Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.. Tìm nguyên hàm Fx của fx, rồi sử dụng trực t[r]
Trang 1BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
B ẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
*dx x C
*
1
x
* 1
ln
1
*e dx e x xC =>e u due u C
ln
x
a
*cosxdxsinx C => cosudusinuC
*sinxdx cosx C
2
2
1
cos
os (ax+b)
x dx a c
*
2
1
cot sin
* (ax+b) dx 1 (ax+b) C a, 0
a
*
*cos(ax b dx ) 1sin(ax b ) C
a
ln
*sin(ax b dx ) 1cos(ax b ) C
a
*e ax b dx1e ax b C
a
*tanxdxlncosx C
*cotxdxlnsin x C
a x
a x a
dx a
2
1 1
2 2
D ạng 1: T ính tích phân bằng cá ch sử dụng bả ng nguyên hàm và định nghĩa
Biến đổi biểu thức hà m số để sử dụng được bảng các nguyên hà m cơ bản Tìm nguyên
hà m F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:
b
a
f x dxF b F a
Chú ý : -N ếu ( )
b
a
f x dx= ( ) b
a
F x thì ( ) ( )
b
b a a
f u du F u với u = u(x)
-Nắm vững bảng các nguyên hà m;Nắm vững phép tính vi phân chú ý : ,( )
( )
du x dx
u x
- Chú ý đến phép chia đa thức, phân tích. 1 1 ( 1 1 )
(x a x b)( ) a b x ax b
1 Tích phân hàm s ố hữu tỷ
1.
1
3
0( 1)
x
dx
x
1 2
0
2
dx x
3ln 2 2
3)
2
3
1
dx
xx
2
3
dx
x x
ln
5)
4 2
1
1
( 1)
dx
2 0
1 4
2
Trang 2BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
7)
3 2
3
2
1
1
x
5
ln 2 4
2 2 1
6
x dx
9)
1
2
0
x
1 x
4
2 3
4x 3
11)
3
2 2
1
dx
x x 1
1
0
sin ( 1) cos sin cos
dx
2 Tính các tích phân vô t ỷ:
1)
2
0
x 1 x dx.
1 2
0
Ix x 1dx 2 2 13
3)
7
3
0
x 2
dx
x 1
3
3 2 1
x x 1dx
5
5)
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
46
1
0
dx
x 3 x 1
3-3
7)
2
0
x dx
x x 1
15
8)
2
1
2
x x dx
15 5
3 Tính các tích phân l ượng giác sau:
0
cos2x
1 2sin 2x
1
ln 3
2 3 0
4sin x
dx
1 cosx
2
3)
0
sin3x sin 3x
dx
1 cos3x
ln 2
0
2
5)
2
0
sin x sin 2xdx
2
2 0
sin 2x 1 sin x dx
15 4
7)
0
1 2sin
1 s 2
x
dx
in x
1
ln 2
/ 2
/6
cos 2 (sinx x cos x dx)
32
9)
/ 2
0
(cos x sin x dx)
/ 4
0
sin 4
x dx
3 ln 4 11)
/ 4
4
0 cos
dx
x
4
/ 3 3
0
tan x dx
3 ln 2
2
13)
/ 4
4
0
tan x dx
14.
4
0
sin 2 cos
3 sin cos
dx
1 (ln4 )
15.
2
3 0
5 cos 4 sin
( osx+sinx)
dx c
3
2 3 s inx-cosx
dx
4 3
Trang 3BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
17)
/4
6
0
dx
cos x
2
3 0
sin sin 3 cos
3 6
4 Tích phân hàm s ố mũ – logarits
1).
