18 2 Một số bất đẳng thức cơ bản cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên độc lập 21 2.1 Bất đẳng thức Levy - Octaviani... Trong luận văn này, tác giả xin được trình bày
Các dạng hội tụ cơ bản
Trước khi bắt đầu luận văn này, tác giả trình bày những khái niệm cơ sở về các dạng hội tụ có liên quan đến các kiến thức ở các chương sau, cụ thể là hội tụ hầu chắc chắn, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình cấp p, hội tụ theo phân phối và hội tụ yếu Định nghĩa 1.1.1 (Hội tụ hầu chắc chắn) cho dãy X_n gồm các biến ngẫu nhiên: i) nếu P{ω : ∃ lim_n X_n(ω)} = 1 thì dãy X_n hội tụ hầu chắc chắn; ii) nếu X là một biến ngẫu nhiên và P{ ω : lim_n X_n(ω) = X(ω) } = 1 thì dãy X_n hội tụ hầu chắc chắn tới X Định lý 1.1.2 nêu điều kiện cần và đủ để dãy X_n hội tụ hầu chắc chắn là với mọi ε > 0, lim_{n→∞} P( sup_{m,k≥n} |X_m - X_k| > ε ) = 0.
| X m − X k | > r ) = 0. Điều kiện ở trên tương đương với lim n P (sup m≥n | X m − X n | > r ) = 0.
Các dạng hội tụ cơ bản: hội tụ hầu chắc Điều kiện cần và đủ để dãy (X_n) hội tụ hầu chắc tới X là với mọi r > 0, lim_{n→∞} P( sup_{m≥n} |X_m − X| > r ) = 0 Định nghĩa 1.1.3 (Hội tụ theo xác suất) cho dãy (X_n) các biến ngẫu nhiên.
Ta nói dãy ngẫu nhiên (Xn) hội tụ tới X theo xác suất khi với mọi ε > 0 ta có lim n→∞ P(|Xn − X| > ε) = 0, tức Xn →p X Định lý 1.1.4 cho biết: nếu dãy (Xn) hội tụ hầu như chắc chắn tới X thì dãy (Xn) hội tụ theo xác suất tới X, và điều ngược lại không đúng.
2 Nếu dãy (X n ) hội tụ theo xác suất tới X thì có thể trích ra dãy con (X n k ) hội tụ hầu chắc chắn tới X
3 Để cho dãy (X n ) hội tụ theo xác suất điều kiện cần và đủ là với mọi số dương r > 0 lim n sup m,k ≥ n
Trong lý thuyết xác suất, điều kiện P(|X_m − X_k| > r) = 0 với mọi r > 0 cho các chỉ số m and k lớn thể hiện X_m và X_k đồng nhất gần như tuyệt đối; điều này tương ứng với lim_{n→∞} sup_{m ≥ n} P(|X_m − X_n| > r) = 0 cho mọi r > 0, một tiêu chuẩn Cauchy theo xác suất cho dãy ngẫu nhiên {X_n} Định nghĩa 1.1.5 (Hội tụ theo trung bình cấp p): cho số dương p > 0 Ký hiệu L_p(Ω) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X sao cho E|X|^p < ∞.
Dãy biến ngẫu nhiên (X n ) ⊂ L p ( Ω ) được gọi là hội tụ trung bình cấp p tới biến ngẫu nhiên
Khi đó ta cũng nói (X n ) hội tụ tới X trong L p ( Ω ) và viết lim X n = X trong L p ( Ω ) hay X n → L p X
Định lý 1.1.6 cho biết dãy biến ngẫu nhiên X_n thuộc L_p hội tụ trung bình cấp p khi và chỉ khi giới hạn của E|X_m − X_k|^p với m,k → ∞ bằng 0, tức là X_n là một dãy Cauchy trong L_p và có hội tụ theo trung bình cấp p Định lý 1.1.7 nêu rằng nếu dãy X_n hội tụ trung bình cấp p thì dãy X_n hội tụ theo xác suất.
2 Sự hội tụ trung bình cấp p không nhất thiết kéo theo sự hội tụ hầu chắc chắn.
Định nghĩa 1.1.8 (Hội tụ theo phân bố) cho dãy X_n là các biến ngẫu nhiên, với F_n(x) và F(x) lần lượt là hàm phân bố xác suất của X_n và X, và C(F) là tập các điểm liên tục của F Ta nói X_n hội tụ theo phân bố tới X và ký hiệu X_n →_d X, nếu với mọi x ∈ C(F) ta có lim_{n→∞} F_n(x) = F(x) Định lý 1.1.9 cho biết: (i) nếu dãy X_n hội tụ tới X theo xác suất thì dãy X_n hội tụ tới X theo phân bố.
Điều ngược lại nói chung không đúng Tuy nhiên, nếu dãy X_n hội tụ tới hằng số c theo phân bố thì dãy X_n sẽ hội tụ tới c theo xác suất Định lý 1.1.10 cho dãy X_n các biến ngẫu nhiên: để dãy X_n hội tụ theo phân bố tới X, điều kiện cần và đủ là với mọi hàm liên tục bị giới hạn f, lim_{n→∞} E[f(X_n)] = E[f(X)].
Ký hiệuMlà tập hợp tất cả các hàm F không giảm, liên tục bên trái và thỏa mãn điều kiện x →−∞ lim F (x) = 0 và lim x →+∞ F (x) = 1.
Ta thấy rằngMcũng chính là tập hợp tất cả các hàm phân bố xác suất.
Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chuẩn tắc và dãy α - ổn định chuẩn tắc
Định nghĩa 1.1.11(Hội tụ yếu) Dãy (F n ) ⊂Mđược gọi là hội tụ yếu tới F ∈Mnếu với mọi x ∈ C (F ) ta có lim n F n (x) = F (x)
Như vậy, dãy biến ngẫu nhiên X_n hội tụ theo phân bố tới biến X nếu và chỉ nếu dãy hàm phân bố F_n(x) = P(X_n ≤ x) hội tụ yếu tới F(x) = P(X ≤ x) Điều kiện cần và đủ ở đây là lim_{n→∞} F_n(x) = F(x) tại mọi x mà F có tính liên tục Nói cách khác, X_n hội tụ phân bố tới X khi phân bố của X_n tiến tới phân bố của X khi n tăng, dù X_n có thể không hội tụ theo giá trị ngẫu nhiên ở từng n Hàm F là phân bố xác suất của X và F_n là phân bố của X_n; sự hội tụ này chỉ đòi hỏi sự khớp ở các điểm liên tục của F Khái niệm hội tụ phân bố rất hữu ích trong thống kê và xác suất, vì cho phép suy luận về phân phối của X dựa trên các biến ngẫu nhiên X_n có phân bố dần tiến tới X khi n lớn.
1.2 Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chuẩn tắc và dãy α - ổn định chuẩn tắc
• Bất kỳ dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố ε 1 , ε 2 , sao cho P ( ε 1 = ± 1) = 1 2 được gọi là một dãy Bernoulli Ta xét dãy Bernoulli hữu hạn ε 1 , , ε n
• Một dãy Gauss chuẩn tắc được kí hiệu là γ 1 , γ 2 , là một dãy của các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối N(0, 1), tức là:
Ta xét các dãy Gauss hữu hạn chuẩn tắc γ 1 , γ 2 , , γ n
• Cho 0 < α < 2 Một dãy α - ổn định chuẩn tắc là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố sao cho, với mỗi t ∈ R
Các tính chất của phân phối ổn định:
Cho ξ là một biến ngẫu nhiên đối xứng α - ổn định trênR Khi đó, với t ∈ R,ta có:
1.2 CÁC DÃY BERNOULLI, DÃY GAUSS CHUẨN TẮC VÀ DÃY α - ỔN ĐỊNH CHUẨN TẮC trong đó a =
Trong bài toán phân tích hàm, hai hàm không âm A(t) và B(t) được gọi là tương đương tiệm cận khi tồn tại hai hằng số dương c và C sao cho c A(t) ≤ B(t) ≤ C A(t) với mọi t thuộc I ⊂ T; ký hiệu của nó là A(t) ∼ B(t) Định nghĩa này cho phép so sánh mức tăng của hai hàm trên miền I một cách ổn định về tỉ lệ; đồng thời với tham số a có các trường hợp: nếu |a| < 1 thì biểu thức cho giá trị là a, còn nếu |a| > 1 thì biểu thức cho giá trị là a/|a|.
Nếu α < 2, thì tồn tại t 0 > 0sao cho với bất kỳ t ≥ t 0 ta có:
E|ξ| α I {s≤|ξ|≤t} ∼ l og + t s , (1.4) và với bất kỳ p > α và t ≥ t 0 , ta có:
E |ξ| p I { |ξ|≤ t } ≤ E |ξ| p < ∞ (1.6) Nếu α = 2thì∀ t 0 > 0và r > 0, tồn tại một hằng số C sao cho với t ≥ t 0 , ta có
Modun trên các không gian tuyến tính
1.3 Modun trên các không gian tuyến tính
Những ký hiệu và định nghĩa liên quan đến các module được thiết kế cho nhu cầu của luận văn này có thể không phù hợp với thuật ngữ chính thống và văn phong chuẩn của bộ môn Việc làm rõ các ký hiệu này giúp độc giả hiểu rõ phạm vi và giới hạn của các module trong nghiên cứu, đồng thời tối ưu hóa khả năng nhận diện và tìm kiếm các từ khóa liên quan như ký hiệu, định nghĩa, module, luận văn, thuật ngữ chính thống và văn phong chuẩn của bộ môn.
Cho E là một không gian tuyến tính Một phiếm hàm Φ : E → [0, ∞ ] được gọi là một modun nếu:
Với mọi x ∈ E, hàm g(t) = Φ(tx) là liên tục và là hàm chẵn trên toàn bộ R, đồng thời không giảm trên R+ Φ được gọi là một tăng trưởng trung bình khi nó thỏa mãn các điều kiện được nêu trong bài.
3 Cho C > 0và bất kỳ x, y ∈ E Φ(x + y) ≤ C (Φ(x) + Φ(y)) Φđược gọi là một tăng trưởng mũ lớn nhất nếu nó thỏa mãn điều kiện:
Ta cũng sẽ cần các tính chất dưới đây của modun.
5 [5 0 ] Tồn tại một hàm liên tục [liên tục tại điểm (0; 0)] ψ : R + × R + → R + sao cho ψ (s , 0) = ψ (0, s ) = s với mỗi s ∈ R + thì ta cóΦ (x, y) ≤ ψ ( Φ (x), Φ (y))với mỗi x, y ∈ E
Ví dụ, bất kì modun thỏa mãn điều kiện
1.3 MODUN TRÊN CÁC KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH có tính chất 5 Hơn nữa, nếu một modunΦlà một tăng trưởng trung bình thì nó có tính chất[5 0 ].
Giả sử Φ là một modun thỏa mãn điều kiện [5 0], Φ định nghĩa một topo trên E sao cho phép cộng và phép nhân vô hướng liên tục (nói cách khác, topo này là tuyến tính) nhưng không nhất thiết là Hausdorff Topo này được xác định bởi tính chất: dãy x_n ⊂ E hội tụ tới 0 trong topo này khi và chỉ khi Φ(x_n) → 0 (và có thể được cho bởi một giả metric không phân biệt các điểm) Một cách tổng quát, ta viết x_n ⇒_Φ x_0 nếu n → ∞ và lim Φ(x_n − x_0) = 0 Với một modun Φ trên E và δ > 0, ta định nghĩa δ_{Φ,δ}(x) = δ(x) := inf { s > 0 : Φ(x / s) ≤ δ }.
Trong khuôn khổ này, δ được xem như một modun mới trên E và δ thuần nhất, tức δ(t x) = |t| δ(x) với mọi t ∈ R và x ∈ E Nếu Φ thỏa điều kiện 5, với mọi dãy x_n hội tụ tới Φ x0, ta có liminf n→∞ δΦ(x_n) ≥ δΦ(x0), và nếu x_n hội tụ tới Φ0 thì δΦ(x_n) → 0 Đối với modun tổng quát, điều ngược lại không đúng; tuy nhiên nó đúng với các modun Φ thỏa mãn điều kiện sau:
7 Tồn tại hằng số dương C, C 1 và C 2 sao cho với mỗi x ∈ E , ta có:
Thật vậy, ta có thể dễ dàng thấy rằng nếu điều kiện trên thỏa mãn thì với mỗi x ∈ E , có
Lọc và thời điểm dừng
với A = C δ logC /C 1 , r = logC /C 1 , B = C δ logC /C 2 và s = logC/C 2 Bên cạnh tính chất 5, modunΦthỏa mãn tính chất sau:
8 Với bất kỳ x ∈ E, x 6= 0, hàmΦ(t x)là hàm tăng trên t ∈ R + thì x n − → Φ x 0 suy ra δ Φ (x n ) → δ Φ (x 0 ).
1.4 Lọc và thời điểm dừng
Cho( Ω ,F , P ) là một không gian xác suất và cho I là một trong những tập sau: R + , N , [0, t ∞ ] với t ∞ > 0hoặc{1, , n}với n ∈ N
Một họF t , t ∈ I của σ - trường con củaFđược gọi là lọc nếu với mỗi t , s ∈ I sao cho t < s , ta cóF t ⊂F s Một ánh xạ τ : Ω → I S
+∞được gọi là một thời điểm dừng nếu với mỗi t ∈ I , ta có{ τ > t} ∈
F t (và khi đó{τ ≥ t } ∈F t cũng đúng) Nếu I = N thì τ là một thời điểm dừng khi và chỉ khi với mỗi n ∈ N , ta có{ τ = n} ∈F n Hơn nữa, trong trường hợp này{ τ ≥ n} ∈F n−1
Martingale giá trị thực
Trong không gian xác suất (Ω, A, P), với F ⊂ A là một σ-trường con và X là một biến ngẫu nhiên, ta nói X tương thích với F nếu X là F-đo được Điều này có nghĩa là với mọi tập B thuộc họ tập giá trị của X (ví dụ các tập Borel của R), X^{-1}(B) ∈ F Khi X tương thích với F, X có thể xem như một biến ngẫu nhiên đo được bằng F và phụ thuộc hoàn toàn vào thông tin do F cung cấp.
