Bài toán quan hệ biến phân và một số vấn đề liên quan

tập các điểm hữu hiệu của Ađối với nón C ký hiệu là αMinA/C, với α = I, P, P r, W, tương ứng làcác loại điểm hữu hiệu lý tưởng, điểm hữu hiệu Pareto, điểm hữu hiệuthực sự và điểm hữu hiệ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THỊ BÍCH HẠNH

BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Thái Nguyên - Năm 2015

Mục lục

1.1 Nón 1

1.2 Ánh xạ đa trị 3

1.3 Tính liên tục theo nón 6

1.4 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị 8

1.5 Tính đơn điệu 9

1.6 Một số định lý bổ trợ 9

2 Bài toán quan hệ biến phân và một số vấn đề liên quan 11 2.1 Bài toán quan hệ biến phân 11

2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân 15

2.3 Định lý điểm bất động và sự tồn tạị nghiệm của bài toán quan hệ biến phân 23

2.4 Một số vấn đề liên quan 26

2.4.1 Bài toán tựa tối ưu loại hai 26

2.4.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân 28

2.4.3 Bài toán tựa cân bằng tổng quát 29

Tài liệu tham khảo 31

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: Bài luận văn tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân tôi, được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát và phân tích từ thực tiễn dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn là hoàn toán trung thực và chưa được sử dụng để bảo vệ cho một học vị nào, phần trích dẫn và tài liệu tham khảo đều được ghi rõ nguồn gốc

Thái nguyên, ngày 20 tháng 8 năm 2015

Tác giả Trần Thị Bích Hạnh

Xác nhận của Khoa Xác nhận của giáo viên hướng dẫn

GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình củaGS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Thầy đã dành nhieuf thời gian hướng dẫncũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luậnvăn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán trường Đaị học Sưphạm, Đại học Thái Nguyên, cũng như các thầy cô đã tham gia giảngdạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công laodạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đãquan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi hoàn thành tốt nhiệm

vụ của mình

Mở đầu

Bài toán: Tìm x ∈ D sao cho F (¯x ≤ F (x)) với mọi x ∈ D, ký hiệu:

min{F (x)|x ∈ D},trong đó, D là tập con của không gian X, được gọi là miền chấp nhậnđược, F : D → R là hàm mục tiêu, đóng vai trò trọng tâm của lý thuyếttối ưu Dựa vào cấu trúc của tập D và tính chất của hàm F , người taphân loại bài toán này thành những lớp bài toán khác nhau Nếu D làtập mở, F là hàm khả vi, ta gọi bài toán này là bài toán tối ưu trơn Nếu

F là hàm số không có đạo hàm, thì bài toán này được gọi là bài toántối ưu không trơn Trong lớp các bài toán tối ưu không trơn, người ta cóthể phân loại thành nhiều bài toán cơ bản như bài toán quy hoach tuyếntính, quy hoạch lồi, quy hoạch Lipschits, quy hoạch liên tục, Bài toántối ưu cũng được mở rộng cho trường hợp F là ánh xạ từ tập D vào mộtkhông gian tô pô tuyến tính trên đó có xác định thứ tự từng phần sinhbởi nón Từ khái niệm thứ tự từng phần này, ta có các khái niệm khácnhau về điểm hữu hiệu của một tập hợp như: hữu hiệu lý tưởng, hữuhiệu Pareto, hữu hiệu yếu, hữu hiệu thực sự, Từ đó, ta có thể phátbiểu các bài toán tối ưu véctơ khác nhau

Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô, D ⊂ X là một tập con khácrỗng Cho C là một nón trong Y , A ⊂ Y tập các điểm hữu hiệu của Ađối với nón C ký hiệu là αMin(A/C), với α = I, P, P r, W, tương ứng làcác loại điểm hữu hiệu lý tưởng, điểm hữu hiệu Pareto, điểm hữu hiệuthực sự và điểm hữu hiệu yếu (các khái niệm này sẽ được trình bày trongchương 1 của luận văn này)

Cho F : D → Y Bài toán: Tìm ¯x ∈ D sao cho F (¯x) ∈ αMin(F (D)/C)được gọi là bài toán tối ưu véctơ α tương ứng với I, P, P r, W