x 0
dx
1 2e
e
ln 2
2
0 ( 1)
x x
e dx
e
3)
e
1
1 ln x
dx
x
2 2 1
2 sin 0
cos cos
x
4
e
sin
0
) cos
x
tgx e x dx
e
1
2 ln x
dx 2x
D ạng 2: T ính tích phân bằng phương phá p đổi biến số
Giả sử ta cần tính I = ( )
b
a
g x dx
.Nếu viết được g(x) dướ i dạng: g x( ) f u x u x ( ) '( ) thì đặt
t u x dtu x dx .Khi đĩ I =
( )
( )
u b b
g x dx f u du
M ột số dạng thường gặp:
*Nếu tích phân chứa n u x( )thì cĩ thể đặt t = n u x( )hoặc t = u(x)
*N ếu tích phân chứa mẫu số cĩ thể đặt t = mẫu số
* D ạng (sinx).cosx f dxcĩ th ể đặt t = biểu thức chứa sinx
*D ạng ( osx).sinx f c dx cĩ th ể đặt t = biểu thức chứa cosx
* D ạng f(tanx) 12
cos xdx, cĩ th ể đặt t = biểu thức chứa tanx
*D ạng f(sinx+cosx).(cosx-sinx)dx, đặt t = sinx+cosx
*D ạng f(ln )x 1dx
x , đặt t = biểu thức chứa lnx
*D ạng ( ) x x
f e e dx , đặt t =biểu thức chứa x
e
2.1 Tính các tích phân h ữu tỷ:
1)
4
1
.dx
17
2 2
1
(x 1)dx
x 5x 1 x 3x 1
3)
4
1
.dx
x
1
(x x)dx
x
2.2 Tích các tích phân vơ t ỷ:
1)
1
0
1
x x dx
2)
2 0
x 2x
.dx
3)
3
dx
x x
2
x dx x
3
Trang 4BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
5)
1
01
dx
x
1
dx x
x x
62
30 ln 2
3
7).
4
2
7
dx
x x 9
10
I
9).
1
1
x
dx
2 3 3
4
0
4x 1
dx 2x 1 2
10 ln
11)
2 3
2
dx
x x
1 3
2
2
dx x
3
13).
64
3
1
dx
x x
3
ln 3 2
x
e dx
e e
x
3
4 1
2011
21 73
128 +14077
16
16)
5 2
1
1
x
dx
27 5
17)
5
2
x
dx
1
2
dx
2 3 Tích các tích phân lượng giác:
a) sin cos
b
a
b
a
1.
2
0
sin 2 cos
1 cos
dx
0
sin 2 sin
1 3cos
dx x
3).
/ 2
0
cos
13 10 sin cos 2
x dx
ln
/ 2
0
sin 2
3 4 sin cos 2
x
dx
-2 1
5).
4
0
dx
cosx
/ 2
/3sin
dx x
1ln 3
2
7)
/ 2
0
cos sin cos
2 sin
dx x
3
0
3sin 4 cos 3sin 4 os
dx
9)
2
0
(cos x 1) cos xdx
10) 2 0
5 3
cos sin cos 1
xdx x
11)
/2
0
sin x.cos x.dx
2
2
0
sin 2 cos 4sin
x dx
13.
3 2
2 0
sin cos
1 cos
dx x
1 ln 2 2
0
4 cos
1 sin
Trang 5BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
1 cos
x
1 sin
x
1)
0
/ 4cos cos
4
3
3
4 sin cos
dx
3).3
6 sin sin
3
dx
ln 2 3
4)
/ 6 4
0
tan cos 2
x dx x
3
dx
01 s inx+cosx
dx
7)
3
4
4
sin cos
dx
3 0
2
/4
2 0
dx sin x 2cos x
10
2 4
4
sin cos (tan 2 tan 5)
xdx
11) 3
6
cotx
dx
s inx.sin x
4
12)
4
2 6
tan
cos 1 cos
x
dx
3
13)
4
2 0
tan x
dx
4 tan x cos x
4 ln 1
3
b
a
f sinxcosx
b
a
f sinx cosx
1).
/ 2
3 0
cos 2
x
dx
4 0
sin 4 sin 2 2 1 sin cos
4 3 2 4
3
4
0
sin cos
3 sin 2
dx x
.