Kí hiệu σ (X ) = X −1 (B ) , trong đóBlà σ - trường Borel củaR Rõ ràng, X ∈Fkhi và chỉ khi σ(X ) ⊂F
Cho trước dãy ngẫu nhiên X = {X n , n ∈ N } Kí hiệu σ ({X n , n ∈ N })là σ - trường con bé nhất
Cho dãy σ - trường con{F n , n ∈ N}củaA Dãy này được gọi làkhông giảm,nếu
Ví dụ, {σ ≤ n, m ∈ ℕ} là một họ sigma không giảm Ta lưu ý rằng σ ≤ n bao gồm các biến cố quan sát được tính đến thời điểm n Định nghĩa 1.5.1: Với các ký hiệu như trên, ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên X = {X_n, F_n, n ∈ ℕ} là một dãy tương thích, nếu X_n ∈ F_n với mỗi n ∈ ℕ.
Ta nói rằng V = {V n ,F n−1 , n ∈ N ,F−1 =F0 } là dãy dự báo được, nếu V n ∈F n−1 với mỗi n ∈ N
Thời điểm Markov và thời điểm dừng
Từ nay về sau ta luôn giữ các giả thiết sau:
Trong lý thuyết xác suất, không gian xác suất (Ω, A, P) được gọi là đầy đủ khi mọi tập con của một tập có xác suất bằng 0 đều thuộc A Tập O được gọi là có xác suất 0 nếu tồn tại A ∈ A sao cho P(A) = 0 và O ⊆ A Khi điều kiện này đúng với mọi tập O như trên, ta nói (Ω, A, P) là không gian xác suất đầy đủ, tức là mọi tập con của mọi tập có xác suất bằng 0 đều nằm trong A và có xác suất bằng 0.
• {F n , n ∈ N }là dãy các σ - trường không giảm Kí hiệu
1.5 Martingale giá trị thực là σ-trường nhỏ nhất chứa tất cả các F_n, n ∈ N Định nghĩa 1.5.2: Giả sử τ : Ω → N ∪ {∞} là một biến ngẫu nhiên (có thể lấy giá trị ∞) Ta nói τ là thời điểm Markov đối với {F_n, n ∈ N} nếu τ thỏa mãn điều kiện của một thời điểm Markov với hệ {F_n, n ∈ N}. -**Support Pollinations.AI:** -🌸 **Ad** 🌸Powered by Pollinations.AI free text APIs [Support our mission](https://pollinations.ai/redirect/kofi) to keep AI accessible for everyone.
Nếu thêm vào đó P (τ < ∞) = 1 , thì τ được gọi là thời điểm dừng.
Các định nghĩa dưới đây có hiệu lực khi thay tập số nguyên không âm N = {0, 1, } bằng tập hữu hạn {0, 1, , N}, N ∈ N Định nghĩa 1.5.3 Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất Dãy X = {X_n, F_n, n ∈ N} được gọi là một quá trình ngẫu nhiên (hay chuỗi biến ngẫu nhiên) được xác định trên không gian xác suất này.
• martingale trên (đối với {F n , n ∈ N} ), nếu:
• martingale dưới (đối với {F n , n ∈ N } ), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và (iii’) Với m ≤ n và m, n ∈ N
• martingale (đối với {F n , n ∈ N} ), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và(iii”) Với m ≤ n và m, n ∈ N
Các bất đẳng thức cơ bản
• martingale ngược (đối với {F n , n ∈ N } ), nếu các điều kiện (i), (ii) được thực hiện, và (iii”’) Với m ≥ n và m, n ∈ N
Từ đó suy ra {X n ,F n , 0 ≤ n ≤ N} là martingale ngược khi và chỉ khi {X N −n ,F N −n , 0 ≤ n ≤ N} là martingale.
1.6 Các bất đẳng thức cơ bản Định lý 1.6.1 Nếu {X n ,F n , n = 0, 1, , N} là martingale dưới, thì với mọi λ ∈ R (với λ > 0 ), λP ( max
0≤n≤N X n ≤ −λ )]. Định lý 1.6.2 ( Bất đẳng thức Kolmogorov ) Nếu {X n ,F n , n = 0, 1, , N} là martingale với
0 ≤ n ≤ N | X n | > λ) ≤ E | X N | p Định lý 1.6.3 ( Bất đẳng thức Doob ) Nếu {X n ,F n , n = 0, 1, ,N } là martingale dưới không âm với E | X n | p < ∞, n = 0, ,N , 1 < p < ∞ , thì
0 ≤ n ≤ N |X n ||| 1 ≤ e e − 1 {1 + ||X N l n + X N || 1 }. Định lý 1.6.4 ( Bất đẳng thức cắt ngang ) Nếu {X n ,F n , n = 0, 1, , N} là martingale dưới,
Một số kết quả của martingale thực
Trong phần tiếp theo, tác giả giới thiệu hai bất đẳng thức sẽ được áp dụng trong các chương sau: bất đẳng thức đuôi và bất đẳng thức Paley-Zygmund, hai công cụ toán học quan trọng giúp phân tích xác suất và đặc tính của phân phối, tạo nền tảng cho các lý luận và kết quả ở các chương kế tiếp.
Mệnh đề 1.6.1 ( Bất đẳng thức đuôi ) Cho ξ i , i = 0, 1, 2, là một dãy các biến ngẫu nhiên không âm và α i , i = 0, 1, 2, là một dãy các số không âm Nếu với mỗi t ∈ R +
X ∞ i = 1 α i P (ξ i > t) ≤ α 0 P (ξ 0 > t) (1.10) thì với bất kỳ hàm không giảm ϕ : R + → R + với ϕ (0) = 0
Bổ đề 1.6.5 ( Bất đẳng thức Paley-Zygmund ) Nếu ξ là một biến ngẫu nhiên không âm với E ξ 2 < ∞ thì với bất kỳ 0 < λ < 1, ta có:
1.7 Một số kết quả của martingale thực
Phần này trình bày một số định lý về sự hội tụ của martingale thực và một số kết quả liên quan Định lý Doob (Định lý 1.7.1) khẳng định rằng nếu {X_n, F_n, n ∈ N} là một martingale và sup_n E|X_n| < ∞ (L1-bị chặn), thì tồn tại X ∈ L1 sao cho X_n → X gần như chắc chắn và X_n → X trong L1; đồng thời E[X] = E[X_0] Nhờ tính chất L1-bị chặn, sự hội tụ này cho phép mô tả hành vi dài hạn của chuỗi martingale và đưa ra các giới hạn liên quan đến các giá trị kỳ vọng tuyệt đối Các kết quả khác liên quan đến hội tụ của martingale thực mở rộng và bổ sung những điều kiện trên, phục vụ cho phân tích xác suất và quá trình ngẫu nhiên trong các bài toán thời gian rời rạc hoặc liên tục.
E | X n | < ∞ , thì dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X ∞ nào đó với
1.7 MỘT SỐ KẾT QUẢ CỦA MARTINGALE THỰC
Hệ quả 1.7.2 Nếu {X n ,F n , n ∈ N } là martingale dưới không dương (hoặc martingale trên không âm), thì dãy (X n ) hội tụ hầu chắc chắn tới biến ngẫu nhiên X ∞
Hệ quả 1.7.3 Giả sử {X n ,F n , n ∈ N} là martingale dưới không dương (hoặc martingale trên không âm) Khi đó, dãy X = {X n ,F n , n ∈ N } , với
F n ) lập thành martingale dưới không dương (martingale trên không âm).
Hệ quả 1.7.4 Giả sử (X n ) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và (S n ) là dãy các tổng riêng của nó:
Khi đó, các điều khẳng định sau là tương đương:
(i) (S n ) hội tụ hầu chắc chắn;
(ii) (S n ) hội tụ theo xác suất;
(iii) (S_n) hội tụ theo phân phối Định lý 1.7.5 (Định lý hội tụ trong L_p) cho 1 s) (2.1) Đặc biệt, nếumax 1≤i ≤n P ( || S i || > 3 t ) < 1 3 thì
3 ), được chứng minh từ phần đầu của định lý.
Trong trường hợp khimax 1 ≤ i ≤ n P ( || S i || > 3 t ) ≥ 1 3 thì công thức trên hiển nhiên đúng. Để chứng minh ý thứ 2 của định lý, ta kí hiệu:
2.1 BẤT ĐẲNG THỨC LEVY - OCTAVIANI
Vì X 1 , , X n ở đây được giả sử là đối xứng và độc lập, hai xác suất cuối ở trên là bằng nhau Do đó P (A i ) ≤ 2P (A i ∩ {||S n || > t})và một tổng với i = 1, n cho ta:
Chú ý.Ước lượng (2.1) cũng cho rằng với mỗi s , t > 0ta có
Ngoài các thông tin về xác suất phần dư của cực đại các tổng, chúng ta cũng cần ước lượng xác suất phần dư của cực đại các dãy ||X_i||, i = 1, , n Những ước lượng này giúp hoàn thiện phân tích và cung cấp cái nhìn toàn diện về phân phối phần dư ở cả mức tổng và từng dãy, từ đó phục vụ cho các mục tiêu so sánh và dự báo liên quan đến hệ thống.
Mệnh đề 2.1.2 Nếu X 1 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có các giá trị trên F thì với mỗi s , t ≥ 0 , ta có:
P (S ∗ n ≤ s ) , và ngoài ra nếu X 1 , , X n đối xứng thì
Chứng minh Phương pháp của chứng minh này tương tự với mệnh đề2.1.1 Với t, s ≥ 0 cố định và i = 1, n , ta kí hiệu
2.1 BẤT ĐẲNG THỨC LEVY - OCTAVIANI
Khi đó, với i 6= j , B i ∩ B j =∅,∪ n i = 1 B i = {X n ∗ > t + s }và B i độc lập với X 1 , , X i −1 Vì với mỗi i = 1,n
Cực tiểu ở trên là lớn hơn hoặc bằng P (S ∗ n ≤ s), do đó phần đầu tiên của mệnh đề thỏa mãn Trong trường hợp đối xứng, ta kí hiệu
Khi đó, với mỗi i = 1, n , ta có:
Trong trường hợp này, các biến X1, …, Xn được giả sử độc lập và đối xứng nên hai xác suất cuối cùng được nêu ở trên là bằng nhau Do đó P(Bi) ≤ 2 P(Bi ∩ {||Sn|| > t}) Sau khi cộng tất cả các giá trị theo i từ 1 đến n, ta thu được bất đẳng thức thứ hai của mệnh đề.
Kết quả dưới đây so sánh các momen của tổng S n với các momen của cực đại S n ∗ và
X n ∗ là một hệ quả trực tiếp của hai mệnh đề trên và mệnh đề1.6.1
Hệ quả 2.1.1 Nếu X 1 , , X n là biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng có giá trị trên F và ϕ : R + → R + là một hàm không giảm thì
Bất đẳng thức co
Bất đẳng thức co thực hiện các so sánh giữa các đuôi (và các momen) của các tổng
P n i =1 X i và các đuôi (các momen) của các phép biến đổi P n i =1 ξ i X i , trong các trường hợp dãy hệ số ξ 1 , ,ξ n phải chịu một ràng buộc bị chặn nhất định.
Mệnh đề 2.2.1 Cho X 1 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng có các giá trị trên F Khi đó, với mỗi dãy α 1 , ,α n ∈ R và bất kỳ t > 0 , ta có
Chứng minh Khụng mất tớnh tổng quỏt, ta giả sử rằng1 = α 1 ≥ α 2 ≥ ã ã ã ≥ α n ≥ 0 Khi đú, ta có thể viết
Do đó, theo mệnh đề2.1.1ta thu được bất đẳng thức thỏa mãn.
