 4 26

II.2 Các bài toán nâng cao 28

II.2.1 Bài toán 1 28

II.2.2 Bài toán 2 30

II.2.3 Bài toán 3 33

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

Dạy học là quá trình thống nhất biện chứng giữa việc dạy của thầy và việc học của trò Muốn nâng cao chất lượng dạy học thì chúng ta cần phải quan tâm nhiều đến hoạt động học tập của học sinh Điều đó đòi hỏi giáo viên phải tổ chức việc dạy toán sao cho học sinh luôn luôn đứng trước những vấn đề mang tính toán học cần giải quyết Chính những tình huống có vấn đề sẽ kích thích học sinh tư duy, tích cực suy nghĩ Vì vậy, việc rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy cho học sinh là một nhiệm vụ cấp thiết trong công tác giảng dạy của người giáo viên Một trong những thao tác tư duy quan trọng đó là thao tác tư duy phân tích và tổng hợp

Tuy nhiên, việc rèn luyện các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp cho học sinh ở các trường phổ thông còn nhiều hạn chế Do đó, người giáo viên cần tìm những nội dung kiến thức phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy này cho học sinh

Qua quá trình nghiên cứu Sách giáo khoa Hình học 11- Nâng cao, tôi nhận

thấy hai chương “ Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song” và “ Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc” chứa nhiều yếu tố để rèn

luyện các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp

5

Với những lí do trên, tôi đã quyết định chọn đề tài “Rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp cho học sinh thông qua việc giải bài tập hình học không gian lớp 11”

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp thông qua việc giải bài tập hình học không gian lớp 11

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được những mục đích trên, bài khóa luận có những nhiệm vụ:

a) Trên cơ sở nghiên cứu tài liệu và sách giáo khoa hình học nâng cao 11, nêu

ra một số nội dung của việc rèn luyện tư duy phân tích và tổng hợp cho học sinh

b) Đưa ra hai dạng bài tập cơ bản và bài tập nâng cao để rèn luyện và phát triển

tư duy cho học sinh theo mức độ khó dần

4 Phương pháp nghiên cứu

a) Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa hình học nâng cao 11, sách tham khảo và các tài liệu trên mạng khác

b) Phương pháp nghiên cứu thực tế: Tiến hành tìm hiểu sơ bộ và rút ra một số nhận xét về việc rèn luyện tư duy cho học sinh khi học hình học không gian lớp 11

ở trường phổ thông

6

c) Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Sử dụng thao tác phân tích và tổng hợp qua một số giờ dạy ở các lớp đã chọn Trên cơ sở đó đánh giá, bổ sung và sửa đổi để bài dạy tốt hơn

5 Nội dung nghiên cứu

Gồm ba phần:

- Phần mở đầu:

- Phần nội dung: có hai chương

+ Chương I: Cơ sở lí luận

+ Chương II: Rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy phân tích và tổng hợp cho học sinh thông qua việc giải bài tập hình học không gian lớp 11

- Phần kết luận:

7

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Thao tác tư duy phân tích và tổng hợp

Thao tác tư duy phân tích và tổng hợp là hai thao tác cơ bản nhất của mọi quá trình tư duy

1.1.1 Khái niệm của hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp

1.1.1.1 Thao tác phân tích

Phân tích là quá trình tách các bộ phận của sự vật, hiện tượng tự nhiên của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng xác định

Ví dụ:

Phân tích một bài toán được hiểu là tách các yếu tố trong bài toán làm cho nó xuất hiện hết các yếu tố (yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm, các số liệu, ) đồng thời làm xuất hiện mối liên hệ giữa các yếu tố, từ đó xuất hiện cấu trúc, mô hình các dạng toán quen thuộc

Quá trình phân tích nhằm mục đích nghiên cứu chúng một cách đầy đủ, sâu sắc hơn và chính như vậy mới nhận thức được một cách trọn vẹn các sự vật, hiện tượng

8

1.1.1.2 Thao tác tổng hợp

Tổng hợp là một hoạt động nhận thức phản ánh của tƣ duy, dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể hoặc kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau đã đƣợc tách ra nằm trong cái toàn thể

9

Khi đó d a b ; d    P ; Q 

Trong tư duy, tổng hợp là thao tác được xem là mang dấu ấn sáng tạo và gắn với tư duy sáng tạo

1.1.2 Mối liên hệ giữa hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp

Phân tích và tổng hợp không bao giờ tách rời nhau, chúng là hai mặt đối lập của quá trình thống nhất; bởi vì trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra thành từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy Phân tích một cái toàn thể chính là con đường để nhận thức cái toàn thể sâu sắc hơn

