Những dạng bài tập Đại số cần nhớ trong Toánnâng cao lớp 10 1.Sự biến thiên của hàm số y = fx trên khoảng a;b... Khi đó pt vô nghiệm... Tìm m để phương trình này có hai nghiện dương phân
Trang 1Những dạng bài tập Đại số cần nhớ trong Toán
nâng cao lớp 10
1.Sự biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b).
Hướng giải quyết:
x (a;b) ; x 1x 2 Tính f( x 2 ) - f( x 1 ) = ?
Lập tỉ số : 2 1
2 1
( ) f(x ) x
f x x
= k
Nếu : + k 0 thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)
+ k 0 thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)
Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = x2 +2x- 2 trên khoảng (-;-1)
và (-1; +)
Bài giải:
Xét (-;-1):
x (a;b) ; x1x2,ta có : f(x2)-f(x1) = x22 +2 x2 – 2 – ( x12 + 2x1 -2) = ( x2 – x1)(x2+ x1+ 2)
Suy ra : 2 1
2 1
( ) f(x ) x
f x x
Vì x1, x2 ( -;-1) nên : x1 -1; x2 -1 x1+ x2 -2 hay x2+ x1+
2 0
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-;-1)
Xét (-1; +): Tương tự
*******************************************
2 Vẽ Parabol y = ax2+ bx + c ( a0 )
Hướng giải quyết:
Cho tập xác định D = R
Tìm đỉnh của (P) : I ;
b
a a
Trục đối xứng của ( P) : x = b
Trang 2 Lập bảng biến thiên : Với a > 0
x
2
b a
+
y + +
4a
* Note : + Nếu a 0 thì bề lõm quay lên trên; nếu a 0 thì bề lõm quay xuống dưới.
+ Hàm số này đồng biến trên khoảng ;
2
b a
và nghịch biến trên khoảng ;
2
b a
* Example: Vẽ đồ thị của hàm số : y x 2 2x 3.
Bài giải:
Đồ thị của hàm số : y x 2 2x 3. được vẽ như sau:
Bảng biến thiên:
x 2
-1
Đỉnh I(2; -1)
Trục đối xứng là đường thẳng: x = 2
Giao điểm của đồ thị và trục tung: (0; 3)
Giao điểm của đồ thị và trục hoành: (1; 0) và (3; 0)
Đồ thị :
Trang 34 3
2 1 3
-2 -1 1 2
y
x
O
**************************************
3 Tìm (P) : ax2+ bx + c ( a0 ) thỏa mãn điều kiện cho trước.
Hướng giải quyết:
Đỉnh của (P) : I ;
b
a a
Trục đối xứng của ( P) : x =
2
b a
Nếu a 0 thì GTNN của hàm số là
4a
khi x =
2
b a
và ngược lại nếu a 0 thì GTLN của hàm số là
4a
khi x =
2
b a
.
O và có đỉnh I( -2;-2), tìm đồ thị của hàm số này
Bài giải:
(P) đi qua gốc O nên suy ra: c = 0
Đỉnh I( -2;-2)
2
b a
= -2;
4a
= -2 b = 4a (1) ; b2 – 4ac = 8a (2)
* Thay c = 0 vào (2) ta được : b2 = 8a (3)
Trang 4* Thế b = 4a vào (3) ta được : a =0 (L) or a = 1
2 ( Thỏa mãn ) Với a =
1
2 b = 2
Vậy đồ thị của hàm số này là :
*************************************
4.Giải và biện luận phương trình bậc hai : ax2+ bx + c ( a0 )
Hướng giải quyết:
Cho tập xác định D = R
+ Xét a = 0
+ Xét a 0 : Tính = b 2 – 4ac
* Nếu 0 thì pt trên vô nghiệm
* Nếu = 0 thì pt trên có nghiệm kép : x 1 = x 2 =
2
b a
* Nếu 0 thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt x 1 = (-b+ ) : 2a
và
x 2 = (-b- ) : 2a.