Tổng quát hơn, người ta phát triển bài toán tối ưu với F là ánh xạ đatrị và gọi là bài toán tối ưu véctơ đa trị Ngoài ra, người ta còn nghiêncứu bài toán tối ưu với tập ràng buộc D là tập nghiệm tối ưu của mộtbài toán tối ưu khác, bài toán này gọi là bài toán tối ưu hai cấp trong

lý thuyết tối ưu, ta còn quan tâm đến lớp bài toán tựa( hay còn gọi làbài toán phụ thuộc tham số) năm 2001, A.Gueraggio và N.X Tấn [4] đã

đưa ra bài toán sau:

A Bài toán tựu tối ưu đơn trị loại 1

Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tậpcon khác rỗng và C là nón trong Z Cho các ánh xạ đa trị S : D×K ⇒ D,

T : D × K ⇒ K và ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z

Bài toán: Tìm (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho:

i) ¯x ∈ S(¯x, ¯y);

ii) ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

iii) F (¯y, ¯x, ¯x) ∈ αMin(F (¯y, ¯x, S(¯x, ¯y))/C)

được gọi là bài toán tựa tối ưu véctơ α tổng quát loại 1 ( α để chỉ mộttrong các từ: lý tưởng, Pareto, thực sự, yếu) Kí hiệu bài toán này là(GV QOP 1)α

Năm 2013, Đ.T.Lục và N.X.Tấn [8] đã nghiên cứa bài toán tối ưu

α tổng quát loại 2, kí hiệụ(GV QOP 1)α Bài toán này được phát biểutrong trường hợp lý tưởng như sau:

B Bài toán tựu tối ưu đơn trị loại 2

Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tậpcon khác rỗng và C là nón trong Z Cho các ánh xạ đa trị S1, S2 : D ⇒ D,

Cho D là tập con khác rỗng của không gian X, f : D × D → R,

f (x, x) = 0, ∀x ∈ D Bài toán tìm ¯x ∈ D sao cho:

f (¯x, y) ≥ 0, ∀y ∈ D

Tương tự như bài toán tối ưu, người ta cũng xét các bài toán tựa cânbằng, cụ thể là các bài toán sau

D Bài toán tựa cân bằng lý tưởng đơn trị loại 1

Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tậpcon khác rỗng và C là nón trong Z Xét các ánh xạ đa trị S, T : D×K ⇒

D và ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z thỏa mãn F (y, x, x) ∈ C, vớimọi (x, y) ∈ D × K

Tìm (¯x, ¯y) ∈ D × K thỏa mãn:

i) ¯x ∈ S(¯x, ¯y);

ii) ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

iii) F (¯y, ¯x, x) ∈ C, với mọi x ∈ S(¯x, ¯y)

Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng loại 1 và được ký hiệu

là (IQEP 1)

E Bài toán tựa cân bằng lý tưởng đơn trị loại 2

Cho X, Y, Z và W là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y, E ⊂

W là các tập con khác rỗng Cho các ánh xạ đa trị S1 : D ⇒ D,

S2 : D ⇒ E, T : K × D ⇒ Zvà ánh xạ đơn trị F : K × D × E ⇒ Y Tìm ¯x ∈ A sao cho: ¯x ∈ S1(¯x) và 0 ∈ F (y, ¯x, x) với mọi x ∈ S2(¯x) và

y ∈ T (¯x, x)

Bài toán này do các giáo sư Nguyễn Xuân Tấn, Đinh Thế Lục đưa ra

và gọi là bài toán tựa cân bằng lý tưởng loại 2 và kí hiệu là (IQEP 2).Đối với lớp các bài toán bao hàm thức biến phân, ta xét một số bàitoán tiêu biểu sau:

F Bài toán tựa biến phân lý tưởng loại 1

Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tậpcon khác rỗng Cho các ánh xạ đa trị S : D × K ⇒ D, T : D × K ⇒ Kvới tập giá trị khác rỗng Xét các ánh xạ đa trị F, G : K × D × D ⇒ Z Bài toán tìm ¯x ∈ X sao cho:

i) ¯x ∈ S1(¯x, ¯y);

ii) ¯y ∈ T (¯x, ¯y);

iii) F (¯y, ¯x, x) ∈ G(¯y, ¯x, ¯x) + C với mọi x ∈ S(¯x, ¯y)

