Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần ðịnh lý : Nếu u, v là hai hàm số liên tục trên K thì... Nguyễn Phú Khánh Ờ đà Lạt.[r]
Trang 1l i ( )
( − )( − )( − )
∫
ð t :
( − )( − )( − ) (= − ) (+ − ) (+ − ) ⇒
)
(
ð t :
( − )( − ) = − + − + ( − ) (+ − ) ⇒
( )−
−
+
− +
−
( )
Trang 2−
Tính nguyên hàm c&a các hàm s' sau :
Tìm nguyên hàm ( ) c&a hàm s'
Tính nguyên hàm b+ng phương pháp ñ/i bi*n s'
ð0nh lý : Cho hàm s' = ( ) có ñ o hàm liên t5c trên và hàm s' = ( ) liên t5c sao cho ( )
xác ñ0nh trên Khi ñó n*u là m8t nguyên hàm c&a , t:c là
( ) = ( )+
∫
=
+
∫
−
=
∫
Trang 3ð t : = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = =
+
∫
Tính nguyên hàm c&a các hàm s' sau
+
∫
( + )
∫
∫
+
∫
∫
∫
( + )
∫
∫
+
∫
+
∫
+
∫
+
∫
+ + +
∫
+
∫
∫
∫
+
∫
−
∫
−
∫
+
∫
∫
∫
+
∫
+
∫
−
∫
+
∫
π
∫
∫
∫
∫
Trang 4( )
+
−
∫
∫
∫
∫
+
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+
∫
∫
∫
+
∫
∫
∫
∫
+
∫
±
∫
+
∫
+
∫
+
∫
Tính nguyên hàm b+ng phương pháp t;ng ph<n
ð0nh lý : N*u là hai hàm s' liên t5c trên thì ∫ −∫
=
+
∫
Trang 5ð t : = ( + + ) +
=
Tính nguyên hàm c&a các hàm s' sau
+
∫
+
∫
∫
∫
+
+
∫
( − )
∫
Tích Phân
Ví d5 :
Trang 6( )
+
−
−
( )
+
−
π π
−
−
π π
π
π π
π π
−
Trang 7+
−
−
+ = − − + + = − − + + =
−
−
π
π π
π
π
π
π
−
=
+
∫
ð/i cAn π
= ⇒ =
= − ⇒ = −
Trang 8( )
+
−
+
+
∫
+
ð/i cAn = ⇒ =
−
+
+ +
∫
ð/i cAn
π π
Trang 9VAy ( )
π
+
∫
=
+
∫
= ⇒ =
= ⇒ =
π
=
+
∫
ð t :
−
= ⇒ =
= ⇒ =
π
∫
Trang 10= ∫ − >
Cho ∫ ( ) = − và ∫ ( ) = Hãy tính ( ) ( )− − ( )
+ +
∫
+
∫
+
∫
−
−∫ +
+
∫
+
∫
+
∫
∫
+
∫
∫
∫
∫
∫
Trang 11−∫ − +
+
∫
( + )
∫
−∫ − +
∫
−
∫
−
∫
−
∫
−
∫
−
−
∫
+
∫
+
∫
+
∫
−
∫
−
∫
−
∫
−
∫
−
∫
−
+ − −
∫
−
∫
∫
−
∫
+
∫
−∫ − −
∫
π
π
−
∫
π
∫
π
∫
∫
Trang 12+ −
π
∫
π
−
∫
∫
∫
+
∫
−
∫
+ +
π
π
−
−
∫
π
π
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
∫
π
∫
π
π
∫
π
∫
Tính tích phân b+ng phương pháp ñ/i bi*n s'
Công th:c d/i bi*n s' ∫ ( ) = ∫
Trang 13−
∫
π
−
∫
−
∫
∫
+
∫
+
∫
+
∫
−
∫
+
∫
+
∫
∫
−
+
∫
− >
∫
−
∫
+
∫
−
∫
+
∫
−
∫
+
∫
+
∫
+
∫
( + )
∫
−
−∫ −
+
∫
+
∫
+
∫
+
∫
+ +
∫
−
− + + +
∫
− +
∫
Trang 14− >
∫
( + )
∫
∫
∫
+
∫
−∫ − + +
∫
+
∫
−∫ + +
+
∫
+
∫
+ +
∫
+
∫
−∫ + + +
+ −
∫
∫
−∫ − + +
+
∫
∫
∫
−
− + + +
∫
π
∫
π
π
∫
π
+
∫
π
−
∫
π
∫
π
π
∫
π
−
∫
π
∫
π
+
∫
π
∫
π
π
∫
π
+
∫
Trang 15π
∫
π
π
−
∫
π
∫
π
∫
π
∫
π
+
∫
π
π
∫
π
− +
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
+
+
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
−
∫
π
+
∫
π
∫
π
+
∫
π
∫
π
∫
π
+
∫
π
π
−∫ +
π
− +
∫
π
−
∫
π
+ +
∫
π
π
− +
∫
π
+
∫
π
∫
π
∫
Trang 16π
+
π
−
∫
π
π
∫
π
π
−
∫
+
−
∫
−
∫
−
∫
−
∫
−
∫
−
∫
−
−
∫
−∫ + +
∫
+ −
∫
∫
+
∫
+
+
∫
+
∫
+
∫
−∫ + + +
∫
+
∫
+
∫
∫
∫
Trang 17∫
+
∫
+
∫
−∫ + +
∫
+ +
∫
+
∫
+
∫
∫
∫
+
∫
+
+
− +
∫
∫
− +
∫
+
∫
+
∫
∫
∫
∫
−
∫
+
∫
∫
∫
+
∫
+
∫
−
∫
∫
+
∫
− +
∫
+
∫
Trang 18∫
∫
+
∫ + +
∫
+
−
∫
+
∫
−
− +
∫
+
∫
+
∫
+
∫
−
∫
+
∫
( + )
∫
+
∫
+
∫
+
∫
+ +
∫
π
∫
π
∫
π
π
∫
π
+
∫
π
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
∫
π
+
∫
π
∫
π
∫
π
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
∫
π
+
∫
π
+
∫
π
∫
Trang 19π
+
∫
π
+
∫
π
∫
π
∫
π
+
∫
Tính tích phân b+ng phương pháp t;ng ph<n
Công th:c tích phân t;ng ph<n : ∫ = −∫
D ng 1 β
α
⇒
∫
D ng 2: β
α
Ví d5 :
= ∫
= ∫
= ∫
π
= ∫
= ∫
ð t:
=
= ∫
Trang 20ð t == ⇒ = =
ð t = ⇒ =
= − − = − + = −
= ∫
ð t:
=
π
= ∫
ð t: = ⇒ =
−
−
= ∫
ð t: = − ⇒ = −