Hệ quả 2.2.1 xem xét X1, , Xn là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập, đối xứng có giá trị trên F, và ξ1, , ξn là một dãy biến ngẫu nhiên thực sao cho |ξi| ≤ 1 với mọi i và sao cho dãy ξ1 X1, , ξn Xn cũng là các biến ngẫu nhiên độc lập, đối xứng có giá trị trên F Dựa trên các điều kiện này, hệ quả cho thấy sự bảo toàn tính độc lập và đối xứng của các biến khi nhân Xi với các hệ số ξi và từ đó cho phép rút ra các giới hạn, bất đẳng thức hoặc các đặc tính phân phối liên quan đến các đại lượng như tổng Σ ξi Xi hoặc các đại lượng liên quan đến X.
2 Với bất kỳ hàm không giảm ϕ : R + → R + , ta có
3 Với bất kỳ hàm không giảm và lồi ϕ : R + → R + , ta có
Chứng minh: Giả sử ε_i là một dãy ngẫu nhiên Bernoulli độc lập với dãy ξ_i X_i và với dãy X_i Theo giả thiết, dãy ξ_i X_i và dãy ξ_i X_i ε_i có cùng phân phối; từ đó dãy X_i và dãy ε_i X_i cũng có cùng phân phối.
Do đó, ta có thể viết
Tiếp theo, áp dụng điều kiện của mệnh đề2.2.1, cho α i : = ξ i ( ω ), X i : = ε i X i ( ω )và sau đó kết hợp với P (sω)ta có:
2 Chứng minh 2) là một hệ quả trực tiếp của 1) và mệnh đề1.6.1.
3 Đưa dãy Beroulli(ε i )vào và tiến hành một cách chính xác như trong chứng minh
1), ta chỉ ra rằng( ε i )thỏa mãn 3) chỉ trong trường hợp( ξ i )là các đại lượng vô hướng không ngẫu nhiên.
Trong trường hợp cụ thể này, chứng minh này được hoàn thành bằng cách quy nạp trên n và áp dụng của bất đẳng thức dưới đây.
Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng có giá trị trên F và α ∈ R ,
|| X + Y || ´.Bất đẳng thức sau là một hệ quả trực tiếp, theo tính lồi của chuẩn và của ϕ và của
Bất đẳng thức Moment
Ban đầu, các bất đẳng thức của phần này có vẻ khó áp dụng Tuy nhiên, khi phân tích kỹ hơn, các nhà khoa học đã chứng minh chúng vô cùng hiệu quả, đặc biệt trong những trường hợp mà cực đại S*_n của các tổng phải được so sánh với cực đại X*_n của các số hạng.
Chúng ta sẽ liên tục sử dụng những bất đẳng thức này cho những phần sau Chúng ta nhắc lại kí hiệu
Mệnh đề 2.3.1 Nếu X 1 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F thì với bất kỳ s, t, u ≥ 0 , ta có
Ngoài ra nếu X 1 , , X n là đối xứng thì
Chứng minh Với i = 1, ,n , ta định nghĩa A i = {||S j || ≤ t , ∀j < i , ||S i || > t }. Khi đó: A 1 , , A n là đôi một rời nhau và∪ n i=1 A i = {S ∗ n > t }.
2.3 BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT và theo tính độc lập của A i và{max i s }với mỗi i = 1, n , ta có:
Lấy tổng với i = 1, ,n và đưa vào đánh giá ở trên, ta có bất đẳng thức
Mệnh đề được chứng minh một cách dễ dàng bằng cách chú ý tới số hạng cuối cùng luôn được ước lượng ở phía trên bởi xác suất P(S_n > s); trong trường hợp X_1, , X_n đối xứng, số hạng cuối cùng này được ước lượng bằng 2P( ||S_n|| > s ), theo mệnh đề 2.1.1.
Mệnh đề 2.3.2 Cho p > 0 Nếu X 1 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F thì với mọi t ≥ 0
3 −p − P (S ∗ ∗ n > t) , trong đó vế phải luôn dương.
Chứng minh Thay s = t = u trong mệnh đề2.3.1, ta thu được
Vì với biến ngẫu nhiên không âm ξ ,
2.3 BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT ta thu được, với bất kì t ≥ 0,
= E (X n ∗ ) p + E (S ∗ n ) p P (S ∗ ∗n > t ) + t p , và mệnh đề được chứng minh xong.
Chú ý: Khi X1, X2, , Xn là đối xứng và độc lập, việc áp dụng phần thứ hai của mệnh đề 2.3.1 và làm theo các bước đã nêu ở trên sẽ cho ta kết quả sau đây cho mọi giá trị của t ≥ 0.
3 −p − 2P ( || S n || > t ) , trong đó vế phải luôn dương.
Mệnh đề 2.3.3 Nếu X 1 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F thì với bất kì t ≥ 0 , ta có n
(2.3) và do1 − e −x ≥ xe −x với x ∈ R , ta có
Một lần nữa, theo công thức (2.3) số hạng cuối cùng được ước lượng bằng1 − P (X n ∗ > t),
2.3 BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT mệnh đề được chứng minh.
Các bất đẳng thức đuôi cho các tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên Beroulli và Gaussian
Các bất đẳng thức của định lý2.3.1có thể được cải thiện một cách đáng kể trong trường hợp đặc biệt của các chuỗi Beroulli trong F
Mệnh đề 2.3.4 Cho ε 1 , , ε n là một dãy Beroulli, cho x 1 , , x n ∈ F và cho S n = P n i = 1 x i ε i Khi đó, với bất kì s, t >0, ta có
Chứng minh Nếu A k kí hiệu cho cùng một biến cố như trong chứng minh của mệnh đề 2.3.1thì
Lúc này, một quan sát cốt yếu là với mỗi i = 1, ,n , các biến cố A i và {max 1 ≤ i < j || S j −
S i−1 || > s }là độc lập Dễ thấy rằng, A i ∈ σ(ε 1 , ,ε n )và
1 < j ≤ n || S j − S i −1 || > s} ∈ σ ( ε i ε i+1 , ε i ε i+2 , , ε i ε n ), bởi vì với mỗi i < j, ta có
Hơn nữa, nó là một tính chất rõ ràng của dãy Beroulli ε 1 , ε 2 , ,mà ε 1 , , ε i , ε i ε i+1 , ε i ε i+2 , , ε i ε n là một dãy Beroulli khác Phần còn lại của chứng minh này theo chứng minh của mệnh đề2.3.1.
Chú ý Trong trường hợp của chuỗi ngẫu nhiên Gaussian, một sự tương tự của bất đẳng thức thứ hai trong mệnh đề2.3.4cũng có thể thu được (với một hằng số tốt hơn).
2.3 BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT thì với bất kì s, t > 0
Sự hội tụ và các nguyên lí trội của chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập
Trong chương này, ta giả sử X1, X2, … là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị thuộc không gian F Không gian F được giả sử là một không gian Banach khả ly hoặc ít nhất là một không gian metric tuyến tính khả ly.
Trước khi bắt đầu ta sẽ nhắc lại về mặt định nghĩa và quy ước đã đề cập phía trên:
∥ X i ∥ và nếu chuỗi P n i = 1 X i hội tụ hầu chắc chắn thì S sẽ được kí hiệu cho tổng của nó, đồng thời
Với mọi n thỏa 1 ≤ n < ∞, ∥S_n∥ được xem như tham số chuẩn Như vậy, các bất đẳng thức cơ bản của hai chương đầu tiên, thông qua một phép biến đổi đơn giản sang giới hạn, sẽ bảo toàn tính hội tụ của các chuỗi vô hạn Trong khuôn khổ này, S_n được thay thế bởi S, X_n* thay bằng X*, và S*_n thay bằng S*.
Định lý Ito-Nisio
Giả sử có một chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên một không gian Banach khả ly F Định lý 3.1.1 cho biết khi X1, X2, … là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trong không gian Banach khả ly F, thì ba điều kiện sau đây là tương đương với nhau và mô tả các kiểu hội tụ liên quan đến dãy này.
(i) P ∞ i = 1 X i hội tụ hầu chắc chắc;
(ii) P ∞ i = 1 X i hội tụ theo xác suất;
(iii) Các phân phốiL (S n ), n = 1, 2, , hội tụ yếu.
Ngoài ra, nếu X 1 , X 2 , đối xứng, thì các điều kiện (i)-(iii) tương đương với ba điều kiện dưới đây:
(iv) Dãy các phân phối (L (S n )) là compact tương đối.
(v) Tồn tại một biến ngẫu nhiên S có giá trị trên F , và một họ D ⊂ F 0 các điểm khả ly của F sao cho với mỗi x 0 ∈ D , chuỗi P ∞ i =1 x 0 (X i ) hội tụ hầu chắc chắn tới x 0 (S) ;
Có tồn tại một đo xác suất trên không gian F và một họ các hàm tuyến tính D ⊂ F sao cho với mọi x0 ∈ D, dãy các giá trị x0(X1), x0(X2), … hội tụ phân phối tới x0 Điều này có nghĩa là mỗi x0 trong D xác định một giới hạn phân phối degenerate tại x0 cho chuỗi các biến ngẫu nhiên được tạo ra bằng cách áp x0 lên các nghiệm Xi Sự tồn tại của cấu trúc này cho thấy sự phối hợp giữa đo xác suất trên F và họ tuyến tính D, đảm bảo tính ổn định của chuỗi khi đánh giá bằng các hàm x0 thuộc D.
Chứng minh Rõ ràng,(i ) ⇒ (i i ) ⇒ (i i i) ⇒ (i v) và (i ) ⇒ (v ) ⇒ (vi )là hiển nhiên Từ bất đẳng thức dạng Lévy-Octavian trong Mệnh đề2.1.1ta chứng minh được ngay(i i ) ⇒ (i ).
Ta chứng minh rằng S_n hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi lim_{n>m→∞}(S_n − S_m) = 0 theo xác suất, hay tương đương với L(S_n − S_m) → δ_0 yếu khi n > m → ∞ Do đó, với mọi compact K ⊂ F, ta có P(S_n − S_m ∉ K − K) ≤ P(S_n ∉ K) + P(S_m ∉ −K) Từ bất đẳng thức này suy ra rằng dãy phân phối {L(S_n − S_m)}_{n>m} là tương đối yếu Như vậy, giới hạn của dãy phân phối L(S_n − S_m) tồn tại và liên quan tới phân phối δ_0 tại 0.
L (S n )và cho ν là giới hạn củaL (S n k − S m k )với các dãy n k > m k → ∞ Khi đó:
L (S m k ) ∗L (S n k − S m k ) → à ∗ ν yếu khi k → ∞ Mặt khác, theo tính độc lập của các X i ,
L (S m k ) ∗L (S n k − S m k ) =L (S n k ) → à , khi k → ∞ Do đú, à ∗ ν = à suy ra ν = δ 0và ta thu được (i i i ) ⇒ (i i ).
Ta chứng minh rằng nếu tồn tại một dãy n_k → ∞ sao cho các phân phối L(S_{n_k}) hội tụ yếu, thì dãy S_{n_k} hội tụ theo xác suất Do lập luận trước đó, ta có S_{n_k} hội tụ theo xác suất; do đó, theo Mệnh đề 2.1.1, dãy S_n hội tụ theo xác suất.
Ta chứng minh (v) ⇒ (i v) Đầu tiên, theo giả thiết của (v), ta sẽ chứng minh rằng với mỗi n = 1, 2, , các biến ngẫu nhiên S_n và S − S_n độc lập Thật vậy, với mỗi x_0 ∈ D, biến ngẫu nhiên S − S_n là vô hướng đo được đối với σ(X_{n+1}, X_{n+2}, ), và vì D là một tập toàn phần trong F_0, nên S − S_n cũng là đo được mạnh đối với σ-trường đó Bây giờ, với ε > 0 cho trước, K là một tập con lồi, compact của F với P(S ∈ K) ≥ 1 − ε, và
VìL (S) =L (2S n − S)theo tính đối xứng, ta thu được P (S n ∉ K ) ≤ 2P (S ∉ K ) ≤ 2 ε Do đó, dãy (L (S n ))là compac tương đối yếu.
Kế tiếp ta chứng minh(i v ) ⇒ (v ) Cho x 0 1 , x 2 0 , ã ã ã ∈ D 0 là một dóy cỏc phiếm hàm khả ly cỏc điểm của F Một dãy như vậy tồn tại theo tính chất khả ly của F
Giả thiết cho mỗi k = 1, 2, , rằng chuỗi ∏_{i=1}^{∞} x_k^0 (X_i) hội tụ theo phân phối tới x_k^0; do đó, chuỗi ∏_{i=1}^{∞} x_k^0 (X_i) hầu chắc hội tụ tới một biến ngẫu nhiên ξ_k Cho một dãy α_1, α_2, , là các số dương sao cho lim_{k→∞} α_k ξ_k = 0 hầu chắc và lim_{k→∞} α_k ∥ x_k^0 ∥ = 0 Bất đẳng thức đầu tiên cho thấy Z = (α_k ξ_k)_{k≥1} là một biến ngẫu nhiên có giá trị nằm trong c_0, không gian Banach của mọi dãy thực hội tụ tới 0 Bất đẳng thức thứ hai suy ra rằng toán tử T: F → c_0 được định nghĩa bởi T x = (α_k x_k)_{k≥1}.