Bài giải:
Cho tập xác định D = R
Ta có: ’ = 7- m
* Nếu ’ 0 7- m 0 m 7 Khi đó pt vô nghiệm
* Nếu ’ 0 7- m 0 m 7 Khi đó pt có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 2+ (7-m) or x2 = 2- (7-m)
* Nếu ’= 0 7- m = 0 m =7 Khi đó pt có 2 nghiệm kép: x1 = x2= 2 Kết luận: - m 7: S =
- m 7: S = 2
- m = 0: S = 2+ (7-m); 2- (7-m)
******************************************
5 Cho phương trình: ax2+ bx + c ( a0 ) Với x1, x2 là nghiệm của phương trình,ta luôn có những đẳng thức sau:
y = 1
2x2 + 2x
Trang 5 x 1 + x 2 =
2
b a
và x 1. x 2 = c
a (Hệ thức vi-ét)
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1. x 2
(x 1 - x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 4 x 1. x 2
x 1 4 + x 2 4 = ( x 1 + x 2 ) 2 - 2 x 1 x 2 2 - 2 x 1 2 x 2
x 1 3 + x 2 3 = (x 1 - x 2 ) 3 - 3 x 1 x 2 (x 1 + x 2 )
x 1 = 0 x 2 0
0
p s
x 1 0 x 2 1 2
0 0
0 0
0
p
s
0 x 1 x 2
0 0 0
s p
( Hai nghiệm cùng dương phân biệt )
x 1 x 2 0
0 0 0
s p
( Hai nghiệm cùng âm phân biệt )
0 x 1x 2
0 0 0
s p
x 1 x 2 0
0 0 0
s p
* Note: + Phương trình có ít nhất một nghiệm dương
1 2
0 0 0
x x
+ Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiện nhỏ x 1 - x 2
a Tìm m để phương trình này có hai nghiện dương phân biệt
b Tìm m để phương trình này có hai nghiện âm phân biệt
Bài giải:
Phương trình này có hai nghiệm dương phân biệt (0 x1 x2 )
Trang 6
0 0 0
s
p
2 ( 3) 1( 2) 0 6
0 1
2 0
m
m
11 2
m m
2 m 11
Vậy 2 m 11 thì phương trình trên đây có hai nghiệm dương phân biệt
Phương trình này có hai nghiệm âm phân biệt (x1 x2 0): Tương tự…
****************************************
6 Giải và biện luận phương trình : ax + b = cx + d (1)
Hướng giải quyết:
ax + b = cx + d ax + b = cx + d (2) or ax + b = -( cx +
d ) (3)
Giaỉ và biện luận pt (2) và (3) Khi đó nghiệm của pt (1) chính là hợp
nghiệm của pt (2) và (3).
Bài giải:
D = R
Phương trình (1) mx – x + 1 = x(x2 2)
( 2) 1(2)
3(3)
m x mx
Giaỉ và biện luận pt (2) :
* Nếu m – 2 0 m 2 Khi đó pt (2) có nghiệm duy nhất : x = 1 : (m – 2)
* Nếu m = 2 m = 2 Khi đó pt (2) vô nghiệm
Giải và biện luận pt (3) :
* Nếu m 0, khi đó pt (3) có nghiệm duy nhất : x = 3
m
* Nếu m = 0, khi đó pt (3) vô nghiệm
Trang 7 Remart :
Với m 0, pt(3) 2x = -3 x = 3
2
Với m = 0, pt (2) -2x =1
x= 1
2
Nếu 3 1
2
m m
m = 3
2
Kết luận : Nếu m 2, m 0, m 3
2 S = 3; 1
2
m m
Nếu m = 2 S = 3
2
Nếu m = 0 S = 3
m
Nếu m = 3
2 S = { -2 }
****************************************
7 Giải và biện luận phương trình : (ax + b) : ( cx + d ) = e
Hướng giải quyết:
Đưa pt trên về dạng : ax = b
Từ đó giải và biện luận phương trình này để suy ra nghiệm của pt trên.