3 sin 2 0
dx x
ln
5)
0
s inx-cosx+1
s inx+2cosx+3dx
0
sin (sin cos )
xdx
7.
4
0
cos 2
1 sin 2 2 sin( )
4
x
dx
d) Các d ạng khác
1.
/ 4
0
(sin2x 2x)dx
cos x(1 x.tan x)
/2
4 0
sin2x
.dx
1 sin x
Trang 6BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
3)
/2
2 0
sin x x.cos x
.dx
1 x.sin x
4 s in2x 2x
.dx 2
0 x.cos x sin x
5) /2 s in2x 2x dx
/4 sin x(1 x cot x)
2.4 Tích phân m ũ – logaris
1.3
1 x 1
dx
e
2 ln(e2 e 1) 2.
ln 3
3
x e x dx
3)
x
e d x
1 0
2
x
ln
5 ln 2 14
dx
ln 5
ln 2 2
x x
e dx e
8
2 3 3
7 e x x dx
x
1
1 3ln ln
1
3 2 ln
1 2 ln
e
x dx
9.
3
2
2
1
log
1 3ln
e
x
dx
2 ln 27
4
1
ln 1 ln
x
3
3 ( 16 1)
1
ln
(2 ln )
e
x
dx
ln sin(ln ) ln 1
e
dx x
3 3
12)
2
e
e
1 ln x
.dx
x ln x
/4 2 0
log (1 tan x)dx
4
14
2
2
e
e
dx
2
e e
15)
2 1
dx x
Dạng 3: T ính tích phân bằng phương phá p tích phân từ ng phần
3.1.D ạng ( ) n
b
a
P x l xdx
1.
3
2
2
ln(x x dx)
1 3
ln
dx x
x
16
2 ln 2
3
1
ln
e
I x x dx
4
32
2 1
ln 1
e
e
dx x
2
1 e
5
3
2
1
3 ln x
dx
(x 1)
0
s inx.ln(1+cosx)dx
7.
3
2
6
ln(s inx)dx
os
2 0
ln 1
ln 2 2
Trang 7BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
9)
1
3
e
x
1 2
4
ln sin 2
tgx dx x
ln 3 16
11
3
2 0
4
ln
4
x
x
5
ln
e x dx x
13.
3
2
ln 3 ln 2 3 4
1
ln
ln
1 ln
e
x
x dx
e
3.2 D ạng ( ).cos
b
a
b
a
P x xdx
1. 2
0
2 )cos
sin
(
xdx x
2
2.
/ 4 2
0
tan
2 1
ln 2
3.
2
0
sin
2
2
0
cos x dx
5. 4
0
3
cos
sin
dx
x
x
x
2
1
4
0 1 cos 2
x
1
ln 2
7. 3 2
0
1 sin
cos
dx x
0
.sin cos
3
3.3 D ạng ( )
b
x a
P x e dx
1
1
2
0
(x 2 ).x e dx x
1 2
2
0 2
x e x dx
3
e
3.
1 2 2
2
0 1
x e x dx
x
1
2
x
2
61
3 3
e
5.
2
sin x
0
cos 3x.e dx
0
sin 5
x
3 2
34
e
7).
/ 2
2
0
cos
x
2
0
1 sin
1 cos
x x
e dx x
Trang 8BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
D ạng 4: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số l ượng giác
Giả sử ta cần tính f x dx( )
.Đặt x = x(t) (t K) và a, b K thoả mãn = x(a), =
x(b)thì ( ) ( ) '( ) ( )
f x dx f x t x t dt g t dt
g t( ) f x t ( ) '( )x t
4.1 D ạng f(x) có chứ a a2x2 thì đặt sin ,
x a t t
1
2 / 2 2
2
0 1
x
dx x
8 14
2 1
1
ln
4 ln
e
x dx
3
2
0 4
x
dx
x
4
1
0
4 3
+ 12
9 3
5.