Sự thống nhất giữa phân tích và tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: cái toàn thể ban đầu (tổng hợp I) định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích ở mặt nào, khía cạnh nào Kết quả của sự phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp II)

Ví dụ: Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi, thì trước hết ta nhớ lại khái

niệm hình thoi: “Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau” Khi đó ta

sẽ phân tích như sau:

- Ý thứ nhất: tứ giác ABCD là hình bình hành thì có thể chứng minh một

trong ba trường hợp:

+ Có hai cặp cạnh đối song song

+ Có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau

10

+ Có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

- Ý thứ 2: Có hai cạnh kề bằng nhau thì có thể chứng minh:

ABBC hoặc AB AD hoặc ADDC hoặc DC BC

Sau đó tùy thuộc vào giả thiết của bài toán mà ta tổng hợp lại để chứng minh

được tứ giác ABCD là hình thoi

1.1.3 Tác dụng của hai thao tác tư duy phân tích và tổng hợp

Giúp học sinh hiểu sâu và đầy đủ những thuộc tính, những trường hợp riêng lẻ nằm trong một khái niệm, một định lí, …

Ví dụ:

Sau khi học định lí: “ Nếu mặt phẳng  P chứa hai đường thẳng , a b cắt nhau

và cùng song song với mặt phẳng  Q thì  P // Q ” Nếu gặp bài toán chứng

minh hai mặt phẳng  P và  Q song song với nhau thì học sinh sẽ dựa vào các dữ kiện của bài toán để có thể áp dụng định lí một cách phù hợp Cụ thể, ta phải đi phân tích như sau:

+ Tìm đường thẳng a sao cho a P và a // Q

+ Tìm đường thẳng b sao cho b P và b // Q

+ Hai đường thẳng a và b phải cắt nhau

Từ những thuộc tính riêng lẻ đó, học sinh tổng hợp lại để nhận biết chính xác, đầy đủ một đối tượng

11

Ví dụ:

Từ ví dụ trên, nếu ta đã tìm được hai đường thẳng a và b như thế thì ta đã

chứng minh được  P // Q

Đây là hai thao tác cơ bản được sử dụng để tiến hành những thao tác khác

1.2 Dạy học giải bài tập toán

1.2.1 Yêu cầu cơ bản khi dạy giải bài toán

Lời giải không có sai lầm: Lời giải không có sai sót về kiến thức toán học, về

suy luận và tính toán, về hình vẽ và kí hiệu, về trình bày, …

Lời giải phải có cơ sở lí luận: Nghĩa là phải dựa vào các định nghĩa, định lí,

tính chất, qui tắc, công thức,… đã được học, các giả thiết đã cho

12

Lời giải phải đầy đủ: Lời giải phải bao hàm hết tất cả các khả năng có thể xảy

ra đối với một tình huống

Ví dụ:

Cho AB và điểm C , hãy dựng điểm D sao cho CDAB Thì học sinh thường chỉ xét trường hợp CAB

D C

B A

Mà thiếu sót trường hợp CAB

D C

B A

Lời giải đơn giản nhất:

13

1.2.2 Các bước tiến hành khi dạy giải bài toán (bốn bước giải của Polya)

Bước 1: Phải tìm hiểu kĩ nội dung bài tập

- Cái gì phải tìm? Cái gì đã cho? Cái phải tìm cần thỏa mãn những điều kiện gì? Những điều kiện đó có đủ để xác định cái phải tìm không? Có mâu thuẫn với nhau không?

- Hãy vẽ hình thật cẩn thận

- Hãy tách các điều kiện ra với nhau

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Để tìm đường lối giải, phải tìm sự liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm; phải dùng phương pháp phân tích; nếu cần thì xét những bài toán trung gian

- Đã lần nào gặp bài toán này chưa? Có thể gặp bài tập dưới một hình thức khác?

- Đã gặp một bài tập tương tự như thế chưa?

- Hãy nghiên cứu cái phải tìm! Đã gặp bài tập nào có cái phải tìm tương tự chưa?

- Đây là một bài tập đã giải và tương tự bài tập phải làm Bài tập ấy có giúp ích gì không? Có thể áp dụng kết quả bài tập đó không? Có thể đưa vào những phần tử phụ để có thể áp dụng bài tập đã biết không?

- Có thể biến đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai, để cho chúng gần nhau hơn không?

- Đã sử dụng hết những cái đã cho chưa? Đã xét hết các điều kiện chưa? Đã chú ý đến hết các khái niệm có trong đề bài chưa?

