(Luận văn thạc sĩ) đường tròn soddy và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNT RƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

T RƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Việt Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

❳✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✦

❍↔✐ P❤á♥❣✱ t❤→♥❣ ✶✷ ♥➠♠ ✷✵✶✾

◆❣÷í✐ ✈✐➳t ▲✉➟♥ ✈➠♥

◆❣æ ❚rå♥❣ ❚❤➔♥❤

✲ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ✤÷ñ❝ ❝→❝ t❛♠ ❣✐→❝ ❧î♣ κ = ta + tb + tc ✈➔ ❧î♣ ~ = tb + tc✱

❦❤↔♦ s→t ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝õ❛ ✷ ❧î♣ ✤â✳

✶✳✶ P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr♦♥❣ ♠➦t ♣❤➥♥❣

❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱ t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤

✤↔♦ q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥ ❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣ q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥ tr➯♥ ♠➦t

♣❤➥♥❣ ❊✉❝❧✐❞❡✳ ❈→❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ❝â t❤➸ t➻♠ t❤➜② tr♦♥❣ ❝→❝ ❣✐→♦tr➻♥❤ ❍➻♥❤ ❤å❝ sì ❝➜♣ ❤✐➺♥ ❤➔♥❤✳

✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❚r➯♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ R✳P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝ü❝ O✱ ♣❤÷ì♥❣ t➼❝❤ k = R2 ❧➔ ♣❤➨♣ ❜✐➳♥ ✤ê✐ tr➯♥ ♠➦t

♣❤➥♥❣✱ ❜✐➳♥ P 7→ P′ s❛♦ ❝❤♦ ♥➳✉ P 6= O t❤➻ OP.OP′ = R2❀ ♥➳✉ P ≡ Ot❤➻ P′ ←→ ∞✳

❚❛ ❦þ ❤✐➺✉ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ✤â ❧➔ fRO2✱ ✤÷í♥❣ trá♥ (O, R) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

✤÷í♥❣ trá♥ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦✳ P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ♥➔② ❝ô♥❣ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➨♣ ✤è✐ ①ù♥❣q✉❛ ✤÷í♥❣ trá♥✳

❉➵ t❤➜② ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤è✐ ❤ñ♣✱ tù❝ ❧➔ fRO2

2

= Id✳ ❚ø

❡✮ ◗✉❛ ♣❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ fO

R 2✱ ♠å✐ ✤÷í♥❣ trá♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐ q✉❛ O ❜✐➳♥ t❤➔♥❤

✤÷í♥❣ trá♥ ❦❤æ♥❣ ✤✐ q✉❛ O❀ ♠å✐ ✤÷í♥❣ trá♥ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ r ❜✐➳♥t❤➔♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥ ✤ç♥❣ t➙♠ O✱ ❜→♥ ❦➼♥❤ R2/r✳

2

· AB OA.OB

C′B′ : D′A′

D′B′ = (A, B, C, D)✳

❱➟② (A′, B′, C′, D′) = (A, B, C, D)

P❤➨♣ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ trð ♥➯♥ ✤➦❝ s➢❝ ♥❤í ❝→❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝â t❤➸ ❜✐➳♥ ✤÷í♥❣trá♥ t❤➔♥❤ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ✈➔ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ t❤➔♥❤ ✤÷í♥❣ trá♥✳ ◆❤÷♥❣ ♥â t❤ü❝

✭✐✳✮ ❍❛✐ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ ❦❤æ♥❣ q✉❛ O❀

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✶✳ ❚❛ ❝â tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝ ❝õ❛ G, I, O, H, Oa✿

❛✳ G = (1 : 1 : 1) ✈➻ SGBC = SGCA = SGAB✳

❜✳ I = (a : b : c) ✈➻ SIBC = 12ra, SICA = 12rb, SIAB = 12rc✳

❝✳ O = (sin 2A : sin 2B : sin 2C) =

= a2 b2 + c2 − a2

: b2 c2 + a2 − b2

: c2 a2 + b2 − c2

❞✳ Oa = (−a : b : c) ✈➻ −S(O a BC) : S(O a CA) : S(O a AB) = −a : b : c✳

❡✳ H = (tan A : tan B : tan C) =

❢✳ ❈→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥ BC ❝â tå❛ ✤ë ❞↕♥❣ (0 : y : z)✳ ❚÷ì♥❣ tü ❝→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥

CA, AB ❧➛♥ ❧÷ñt ❝â tå❛ ✤ë (x : 0 : z), (x : y : 0)✳

❑❤✐ M = (x : y : z) ♠➔ x + y + z 6= 0 t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ tå❛ ✤ë ❜❛r②❝❡♥tr✐❝t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ M✿

❈❤➥♥❣ ❤↕♥✿

σA = 2SABC·cot A = 2·abc

4R·cos Asin A = 2 ·abc

• σAB + σBC + σCA = σ2✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➥♥❣ t❤ù❝ ✤➛✉ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥✳ ✣➸ ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ù ❤❛✐✱ t❛ ♥❤➟♥

①➨t✿ ✈➻ A + B + C = 1800 ♥➯♥ cot(A + B + C) ❧➔ ∞✳ ▼➝✉ sè ❝õ❛ ♥â ❜➡♥❣

cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A − 1 = 0✳ ❚ø ✤â✱

σAB+ σBC+ σCA = σ2·(cot A cot B +cot B cot C +cot C cot A) = σ2✳

x1 y1 z1

x2 y2 z2

(σAB− σCA) x + (σBC − σAB) y + (σCA − σBC) z = 0

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✼✳ ❈→❝ ✤✐➸♠ ✈æ t➟♥ tr➯♥ ❝→❝ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ BC, CA, AB ❝õ❛ t❛♠

❣✐→❝ ❝ì sð ABC ❧➛♥ ❧÷ìt ❧➔ (0 : −1 : 1), (1 : 0 : −1), (−1 : 1 : 0)✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✽✳ ❈→❝ ✤✐➸♠ ✈æ t➟♥ tr➯♥ ✤÷í♥❣ ❝❛♦ ✤✐ q✉❛ A ❧➔

(0 : σC : σB) − a2(1 : 0 : 0) = (−a2 : σC : σB)✳ ❚ê♥❣ q✉→t✱ ✤✐➸♠ ✈æ t➟♥tr➯♥ ✤÷í♥❣ t❤➥♥❣ px + qy + rz = 0 ❧➔ (q − r : r − p : p − q)✳

q − r r − p p − q

= 0 ✈➔

σC −b2 σA