Sự hội tụ theo trung bình cấp p
T là một toán tử một-đến-một Một phân phối của Z tương tự như một phân phối của T Để thấy điều này, hãy lưu ý rằng nếu b0 = (β1, β2, , βm, 0, 0, ) ∈ c0 là một phiếm hàm phản ánh trên c0 được cho bởi b0(a) = ∑_{i=1}^∞ β_i α_i với a = (α1, α2, ) ∈ c0, thì phân phối của b0(Z) bằng b0(T(a)), bởi vì b0(Z) = m.
(X i ) và theo giả thiết, phân phối của chuỗi này trùng nhau với phân phối của ³ X m k=1 β k α k x k 0 ´
Vỡ cỏc phiếm hàm b 0 của dóy trờn là trự mật trong c 0 0 , ta thu đượcL (Z ) = T ( à ) Độ đo ảnh
Được định nghĩa trên một tập con Borel của C0 từ T(F) bằng cách ghép lại một tập hợp đếm được các tập compact Kn ⊂ F, với n = 1, 2, … sao cho T được xác định trên ∪_{n=1}^∞ T(Kn) và ∪_{n=1}^∞ T(Kn) là một tập con Borel của C0, vì mọi T(Kn) đều là compact trong C0 Do đó, Z ∈ T(F) hầu như chắc chắn.
S = T^{-1}Z là một hàm xác định trên Ω và đồng thời là một biến ngẫu nhiên có giá trị nằm trong σ-đại số F Vì với mỗi k = 1, 2, …, x_k^0(S) = ξ_k là một biến ngẫu nhiên và dãy x_1^0, x_2^0, … cùng với σ- trường Borel trên F xác định được mối quan hệ giữa S và các biến ngẫu nhiên ξ_k.
Vì vậy, với mỗi k = 1, 2, , dãy x 0 k (S k ) → ξ k = x 0 k (S)hầu chắc chắn khi k → ∞, ta suy ra được (v) theo sự tương đương của(i ) ⇔ (v ).
3.2 Sự hội tụ theo trung bình cấp p
Trong thực tế, ta thường thấy rằng dễ dàng khảo sát sự hội tụ theo trung bình cấp p hơn là hội tụ hầu chắc chắn Hơn nữa, trong nhiều trường hợp sự hội tụ theo trung bình cấp p có vai trò quan trọng để có thông tin về các moment của chuỗi các biến ngẫu nhiên độc lập trên không gian F (được giả sử trong phần này là một không gian Banach khả ly) Định lý 3.2.1 Cho p > 0 và cho X1, X2, là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F Nếu chuỗi ∑_{i=1}^∞ X_i hội tụ hầu chắc tới S thì các điều kiện dưới đây là tương đương:
3.2 SỰ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CẤP P
(iv) E || S || p < ∞ Ngoài ra, nếu một trong các điều kiện (i) - (iv) ở trên được thỏa mãn thì n→∞ lim E || S n − S || p = 0
Chứng minh (i ) ⇒ (i i ) Từ bất đẳng thức2S ∗ ≥ X ∗ ta chứng minh được điều này.
Điều suy ra này đúng bởi vì tổng vô hạn các X_i hội tụ hầu chắc chắn, và do đó với a cho trước thoả mãn a < 1 ta có thể chọn t đủ lớn sao cho P(S* > t) < 3 − p a theo mệnh đề 2.3.1; cùng với một chú ý mở của chương này, kết quả cho thấy cách xác định ngưỡng và điều kiện hội tụ liên quan đến bài toán đã trình bày.
(i i i ) ⇒ (i i ) Suy ra được từ bất đẳng thức hiển nhiên sau đây
||X i || p I {||X i ||>t } , (3.2) đúng với mọi t ≥ 0 (i i ) ⇒ (i i i ) Cho a > 0và cho t sao cho P (X ∗ > t ) ≤ a < 1 Khi đó theo mệnh đề2.3.1, với s > t ,
P(||X i || > s ) Theo mệnh đề1.6.1, ta có
1 − a E(X ∗ ) p I {X ∗ > t} (3.3) Suy ra rằng(i i i)thỏa mãn với t = t 0 > 0. Để chứng minh rằng bất đẳng thức trên cũng suy ra(i i i )đúng với bất kì t < t 0, (trường
3.2 SỰ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CẤP P hợp t > t 0 là hiển nhiên), thấy rằng trong trường hợp đó
Ta chứng minh rằng (iii) được thỏa mãn với bất kì t > 0 bởi vì hiển nhiên rằng, theo bổ đề Borel-Cantelli
(i ) ⇒ (i v )là hiển nhiên (i v ) ⇒ (i )từ Bất đẳng thức (2.1), bởi vì với a > 0cho trước và t đủ lớn để thỏa mãn P (S ∗ > t
Một lần nữa theo mệnh đề1.6.1ta có
Ta chứng minh được định lý từ định lý Lebesgue, ta có E(S ∗ ) p < ∞và từ bất đẳng thức
Từ định lý3.2.1và từ bổ đề Borel-Cantelli ta có: nếu tồn tại hằng số K , a > 0sao cho với mỗi i = 1, 2,
Giả sử tồn tại hằng K và điều kiện E[||X_i||^p 1_{||X_i||>a}] ≤ K P(||X_i||>a) cho mọi i và mọi a > 0 Điều kiện này đảm bảo sự hội tụ hầu như chắc chắn của chuỗi ∑_{i=1}^∞ X_i kéo theo sự hội tụ của nó theo trung bình cấp p (trong L^p) Điều kiện trên tự động được thỏa mãn nếu các X_i bị chặn, tức là ||X_i|| ≤ M almost surely Đặc biệt, ta có điều sau:
Trong Hệ quả 3.2.2, cho p > 0 và X1, X2, … là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập trên F, chuỗi tích vô hạn ∏_{i=1}^∞ X_i hội tụ hầu chắc chắn nếu và chỉ nếu với một giá trị a > 0 (hoặc tương đương với mọi a > 0) hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: (i) điều kiện liên quan đến phân bố của các biến X_i nhằm kiểm soát nhịp độ dao động của chúng, và (ii) điều kiện liên quan đến tổng của các biến log X_i (hoặc các biến phù hợp khác) để đảm bảo tổng này hội tụ và chuỗi tích có giới hạn hữu Khi hai điều kiện này được thỏa mãn, chuỗi tích vô hạn có giới hạn hữu và hội tụ hầu chắc đến một giá trị xác định.
3.2 SỰ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CẤP P
(i i ) P ∞ i =1 X i I { || X i ||≤ a} hội thụ theo trung bình cấp p
Chứng minh: Nếu chuỗi ∑_{i=1}^∞ X_i hội tụ hầu chắc, theo bổ đề Borel–Cantelli ta có rằng chuỗi (X_i) cũng hội tụ hầu chắc Do đó, chuỗi tổng ∑_{k=1}^n X_k hội tụ hầu chắc và theo định lý 3.2.1 (i i i) ⇒ (i v), chuỗi ∑_{k=1}^n X_k cũng hội tụ theo chuẩn trung bình cấp p, trong đó ∥ X_i I{||X_i|| ≤ a} ∥ ≤ a với mọi i = 1, 2, …
Trong trường hợp (ii) được thỏa mãn, theo định lý Nito–Nisio, chuỗi (ii) sẽ hội tụ hầu như chắc chắn Kết hợp với điều kiện (i) và bổ đề Borel–Cantelli, chuỗi ∑_{i=1}^∞ X_i I{||X_i|| > a} cũng hội tụ hầu như chắc chắn Do đó, tổng ∑_{i=1}^∞ X_i hội tụ hầu như chắc chắn.
Trong trường hợp đặc biệt của các biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian Hilbert, hệ quả được rút ra ngay sau đây dẫn tới kết quả mang tên định lý ba chuỗi Định lý ba chuỗi là khái niệm quan trọng trong xác suất, mô tả mối liên hệ giữa phân phối, kỳ vọng và biến thiên của các biến ngẫu nhiên khi xem xét tổng và sự hội tụ của chúng trong không gian Hilbert Việc áp dụng định lý này cho các biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian Hilbert giúp làm rõ điều kiện và đặc trưng của sự hội tụ của các chuỗi tổng, đồng thời cung cấp công cụ hữu ích cho phân tích ngẫu nhiên và các ứng dụng toán học.
Hệ quả 3.2.3: Cho X1, X2, … là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên không gian Hilbert H Chuỗi tổng ∑_{i=1}^∞ X_i hầu như chắc chắn hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại một a > 0 sao cho ba chuỗi sau đây hội tụ: (1) ∑_{i=1}^∞ P( ||X_i|| > a ) < ∞; (2) ∑_{i=1}^∞ E[ X_i 1_{||X_i|| ≤ a} ] hội tụ trong H; (3) ∑_{i=1}^∞ Var( X_i 1_{||X_i|| ≤ a} ) < ∞.
Trong lý thuyết xác suất, các bất đẳng thức áp dụng cho tổng các biến ngẫu nhiên độc lập đối xứng cho thấy các biểu thức thường đơn giản hơn so với các trường hợp không đối xứng Sự đơn giản hóa này giúp hiểu rõ định lý ba chuỗi ở trường hợp đối xứng, vì các điều kiện và kết quả liên quan trở nên trực quan và dễ áp dụng hơn Việc phân tích các biểu thức trong các bất đẳng thức cho tổng các biến ngẫu nhiên độc lập đối xứng cho phép rút ngắn quá trình chứng minh và tăng tính rõ ràng của các giới hạn hội tụ Chính vì thế, các biểu thức này trở thành công cụ hữu ích để nắm bắt và áp dụng định lý ba chuỗi trong các bài toán về hội tụ và phân phối của chuỗi ngẫu nhiên.
Hệ quả 3.2.4 Cho X 1 , X 2 , là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập trong F Khi đó, chuỗi
P ∞ i = 1 X i hội tụ hầu chắc chắn khi và chỉ khi 3 điều sau được thỏa mãn (i) P ∞ i =1 P (||X i || > 1) < ∞
(ii) P ∞ i = 1 E X i I {||X i ||≤1} hội tụ trên F , và (iii) Chuỗi P ∞ i=1 Y i , trong đó Y i là một đối xứng của X i I {|| X i ||≤1} hội tụ hầu chắc chắn.
Chứng minh: Theo hệ quả 3.2.2, ta có đủ để chứng minh rằng chuỗi ∑_{i=1}^{∞} X_i I_{||X_i|| ≤ 1} hội tụ theo trung bình cấp 1 khi và chỉ khi các điều kiện (ii) và (iii) thỏa mãn Sự hội tụ theo trung bình cấp 1 hiển nhiên suy ra điều kiện (ii) và nó cũng suy ra điều kiện (iii) theo định lý Ito–Nisio.
3.2 SỰ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH CẤP P
Ngược lại, theo hệ quả3.2.3, chuỗi P ∞ i=1 Y i hội tụ theo trung bình cấp 1 Do đó,
X i I { || X i ||≤ 1} − E X i I { || X i ||≤ 1} ´ cũng hội tụ theo trung bình cấp 1 Vì theo (ii) ta có chuỗi P ∞ i =1 E X i I {|| X i ||≤1}hội tụ trên F , chuỗi P ∞ i = 1 X i I {||X i ||≤1} hội tụ theo trung bình cấp 1.
Một hệ quả đơn giản khác của định lý3.2.1và của chú ý sau đó là
Hệ quả 3.2.5 Cho p > 0 Nếu ξ 1 , ξ 2 , là các biến ngẫu nhiên thực độc lập sao cho với các α , β , λ > 0 , P ( |ξ i | > α ) ≥ β và
Đẳng thức (3.4) cho thấy E(|ξ_i|^p I{|ξ_i|>t}) ≤ λ t^p P(|ξ_i|>t) với mọi t > α và mọi i = 1, 2, …, cho thấy phần lớn của moments được kiểm soát bởi xác suất của sự kiện |ξ_i| > t Từ đó với mỗi dãy x_1, x_2, …, x_m ∈ F, chuỗi ∑_{i=1}^∞ x_i ξ_i hội tụ hầu chắc chắn khi và chỉ khi nó hội tụ theo trung bình cấp p Điều này có nghĩa là sự hội tụ của chuỗi phụ thuộc vào sự hội tụ của các phần tử ξ_i ở mức p và vào cách chọn hệ số x_i Hơn nữa, với mỗi q < p, tồn tại một hằng κ > 0 sao cho một bất đẳng thức điều hòa liên quan đến các phần tử của chuỗi được đảm bảo.
Chứng minh Nếu chuỗi P ∞ i=1 x i ξ i hội tụ hầu chắc chắn thì P ∞ i=1 P ( || x i ξ i || > 1) < ∞ Do đó, theo giả thiết ta có rằng ||x 1 i || > α với i đủ lớn Với các i như vậy, ta có
|| x i || ), như ta đã thấy trước đó, suy ra sự hội tụ của P ∞ i = 1 x i ξ i theo trung bình cấp p Chứng minh của bất đẳng thức kết luận hệ quả3.3.3là tiêu chuẩn.
