Cac SKKN ve HINH HOC KHONG GIAN

Áp dụng một bài toán quỹ tích cơ bản trong hình học : Cho đường thẳng d di động qua một điểm cố định K và chứa trong mặt phẳng cố định (P), hình chiếu của điểm cố định A trên d thu[r]

B’

C

C’

P

Q A’

Sở GD & ĐT Tỉnh Bà Rịa –Vũng Tàu.

Năm học 2009 – 2010

-SKKN : KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC

TRONG CÁC BÀI TOÁN TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN.

Họ và tên : VŨ HỮU VIÊN Đơn vị : Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn

-A.LÝ DO :

Trong chương trình toán lớp 12, phương pháp toạ độ để giải quyết các bài toán hình học không gian là một công cụ rất hiệu quả Bên cạnh việc “đại số hoá” một mô hình hình học với kĩ thuật chính là xây dựng một hệ trục toạ độ thích hợp, các “bài toán ngược” – tức là chuyển ĐẠI SỐ  HÌNH HỌC cũng là một thử thách không nhỏ đối với học sinh

B.MỤC ĐÍCH :

Qua một số bài toán đặc trưng trên các mô hình hình học cơ bản, với cách đặt vấn đề đa dạng, giúp học sinh củng cố và nâng cao kiến thức, kỹ năng giải toán hình không gian với sự tương tác giữa hai môi trường đại số và hình học

C.NỘI DUNG :

Bài toán 1

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có A và A’ thuộc đường thẳng

1

1 :

 ; B và C’ thuộc đường thẳng 2

:

a.Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

b.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.

* Phân tích: Với dữ kiện của đề bài, đại lượng góc và khoảng cách của hai đường thẳng phải được xác

định, thêm nữa có thể xét đến đoạn vuông góc chung của chúng

Học sinh phải nắm được tính chất cơ bản của hình lăng trụ đều, biết cách xác định góc và khoảng cách của

hai đường thẳng chéo nhau, biết xác định tâm và bán kính mặt cầu…từ

đó định hướng giải quyết bài toán

* Tóm tắt lời giải:

+ Gọi M là trung điểm BC, ta có AM BCC B' ', mà

BCC B' ' // AA' AM d AA BC '; ' d d d 1; 2

+

 1 2 1 2 1 2

1 2

;

;

u u M M

d d d

u u

  

 

;



1

2

+ Tam giác đều ABC có AM = 3 AB 2 S ABC  3 Tam giác vuông B’BC’ có

0

tan 60 3

B C

+ Thể tích khối chóp là V BB S'. ABC  2

+ Bán kính của mặt cầu:

R     

+ Tâm cầu là trung điểm của đoạn vuông góc chung PQ của d1 và d2:

Việc tìm toạ độ các điểm P, Q khá phức tạp cho dù có phương pháp đơn giản, để có một kết quả đẹp

( kết thúc có hậu!) nên chọn trước P, Q và sau đó xây dựng phương trình hai đường thẳng nhận PQ là đoạn vuông góc chung Đây cũng là một dạng đề bài cho học sinh rèn luyện:

Bài toán 1.1 Cho P(0;1;2) và Q(-2;0;2) Viết phương trình hai đường thẳng a, b nhận PQ là đoạn vuông

góc chung và góc giữa a, b là 90 0 hoặc 60 0 Nhận xét gì về số nghiệm hình? Nên thêm giả thiết nào để số nghiệm hình là hữu hạn?

+ Phân tích: a, b qua P, Q và lần lượt chứa trong mặt phẳng qua P, Q và vuông góc với PQ Giả thiết góc

cũng chưa đủ để xác định a, b Nếu cố định a (ví dụ thêm giả thiết a nằm trong mặt phẳng cố định qua P) thì xác định được b( một hoặc hai nghiệm hình tuỳ theo góc 90 0 hoặc 60 0 ).

Hoàn toàn tương tự bài toán 1, khi thay một chút giả thiết ta có các bài toán sau:

Bài toán 1.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD

là hình vuông, A và A’ thuộc đường thẳng 1

1 :

 ; D và B’ thuộc đường thẳng

2

:

  Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình hộp và phương trình CC’

+Phân tích: Yếu tố khoảng cách, góc và đoạn vuông góc chung vẫn cần thiết để tính các kích thước của

hộp Đoạn vuông góc chung PQ với Q thuộc d 2 là tâm mặt cầu và bán kính cầu là nửa đường chéo B’D.