1
a x
(1)
Bài giải:
Điều kiện : x 1
Pt (1) ( a – 2 )x = 3a – 3 (2)
Giải và biện luận pt (2) :
* Nếu a 2 : Pt (2) có nghiệm duy nhất : x = 3 3
2
a a
Để pt (1) có nghiệm duy nhất thì : x = 3 3
2
a a
1 a 1
2
* Nếu a = 2 : Pt (2) vô nghiệm Do đó, pt (1) vô nghiệm
Trang 8
Kết luận : * a 2 và a 1
2 thì : S = 3a a23
* a = 2 và a = 1
2 thì : S =
*****************************************
8 Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ : m f (x) + n f (x) + p = 0
Hướng giải quyết:
Đặt t = f (x) ( Điều kiện : t0 ) f (x) = t 2 (*)
Thế (*) vào pt trên để ta được một pt mới toàn ẩn t Giaỉ và biện luận pt new này để tìm được t, sau đó thế t vào để tìm được được x, giải quyết các vấn đề mà bài toán đặt ra.
Bài giải:
Đặt t = ( 4x2 – 12x + 11 ) ( Điều kiện t0 )
t2 = 4x2 – 12x + 11 nên t2 – 11 = 4x2 – 12x (*)
Thế (*) vào pt (1), ta được : t2 – 11 – 5t + 15 = 0 t2 – 5t + 4 = 0
Giải ra ta được : t = 1 or t = 4
* Với t = 1 thì : ( 4x2 – 12x + 11 ) = 1 ; Giải ra ta được : pt vô nghiệm
* Với t = 4 thì : ( 4x2 – 12x + 11 ) = 4 ; Giaỉ ra ta được :
x = ( 3 - 14 ) : 2 or x = ( 3 + 14 ) : 2 Kết luận : Vậy S = {( 3 - 14 ) : 2 ; ( 3 + 14 ) : 2}
9 Giải phương trình : A - B = C (1)
Hướng giải quyết:
Điều kiện : Đồng thời cả A, B, C đều 0
Đưa pt (1) về dạng : A = B + C (2)
Giải pt (2) bằng cách bình phương cả hai vế của pt : ( A ) 2 = ( B ) 2
+ ( C ) 2
Từ đó giải quyết các vấn đề mà bài toán yêu cầu.
Trang 9* Example:
1 Giải pt sau : ( x2 – 3x ) = 2x + 4 (1)
Bài giải:
Điều kiện: x2 – 3x 0 x0 và x3
Pt (1) 22 4 0 2
3 (2 4)
x
2
3 19 16 0
x
2 1 16 3
x x x
1
x
Kết luận : Vậy nghiệm của pt là x = -1
2 Giải pt sau: 2x 1 6 x x 1 (1)
Bài giải:
Điều kiện:
2 1 0
1 0
x x x
1 2 6 1
x x x
1 x 6
Pt (1) 2x 1 6 x x 1 2x 1 6 x x 12
2 (6 x)(x 1) 2x 6
3
( 1)(6 ) 3
( ) 2
x
x Loai
Vậy : Nghiệm của pt là: x 3 và x 5
10 Giải hệ pt gồm 1 pt bậc nhất hai ẩn và 1 pt bậc 2 hai ẩn.
Hướng giải quyết: Sử dụng phương pháp thế
164(2)
x y
x y
Bài giải:
Pt (1) y x 2
Thế vào pt (2) x2 (x 2) 2 164 2x2 4x 160 0
Trang 10 x x 108 y y810
Vậy hệ pt có nghiệm: x y108
; x y108
******************************************
11 Hệ pt đối xứng hai ẩn x và y
Hướng giải quyết: Dùng phương pháp đặt ẩn phụ bằng cách biến đổi hệ pt đã cho về hệ pt mà chỉ có đại lượng x+y và xy:
Đặt s x y p xy
Điều kiện s 2 4s 0
Nếu s x y p xy
Suy ra x,y là nghiệm của pt t2 st p 0
* x3y3 (x y )3 3x (y x y )
* x2y2 (x y )2 2xy
5
x y x y
xy x y
Bài giải:
Hệ pt (1)
2
5
x y xy x y
xy x y
Đặt s x y ; p xy
Khi đó hệ pt
5(2)
s p s
p s
Từ (2) suy ra p= 5 – s ; thế vào pt (1), ta được: s 2 2(5 s) s 8 2 6
3 18 0
3
s
s s
s
Với s = 3 suy ra p = 2 3
2
x y xy
Suy ra x và y là nghiệm của pt: 2 1
3 2 0
2
t
t t
t
Trang 11Khi đó hệ pt có nghiệm: x y12
và x y12
Với s = - 6 suy ra p = 11 Ta có: s2 – 4p = 36-44 < 0 (Loại)
Kết luận : Vậy hệ pt có nghiệm 1
2
x y
và 2
1
x y
******************************************
12 Bất phương trình – Xét dấu của f(x) = ax+b (a0)
Hướng giải quyết:
a
x b
a
ax+b Trái dấu a 0 Cùng dấu a
1 Xét dấu f(x) = - 4x + 1.
Bài giải:
D = R
- 4x + 1 = 0 suy ra x= 1
4
Bảng xét dấu:
x 1
4
-4x+1 + 0
Kết luận: * f x( ) > 0 ( ; )1
4
x
* f x( ) < 0 ( ;1 )
4
x
2 Giải bất pt sau: (3 )(2 ) 0
1
x
Bài giải:
Trang 12 D = R \{-1}
Ta có: + 3 x 0 x 3
+ 2 x 0 x 2
+ x 1 0 x 1
Bảng xét dấu:
x 1 2 3
VT KXĐ + 0 0 +
Kết luận: Vậy S = ( ; 1) 2;3
3 Giải bất pt sau: (2x 1)(x2 x 30) 0
Bài giải:
D = R
Ta có: *
1
2 1 0
2
x x
* 2
5
30 0
6
x
x x
x
Bảng xét dấu:
x -6 1
2
5
VT 0 + 0 0 +
Kết luận: Vậy S = 6; 1 5;
2
**************************************
13 Tìm tham số m để f(x) = ax2 + bx + c luôn 0; 0; 0; 0 x R
Hướng giải quyết:
Xét a = 0
Ta có:
+ f(x) 0 x R 0
0
a
+ f(x) x R 0
0
a
Trang 13+ f(x) 0 x R 0
0
a
+ f(x) 0 x R 0
0
a
Bài giải:
Xét m – 4 = 0 suy ra m = 4
Khi đó f(x) = (4 1) x 2.4 1 5 x 7 (Không thỏa mãn đề bài)
Ta có: ( ) 0 4 02
( 1) 4( 4)(2 1) 0
m
f x
24
7 38 15 0
m m
4 3 7 5
m m m
5
m
Kết luận: Vậy m 5 thì f(x) = (m - 4)x2 + (m + 1)x + 2m-1 luôn không âm
****************************************
14 Giải và biện luận bất phương trình: ax b 0 (1)
Hướng giải quyết:
Tìm tập xác định: D = R
Biến đổi bất pt (1) về dạng: ax b (2)
+ Nếu a>0: Bất pt (2) x b
a
+ Nếu a<0: Bất pt (2) x b
a
+ Nếu a = 0: Bất pt (2) 0x b (Tùy vào tình hình thực tế để giải quyết)
* Example: Giải và biện luận bất pt sau: (m 1)x m 3 4x 1
Bài giải:
D = R
Bất pt (1) (m 3)xm 2
Trang 14+ Nếu m – 3 0 suy ra m > 3 Khi đó bất pt (2) 2
3
m x m
+ Nếu m – 3 < 0 suy ra m < 3 Khi đó bất pt (2) 2
3
m x m
+ Nếu m – 3 = 0 suy ra m = 3 Khi đó bất pt (2) 0x 5 ( Thỏa mãn x
Kết luận: + m > 3: S = 2;
3
m m
+ m < 3: S = ; 2
3
m m
+ m = 3: S = R
********************************************
15 Tìm m để bất pt có nghiệm
Hướng giải quyết: Áp dụng
2 5 6 0(1)
4 0(2)
x x mx
Bài giải:
Ta có: x2 5x 6= 0 3
2
x x
Suy ra S1 = (2;3)
Ta có: mx 4 0 mx 4
+ Nếu m > 0 suy ra x < 4
m
Suy ra: 2
4
;
S
M
Hệ bất pt có nghiệm S1 S2
0 4 2
m
m
0 2
m m
m
+ Nếu m < 0 x 4
m
2
4
;
S
m
Hệ bất pt có nghiệm S1 S2
0 4 3
m
m
0 4 3
m m
3
m
+ Nếu m = 0 0x 4 (Vô lí) S2 Dẫn đến hệ pt vô nghiệm
Kết luận: Vậy nghiệm của hệ bất pt này là: 4
3
m
Trang 1516 Giải bất pt dạng: f x( ) g x f x( ); ( ) g x f x( ); ( ) g x f x( ); ( ) g x( ).