Các giả thiết của hệ quả 3.3.3 được thỏa mãn khi các biến ngẫu nhiên ξ1, ξ2, … có phân phối đồng nhất và phần dư biến đổi đều có số mũ α > p Đặc biệt, phân phối α-ổn định đối xứng thỏa mãn điều kiện 3.2 với p < α và do đó, nếu p < α và ξ1, ξ2, … là các biến ngẫu nhiên α-ổn định đối xứng độc lập, chuỗi tích vô hạn dạng ∏_{i=1}^{∞} x_i ξ_i, với x_i ∈ F, sẽ hội tụ hầu như chắc chắn khi và chỉ khi nó hội tụ theo trung bình cấp p (hội tụ trong L^p).
Moment mũ và các moment khác của chuỗi ngẫu nhiên
Trong lý thuyết xác suất, các biến ngẫu nhiên Gauss có phần dư biến đổi đều với mũ α = ∞ Với chuỗi Gauss ∑_{i=1}^∞ x_i ξ_i, sự hội tụ hầu chắc chắn của chuỗi này là tương đương với sự hội tụ theo trung bình cấp p (L^p) với bất kỳ p < ∞.
3.3 Moment mũ và các moment khác của chuỗi ngẫu nhiên
Mục tiêu chính của phần này là chỉ ra rằng, dưới các điều kiện đã biết trên modunΦ : F →
R+ và trên chuỗi S = ∑_{i=1}^∞ X_i, moment tổng quát E Φ(S) là hữu hạn và lim_{n→∞} E Φ(S − S_n) = 0 Tuy nhiên, ta sẽ bắt đầu với các kết quả về sự tồn tại của các moment mũ và trước hết giả sử rằng F là một không gian Banach khả ly Định lý 3.3.1: Cho X_1, X_2, … là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trong F Nếu chuỗi S = ∑_{i=1}^∞ X_i hội tụ hầu chắc chắn thì các điều kiện sau tương đương: (i) E exp(S^*) < ∞;
(ii) E exp ( || S || ) < ∞ ; (iii) E exp(X ∗ ) < ∞ ; (iv) P ∞ i =1 E exp( || X i || )I {||X i ||>t } < ∞ với các t > 0 (hoặc tương đương với mọi t > 0 ).
Hơn nữa, nếu một trong các điều kiện trên được thỏa mãn thì n lim →∞ E exp( ∥ S − S n ∥ ) = 1
Chứng minh của ta cho định lý ở trên dựa trên điều sau:
Bổ đề 3.3.2 Cho X 1 , X 2 , , X n là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F , và cho ϕ : R + → R + là một hàm không giảm Khi đó, với bất kì s , u ≥ 0
Chứng minh Từ bất đẳng thức (2.2), với mọi s , u, r ≥ 0,
3.3 MOMENT MŨ VÀ CÁC MOMENT KHÁC CỦA CHUỖI NGẪU NHIÊN Suy ra, với mọi s, u, t ≥ 0,
P (S ∗ n > t ) ≤ P (S ∗ n > t , X n ∗ ≥ u) + P (S ∗ ∗n > s )P (S ∗ n + u + s > t) + P (R > t). trong đó R = s hầu chắc chắn Thật vậy, nếu t − s − u < 0thì P (S ∗ n + u + s > t) = 1và với t > s ,
P (S ∗ n > t) ≤ P (S ∗ ∗n > s) Do đó, với mỗi u, s ≥ 0, ta thu được theo mệnh đề1.6.1.
Eϕ(S n ∗ ) ≤ E ϕ(S ∗ n )I {X n ∗ ≥u} + P (S ∗ ∗ n > s)Eϕ(S ∗ n + u + s) + ϕ(s ) và bổ đề được chứng minh.
Chứng minh (Chứng minh của định lý3.3.1)
Ta thấy rằng bất đẳng thức (2.1) chỉ ra rằng, với bất kì s , t ≥ 0và mỗi n = 1, 2, , ta có
Do đó, theo mệnh đề1.6.1, với ϕ như trong bổ đề3.3.2
Từ lúc này và trong suốt phần còn lại của chứng minh ta đặt ϕ (t ) = e t
P (S ∗ ∗n ≤ s ) E ϕ(||S n ||), (3.5) Với các lập luận tương tự, ta có
3.3 MOMENT MŨ VÀ CÁC MOMENT KHÁC CỦA CHUỖI NGẪU NHIÊN Theo mệnh đề 2.0.2, với bất kì s , t ≥ 0, ta cũng có
Những bất đẳng thức đã cho ngay lập tức dẫn đến các kết quả sau: từ (3.6) ta có (ii) ⇒ (i) và từ (3.7) ta có (i) ⇒ (iii); do đó (i) ⇒ (ii) là suy luận hiển nhiên Sự tương đương giữa (iii) và (v) được chứng minh theo cùng cách như sự tương đương giữa (iii) và (ii) của định lý 3.2.1, bằng việc thay thế hàm t_p bằng φ(t) Như vậy, chứng minh này đủ để kiểm tra rằng (v) ⇒ (i) theo bổ đề 3.3.2.
Eϕ(S n ∗ ) ≤ E ϕ(S ∗ n )I {X n ∗ >u} + Eϕ(s + u + S ∗ n )P (S ∗ ∗ n > s) + ϕ(s ) (3.8) Đầu tiên, ta ước lượng
Với n cố định,1 ≤ i ≤ n và cho X j 0 = X j nếu j < i ; X 0 j = X j+1 nếu i ≤ j < n ; X 0 j = X i nếu j =n và cho S 0 k = P k j =1 X 0 j ; S 0∗ k = max 1≤ j ≤ k || S 0 j ||.
Vì S ∗ n ≤ S n−1 0∗ + || X i ||và vì hai số hạng cuối cùng là độc lập nên ta có:
3.3 MOMENT MŨ VÀ CÁC MOMENT KHÁC CỦA CHUỖI NGẪU NHIÊN Đưa những đánh giá này vào bất đẳng thức của bổ đề3.3.2, ta thu được
Bất đẳng thức trên chỉ ra rằng nếu
Vì điều kiện (iv) được thỏa mãn và chuỗi P ∞ i =1 X i hội tụ hầu chắc chắn với s và u cố định, ta có thể tìm thấy n 0 sao cho
Eϕ(||X i ||)I {|| X i ||> u} ≤ ³ 5ϕ(2s ) ´ −1 Lúc này, theo (3.9) chứng minh được rằng
Bởi vì, theo (iv), với mỗi i = 1, 2, thì E ϕ ( || X i || ) < ∞. Phần cuối cùng của định lý dễ dàng suy ra được từ đánh giá trong (3.10).
Kết quả dưới đây đối với các biến ngẫu nhiên bị chặn suy ra trực tiếp từ bổ đề3.3.2.
3.3 MOMENT MŨ VÀ CÁC MOMENT KHÁC CỦA CHUỖI NGẪU NHIÊN
Hệ quả 3.3.3 xem X1, X2, … là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F và bị chặn hầu như chắc bởi một hằng số dương u, tức là |Xi| ≤ u hầu như chắc với u > 0 Nếu chuỗi tích vô hạn ∏_{i=1}^∞ Xi hội tụ hầu chắc, thì với mỗi s > 0,
Biểu thức E[exp(S*)] ≤ exp(−s) − exp(u) P(S* ≥ 2s) cho thấy một ước lượng trên kỳ vọng e^{S*} Trong phần này, ta xem xét một trường hợp tổng quát hơn: F là một không gian metric tuyến tính khả ly và một modun liên tục Φ : F → R được giả thiết có tăng trưởng mũ lớn nhất, nghĩa là tồn tại một hằng số K > 0 sao cho với mỗi x, y ∈ F, Φ(x + y) ≤ K (Φ(x) ∨ 1)(Φ(y) ∨ 1) (3.11) Thấy rằng các modun khác sao cho Φ(x) = (exp(α ||x||^p) − 1) với 0 < p ≤ 1, α > 0 hoặc Φ(x) = φ(||x||), trong đó φ : R+ → R là một hàm không giảm liên tục có tăng trưởng ôn hòa (ví dụ, φ(u) = u^p; p < ∞) thỏa mãn điều kiện (3.11).
Nếu ta định nghĩa phiếm hàm
| x |:=log + K + log + Φ(x), Khi đó ta có hai tính chất sau
Với mọi α thỏa mãn |α| ≤ 1, ta có |α x| ≤ |x| Hai tính chất này đóng vai trò là các điều kiện cần thiết trong quá trình chứng minh sự tương đương giữa các điều kiện (i)–(iv) của định lý (ngoại trừ một phần của (iv) đặt trong dấu ngoặc đơn của định lý 3.3.1) Do đó ta thu được Định lý 3.3.4 Cho X1, X2, , là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập trên trường F Nếu chuỗi
S = P ∞ i =1 X i hội tụ hầu tụ hầu chắn chắn và Φ : F → R là một modun liên tục thỏa mãn điều kiện (3.11), thì các điều kiện sau là tương đương:
Phép trội yếu
Hơn nữa, nếu một trong các điều kiện trên được thỏa mãn thì n lim →∞ E Φ (S − S n ) = 0và lim n →∞ E Φ (S n ) = Φ (S).
Chứng minh khẳng định thứ hai trong phần (iv) đòi hỏi một chứng minh dạng Borel-Cantelli bổ sung, tương tự với chứng minh đã được sử dụng trong chứng minh (ii) ⇒ (iii) của định lý 3.2.1 Việc áp dụng Borel–Cantelli ở đây giúp kiểm tra tính chất của dãy sự kiện theo đúng điều kiện cần thiết, từ đó xác nhận khẳng định ở phần (iv) Cách tiếp cận này duy trì sự nhất quán của lý thuyết và cho phép mở rộng kết quả từ định lý 3.2.1 sang trường hợp hiện tại.
Trong phần này, chúng ta trình bày các phương pháp so sánh giữa hai tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập, cụ thể P_n = ∑_{i=1}^n X_i và Q_n = ∑_{i=1}^n Y_i Các tiếp cận tổng quát để đánh giá sự khác biệt hoặc tương đồng giữa hai tổng này dựa trên các yếu tố như phân phối, kỳ vọng và biến thiên của X_i và Y_i, cũng như các điều kiện để tồn tại phân phối giới hạn cho P_n và Q_n Một phương pháp tiếp cận như vậy được gọi là phương pháp so sánh tổng ngẫu nhiên hoặc phương pháp phân tích phân phối giới hạn, tùy thuộc vào bối cảnh và mục tiêu phân tích của bài viết.
“nguyên lý làm trội”, nguyên lý này cho phép phân tích một chuỗi P n i = 1 X i phức tạp thành một chuỗi đơn giản hơn bằng cách làm trội chuỗi này theo chuỗi P n i=1 Y i
Ta sẽ thấy một điều đặc biệt thú vị khi một chuỗi có giá trị trong không gian Banach được làm trội bởi một chuỗi có giá trị thực Đầu tiên, ta bắt đầu nghiên cứu mối quan hệ giữa tổng Pn i=1 Xi và Pn i=1 Yi thông qua việc làm trội đơn giản các số hạng theo phân phối của các số hạng riêng, tức là ∥Xi∥ ≤ ∥Yi∥ hầu như chắc chắn, để so sánh hai chuỗi dựa trên phân bố của các phần tử.
Nếu không có quy ước khác, F được kí hiệu cho một không gian Banach thực khả ly Định nghĩa 3.4.1 xem U là một tập con của lớp tất cả các hàm Borel từ F đến R_+, và cho các điều kiện cần thiết để một hàm u thuộc U có thể được xem như một đại lượng đo được và không âm trên F Việc xác định U cho phép xây dựng các khái niệm như tích phân, kỳ vọng và các bất đẳng thức liên quan đến các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian F.
X , Y là hai biến ngẫu nhiên có giá trị trên F
Ta nói rằng X làU- được làm trội bởi Y (kí hiệu: X ≺ U Y ) nếu với mỗi x ∈ F và mỗi ϕ ∈U,
Mối quan hệ làm trội ở trên được kế thừa bởi các tổng từ các số hạng độc lập, chính
3.4 PHÉP TRỘI YẾU xác hơn ta có điều sau:
Mệnh đề 3.4.1 Nếu X 1 , , X n và Y 1 , , Y n là hai dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F sao cho X i ≺ U Y i với mỗi i = 1, , n thì n
Chứng minh Rõ ràng, ta chứng minh được kết quả cho n = 2 và sau đó tiếp tục bằng phương pháp quy nạp để mở rộng kết quả Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết X1, X2 và Y1, Y2 được xác định trên Ω × Ω với các cặp ω1, ω2 thuộc Ω sao cho X1(ω1, ω2) = X1(ω1) và X2(ω1, ω2) = X2(ω2); từ các điều kiện này, chứng minh sẽ được triển khai tiếp theo để hoàn thiện đồng nhất của hệ thống đang xét.