Bài toán này được gọi là bài toán tựa biến phân lý tưởng loại 1 vàđược lí hiệu là (IP 1) Các bài toán về tựa biến phân có thể tìm đượctrong tài liệu [5] Giáo sư Nguyễn Xuân Tấn cũng đặt ra bài toán tựabiến phân như sau:

G Bài toán tựa biến phân lý tưởng loại 2

Cho X, Y, Z và W là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y, E ⊂

W là các tập con khác rỗng Cho các ánh xạ đa trị S1 : D ⇒ D,

S2 : D ⇒ E, T : K×D ⇒ Zvà ánh xạ đơn trị G, H : K×D×E → Y Giả

sử C : K × D ⇒ Y là ánh xạ nón (tức là, với mọi (x, y) ∈ K × D, C(y, x)

là nón trong Y ) Bài toán: Tìm ¯x ∈ D sao cho:

vì sẽ mang lại những hiểu biết sâu sắc hơn về các vấn đề, đặc biệt là

về các liên hệ giữa các bài toán rời nhau Người ta còn phát biểu cácbài toán trên cho ánh xạ đa trị Trong luận văn này, chúng ta sẽ xét bàitoán quan hệ biến phân loại 2, được phát biểu như sau:

Cho A, B, Y là các tập khác rỗng Xét S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B,

A ⊆ X, B ⊆ Z T : A × B ⇒ Y là các ánh xạ đa trị có giá trị khácrỗng Giả sử R(a, b, y) ⊂ A × B × Y là một quan hệ ba ngôi giữa a ∈

A, b ∈ B, y ∈ Y Nếu ba phần tử này có quan hệ R nào đó, ta nói rằngR(a, b, y) xảy ra hay R(a, b, y) ∈ R

Ta quan tâm tìm ¯a ∈ A sao cho:

1) ¯a là điểm bất động của S1, tức là ¯a ∈ S1(¯a);

2) R(a, b, y) xảy ra với mọi b ∈ S2(¯a), y ∈ T (¯a, b)

Tương tự ta cũng có thể phát biểu bài toán quan hệ biến phân loại

1 Các bài toán này có liê quan chặt chẽ với các bài toán nêu trên.Ta kýhiệu các bài toán này là (VR)

Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả chính về bàitoán quan hệ biến phân trên trong bài báo "An abstract problem invariational analysis " của tác giả D.T.Luc [7] Hầu hết các bài toáncủa lý thuyết điều khiển tối ưu được liệt kê ở trên đều là trường hợpriêng của bài toán quan hệ biến phân Việc nghiên cứu bài toán quan hệbiến phân cho ta một cách tiếp cận thống nhất trong việc nghiên cứu các

mô hình khác nhau của lý thuyết điều khiển tối ưu đa trị, lý thuyết cânbằng và bao hàm thức biến phân Kết quả chính được trình bày trongluận văn là định lý tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân, Từ

đó với mỗi bài toán liên quan chúng ta sẽ nhận những điều kiện để tồntại nghiệm

Luận văn chia làm 2 chương

Chương 1 là chương chuẩn bị Trong chương này người viết nêu lạimột cách ngắn gọn các khái niệm, tính chất của nón và ánh xạ đa trị

để tiện cho việc trình bày các kết quả chương sau Các khái niệm này

có thể tìm được trong tài liệu [1] và các tài liệu khác về tối ưu véctơ.Một số định lý cơ bản của lý thuyết tối ưu cũng được liệt kê ở phần cuốichương nhằm giúp người đọc dễ theo dõi được các chứng minh của định

lý có trong chương sau Các định lý này đều được chứng minh lại trongluận văn, chúng có thể được tìm thấy trong các tài liệu tham khảo.Chương 2 là phần chính của luận văn Trong chương này, người viếttrình bày lại bài toán quan hệ biến phân, chứng minh một cách chi tiếtcác định lý tồn tại, đồng thời đưa ra một số ví dụ về các bài toán liênquan Có thể nói bài toán quan hệ biến phân là bài toán tổng quát của

lý thuyết tối ưu bởi, với mỗi bài toán như bài toán tối ưu, bài toán cânbằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bằng cách trang bị một quan

hệ R thích hợp ta có thể đưa về bài toán (VR) Nội dung được trình bàytrong chương này gồm: Phát biểu bài toán quan hệ biến phân (VR), các

ví dụ có liên quan, các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan

hệ biến phân (VR)