2 / 3
2
x x
12
2 1/ 2 2x dx
x x
7
2
1
4 x
dx
x
3
2
0 3 2
x dx
x x
4
9
2
1 1 ln
e
dx
10
1
ln 1 ln
1 ln
e
dx
4
4.2 D ạng f(x) có chứ a a2x2 thì đặt tan ,
x a t t
1
1
2
0
1 x dx
2 1ln( 2 1)
1
2
0 1
dx x
ln( 2 1) 3
0
2
dx
3
18
4
1 4
6 0
1 1
x dx x
3
5
6 10
2
2
4
1
1
1
x
dx x
2 6
2 0
cos cos sin
1 cos
x
2 2 4
7
1 2
3
0
1
x
dx
x
9
8
1
dx
x x
9
2
2
0
s inx
1 os
dx
x
e
1
2
) ln 1
2
Các d ạng khác 1.
2
0
( 2)
4
x
x
2.
2 / 2
0
1 1
x dx x
3.
1
1
3
x
x
3
2 ln 1 1
x
x
Trang 9BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
D ạng 5: Tích phân một số hàm đặc biệt
Dạng 1 Tích phân củ a hà m số chẵ n, hà m số lẻ
Nếu hà m số f(x) liên tục và là hà m số lẻ trên [ -a; a] thì ( ) 0
a
a
f x dx
Nếu hà m số f(x) liên tục và là hà m số chẵn trên [ -a; a] thì
0
a
f x dx f x dx
Bước 1: Phân tích
0
0
I f x dx f x dx f x dx
0
0
a
a
J f x dx K f x dx
Bước 2: Tính tích phân
0
( )
a
J f x dx
bằng phương pháp đổi biến Đặt t = – x
Dạng 2 Nếu f(x) liên tục và là hà m chẵ n trên R thì:
0
( )
( ) 1
x
f x
dx f x dx a
(với R + và a > 0)
0
0
0
0
;
Để tính J ta cũng đặt: t = – x
Dạng 3 Nếu f(x) liên tục trên 0;
2
f x dx f x dx
Đặt
2
t x
Dạng 4 Nếu f(x) liên tục và f a b x( ) f x( ) hoặc f a b x( ) f x( )thì đặt: t = a + b – x
Đặc biệt, nếu a + b = thì đặt t = – x
nếu a + b = 2 thì đặt t = 2 – x
Dạng 5 Tính tích phân bằng cá ch sử dụng nguyên hà m phụ
Bà i 1. Tính các tích phân sau (dạng 1):
a)
4
4
4
1 cos
dx x
b)
2
2
2
cos ln(x x 1 x dx)
c)
1 2
1 2
1 cos ln
1
x
x
2
1
1
x dx
2 1
sin 1
dx x
Bà i 2. Tính các tích phân sau (dạng 2):
a)
12x 1
x
dx
1
1
1 2x
x dx
1
2
dx
d)
2
sin
3x 1
x dx
e)
3
3
2
2 1
1
dx
x
1
2
dx x
Trang 10BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
Bà i 3. Tính các tích phân sau (dạng 3):
a)
2
0
cos
n
x dx
(n N * ) b)
7 2
0
sin
x dx
2
0
sin
x dx
d)
2009 2
0
sin
x
dx
e)
4 2
0
cos
x dx
4 2
0
sin
x dx
Bà i 4. Tính các tích phân sau (dạng 4):
a)
2 0
.sin
4 cos
dx x
2 0
cos
4 sin
dx x
c)
2
0
1 sin ln
1 cos
x dx x
d)
4
0
ln(1 tan ) x dx
e)
2
3
0
.cos
0
.sin
g)
01 sin
x
dx x
0
sin
2 cos
dx x
i)
2 0
sin
1 cos
dx x
k)
4
0
sin 4 ln(1 tan )x x dx
2 0
sin
9 4 cos
dx x
0
sin cos
Bà i 5. Tính các tích phân sau (dạng 5):
a)
2
0
sin
sin cos
x dx
x x
b)
2
0
cos sin cos
x dx
x x
2
0
sin sin cos
x dx
x x
d)
2
0
cos
sin cos
x dx
x x
e)
4 2
0
sin
x dx
f)
4 2
0
cos
x dx
D ạng 6: Ứng dụng của tích phân
1 Diện tích hình phẳ ng
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
{ Đồ thị (C) củ a hà m số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b];Trục hoà nh;H ai đườ ng thẳ ng x = a, x = b }
b
a
S f x dx (1)
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
{ Đồ thị củ a cá c hà m số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b];H ai đườ ng thẳ ng x = a, x = b }
b
a
S f x g x dx (2)
Chú ý :
Trang 11BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
Nếu trên đoạn [ a; b] , hà m số f(x) không đổi dấu thì: ( ) ( )
f x dx f x dx