CC’ đối xứng với A’A qua Q.

Bài toán 1.3 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng cạnh bên và bằng 2, có A(1;2;-1) và

phương trình BC’:

 Tìm toạ độ B, C và phương trình AB’.

Bài toán 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện đều ABCD nội tiếp mặt cầu (S) có tâm

I(0;1;2) và đường thẳng AB có phương trình:

1

1 2 1

 





 



  

 Viết phương trình đường thẳng CD và phương trình (S).

* Phân tích: Học sinh phải dựng hình và biết khai thác tính chất tứ diện đều : nếu M, N là trung điểm AB,

CD thì I là trung điểm MN và MN AB CD, Vậy M là hình chiếu của I trên (d)

Biết độ dài MN suy được bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp

* Tóm tắt lời giải:

+ M(1;1;1) và N(-1;1;3)

+ CD qua N và CDAB IM, nên CD có VTCP:

; ; (1; 2;1), (1;0; 1) (2;2;2)

ud IM d   IM    u



* Phương trình CD:

1 2

3 2

 







  





* Dựng hình lập phương có MN = 2 2 là đoạn nối 2 tâm đáy, tứ diện đều ABCD có 6 cạnh là các đường chéo của các mặt lập phương, suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương (cũng là ngoại tiếp tứ diện đều) là

R =

1

2MN  ,phương trình (S): x2(y1)2(z 2)2  6

Một vài bài toán tương tự:

Bài toán 2.1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện đều ABCD có đỉnh A(3;-2;2) và có mặt

cầu ngoại tiếp là (S): x2y2z2 2x4y 3 0 Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

M

N

I

D

C

A

B

+ Kết quả: (BCD):

1 0 3

x z  

Bài toán 2.2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm toạ độ các đỉnh tứ diện đều ABCD có phương trình

AB:

x y z

 và CD:

.

+ Xác định đoạn vuông góc chung PQ, tính khoảng cách (AB, CD), suy ra độ dài cạnh tứ diện và bán kính

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A, B, C, D là giao của mặt cầu ngoại tiếp và hai đường thẳng AB, CD Hoặc là giao của mặt cầu tâm P,Q bán kính AB/2

Bài toán 2.3 Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt cầu (T): x2y2z2 2x4y 3 0 Một hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau nội tiếp trong (T) và có đỉnh S(-1;-4;0) Viết phương trình mặt phẳng (ABCD).

+ Chứng minh S.ABCD là chóp đều có tâm cầu trùng với tâm ABCD.

Bài toán 3 Trong không gian toạ độ Oxyz cho (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng:

( ) :P x my mz+ - + =2 0,( ) :Q mx y mz m+ + + - = với tham số m khác -1.1 0

a/.Chứng minh (d)đi qua một điểm cố định và chứa trong một mặt phẳng (T) cố định.

b/.Gọi H là hình chiếu của O trên (d) Chứng minh H thuộc một đường tròn (C) cố định Tìm tâm và bán kính của (C).

* Phân tích: Điểm cố định K có toạ độ thoả hệ

2 0

1 0 0

1 0

x y

y z

x z

 



  







   

Véc tơ chỉ phương của d: d (m2m m; 2 m;1 m)

có phương vuông góc với một véc tơ hằng, khác véc

tơ - không : u (1;1;0)



Vậy d chứa trong mặt phẳng (T) qua K, nhận u (1;1;0)



là VTPT : x + y + 1 = 0

Hoặc, có thể chỉ ra toạ độ mọi điểm thuộc d đều thoả hiệu của hai phương trình (P) và (Q) : x + y +1 = 0

Áp dụng một bài toán quỹ tích cơ bản trong hình học : Cho đường thẳng d di động qua một điểm cố định

K và chứa trong mặt phẳng cố định (P), hình chiếu của điểm cố định A trên d thuộc đường tròn cố định đường kính A’K nằm trong (P) , với A’ là hình chiếu của A trên (P).