Tiếp theo ta thiết lập một số điều kiện tồn tại nghiệm của các bàitoán: bài toán tối ưu loại 2, bài toán bao hàm thức tựu biến phân, bàitoán tựu cân bằng tổng quát bằng cách sử dụng định lý tồn tại nghiệm

của bài toán quan hẹ biến phân (VR) (Định lý 2.3.6) Việc sử dụng định

lý này giúp cho việc chứng minh các định lý vè sự tồn tại của các bàitoán khác trong lý thuyết tối ưu được ngắn gọn và dễ hiểu

Ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng phần với nón C trong không giantôpô tuyến tính Y như sau:

Với x, y ∈ Y, x ≥C y nếu x − y ∈ C Để đơn giản ta viết x ≥ y nếukhông có sự nhầm lẫn Với x, y ∈ Y, x > y nếu x − y ∈ C l(C) và x ≫ ynếu x − y ∈ intC

Ví dụ 1.1

i) Xét Y = Rn = x = (x1, x2, , xn)|xi ∈ R, i = 1, , n

Với C = Rn

+ = x = (x1, x2, , xn)|xi ≥ 0, i = 1, , n thì C là nónlồi, đóng trong Y và được gọi là nón orthant tương đương trong Rn.Với C = x = (x1, x2, , xn)|xi ≥ o, i = 1, , n thì C là nón lồinhưng không đóng trong Y Tập C = x1 > 0 ∪ x1 = 0, x2 > 0 ∪ ∪

x1 = x2 = = xn−1 = 0, xn > 0 cũng là một nón trong Y và đượcgọi là nón theo quan hệ từ điển.

¯

a ≥C b với b nào đó, thì b ≥C x Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu¯hiệu Pareto của A đối với nón C là Min(a, C) Ta có ¯a ∈ Min(A, C)khi và chỉ khi A ∩ (¯a − intC) = ∅

iii) Điểm ¯a được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C(intC 6=

∅ và C 6= Y Nếu ¯a là điểm hữu hiệu Pareto đối với hình nón

C0 = int(C ∪ {0}) Kí hiêu tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu là

W M in(A, C) Ta có ¯a ∈ M in(A, C) khi và chỉ khi A ∩ (¯a − intC) =

∅

iv) Điểm ¯a được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón Cnếu tồn tại hình nón lồi K khác Y sao cho C \ {0} ⊂ intK và

¯

a ∈ M in(A, K) Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu thực sự của

A đối với nón C là Pr Min(A,C) Ta có ¯a ∈ P rMin(A, C) khi vàchỉ khi A ∩ (¯a − K) = ¯a

Ta có liên hệ sau giữa các loại điểm hữu hiệu:

IM in(A, C) ⊆ P rM in(A, C) ⊆ M in(A, C) ⊆ W M in(A, C)

là một tập con của Y Kí hiệu F : X ⇒ Y

Nhận xét 1.1 Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tửcủa Y thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y Khi đó, thay cho kíhiệu F : X ⇒ Y hay F : X ⇒ 2Y bằng ký hiệu quen thuộc F : X → Y

Để cho thống nhất, trong luận văn này ta sử dụng ký hiệu F : X ⇒ Y

ConvF = {y ∈ Y : (x, y) ∈ conv(GraphF ), ∀x ∈ X}

ClF = {y ∈ Y : (x, y) ∈ GraphF , ∀x ∈ X}¯Trong đó, conv(GraphF ).GraphF¯ lần lượt là tập lồi nhỏ nhất chứaGraphF và bao đóng của tập GraphF

Ánh xạ ngược của F là ánh xạ đa trị F−1 : X ⇒ Y được xác địnhbởi:

F−1(y) = {x ∈ X : y ∈ F (x), ∀y ∈ Y }Định nghĩa 1.6 Giả sử X, Y là các không gian tôpô và F : X ⇒ Y làmột ánh xạ đa trị

i) F được gọi là ánh xạ đóng (tương ứng, mở) nếu GraphF là tậpđóng (tương ứng mở) trong không gian tôpô tích X × Y

ii) F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng (mở) nếu F (x) là tập đóng(mở) với mọi x ∈ domF

iii) Nếu Y là một không gian véctơ tôpô thì F được gọi là ánh xạ cógiá trị lồi nếu F (x) là tập lồi, với mọi x ∈ X

iv) F được gọi là ánh xa compact nếu F (x) là tập compact trong Yvới mọi x ∈ X

Nhận xét 1.2 Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô F : X ⇒ Y làánh xạ đa trị Ta có các tính chất sau:

Lấy lưới (xn, yn) ∈ GraphF bất kỳ (xn, yn) → (¯x, ¯y)

Vì (xn, yn) ∈ GraphF nên yn ∈ F (xn) hay yn = [−1, 1] với mọi n Dođoạn [−1, 1] là compact và yn → ¯y nên ¯y ∈ [−1, 1]

Trường hợp 1: nếu xn → ¯x = 0 thì F (¯x) = [−1, 1] Do đó ¯y ∈ F (¯x)hay (¯x, ¯y) ∈ GraphF

Trường hợp 2: nếu xn → ¯x 6= 0 thì tồn tại N > 0 sao cho ¯x 6= 0 vớimọi n ≥ N Do yn ∈ F (xn) và F (xn) = 0 hay (¯x, 0) ∈ GrpahF

Vậy GraphF đóng

Ví dụ 1.5 Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi

F (x) =

((−1, 1), x = 0

Định nghĩa 1.7 Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô C là nón lồi

Ta nói ánh xạ đa trị F là:

i) Ánh xạ đa trị C− lồi nếu {(x, y)|y ∈ F (x) + C} là tập lồi trongkhông gian tích X × Y

ii) Ánh xạ có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi với mọi x ∈ X.

Nhận xét 1.3 Giả sử X, Y là các tập lồi trong không gian tuyến tính.Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là C−lồi nếu và chỉ nếu với mọi x1, x2 ∈ X

và t ∈ [0, 1] thì

tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2) + C (1.3)Thật vậy, giả sử F là ánh xạ đa trị lồi, tức là GraphF là lồi Lấyhai phần tử x1, x2 bất kỳ sao cho y1 ∈ F (x1), y2 ∈ F (x2), khi đó(x1, y1), (x2, y2) ∈ GraphF Với t ∈ [0, 1], do GraphF lồi nên

(x, y) = (tx1 + (1 − t)x2, ty1 + (1 − t)y2) ∈ GraphF + (X × C)Suy ra, ty1+ (1 − t)y2 ∈ F (tx1+ (1 − t)x2) đúng với mọi y1 ∈ F (x1), y2 ∈

F (x2)

Vì thế : tF (x1) + (1 − t)F (x2) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2) + C Điều ngượclại tương tự

Trường hợp ánh xạ F là ánh xạ đơn trị, F (x) = {f(x)} thì F là lồi khi:

f (tx1 + (1 − t)x2) ≤C tf (x1) + (1 − t)f (x2) (1.4)

Ta nhận thấy rằng (1.3) tương thích với (1.4) Thật vậy, giả sử f : X ⇒ R

là ánh xạ đơn trị Hàm epif = F được xác định bởi:

1.3 Tính liên tục theo nón

Cho X, Y là 2 không gian véctơ tôpô lòi địa phương F : X ⇒ Y làmột ánh xạ đa trị Ta sẽ nhắc lại một số định nghĩa được đưa ra bởiBerge (Xem trong [1])

i) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ X nếu với mọi tập

mở V ⊂ Y thoả mãn F (x) ⊂ V thì tồn tại một lân cận mở U ⊂ Xcủa x sao cho F (U) ⊂ V F được gọi là nửa liên tục trên (u.s.c)trên X nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi x ∈ X

ii) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ X nếu với mọi tập

mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V 6= ∅ thì tồn tại một lân cận mở