Trong các công thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hà m số dưới dấu tích phân Ta có thể là m như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [ a; b] Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d)
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
f x dx f x dx f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx
* Trường hợp giới hạn bởi nhiều hơn hai đường đường cĩ thể vẽ đồ thị để thiết lập cơng thức tính`
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đườ ng:
– Đồ thị của x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hà m số liên tục trên đoạn [ c; d] )
– Hai đườ ng thẳng x = c, x = d. ( ) ( )
d
c
S g y h y dy
2 Thể tích vật thể
Thể tích củ a khối tr ò n xoay:
Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoà nh, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh trục Ox: 2( )
b
a
V f x dx
* N ếu hình phẳng giới hạn bởi đ ồ thị của các hà m số y = f(x), y = g(x) ;x = a, x = b quay quanh Ox thì
V f x dxg x dx
Chú ý : Thể tích của khối trò n xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đườ ng sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d là : 2( )
d
c
V g y dy
Bà i 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x24x6,y0,x 2,x4 b)
2
ln( 2) 4
y
x
và trục hồnh
x
2
x
x
e) y ln ,x y 0, x 1, x e
e
f) yx y3, 0, x 2, x1
Bà i 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1
x
x
c) y e y x, 2, x1 d) y 4x2 , y x2
Trang 12BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ƠN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
e) y2x2,y x 22x1, y2 f) 1 , 1 x
Bà i 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y 4 x y x2, 22x b) y x24x3 , y x 3
2
2
1 , 2 1
x
x
Bà i 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y x2, x y2 b) y2 x 5 0,x y 3 0
c) y22y x 0, x y 0 d) y2 2x1,y x 1
s inx.cos
x
x x
f)x y 3 1 0, x y 1 0
Bà i 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
2
1
0 à
1
x
b)
2
x
, tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2 c) ( ) :C yx32x24x3, y0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2
d) ( ) :C y x 33x2, x 1 và tiếp tuyến cới (C) tại điểm có hoành độ x = –2
e) ( ) :C y x 22x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C)
V Ấ N ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Bà i 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường quay quanh trục Ox: a) y 1 2xx C y2( ); 1( )D b) .
1
x x
x e y
e , trục hồnh và đường thẳng x 1
2
e) yx31, y0, x 1, x1 f) yx2, y x
g) /yxlnx, y 0 , ye h) y x24 ,x y x 2
y x y x x x
1
x y x
và hai trục tọa độ
l) yx24x6,y x2 2x6 m) yln ,x y0, x2
Bà i 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường quay quanh trục Oy: a) x 2,y 1,y 4
y
c) y e x x, 0,y e d) yx2, y1, y2
Bà i 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay quanh:
i) trục Ox ii) trục Oy
a) y(x2) ,2 y4 b) yx.ln ,x y0,x1, x e
Trang 13BÀI T ẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013.
c) yx2, y x d) y2x x 2, y0