Từ đó giải quyết được bài toán

Một bài toán quỹ tích tương tự :

Cho mặt phẳng (P) di động qua một đường cố định d , hình chiếu của điểm cố định A trên (P) thuộc đường tròn cố định đường kính AA’ nằm trong (Q) , với A’ là hình chiếu của A trên d và (Q) là mặt phẳng cố định qua A và vuông góc với d.

Ta có bài toán sau :

Bài toán 3.1 Trong không gian toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): mx 2y(m1)z 1 0 Chứng minh rằng hình chiếu của A(1 ;2 ;3) trên (P) thuộc một đường tròn cố định Viết phương trình tiếp tuyến tại A của đường tròn này.

+Phân tích : mx 2y(m1)z  1 0 m x z(  ) (2 y z 1) 0 Suy ra (P) chứa đường thẳng d cố định là giao tuyến của hai mặt phẳng x + z = 0 và 2y + z – 1 = 0, (hoặc chỉ ra hai điểm cố định của (P)) Sau đó áp dụng bài toán nêu trên

Phương trình tiếp tuyến : qua A và có véc tơ chỉ phương u[ ;IA n Q]

 

với I là tâm đường tròn, nQ

là VTPT của (Q)

Trong các bài toán nêu trên, rõ ràng nếu chỉ có kỹ năng tính toán đơn thuần thì không đủ đi đến kết quả hoặc không cho một giải pháp tối ưu ( tính toán quá phức tạp), việc nhận ra một đặc tính của mô hình trong

đề bài là quan trọng Bài toán sau đây là một minh chứng thêm cho nhận định này

Bài toán 4 Trong không gian toạ độ Oxyz cho A(1;4;-1), B(2;4;-1), C(2;4;3) và D(2;2;-1).

a/ Chứng minh hình chiếu của B trên (ACD) là trực tâm tam giác ACD.

b/.Gọi d, d’, d’’ lần lượt là đường thẳng qua A và trực tâm tam giác BCD, qua C và trực tâm tam giác ABD, qua D và trực tâm tam giác ABC Chứng minh rằng d, d’ và d’’ đồng quy.

Phân tích : Nếu chỉ tính toán trực tiếp theo trình tự : Viết phương trình (ACD), tìm hình chiếu H của B trên

(ACD) rồi chứng minh H là trực tâm tam giác ACD…thì mất khá nhiều công sức

Ta cần liên hệ bài toán với các tính chất của tứ diện trực tâm(tứ diện có cặp cạnh đối diện vuông góc đôi một) Khi đó lời giải của bài toán trở nên đơn giản hơn

Vấn đề còn lại là chúng ta có chấp nhận lời giải thuần tuý hình học trong các bài toán toạ độ hay không ? Nên chăng là các đề bài phải tích hợp cả hai yếu tố hình học và đại số một cách thích hợp, tránh sa đà vào một trong hai thái cực ?

Bài toán 4.1 Trong không gian Oxyz cho (d 1 ) :

- - và (d 2 ) :

1

1 2 2

ì = + ï

í =- +

ï = -î

có đoạn vuông góc chung AB( A thuộc d 1 , B thuộc d 2 ) C và D lần lượt di động trên (d 1 ) , (d 2 ) sao cho

CD tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB tại T

Chứng minh V ABCD không đổi, tính giá trị không đổi này.

Tìm quỹ tích của T.

Phân tích : Chìa khoá của bài toán là quan hệ chéo – vuông góc của d1 và d2. Sau đó, vận dụng các kết quả quen thuộc của bài toán hình ” thuần tuý ”, ta có lời giải

D.KẾT LUẬN :

Rõ ràng với những kiểu đề bài nói trên, những học sinh không nắm chắc kiến thức hình học, cho dù chỉ là kiến thức cơ bản, rất khó có thể giải quyết được trọn vẹn Phương pháp toạ độ có hiệu ứng rất tốt trong nhiều bài toán hình học không gian , và các tính chất hình không gian nếu khéo léo kết hợp với các bài toán toạ độ thì người dạy có thể đặt ra nhiều mục tiêu trong cùng một bài toán, giúp học sinh vừa rèn luyện tư duy hình học, vừa có kỹ năng tính toán đại số

Vũng tàu, 3/ 2010 Người viết: Vũ Hữu Viên

Sở GD & ĐT Tỉnh Bà Rịa –Vũng Tàu.