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Hãy kiểm tra từng bước thực hiện Có thấy rõ là từng bước đều đúng không,

có thể chứng minh được không?

Bước 4: Nghiên cứu lời giải

- Có thể thử lại kết quả không? Có cần thử lại cả quá trình giải không? Lời giải đã đầy đủ chưa? Triệt để chưa?

- Có thể đi đến cùng bằng phương pháp khác không? Có thể xét kết quả ở một khía cạnh khác không?

- Có thể sử dụng phương pháp giải hay kết hợp vào một bài tập khác được không?

15

1.3 Đặc điểm hình học không gian lớp 11

Hình học không gian là môn học trừu tượng, đa dạng và phức tạp hơn hình

học phẳng nhưng có mối liên hệ mật thiết với hình học phẳng Đặc biệt rất gắn bó

với thực tế và tạo mối liên hệ Toán học với thực tế đời sống con người

Hình học không gian lớp 11 tập trung thể hiện hai nội dung:

+ Nội dung 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song

song

+ Nội dung 2: Vectơ trong không gian Quan hệ vuông góc

Các bài tập của hai nội dung trên trong hình học không gian 11 nói riêng và

các bài tập trong hình học không gian nói chung đóng vai trò quan trọng trong quá

trình rèn luyện năng lực các thao tác tư duy và trí tuệ cho học sinh, tạo cho học

sinh cơ hội để rèn luyện và phát triển thao tác tư duy phân tích và tổng hợp

1.4 Thực trạng dạy và học hình học không gian lớp 11 ở phổ thông

Trong thời gian thực tập sư phạm ở trường phổ thông, thông qua những tiết

dạy, tiết dự giờ và qua ý kiến thăm dò, khảo sát một số giáo viên ở trường thì tôi nhận thấy thực trạng dạy và học hình học không gian còn có những khó

khăn :

- Việc phát huy năng lực phân tích, tổng hợp của học sinh chưa thực sự đạt

hiệu quả

- Học sinh còn thụ động trong quá trình lĩnh hội kiến thức, tính tự giác chưa

cao, đặc biệt là những học sinh có học lực trung bình trở xuống

16

Những khó khăn này do nhiều nguyên nhân :

- Hình học không gian là môn học trừu tƣợng

- Việc làm bài tập của học sinh còn mang tính hình thức và đối phó

- Việc rèn luyện thao tác phân tích, tổng hợp cho học sinh chƣa đƣợc quan tâm đúng mức

……

Thực trạng trên đã đặt ra yêu cầu cấp thiết là chúng ta phải chú trọng phát huy năng lực phân tích và tổng hợp cho học sinh để giúp học sinh giải bài tập tốt hơn, đặc biệt là các em có học lực trung bình trở xuống

17

CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN CÁC THAO TÁC TƯ DUY PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC

Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh

+ Giáo viên hướng dẫn học sinh phân

tích giả thiết và kết luận

c b

19

+ A B,  P , vậy theo định lí: “Nếu một

đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

của một mặt phẳng thì mọi điểm của

b a

2.1.2 Bài toán 2

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Chứng minh rằng có duy nhất một

cặp mặt phẳng song song với nhau, mỗi mặt phẳng đi qua một trong hai đường thẳng ấy

20

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

+ Giáo viên hướng dẫn học sinh phân

tích giả thiết kết luận

song song vào để giải quyết bài toán

+ Học sinh đọc lại đề bài và phân tích giả thiết, kết luận dưới sự hướng dẫn của giáo viên

+ Là quan hệ song song

+ Tương tự, lấy B b  , qua B dựng

đường thẳng 'a song song với a Nhận

a

Q P

- Cách 2: Bổ sung giả thiết  H  H 1

Và chứng minh ra điều vô lí để suy ra

điều giả sử là sai, suy ra  H  H1

+ Vận dụng một trong hai cách trên để

chứng minh bài toán trên

+ Vậy tồn tại hai mặt phẳng  P và

Cho hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong mặt phẳng  P Chứng

minh rằng nếu đường thẳng a vuông góc với cả b và c thì nó vuông góc với mọi

đường thẳng nằm trong mặt phẳng  P

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

+ Giáo viên hướng dẫn học sinh phân

tích giả thiết và kết luận

+ Vẽ hình

+ Cho học sinh nhắc lại các cách chứng

minh hai đường thẳng vuông góc với

+ Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 90:

- Cách 1: Tính trực tiếp số đo góc giữa hai đường thẳng bằng 90

- Cách 2: Chứng minh tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng bằng 0

c , d Khi đó chứng minh ad tương

đương với với chứng minh u r 0

v

u

d P

a

c b

góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng  P