Hướng giải quyết: Ta luôn có
f x( ) g x( ) ( ) 02 2
( ) ( )
g x
f x g x
f x( ) g x( ) 2 2
( ) 0 ( ) ( )
g x
f x g x
Hai cái còn lại ngược lại tương ứng
* Example: Giải bất pt sau; x2 x 1 2 x 5 (1)
Bài giải:
Bất pt (1) 2 25 0 2 2
x
5 2 ( 1) (2 x 5) 0
x
x x
5 2 ( 3 4)( 6) 0(2)
x
Giải bất pt (2):
Ta có:
3 4 0
4
x
x x
x
x2 x 6 0 Pt vô nghiệm
Bảng xét dấu:
x - 1 4
VT + 0 0 +
Suy ra 1 x 4; khi đó hệ tương
5 2
x x
1 x 4
Kết luận: Vậy nghiệm của bất pt này là:
* Note: f x( ) g x( ) g x( ) f x( ) g x( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
1 x 4
Trang 16* Example: Giải bất pt sau: x2 4 x2 5x 4 (1)
Bài giải:
Bất pt (1)
5 0
8
5 8
5
x
x
x 0
Kết luận: Vậy nghiệm của bất pt này là:
**********************************************
17 Giải bất pt dạng: f x( ) g x( ); f(x) g x( )
Hướng giải quyết:
2
( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x
2
( ) 0 (x) ( ) ( ) 0
(x) ( )
f x
f g x g x
f g x
* Example: Giải bất pt sau: x2 x 12 7 x (1)
Bài giải:
Bất pt (1)
3 4
4
12 (7 )
13
x x
x x
Kết luận: Vậy nghiệm của bất pt là:
************************************
18 Giải bất pt dạng: A B ; A B
Hướng giải quyết:
0
x
3
x hoặc 4 61
13
x
Trang 172
0 0 0
A B
A B
B
A B
2
0 0 0
A B
A B
B
A B
* Example: Giải bất pt sau: x2 3x 10 x 2
Bài giải:
Bất pt (1)
2
3 10 0
(1)
2 0
2 0
(2)
3 10 ( 2)
x x x x
Giải hệ bất pt (1)
2
2 5
2
x
x x
x
Giải hệ bất pt (2) 2 14
14
x
x x
Kết luận: Vậy nghiệm của bất pt là:
19 Giải bất pt bằng cách đặt ẩn phụ
Hướng giải quyết: Áp dụng
* Example: Giải bất pt sau: x2 3x 6 x2 3x (1)
Bài giải:
3 0
0
x
x x
x
Đặt t = x2 3x ; t 0 t2 x2 3x
Bất pt (1) t 6 t2 t2 t 6 0 3 t 2
Kết hợp với điều kiện:
0
t
t
0 t 2hay
2 2
3
3 0
x
x x
2
x hoặc x 14