Năm học 2009 – 2010

HÌNH HỌC TRONG CÁC BÀI TOÁN TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN.

Giáo viên : VŨ HỮU VIÊN

Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn.

Sở GD & ĐT Tỉnh Bà Rịa –Vũng Tàu.

Năm học 2010 – 2011

SKKN : KHAI THÁC CÁC ĐẶC TÍNH CỦA MỘT HÌNH CHÓP

TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

Họ và tên : VŨ HỮU VIÊN Đơn vị : Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn.

-A.LÝ DO :

Trong chương trình toán hình học không gian lớp 11 và 12, việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng dựng hình, chứng minh và tính toán … là một công việc trọng tâm và đầy khó khăn đối với cả thầy và trò Các bài toán trong sách giáo khoa hoặc bài tập chủ yếu khai thác các mô hình chóp – lăng trụ quen thuộc và đặc biệt Hệ thống bài toán này là cần thiết cho đối tượng học sinh phổ thông với số đông có trình độ cơ bản và tâm lý ‘ngán ngại học hình’ Tuy nhiên, việc học sinh không được tiếp cận với nhiều mô hình đa dạng dễ dẫn đến buông xuôi khi đối mặt với các bài toán thi dù đôi khi chỉ đòi hỏi vận dụng kiến thức và kỹ năng cơ bản

B.MỤC ĐÍCH :

Bằng việc khai thác các bài toán kết hợp nhiều phân môn ( hình – đại – lượng – giải tích …) trong một mô hình ‘ lạ mà quen’, đi từ các vấn đề cơ bản cho đến những nội dung chuyên sâu ; người viết mong muốn góp phần hoàn thiện kĩ năng toán học cho học sinh

C.NỘI DUNG :

I.Giới thiệu mô hình :

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 2a, góc A = 600 ; mặt bên SAB là tam giác cân tại S, góc

2

ASB  

và SH là đường cao của hình chóp với H là trung điểm AB.

Đặc tính của mô hình :

- Đáy : là hợp của hai tam giác đều thuận lợi cho việc định tính và lượng B là tâm của đường tròn (ACD), D là tâm của đường tròn (ABC), tứ giác BCDG nội tiếp được đường tròn… thuận lợi cho việc xác tính tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện

DH vuông góc với SA, SB; AB vuông góc SD, BN vuông góc SC với

AN : AD = 4 : 5 là các yếu tố để dựng và tính số đo góc giữa các mặt bên, dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau…

- Mặt bên (SCD) và (SAB) vuông góc với (SHD) , SCD là tam giác vuông ; tuỳ theo giá trị của góc ASB2, góc giữa các mặt bên có

số đo đặc biệt, từ đây xây dựng các bài toán có liên quan đến phương trình lượng giác…

- Lưu ý : Tuỳ đối tượng học sinh hoặc yêu cầu giảng dạy, có thể thay đổi các giả thiết cho thích hợp(ví dụ cho giả thiết SA vuông góc với BC ; hoặc cho ba cạnh bên SA, SB, SC bằng nhau…để xác định đường cao) Thay giả thiết A hoặc D = 2 để có các bài toán về cực trị hình học khi cho  thay đổi

I I.Các bài toán trên mô hình :

BT1 : Với các giả thiết nêu trên ; tính khoảng cách và góc (AB ;SC) ; tính khoảng cách từ C đến (SAD) và

tính góc giữa SC và (SAD).

Phân tích : Đây là các bài toán dựng hình và tính toán cơ bản, tất cả đều dựa trên vai trò trung tâm của

điểm H – là chân cột chính của mô hình

Kỹ thuật dựng qua trung gian được sử dụng chủ yếu trong lời giải, kết quả thể hiện trên hình vẽ và các số liệu :

Khoảng cách (AB ;SC) = HK = 2

3

a

  ;



2

1 cos( ; )

AB SC







Khoảng cách (C ;(SAD)) = CC’ = 2HH’ = 2

a

 

góc (SC ;(SAD)) =CSC ,  '



2 3

(3tan 4)(cot 7)

CSC



BT2: Tính góc giữa các mặt bên của hình chóp.