U ⊂ X của x sao cho F (u) ∩ V 6= ∅, ∀u ∈ U F được gọi là nửa liêntục dưới (l.s.c) trên X nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ X.iii) Ánh xạ F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu F vừa là nửa liên tụctrên vừa là nửa liên tục dưới tai x Nếu F liên tục tại mọi điểm

x ∈ X thì ta nói F liên tục trên X

Khi xét ánh xạ đa trị thì các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liêntục dưới là trùng nhau và trùng với khái niệm liên tục đã biết Ví dụsau chỉ ra sự khác nhau giữa các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liêntục dưới cửa ánh xạ đa trị

Ví dụ 1.8 Xét F, G : R ⇒ R là hai ánh xạ đa trị được xác định nhưsau:

F (x) =

([0, 1], x = 0

Ta có các tính chất sau:

i) Cho F : X ⇒ Y là nửa liên tục trên với ảnh đóng, nếu dãy xβ →

x, yβ → y thì y ∈ F (x) Ngược lại, nếu F (x) là tập đóng và mọi dãy

xβ → x, yβ ∈ F (xβ) kéo theo yβ → y ∈ F (x) thì F là nửa liên tụctrên tại x

ii) Cho F : X ⇒ Y, F (x) là compact và F (x) 6= ∅ Khi đó, F là nửaliên tục dưới tại x khi và chỉ khi với mọi dãy xβ → x, yβ ∈ F (x)đều tồn tại yβ ∈ F (xβ) để yβ → y.

Định nghĩa 1.8 Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương

D là tập con của X, D 6= ∅ Giả sử C là một nón trong Y và F : X ⇒ Y

là một ánh xạ đa trị Ta có các định nghĩa sau:

i) F là C-liên tục trên (tương ứng C- liên tục dưới) tại x0 ∈ X nếuvới mọi lân cận V của 0 trong Y , tồn tại lân cận U của x0 trong Xsao cho:

F (x) ⊂ F (x0) + V + C(F (x0) ⊂ F (x) + V − C)Với mọi x ∈ U ∩ domF

ii) F là C-liên tục tại x0 nếu F đồng thời là C-liên tục trên và là C-liêntục dưới tại x0

iii) F là C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục trên D ⊆ Xnếu F là C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục tại mọi

Cho F : D ⇒ Y là một ánh xạ đa trị và C ⊂ Y là một nón lồi đóng.Khi đó:

1) Nếu F là C-liên tục tại x0 ∈ domF và F (x0)+C là tập đóng thì vớimọi dãy xβ → x0, yβ ∈ F (x0) + C, yβ → y0 Ngược lại, nếu F là compact

và với mọi dãy xβ → x0, yβ ∈ F (x0) + C, yβ → y0 ta có y0 ∈ F (x0) + Cthì F là C-liên tục trên tại x0

2) Nếu F (x0) là compact và là C-liên tục dưới tại x0 ∈ domF thìvới mọi dãy xβ → x0, y0 ∈ F (x0) + C đều tồn tại dãy {yβ}, yβ ∈ F (xβ)

và dãy con {yβ γ} sao cho yβ γ − y0 → c ∈ C Ngược lại, nếu F (x0) làtập compact và với mọi dãy xβ → x0, yβ ∈ F (xβ) + C đều tồn tại dãy{yβ}, yβ ∈ F (xβ) và một dãy con {yβ γ} sao cho yβ γ − y0 → c ∈ C thì F

là C-liên tục dưới tại x0

1.4 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị

Định nghĩa 1.9 Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô, D là tậpcon lồi của X Giả sử C là một nón lồi trong Y, F : X ⇒ Y là một ánh

xạ đa trị

i) F là C-lồi trên (tương ứng C-lồi dưới) nếu

αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) + C(tương ứng F (αx + (1 − α)y) + C ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) − CVới mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1]

ii) F được gọi là C-tựa lồi trên D nếu với mọi t ∈ [0, 1],

hoặc

F (x1) ⊂ F (tx1 + (1 − t)x2) + Choặc

F (x2) ⊂ F (tx1 + (1 − t)x2) + Cluôn đúng với mọi x1, x2 ∈ D

Chú ý 1.2 a) Nếu F : D ⇒ Y là ánh xạ đơn trị thì tính C-lồi trên vàC-lồi dưới trùng nhau và gọi là C-lồi Nếu Y = R, C = R+ thì ta có kháiniệm hàm lồi theo nghĩa thông thường

b) Nếu F : D ⇒ Y là ánh xạ đơn trị thì khái niệm C-tựa lồi trên vàC-tựa lồi dưới trùng nhau và gọi là C-tựa lồi Tức là F là C-tựa lồi trong