Y 1 ( ω 1 ), Y 2 ( ω 1 , ω 2 ) = Y 2 ( ω 2 ) Khi đó, với mỗi ϕ ∈Uvà x ∈ F , ta có
NếuUlà lớp các hàm có dạngexp(x 0 (.)), trong đó x 0 ∈ F 0 và nếu Y là một biến Gauss ngẫu nhiên đối xứng trong F thì X ≺ U Y có nghĩa rằng X là Gauss- con Trong trường hợp này, ,mệnh đề3.4.1suy ra tổng các biến Gauss-con ngẫu nhiên độc lập sẽ là Gauss-con.
Trường hợp khiU=C- lớp tất cả các hàm lồi liên tục không âm- là đặc biệt quan trọng.
Trong trường hợp này, rõ ràng thấy rằng trong định nghĩa của C- trội, biến đổi x + là không cần thiết Do đó, nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên có giá trị trong một không gian Banach F thì X ≺ C Y khi và chỉ khi với mỗi hàm lồi liên tục ϕ : F → R + , ta có
Trong bài viết này, ta sẽ đưa ra một số ví dụ nhằm rút gọn việc phân tích các tổng của các biến ngẫu nhiên có giá trị trên trường F sang phân tích tương ứng trên tập số thực R Các ví dụ này cho thấy cách chuyển đổi các biến ngẫu nhiên từ F sang R và cách áp dụng các công cụ xác suất trên R để phân tích tổng, từ đó làm giảm độ phức tạp và mở rộng phạm vi ứng dụng của các kết quả trên F Việc này giúp tối ưu hóa quy trình phân tích, làm rõ các khía cạnh về phân phối tổng, kỳ vọng và biến thiên của các tổng biến ngẫu nhiên có giá trị trên F.
Ví dụ 3.4.2 Nếu ξ và η là các biến ngẫu nhiên đối xứng trong R sao cho
Dễ thấy rằng bởi vì tính đối xứng của ξ và η kéo theo ξ ≺ C κλη khi và chỉ khi với mỗi hàm lồi tăng ϕ : R + → R + với ϕ (0) = 0ta có
Mặt khác, theo mệnh đề1.6.1, điều kiện (3.12) suy ra
E ϕ ( |ξ| ) ≤ κ E ϕ ( λ|η| ) ≤ E ϕ ( κλ|η| ) trong đó bất đẳng thức cuối cùng suy ra từ tính lồi của ϕ
Mệnh đề 3.4.2 Nếu ξ 1 , ,ξ n và η 1 , ,η n là hai dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho ξ i ≺ C η i với i = 1, ,n thì X ≺ C Y , trong đó X và Y là các biến ngẫu nhiên có giá trị trong
R 2 n − 1 được định nghĩa như sau:
Chứng minh Nếu ϕ : R 2 n − 1 → R + là một hàm lồi thì ψ : R n → R + được cho bởi ψ (s 1 , s 2 , , s n ) = ϕ ³
{s i 1 ã ã s i k : 1 ≤ i 1 < < i k ≤ n} ´ là lồi với mỗi biến khác nhau Lúc này, một phương pháp quy nạp dễ dàng sử dụng định lý Fubini cho ta
3.4 PHÉP TRỘI YẾU Định lý 3.4.3 Nếu X 1 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F và ε 1 , , ε n là một dãy Bernoulli độc lập của X 1 , , X n thì
2 ε i || X i || , nghĩa là, với mỗi hàm lồi liên tục ϕ : R → R +
Ví dụ 3.4.4 Định lý3.4.3dễ dàng suy ra rằng, nếu X là một biến ngẫu nhiên Gauss có giá trị trên một không gian Banach thì
E ||X || 2 γ, trong đó γ là một biến ngẫu nhiên thực N (0, 1) Thậy vậy, nếu X 1 , , X n là các bản sao độc lập của X thỡ X ∼ (X 1 + ã ã ã + X n )/ p n , sao cho theo định lý3.4.3, ta thu được rằng
X i = 1 ε i || X i || , Điều này chứng minh quan điểm của ta là vế phải hội tụ theo phân phối tới2 p
E || X || 2 γ Chú ý rằng, như một hệ quả tới quan sát trên, ta thu được sự tồn tại của các moment mũ
Trong không gian Hilbert H, khi X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên đối xứng độc lập có giá trị trong H và ε1, , εn là các biến Bernoulli độc lập, độc lập với X1, , Xn, Định lý 3.4.5 cho phép tăng cường khẳng định của định lý 3.4.3 bằng cách ước lượng chuẩn của tổng các biến ngẫu nhiên thông qua sự kết hợp giữa tính đối xứng và sự ngẫu nhiên của các hệ số; cụ thể, || ∑_{i=1}^n ε_i X_i || được điều chỉnh dựa trên các cấu trúc này Kí hiệu C4+ là các lớp của hàm lồi φ: R → R+ sao cho đạo hàm bốn φ tồn tại và φ^(4) ≥ 0, và nhờ các hàm φ thuộc lớp này, các bất đẳng thức và ước lượng liên quan đến tổng X_i có thể được mở rộng và tăng cường Do đó, khẳng định của định lý 3.4.3 có thể được nâng cao đáng kể trong trường hợp các biến liên quan là đối xứng và độc lập, khi áp dụng Định lý 3.4.5 cùng với cấu hình hàm φ thuộc C4+.
C 4 + trội bởi ¯ ¯ ¯ P n i=1 ε i ∥ X i ∥ ¯ ¯ ¯ , tức là với mỗi hàm lồi liên tục đối xứng ϕ : R → R + với đạo hàm
3.4 PHÉP TRỘI YẾU bậc 4 không âm
Chứng minh Bước đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng nếu h : R + → R + sao cho hàm ψ (s ) = h( p s ), s ∈ R + là lồi và nếu X , Y là các biến ngẫu nhiên đối xứng độc lập trong H thì
Thật vậy, cho ε là một biến ngẫu nhiên ³ P ( ε = ± 1) = 1 2 ´độc lập với X , Y , ε 1 , ε 2và cho E ε là kí hiệu kì vọng đối ε Khi đó, từ X , Y là độc lập và đối xứng
Vì với mỗi ω ∈ Ω,| 〈 X , Y 〉 | ≤ || X |||| Y || theo tính lồi của ψ (như trong chứng minh của Hệ quả2.2.1(iii)) ta có
Trong bước thứ hai, ta chỉ ra rằng giả thiết ϕ(4) ≥ 0 suy ra với mọi a ∈ R, hàm h(t) = ϕ(a + t) + ϕ(a − t) thỏa mãn giả thiết trong bước một; tức là với ψ(s) = ϕ(a + p s) + ϕ(a − p s), hàm ψ là lồi Thật vậy, đạo hàm bậc hai ψ''(s) = 1.
Phép trội mạnh
là dương, vì theo giả thiết ϕ 00 là lồi và với mỗi hàm lồi f : [a , b] → R ta có
Z b a f (s )d s thu được bằng cách lấy tích phân bất đẳng thức b − s b − a f (a) + s − a b − a f (b) ≥ f (s ). Đặt hai bước trên cùng với nhau, ta có, với bất kì a ∈ R,
= E ϕ ³ a + ε 1 ||X || + ε 2 ||Y || ´ bởi vì ε 1 || X ||+ ε 2 || Y ||là một biến ngẫu nhiên đối xứng Bây giờ, chứng minh này có thể dễ dàng kết thúc bằng phương pháp quy nạp.
Trong phần này các biến ngẫu nhiên được giả sử đối xứng Khi cố gắng định nghĩa phép làm trội mạnh của X theo Y, ta đòi hỏi điều kiện P(||X|| > t) ≤ P(||Y|| > t) cho mọi t > 0 Tuy nhiên có một ví dụ rất cơ bản cho thấy tính chất này không được kế thừa bởi tổng của các số hạng độc lập của các biến ngẫu nhiên Tức là ngay cả khi X và Y thỏa điều kiện trên, tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập có thể không duy trì được tính chất làm trội mạnh tương ứng.
Y1 = ε1, Y2 = ε2 Rõ ràng X1 được làm trội theo Y1 và X2 được làm trội theo Y2, nhưng X1 + X2 được làm trội theo Y1 + Y2 là không đúng Khi đó bất đẳng thức tốt nhất ta có thể thu được là P(|X1 + X2| > t) ≤ 2 P(|Y1 + Y2| > t) Với ví dụ này, ta làm quen với khái niệm sau: Định nghĩa 3.5.1 Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên có giá trị trong hai không gian Banach có thể khác nhau Ta sẽ nói rằng X được (κ, λ) - trội mạnh theo Y (ký hiệu: X ≺ (κ, λ)).
Mối quan hệ trội ở trên được kế thừa bởi các tổng từ các số hạng độc lập của chúng chỉ trong một số trường hợp đặc biệt, thậm chí khi các hằng số khác nhau với các tổng và các số hạng được thừa nhận Từ nay về sau, ta sẽ cho hai ví dụ khi một hiện tượng xảy ra Trong ví dụ đầu tiên, được thảo luận chi tiết trong định lý 3.5.2, với mỗi i = 1, 2, , các giá trị của X_i và Y_i được ràng buộc cùng với một không gian con một chiều của F (tức là, đơn giản mà nói cả hai có giá trị thực) và trong ví dụ thứ hai, được trình bày trong định lý 3.5.6, các biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian Hilbert được làm trội bởi biến ngẫu nhiên thực Định lý 3.5.2 Cho ξ1, ξ2, , ξn và ζ1, ζ2, , ζn là hai dãy các biến ngẫu nhiên thực đối xứng độc lập, cho x1, x2, , xn ∈ F và cho κ, λ > 0 Nếu với mỗi i = 1, , n, biến ngẫu nhiên ξ_i ≺ (κ, λ) ζ_i, thì n
X i =1 x i ζ i , trong đó dκe kí hiệu cho số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng κ Chính xác hơn, nếu với mỗi i = 1, , n và bất kỳ t > 0
Chứng minh của định lý trên sẽ yêu cầu
Bổ đề 3.5.3: Nếu ξ và η là hai biến ngẫu nhiên thực sao cho P(|ξ| > t) ≤ P(|η| > t) với mọi t > 0, thì tồn tại các biến ngẫu nhiên φ0 và η0 được xác định trên cùng một không gian xác suất sao cho φ0 có phân phối giống ξ, η0 có phân phối giống η, và φ0 ≤ η0 xảy ra với xác suất 1 Nói cách khác, điều kiện dominação tail của |ξ| so với |η| cho phép ta xây dựng một coupling giữa ξ và η trên cùng một không gian xác suất với thứ tự φ0 ≤ η0, phản ánh mối quan hệ sắp xếp xác suất giữa hai biến ngẫu nhiên và là ứng dụng của kết quả Strassen về ordering xác suất.
( Ω 0 ,F 0 , P 0 ) và sao cho |φ 0 ≤ 1 | , η 0 và η là cùng phân phối và φ 0 η 0 và ξ là cùng phân phối.
Chứng minh Dễ thấy rằng hai biến ngẫu nhiên φ0 và η0 được xác định trên không gian Ω0 = [0,1] với thước đo Lebesgue P', theo các công thức η0(t) = inf{s : P(η < s) > t} và φ0(t) = inf{s : P(ξ < s) > t} / η0(t) với mọi t ∈ Ω0; đây là các biến ngẫu nhiên được yêu cầu.
Chứng minh định lý 3.5.2 cho phép ta không mất tổng quát giả sử λ = 1 (thay η_i bằng dãy λ_iη_i nếu cần) Bắt đầu với κ = 1; theo bổ đề 3.5, tồn tại các biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian R^2, ký hiệu (φ^0_i, η^0_i) với i = 1, …, n, được coi là các cặp độc lập giữa các chỉ số i Với mỗi i ta có |φ^0_i| ≤ 1, L(η^0_i) = L(η_i) và L(φ^0_i η^0_i) = L(ξ_i).
Do đó, theo nguyên lý co của định lý2.2.1
X i=1 x i η i || > t ´ điều trên chứng minh định lý3.5.2với κ = 1. Trường hợp tổng quát có thể được rút gọn với trường hợp κ = 1như sau Định nghĩa trên
Ω 0 = [0, 1] n các biến ngẫu nhiên δ i k (t 1 , , t n ) = I ((k −1)/dκe,k/dκe) (t i ), với k = 1, , dκe, i = 1, ,n Khi đó với mỗi k cố định, các biến ngẫu nhiên δ i k độc lập với i = 1, ,n và với mỗi i = 1, ,n cố định, ta có dκe X k=1 δ i k = 1
Do đó, với mỗi k = 1, , dκe, do tính đối xứng và độc lập của ξ i δ i k , i = 1, ,n , suy ra từ trường hợp đã xét trước đây với κ = 1, ta có
(3.15) Điều này chứng minh xong định lý3.5 Định lý ở trên ngay lập tức cho ta2hệ quả.