- Hai mặt bên đối diện: (SAB) và (SCD) có góc là

 : tan 3 tan

(SBC) và (SAD) có góc là  :



1

1

cos cos 2

4 3tan

1 tan

HSH HSH

HSH











- Hai mặt bên (SAB) và (SAD) : Góc HPD

- Hai mặt bên (SAB) và (SBC) : Góc HQE

- Hai mặt bên (SDC) và (SAD) : Góc 90 ALHdo hai mp(SCD),(SHD) vuông góc

- Hai mặt bên (SBC) và (SDC) : Góc (TB TN; 1) Việc dựng góc xuất phát từ đường thẳng nằm trong đáy và vuông góc với giao tuyến của từng cặp mặt phẳng ; do vị trí đặc biệt của các góc mà việc tính số đo các góc không quá phức tạp, mục đích để học sinh

‘có hứng thú’ làm việc !

Chú ý : Tính góc (TB TN cũng như góc ; 1) 

1 2

H SH ở trên không tính theo giá trị tan ( mặc dù là đơn giản) vì

không biết chúng là góc vuông hay không Đây là sai lầm học sinh thường mắc phải

BT3 : Một số bài toán liên quan đến các bài toán 1 và 2

- Tìm giá trị của  sao cho (SBC) và (SAD) vuông góc ? (SBC) và (SDC) vuông góc ?

- Tìm giá trị của  sao cho góc SC và (SAD) lớn nhất ?

- Dựng thiết diện của hình chóp và các mặt phẳng qua trung điểm canh AD và vuông góc với mỗi cạnh bên của hình chóp.

Phân tích :

- Việc tìm giá trị  là bài toán giải phương trình lượng giác và tìm cực trị hàm lượng giác, có thể dùng bất đẳng thức hoặc quy

về khảo sát hàm, có tác dụng liên kết giữa các phân môn toán học với nhau :

*

2

3

;

*

21

31 4 21

- Qua việc dựng góc của hai mặt phẳng, ta tận dụng được các mặt phẳng thuận lợi cho việc xác định thiết diện, thông qua quan hệ cùng phương của các giao tuyến đảm bảo việc dựng hình chuẩn xác Và ngược lại, việc xác định các mặt vuông góc với cạnh nhị diện cũng là cơ sở để xác định góc của nhị diện

BT4 : Dựng tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện SABD, SCDH, SACD, SABC và SBCD.

* Chú ý thứ tự các tứ diện, cách dựng tâm cầu có độ khó tăng dần :

- Tứ diện SCDH : tâm cầu là trung điểm SC

- Tứ diện SABD và SABC : tâm cầu là giao của hai trục đường tròn

- Tứ diện SACD : B là tâm của đường tròn ACD, và cạnh bên SA đồng phẳng với trục đường tròn đáy Bx nên tâm cầu là giao của Bx và trung trực cạnh SA, dựng trong mp(SAB) Chú ý khi  30thì B chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp SACD

- Tứ diện SBCD : dựng trục đường tròn Gy của tam giác BCD DH vuông góc với SB nên mặt trung trực của SB chứa trung trực Mz của SB( dựng trong (SAB)) và song song với DH Gọi N là giao của Mz và Bx, trong mp(Bx,Gy) dựng NI // BG // HD (I thuộc Gy) thì (MNI) là mặt trung trực của SB và I chính là tâm mặt cầu cần dựng

Trường hợp  45 : (DHM) chính là mặt trung trực của SB Hình vẽ bên cạnh cho thấy vị trí đẹp của tâm cầu O Đây là một bài toán trong

đề thi thử ĐH lần I ( 2010 – 2011) của trường chuyên LQĐ – BRVT, hầu hết thí sinh ‘ hy sinh câu này’ ?! hoặc có dựng được tâm thì cũng ‘ thừa nhận nó tồn tại’ hoặc ngộ nhận ! Điều này chứng tỏ học sinh chưa

nắm được một hệ thống phương pháp và kỹ năng hoàn chỉnh cho việc dựng hình nói chung và dựng tâm cầu nói riêng

Cách dựng khác : dựa trên ‘quan hệ đồng cầu’ của hệ điểm, tức là dựng tâm cầu ngoại tiếp một đa diện đặc biệt, và chứng minh cũng là tâm mặt cầu cần dựng Cụ thể : Tứ giác BKCD nội tiếp được, mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ACDK cũng là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD, đồng thời ngoại tiếp tứ diện SCDK Tứ diện SCDK có CD vuông góc với (SDK), như vậy việc dựng tâm mặt cầu trở thành bài toán cơ bản

