Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số 1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD.. 2 Cho hình bình hành ABCD.[r]
Trang 1CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Xác định vectơ ka
PP: Dựa vào định nghĩa vectơ ka và các tính chất
1) Cho a AB
và điểm O Xác định hai điểm M và N sao cho : OM 3 ;a ON 4a
2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=
1
5AB Tìm k trong các đẳng thức sau: a AM) k AB; b MA k MB) ; c MA k AB)
2 Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương
1) Cho ABC có trọng âtm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I
là giao điểm của AD và EF Đặt ;
u AE v AF Hãy phân tích các vectơ AI AG DE DC, , , theo hai vectơ u v , .
2) Cho tam giác ABC Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ AM theo hai
vectơ u AB v AC ,
3 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= 1
3AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
2) Cho tam giác ABC Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức: BC MA 0
Chứng minh MN//AC
4 Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD Chứng minh: 2MN AC BD
2) Cho hình bình hành ABCD Chứng minh: AB2AC AD 3AC
3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ then
3GG 'AA 'BB'CC'
5 Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC Xác định vị trí của G biết AG 2GD
2) Cho hai điểm A và B Tìm điểm I sao cho: IA2IB0
3) Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB GC GD 0
BÀI TẬP
Bài 1: Cho ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
AM + BN + CP = 0 b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP
Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G Gọi MBC sao cho
BM = 2MC a/ CMR :
AB + 2AC = 3AM b/ CMR : MA + MB + MC = 3MG
Bài 3: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :
AD + BC = 2EF b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0
c/ CMR :
MA + MB + MC + MD = 4MO (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao choMA + MB +MC +MD nhỏ nhất
Trang 2Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
AF + BG + CH + DE = 0
b/ CMR :
MA+MB +MC +MD = ME +MF +MG +MH
c/ CMR :
AC
AB + AD = 4AG (với G là trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H CMR :
AD + BE + CF = 3GH
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD CMR :
a/
OA + OB + OC + OD = 0 b/ EA + EB + 2EC = 3AB c/ EB + 2EA + 4ED = EC
Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho
AN = 2
1
NC Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR :
AK = 4
1
AB + 6
1
AC b/ CMR : KD = 4
1
AB + 3
1
AC
Bài 8: Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2DB ,
CE = 3EA Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC CMR :
a/
AM = 3
1
AB + 8
1
1
AB + 8
3
AC
Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a
a) Phân tích AD
theo AB và AF b) Tinh
2AB2BC
theo a
Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC) Phân tích AM theo AB và AC
Bài 11: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC Gọi K là trung điểm của MN.
Phân tích AK theo AB và AC.
Bài 15 : Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
a) Tính AI AJ theo AB AC , ,
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính AG theo AI và AJ
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2
AB + 3AC = 5 CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho
MB= 3MC ;NA +3NC =0 và PA + PB = 0
a/ Tính
PM, PN theo AB và AC b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối
xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm
Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm
K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1) Biểu diễn vectơ a dưới dạng a xi y j
a) a=(1;1) b) a=(5;0) c) a=(0;2) d) a=(0;0)
Trang 32) Xác định tọa độ vectơ u, biết:
a) u=3i 4 j
b) u=2i +
1
3 j c) u= 3i d) u=j
3) Xác định tọa độ của vectơ c
, biết:
a) c=a+3b; với a(2;1), b(3;4) Tính độ dài của c
b) c=2a5b; với a(1;2), b(2;3)
4) Cho → a =(2;4); b → =(-3;1); → c =(5;-2) Tìm vectơ:
a) m →=2 a→+3 b→ − 5 c → b) → n=24 a→+14 c→
5) Cho hai điểm A(1;1), B(1;3)
a) Xác định tọa độ các vectơ AB BA,
b) Tìm tọa độ điểm M sao cho BM (3;0)
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA (1;1)
6) Cho tam giác ABC Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác
7) Cho hình bình hành ABCD có A(1;3), B(2;4), C(0;1) Tìm tọa độ đỉnh D
8) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8)
a) Xác định tọa độ của AB
.Tính AB
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB
c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC
d) A’ là điểm đối xứng của A qua B Tìm tọa độ A’
9) Cho biết các véctơ sau cùng phương hay không cùng phương
a) a= (1;2) và b= (3;6) b) a=( 2= -1) và b= (-2; 2)
c)
a= (-1;4) và
a= (-1;-3) và
b=(1;2)
10) Tìm x để các cặp véctơ sau cùng phương
a) a=(2;3), b=(4;x) b) u=(0;5), v=(x;7)
c) m
=(2;3), n=(1;x) d) a=( t+1;2) b=(3;4-t)
11) Biểu diễn véctơ
c theo hai véctơ
b
a)
c= (4;7) ; a= (2;1) ;b= (-3;4)
b)
c= (1;3) ; a= (1;1) ;b= (2;3)
c)
c= (0;5) ; a= (4;3) ;b= (2;1)
12) Cho bốn điểm A(1;1), B(2;1), C(4;3) và D(16;3) Hãy biểu diễn AD
theo AB AC,
13) Cho ba điểm A(1;1), B(1;3), C(2;0) Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng
14) Cho A(3;4), B(2;5) Tìm x để điểm C(7;x) thuộc đường thẳng AB
15) Cho tam giác ABC có A(1;1), B(5;3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox Tìm tọa độ đỉnh C 16) Cho A(2;1), B(4;5) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB và tọa độ diểm C sao cho tứ giác OABC là hình bình hành, O là gốc tọa độ
17) Cho ba điểm A(0;4), B(5;6), C(3;2)
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Trang 4b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
ÔN TẬP CHƯƠNG I
1/ Cho ABC với trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM
a/ CMR : 2
IA + IB + IC = 0 b/ Với 1 điểm O bất kỳ CMR : 2
OA + OB + OC = 4OI 2/ Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC.
a/ CMR : 2
AI = 2AO + AB
b/ CMR : 3
DG = DA + DB + DC 3/ Cho ABC Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho
BC = 3BN Tính AN theo AB và AC 4/ Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I và J là trung điểm của BC, CD
a/ CMR :
AI = 2
1
(
AD + 2AB ) b/ CMR : OA + OI + OJ = 0
c/ Tìm điểm M thỏa :
MA MB + MC = 0
7/ Cho ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/
MA = MB b/ MA + MB + MC = 0 c/ MA + MB = MA MB
d/
MA + MB = MA + MB e/ MA + MB = MA + MC
8/ Cho ABC có trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định bởi
AD = 2AB ,
AE = 5
2
AC
a/ Tính
AG, DE , DG theo AB và AC
b/ CMR : D, E, G thẳng hàng
9/ Cho ABC Gọi D là điểm xác định bởi
AD = 5
2
AC và M là trung điểm đoạn BD. a/ Tính
AM theo AB và AC .
b/ AM cắt BC tại I Tính IC
IB
và AI
AM