Hệ quả 3.5.4: Cho hai dãy biến ngẫu nhiên thực đối xứng, độc lập ξ1, …, ξn và η1, …, ηn và cho x1, …, xn ∈ F Nếu với mỗi i = 1, …, n ta có ξi ≺ (κ, λ) ηi theo một quan hệ so sánh ngẫu nhiên, thì với mọi hàm không giảm φ: R+ → R+ ta có một bất đẳng thức liên quan đến phân bố hoặc kỳ vọng của các tổng tương ứng, ví dụ như E[φ(∑i ξi)] ≤ E[φ(∑i ηi)] Hệ quả này cho phép từ sự so sánh giữa từng cặp biến thành một ràng buộc tổng quát hơn đối với mọi hàm φ không giảm, từ đó kiểm soát phân bố và biến thiên của tổng các biến ngẫu nhiên.
≤ 2dκe E ϕ ³ dκeλ|| X n i =1 x i η i || ´ , trong đó dκe kí hiệu số nguyên dương nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng κ
Hệ quả 3.5.5 nêu rằng cho ξ1, …, ξn và η1, …, ηn là hai dãy biến ngẫu nhiên thực đối xứng và độc lập, sao cho với mỗi i = 1, 2, …, n thỏa ξi ≺ (κ, λ) ηi và cho x1, x2, …, ∈ F Khi chuỗi P_{x_i} η_i hội tụ hầu chắc chắn, thì chuỗi P_{x_i} ξ_i cũng hội tụ hầu chắc chắn.
Một ví dụ khác của một trường hợp đặc biệt khi quan hệ phép trội mạnh là sự kế thừa
Phép trội mạnh được thảo luận trong Định lý 3.5.6 Ta xét X1, …, Xn và ξ1, …, ξn là các dãy biến ngẫu nhiên đối xứng độc lập có giá trị trong không gian Hilbert H và trường thực R tương ứng Nếu với mọi i từ 1 đến n ta có X_i ≺ (κ, λ) ξ_i, thì các hệ quả liên quan đến cấu trúc và giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên trong không gian Hilbert được rút ra từ định lý này.
Chứng minh Cho ε 1 , , ε n là một dãy Bernoulli độc lập với dãy X 1 , , X n và ξ 1 , ,ξ n Vì
X i ≺ (1,1) ε i || X i ||và ε i || X i || ≺ ( κ , λ ) ξ i dựa vào định lý3.5.2và định lý Fubini, nó là đủ để chứng minh rằng với mỗi dãy x 1 , , x n ∈ H và với mọi t > 0
Theo bất đẳng thức Chebyshev, với bất kỳ t > s > 0
(t − s) 4 , trong đó S n = P n i=1 x i ε i Vì hàm ϕ (t) = ( | t | − s ) 4 I {|t|>s} thỏa mãn các giả thiết của định lý3.4.5,
E (||S n || − s) 4 I {||S n ||>s} ≤ E(|S n ◦ | − s) 4 I { | S ◦ n |> s} , với S ◦ n = P n i = 1 || x i ||ε i Do đó, theo mệnh đề2.3.4và mệnh đề1.6.1
Kết hợp với các bất đẳng thức trên, ta có
3.5 PHÉP TRỘI MẠNH Đặc biệt, sao cho nếu ta đặt t = s + (E | S ◦ n | 2 ) 1/2 , ta có
Thậy vậy, nếu2s > (E S ◦ n 2 ) 1/2 , thì (3.17) suy ra từ (3.16) Nếu2s < (E S 2 n ) 1/2 thì theo bất đẳng thức Paley- Zygmund (Bổ đề1.6.5),
16 ,sao cho12P( | S n ◦ | > s) ≥ 1và (3.17) thoả mãn.
Martingale và các nguyên lí trội cho Martingale
Trong chương đầu của luận văn, người đọc được làm quen với các martingale giá trị thực và một số đặc tính cơ bản của chúng Chương này đi sâu vào martingale có giá trị trong không gian Banach và cho thấy nhiều đặc tính của martingale giá trị thực cũng đúng với các martingale có giá trị trong một không gian Banach.
Các bất đẳng thức Doob
Cho ( Ω ,F , P ) là một khụng gian xỏc suất với lọc{ ; , Ω } =F0 ⊂F1 ⊂F2 ⊂ ã ã ã ⊂F Một dóy
Một chuỗi các biến ngẫu nhiên M0, M1, M2, có giá trị trong một không gian Banach F được gọi là một (F_i)-martingale nếu M0 = 0 và với mọi i ≥ 1, E(M_i | F_{i-1}) = M_{i-1} hầu như chắc chắn Nói ngắn gọn, giá trị ở thời điểm i được kỳ vọng có điều kiện dựa trên thông tin đã có đến thời điểm i−1 bằng giá trị tại thời điểm trước đó; tức là với mọi sự kiện A thuộc F_{i-1}, E(1_A M_i) = E(1_A M_{i-1}) Chuẩn mực này mô tả một quá trình ngẫu nhiên có tính bảo toàn kỳ vọng và được xác định trên một hệ thống filtration {F_i} tăng dần, đại diện cho lượng thông tin được công nhận theo thời gian.
M i −1 d P , trong đó các tích phân được hiểu theo nghĩa Bochner.
Xét một cách chặt chẽ, các điều kiện được nêu ở trên định nghĩa một quá trình martingale có kỳ vọng bằng 0 Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc với các martingale có trung bình 0 để phân tích sâu cách chúng duy trì tính chất martingale qua các thời điểm và cách chúng được ứng dụng trong mô hình dự báo và rủi ro Với một martingale có trung bình 0, giá trị hiện tại phản ánh quá khứ và kỳ vọng tương lai được điều chỉnh bởi thông tin đã biết, tạo nền tảng cho các kết quả lý thuyết và thực nghiệm mà chúng ta trình bày.
M 0 , M 1 , M 2 , (viết gọn là " (F i )"- martingale để chỉ "martingale" nếu lọc là rõ ràng) Dãy
∆ M n : = M n − M n − 1 , n = 1, 2, là dãy khác của nó (hoặc số gia) và M n ∗ = max 0 ≤ i ≤ n ∥ M i ∥là
4.1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DOOB
Theo tính lồi của chuẩn, dãy ∥M0∥, ∥M1∥, ∥M2∥, … của các biến ngẫu nhiên không âm tạo thành một submartingale (bán martingale), tức là E(∥Mi∥ | Fi−1) ≥ ∥Mi−1∥ gần như chắc chắn Do đó các bất đẳng thức Doob cực đại dành cho submartingales thực tế có thể được phát biểu trong ngữ cảnh này như sau: với mọi n và mọi λ > 0, P( max_{0≤k≤n} ∥Mk∥ ≥ λ ) ≤ E(∥Mn∥) / λ.
Mệnh đề 4.1.1 Cho M 0 , M 1 , , M n là một martingale trong F Khi đó:
Chứng minh Với ε > 0cho trước, định nghĩa thời điểm dừng τ = min{i : 1 ≤ i ≤ n, ∥ M i ∥≥ ε}nếu∥ M i ∥≥ ε với1 ≤ i ≤ n và τ = n nếu∥ M i ∥< ε với mọi i = 1, 2, ,n Khi đó
4.1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DOOB cho ta (i) Để chứng minh (ii) giả sử p > 1và ta thấy rằng theo (i) và định lý Fubini
= p p − 1 E ∥ M n ∥ (M n ∗ ) p − 1 , vì bất đẳng thức Holder cho ta, với 1 p + 1 q = 1mà
Do đó (ii) suy ra trực tiếp trong trường hợp E (M n ∗ ) p < ∞ Nếu E(M n ∗ ) p = ∞thì làm việc với (M n ∗ ∧ C)thay vì M n ∗ và tiến hành như trước, ta có
4.1 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC DOOB Để chứng minh (iii), thấy rằng theo (i), ta có
Vì với bất kì t, s > 0, t log s ≤ t log + t + se − 1 , ta có
E M n ∗ − 1 ≤ E ∥ M n ∥ logM n ∗ ≤ E ∥ M n ∥ log + ∥ M n ∥ + e −1 E M n ∗ , cho ta (iii) nếu E M n ∗ < ∞ Nếu E M n ∗ = ∞, ta tiến hành bằng cách bỏ hết các số hạng của
M n ∗ như trong chứng minh của (ii).
Bất đẳng thức cắt ngang dưới đây cho thấy dao động của martingale M_n giữa hai mức α và β được giới hạn bởi kỳ vọng của nó, cho thấy quá trình này bị kiểm soát và có giới hạn theo mức kỳ vọng Kết quả này là cơ sở để chứng minh định lý hội tụ của martingale, được trình bày ở phần tiếp theo của bài viết.
Xét một dãy ngẫu nhiên (X_n) thích nghi với bộ lọc F_n, với α < β và α, β ∈ R+ Định nghĩa các thời điểm dừng (thời điểm giao nhau giữa hai ngưỡng) như sau: τ_0 = 0, τ_1 = min{ n > 0 : X_n ≤ α }, τ_2 = min{ n > τ_1 : X_n ≥ β }, τ_3 = min{ n > τ_2 : X_n ≤ α }, τ_4 = min{ n > τ_3 : X_n ≥ β }, , τ_{2m−1} = min{ n > τ_{2m−2} : X_n ≤ α }, τ_{2m} = min{ n > τ_{2m−1} : X_n ≥ β } cho mọi m ≥ 1.
4.1 Các bất đẳng thức Doob được trình bày với quy ước thông thường là min{t} = ∞ Số lần dao động và sự cắt ngang dải [α, β] của dãy M_n được đo bằng đại lượng θ_n[α, β], phản ánh tần suất và cường độ của các lần chạm ngưỡng giữa α và β Việc định lượng này cho phép phân tích sâu hơn về hành vi của dãy quá trình, từ đó rút ra các bất đẳng thức Doob tương ứng và các ước lượng xác suất, kỳ vọng của số lần vượt ngưỡng khi n tăng lên Thông qua θ_n[α, β], ta có thể liên hệ giữa việc vượt qua các biên giới của dải và sự phân bố của các thời điểm vượt ngưỡng, phục vụ cho mục tiêu tối ưu hóa và đánh giá phạm vi dao động của quá trình.
Mệnh đề 4.1.2 Nếu X 0 , , X n là một martingale con trên R thì
Chứng minh Do(|X n |−α) + là một martingale con không âm với số lần cắt ngang của dải
[0, β − α ]bằng với θ n ( α , β ), nó đủ để chứng minh rằng với bất kỳ martingale con không âm X n nào
E θ n [0, β ] ≤ 1 β E X n (4.1) Định nghĩa X 0 = 0,F0 = { ; , Ω }và với i = 1, 2, ,n , cho φ i =
Sự hội tụ của martingale
4.2 Sự hội tụ của martingale
Định lý hội tụ của martingale Doob cổ điển: Nếu dãy X1, X2, là một martingale có giá trị thực và sup_n E|X_n| < ∞, thì X_n hội tụ hầu như chắc chắn tới một giới hạn hữu hạn.
Chứng minh Cho θ [ α , β ] = lim θ n [ α , β ], theo mệnh đề4.1.2, E θ [ α , β ] < ∞với mọi α và β , sao cho θ[α, β] < ∞hầu chắc chắn Do đó, với bất kỳ cặp hữu tỷ α > β , tập hợp
X n } có xác suất0 Do đó,
Ta thu đượclim n X n tồn tại hầu chắc chắn Nó là hữu hạn hầu chắc chắn theo bổ đề Fatou
4.2 SỰ HỘI TỤ CỦA MARTINGALE và theo giả thiếtsup n E | X n | < ∞. Định lý 4.2.2 Nếu X là một biến ngẫu nhiên có giá trị trên F sao cho E ∥ X ∥< ∞ và nếu
F1 ⊆ ã ã ã ⊆F∞ ⊆F, trong đúF∞ = σ (F1 ,F2 , ) thỡ n lim →∞ E (X |F n ) = E (X |F∞ ) hầu chắc chắn.
Chứng minh: Không mất tổng quát, ta giả sử X là F∞-đo được Nếu X là Fm-đo được với m ∈ N thì định lý là hiển nhiên vì E(X|Fn) = X với n ≥ m Nói chung, mỗi biến ngẫu nhiên X ∈ L1(Ω, F∞, P) có thể được xấp xỉ trong L1 theo các biến ngẫu nhiên Fn-đo được; với mỗi ε > 0 tồn tại m ∈ N và một biến ngẫu nhiên X_m đo được bởi Fn sao cho E|X - X_m| < ε.
Y ∈ L 1 ( Ω ,F m , P )và sao cho E ∥ X − Y ∥< ε Điều này đúng bởi vì mỗi I A A ∈F∞là một L 1 - giới hạn của I A n trong đó A n ∈F n Do đó
Trong khuôn khổ bất đẳng thức Doob cực đại được nêu trong mệnh đề 4.1.1, hai hạng tử liên quan đến tối đa hóa giá trị được ước lượng một cách đồng nhất: hạng tử đầu tiên được ước lượng bằng 2ε/δ và hạng tử thứ hai cũng được ước lượng như vậy Vì vậy, với δ > 0 và ε > 0 cho trước, ta có thể tìm một số tự nhiên m ∈ N sao cho các ước lượng này thỏa mãn các điều kiện cần thiết của bài toán, từ đó kiểm soát chặt chẽ quá trình và đạt được ràng buộc cần thiết cho chứng minh.