* Bán kính mặt cầu ngoại tiếp SACD : với cách dựng thứ nhất, việc tính bán kính R khá đơn giản với công

thức Pi – ta – go,

(cot 2 )

3

Với cách dựng thứ 2, việc tính R có phức tạp hơn

BT5 : Với giả thiết A = 2 ,

a/.Tính thể tích khối chóp và diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD theo a và  Tính MaxS tp khi  thay đổi trong [ ; ]4 3

 

b/.Tính khoảng cách d(BD,SC) theo a và  Tính Mind khi  thay đổi.

c/.Với A = 60 0 Tìm  sao cho, mặt cầu đường kính BC ( hoặc AB) tiếp xúc với mặt phẳng (SAD) ( hoặc (SCD)) Chứng minh mặt cầu đường kính SC không thể tiếp xúc với AD.

Một số kết quả : a/

3

ABCD

2[8sin2 1 2 1 4sin4 1 16sin4 ]cot

TP

c/ Gọi J là tâm mặt cầu đường kính SC và J’ là hình chiếu của J trên (ABCD), J’ là trung điểm CH, vì D thuộc mặt cầu này nên (J) tiếp xúc AD khi AD vuông góc với J’D, nhưng điều này sai

Gọi T là tâm mặt cầu đường kính BC, điều kiện tiếp xúc : a = d(T ;(SAD)) = d(C ;(SAD)) =

2

tan

3

a





BT6 :

a/.Cho M di động trên cạnh AD, tìm tập hợp hình chiếu vuông góc của H hoặc B trên ( SCM).

b/.P, Q lần lựơt di động trên SH, CD sao cho PQ tiếp xúc với mặt cầu đường kính HD tại T, chứng minh

V PQHD không đổi ; tìm tập hợp trung điểm PQ hoặc tiếp điểm T

D KẾT LUẬN :

Như vậy, với việc chọn một mô hình thuận lợi cùng hệ thống câu hỏi đa dạng, đi từ cơ bản đến chuyên sâu… ; người dạy có thể củng cố và rèn luyện cho học sinh kiến thức và kỹ năng hình học một cách sâu sắc, từ đó có đủ tự tin để làm việc trên một mô hình bất kỳ

Vũng Tàu, tháng 3 2011

Người viết

Vũ Hữu Viên

Sở GD & ĐT Tỉnh Bà Rịa –Vũng Tàu.

Năm học 2011 – 2012

SKKN : MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG trong HÌNH HỘP.

Họ và tên : VŨ HỮU VIÊN Đơn vị : Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn.

-A.LÝ DO :

Trong chương trình toán hình học không gian lớp 11 và 12, việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng dựng hình, chứng minh và tính toán … là một công việc trọng tâm và đầy khó khăn đối với cả thầy và trò Các bài toán về dựng và tính số đo góc của hai mặt phẳng cũng như các bài toán liên quan trong các mô hình không thuận lợi đòi hỏi nhiều kiến thức và kỹ năng khiến đa số học sinh gặp trở ngại

B.MỤC ĐÍCH :

Bằng việc khai thác một mô hình đơn giản, quen thuộc để vận dụng vào các mô hình phức tạp ; người viết mong muốn góp phần hoàn thiện kiến thức và kĩ năng hình học cho học sinh

C.NỘI DUNG :

1 Trước hết ta xét các bài toán quen thuộc:

BT1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a

a) Tính số đo góc của hai mặt phẳng (A’BD) và (C’BD) :

* Gọi O là tâm hình vuông ABCD, ta có AOA' &COC ' là

góc tạo bởi (ABCD) với hai mặt phẳng (A’BD) và (C’BD)

* Ta tính số đo hai góc AOA' &COC ':

A OC  

và   'A OC'; suy ra

b) Hai điểm M, N lần lượt thuộc cạnh AA’,CC’ Tính góc  tạo bởi hai mặt phẳng (MBD) và (NBD)

theo a, AM x CN; y( 0x y a;  ):

* Ta có :

* Nếu 2xy a 2: tanMOA.tanNOC  1  90

A

D

A'

D'

O M

N