D nếu với mọi x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] ta có

Trong trường hợp Y − R, C = R+ thì ta có F là C-tựa lồi tức là

F (x1) ≥C F (tx1 + (1 − t)x2) hoặc F (x2) ≥C F (tx1 + (1 − t)x2) với mọi

x1, x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] nên F (tx1 + (1 − t)x2) ≤ M ax{F (x1), F (x2)} Khi

đó, F là hàm tựa lồi theo nghĩa thông thường

1.5 Tính đơn điệu

Định nghĩa 1.10

i) Cho X là một không gian véctơ tôpô lồi địa phương, D ⊂ X làmột tập con Hàm số f : D × D → R được gọi là đơn điệu nếu

f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ D

ii) Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff,

D ⊂ X là một tập con, C là một nón trong Y Ta nói ánh xạ

F : D×D → Y là đơn điệu đối với nón C nếu F (x, y)+F (y, x) ∈ −Cvới mọi x, y ∈ D

Định nghĩa 1.11

i) Cho X là một không gian tuyến tính lồi địa phương, D ⊂ X làmột tập con Hàm số f : D × D → R được gọi là tựa đơn điệu nếu

f (x, y) ≤ 0 với mọi x, y ∈ D ta suy ra f (y, x) ≤ 0

ii) Cho X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính, D ⊂ X, K ⊂ Y làcác tập con khác rỗng, C ⊂ Z là một nón

Cho ánh xạ đa trị F : Z × D × D ⇒ Z Ta nói F là T -tựa đơn điệuđối với C nếu {x1, x2, , xn} ∈ D và x ∈ co{x1, x2, , xn}đều tồntại i ∈ {1, , n} để F (y, xi, x) ≥ F (y, x, x) với mọi y ∈ T (xi, x)1.6 Một số định lý bổ trợ

Ta sẽ nhắc lại một số định lý bổ trợ cho việc chứng minh ở cácchương sau như định lý KKM-Fan, định lý về sự giao hữu hạn của mộttập compact, các định lý về điểm bất đông,

Định nghĩa 1.12 Cho X là không gian véctơ tôpô Ánh xạ đa trị

F : A ⊂ X ⇒ X được gọi là ánh xạ KKM trên A nếu với mọi tập conhữu hạn {a1, a2, , an} ⊂ A và với mọi phần tử a trong bao lồi của{a1, a2, , an} ta có thể tìm được chỉ số k sao cho a ∈ F (ai), tức là

x ∈ Sm

Định lý 1.1 [3] Định lý KKM-Fan

Giả sử X là không gian véctơ tôpô, A ⊂ X là tập lồi khác rỗng và

F : A ⇒ A là ánh xạ KKM với tập giá trị đóng Nếu A là compact thì

ta có Tx∈AF (x) 6= ∅

Định lý 1.2 [3] Tính chất giao hữu hạn của các tập compact

Cho một họ các tập compact {Ci : i ∈ I} Nếu với mọi tập hữu hạn các

phần tử của họ có điểm chung thì giao của họ cũng có điểm chung, tức

là x ∈ Si∈ICi 6= ∅ và ta gọi họ {Ci : i ∈ I} là có tính chất giao hữuhạn

Định lý 1.3 [3] Định lý điểm bất động của Kakutani-Fan

Cho X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, A là tập lồi, compact,khác rỗng trong X Ánh xạ F : A ⇒ A là ánh xạ đa trị nửa liên tụctrên, F có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi đó tồn tại ¯x ∈ D, ¯x ∈ F (¯x)(tức ¯x là điểm bất động của F )

Định lý 1.4 (Browder [2])Định lý điểm bất động của Fan-BrowderCho X là không gian véctơ tôpô lồi địa phương, A ⊂ X là tập lồi compact,khác rỗng Cho F : A ⇒ A là ánh xạ đa trị với A = Ta∈AintG−1(a).Khi đó tồn tại ¯a ∈ A sao cho ¯a ∈ coG(¯a)