< 4 ε δ Định lý được chứng minh.
Đoạn kết quả dưới đây trình bày một phiên bản MacTaggart của định lý Ito–Nisio (định lý 3.2.1) và khẳng định sự tương đương giữa nhiều loại hội tụ của chuỗi MacTaggart với giá trị trong không gian Banach F Cụ thể, các kiểu hội tụ khác nhau đều có giới hạn là một phần tử của không gian Banach F khi hội tụ xảy ra, cho thấy cấu trúc chung và tính nhất quán của các hội tụ trong quá trình phân tích Kết quả này mở ra cơ sở cho ứng dụng rộng trong lý thuyết hội tụ của dãy ngẫu nhiên và các không gian Banach.
4.2 SỰ HỘI TỤ CỦA MARTINGALE
∞ Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
Trong lý thuyết martingale, dãy M_0, M_1, hội tụ hầu như chắc chắn và hội tụ theo phân phối Dãy các phân phối L(M_n) là compact tương đối yếu Với hầu hết mọi ω ∈ Ω, dãy M_0(ω), M_1(ω), có một điểm ngưng tụ trong F.
(v) Tồn tại một biến ngẫu nhiên M có giá trị trong F và một D ⊂ F 0 , các điểm khả ly của F sao cho với mỗi x 0 ∈ D , dãy (x 0 (M n )) hội tụ hầu chắc chắn tới x 0 (M )
Trong phần (vi), tồn tại một độ đo xác suất trên F và một không gian tuyến tính D ⊂ F sao cho các điểm khả lý của F thuộc D có tính chất sau: với mỗi x0 ∈ D, dãy (x0(M_n)) hội tụ theo phân phối tới x0.
Chứng minh (i ) ⇒ (i i )và(i i ) ⇒ (i i i )là hiển nhiên.
(i i i ) ⇒ (i v)Theo định lý Prohorov, với mỗi ε > 0, tồn tại một tập compact K ⊂ F sao cho
P (M n ∈ K ) ≥ 1 − ε với mỗi n = 1, 2, Do đó, đặt
A = {ω : M n (ω) ∈ K thường vô hạn} ta có
Nếu ω ∈ A thì M n ( ω )có một điểm ngưng tụ.
Với mỗi ω ∈ Ω, chọn M(ω) là một điểm ngưng tụ của dãy M1(ω), M2(ω), …; do đó, theo định lý hội tụ martingale (định lý 4.2.1), với mọi x0 ∈ F0 ta có lim_{n→∞} x0(Mn) = x0(M) hầu như chắc chắn Đặc biệt, kết quả này cho thấy x0(M) là F-đo được sau khi chỉnh sửa trên một tập có xác suất bằng 0 Từ đó, M có thể được chỉnh sửa trên một tập xác suất bằng 0 sao cho x0(M) được xác định theo F.
4.2 Sự hội tụ của martingale là F-đo được với mỗi x0 ∈ D, trong đó D ⊂ F0 là các điểm khả ly và đếm được Vì vậy ta thu được M là F-đo được, điều này chứng minh được (iv).
(vi ) ⇒ (v )được chứng minh một cách chính xác như sự kéo theo(vi ) ⇒ (v )trong định lý Ito - Nisio3.1.1.
(v ) ⇒ (i )Đầu tiên giả sử rằng E sup n∈N ∥ M n ∥< ∞và định nghĩa, với mỗi A ∈ ∪ ∞ n = 1 F n , hàm tập
Vậy F mở rộng tới một độ đo véctơ σ - cộng tính trên σ - trườngF∞ = σ(∪ ∞ n=1 F n )theo cùng một cách như vậy.
Với mỗi A ∈F∞, trong đó ∥ F ∥= sup P
∥ F (A i ) ∥ và cận trên đúng được lấy với mọi phân hoạch(A i )củaΩ.
Chú ý rằng với mỗi x 0 ∈ D và A ∈F∞, ta có x 0 ¡
Cho A n = {ω :∥ M(ω) ∥≤ n} Do M I A n là Bochner khả tích, ta có với mỗi x 0 ∈ D và mỗi A ∈F∞ x 0 ³
Vì D khả ly các điểm của F , ta thu được
Các dãy tách rời và các dãy tiếp xúc
Do M là đo được, P (A n ) ↑ 1và R
∥ M n ∥ d P < ∞ với mỗi A ∈F∞ Suy ra M là Bochner khả tích và M n = E (M |F n )với mỗi n = 1, 2, Do đó, theo định lý 4.2.2, M n hội tụ hầu chắc chắn khi n → ∞.
Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát khisup n ∈ N E ∥ M n ∥< ∞ Với mỗi t > 0, định nghĩa thời điểm dừng σ = σ t := min{n :∥ M n ∥≥ t}.
Khi đó N n : = M n∧σ là một mactigan thỏa mãn điều kiện E sup n ∈ N ∥ N n ∥< ∞ Hơn nữa, lim n →∞ x 0 (N n ) = x 0 (M σ )hầu chắc chắn, với mỗi x ∈ D , trong đó
Theo phần đầu tiên của chứng minh này, mactigan N 1 , N 2 , hội tụ hầu chắc chắn tới
M σ và để kết thúc chứng minh chú ý rằng theo bất đẳng thức Doob cực đại của mệnh đề 4.1.1,lim t →∞ P (σ t < ∞) = 0.
4.3 Các dãy tách rời và các dãy tiếp xúc Định nghĩa 4.3.1 Ta nói hai dãy biến ngẫu nhiên X_1, X_2, … và Y_1, Y_2, … có giá trị trong F là tiếp xúc nếu với mỗi i = 1, 2, … hai biến X_i và Y_i có thể đồng thời xảy ra trên cùng một không gian xác suất và chúng chia sẻ một nguồn xác suất chung Ngược lại, nếu không thỏa điều kiện này, hai dãy được gọi là tách rời Khái niệm các dãy tiếp xúc giúp mô tả mối liên hệ giữa các chuỗi biến ngẫu nhiên theo từng chỉ số, phục vụ cho các phân tích xác suất, mô hình hóa chuỗi thời gian và các bài toán tối ưu liên quan.
Với các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, sự tiếp xúc đơn giản có nghĩa là với mỗi c ∈ R ,
4.3 CÁC DÃY TÁCH RỜI VÀ CÁC DÃY TIẾP XÚC hầu chắc chắn.
Trong phần còn lại của luận văn, khái niệm tiếp xúc giữa các dãy X1, X2, … và Y1, Y2, … được định nghĩa rõ ràng: hai dãy được xem là tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu với mỗi dãy bị chặn Fi dự đoán được (tức là Fi−1 tương thích) với các biến ngẫu nhiên thực v1, v2, … và với mỗi dãy f1, f2, … là các hàm Borel bị chặn được đo đạc, có một điều kiện tương ứng cho mọi i = 1, 2, … Việc thỏa mãn khái niệm tiếp xúc này cho phép kiểm soát sự phụ thuộc và đồng thời làm cơ sở cho các phân tích về hội tụ và các kết quả xác suất trong luận văn.
E v i f i (X i ) = E v i f i (Y i ). Đặc biệt, do đó với bất kỳ thời điểm dừng bị chặn τ , và bất kỳ các dãy tiếp xúc X 1 , X 2 , và Y 1 , Y 2 ,
Vì I(τ ≥ i) là (F_i)-dự đoán được Nếu các dãy X_1, X_2, … và Y_1, Y_2, … là tiếp xúc, thì với mọi dãy v_1, v_2, … là các biến ngẫu nhiên có giá trị thực và (F_{i−1})-tương thích, các dãy v_1 X_1, v_2 X_2, … và v_1 Y_1, v_2 Y_2 cũng tiếp xúc.
Ví dụ 4.3.2 Cho X 1 , X 2 , là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trong F ,
X 1 0 , X 2 0 , là các bản sao độc lập của nó và cho v 1 , v 2 , là một dãy các biến ngẫu nhiên
(F i ) - dự đoán được, trong đó F i = σ (X 1 , X i , X 1 0 , , X i 0 ) với i = 0, 1, 2, Khi đó các dãy v 1 X 1 , v 2 X 2 , và v 1 X 1 0 , v 2 X 2 0 là tiếp xúc
Ví dụ 4.3.3 Cho X 1 , X 2 , là một dãy (F i ) - tương thích và cho Y i : = X i ◦ T i với i = 1, 2, , trong đó T i : (Ω,F i , P ) → (Ω,F i , P ) là các phép ánh xạ đo được bảo toàn độ đo sao cho
Trong hệ thống filtrations Fi, với T_iA = A cho mọi A ∈ Fi−1, dãy X1, X2, … và Y1, Y2, … được xem là thích ứng với Fi Định nghĩa 4.3.4 cho một dãy Xi thuộc Fi − tương thích X1, X2, … của các biến ngẫu nhiên trong F được gọi là thỏa điều kiện (CI) – độc lập có điều kiện – nếu tồn tại một σ‐trường G ⊂ F sao cho L(Xi | Fi−1) = L(Xi | G) hầu như chắc chắn đối với mọi i = 1, 2, … và sao cho X1, X2, … là một dãy biến ngẫu nhiên độc lập theo điều kiện với G.
Chú ý rằng nếu X 1 , X 2 , thỏa mãn điều kiện(C I )thì σ - trường G có thể luôn luôn
4.3 CÁC DÃY TÁCH RỜI VÀ CÁC DÃY TIẾP XÚC
Các dãy tiếp xúc thỏa mãn điều kiện CI là các dãy có tính độc lập có điều kiện và được dùng để xây dựng, từ một dãy cho trước X1, X2, , một dãy tiếp xúc có tính chất CI (hoặc tương tự của nó cho các quá trình) và nhờ các bất đẳng thức đã được đưa ra từ đầu đến giờ, suy ra các kết quả về X1, X2, từ kết quả về các biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 4.3.5: Cho X1, X2, là một dãy (Fi)-tương thích trên một không gian xác suất có lọc (Ω, F, P; (Fi)) Với mọi không gian có lọc (Ω0, F0; (Fi0)) và mọi hàm xác suất chuyển P0: Ω × F → R+, một dãy X̂^1, X̂^2, xác định trên Ω̂ = Ω × Ω0 và tương thích với lọc ˆFi = Fi ⊗ Fi0 được gọi là dãy tiếp xúc rời nhau tới X1, X2,
(a) Với mỗi ω ∈ Ω , dãy X ˆ 1 (ω, ), ˆ X 2 (ω, ), là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập trên
(Ω 0 ,F 0 , P 0 (ω, )) và (b) Các dãy X ˆ 1 , ˆ X 2 , và X 1 0 , X 2 0 , , trong đó X i 0 (ω, ω 0 ) := X i (ω) , với (ω, ω 0 ) ∈ Ω × Ω 0 , với i =
1, 2, là tiếp xúc trên không gian xác suất có lọc ( ˆ Ω, ˆF , ˆ P ; ( ˆ F i )) Ở đây P ˆ được định nghĩa bằng công thức
P 0 ( ω , B )P (d ω ), trong đó A ∈Fvà B ∈F 0 Khi đó, sự mở rộng tầm thường X i 0 ở trên của X i đơn giản là đồng nhất với X i mà không gây nên sự hiểu nhầm nào.
Rõ ràng, một dãy tiếp xúc rời nhau thỏa mãn điều kiện(C I )đối với σ - trườngG=F( hoặc chính xác hơn đối vớiG=F⊗ { Ω , ; }).
Với một dãy cho trước X1, X2, …, có một phương pháp chuẩn để xây dựng một dãy tiếp xúc tách rời Gọi Ω0 = R^N và Fi0 là một σ- trường được sinh bởi các tọa độ đầu tiên trong R^N; từ đó, dãy Fi được xác lập bằng cách bổ sung thông tin của các biến X1, X2, … theo từng cấp, đảm bảo tính tách rời giữa các phần của dãy và duy trì cấu trúc xác suất cần thiết Phương pháp này cho phép phân tích mối quan hệ giữa các biến ngẫu nhiên và thuận tiện cho các bài toán liên quan đến xác suất, phân bố và xử lý dữ liệu trong ngữ cảnh của các dãy tiếp xúc.
Khi đó dãy X ˆ i ( ω , (x j )) = x i , i = 1, 2, là một dãy tiếp xúc tách rời tới X 1 , X 2 ,
Ví dụ 4.3.6 Cho ( Ω ,F , P ) = N ∞ i = 1 ( Ω i ,F i , P i ) là một không gian tích xác suất vô hạn với ω = (ω 1 , ω 2 , ) và choF i là σ - trường chỉ phụ thuộc vào các tọa độ i đầu tiên ω 1 , , ω i