Bài 5: 3,0 điểm Cho tam giác ABC, đường vuông góc với AB tại A và đường vuông góc với BC tại C cắt nhau tại D.. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TOÁN 8 Năm học 2012 – 2013
Bài 1: (1,0 điểm) Tính nhanh
a) A =
3 3
97 83
97.83 180
b) B = (502 + 482 + 462 + + 42 + 22) – (492 + 472 + + 52 + 32 + 12)
Bài 2: (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 – 5x – 14 ;
b) x2y + xy2 + xz2 + yz2 +x2z + y2z + 2xyz ;
c) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
B i 3: à (1,0 điểm) Cho hai đa thức: A = x4 - 3x3 + x2 + ax + b
B = x2 – 3x + 2 Xác định các số a, b sao cho A chia hết cho B
Bài 4: (2,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức sau:
A =
2 2 2
2 :
x y z yz x y z
x xz y yz x y z
với x =
2 1
3 ; y =
8
3 và z =
1 3
3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B =
2 2
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC, đường vuông góc với AB tại A và đường vuông góc với BC tại C cắt nhau tại D Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
a) Chứng minh DH đi qua trung điểm M của AC
b) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để B, H, D thẳng hàng
B i 6: à (1,0 điểm) Tính diện tích hình thang ABCD (AB // CD), biết AB = 42m, Â = 450 , B
= 600 và chiều cao của hình thang bằng 18m
*Hết*
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
THỦY NGUYÊN
Trang 2ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM
TOÁN 8 Năm học 2012 – 2013
Bài 1: (1,0 điểm) Tính nhanh
b) B = (502 – 492) + (482 – 472) + (42 – 32) + (22 – 12)
= (50 + 49)(50 – 49) + (48 + 47)(48 – 47) + + (4 + 3)(4 - 3) + (2 + 1)(2 – 1) (0,25 đ) = 50 + 49 + 48 + 47 + + 4 + 3 + 2 + 1
Bài 2: (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2 – 5x – 14 = x2 – 7x + 2x - 14
= (x2 + 2x ) - (7x + 14 ) (0,5 điểm)
= x(x + 2 ) - 7(x + 2)
c) Có (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24
= (x2 + 7x + 10)(x2 + 7x + 12) – 24
Đặt y = x2 + 7x + 10, ta có:
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = y(y + 2) – 2
Thay y = x2 + 7x + 10, ta lại có:
(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 = (x2 + 7x + 16)(x2 + 7x + 6)
= (x2 + 7x + 16)[x(x + 1) + 6(x + 1)]
B i 3: à (1,0 điểm)
+ Thực hiện phép chia đa thức A cho B được dư là (a – 3)x + (b + 2) (0,5 điểm) + Để đa thức A chia hết cho B thì (a – 3)x + (b + 2) = 0 với mọi x (0,25 điểm)
Suy ra
a) A =
3 3
97 83
97.83 180
=
(97 83)(97 97.83 83 )
97.83 180
= 972 – 2.97.83 + 832
= ( 97 - 83 )2
b) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz
= xy( x + y ) + z2(x + y) + z(x + y )2 (0,5 điểm)
= ( x + y )( xy + z2 + xz + yz )
= ( x + y )(y + z )(z + x ) (0,25 điểm)
Trang 3Bài 4: (2,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức sau:
Ta có: A =
2 2 2
2 :
x y z yz x y z
x xz y yz x y z
=
:
x y z x y z x y z
x y x y z x y z
Vì x y ; x + y + z 0 ; x + y – z 0 Suy ra A =
x y z
x y
Với x =
2
1
3 ; y =
8
3 và z =
1 3
3 , ta có A =
1 2 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Giá trị của B xác định khi x2 – 2x + 1 0 hay (x – 1)2 0 hay x 1 (0,25 điểm)
B =
1
=
2 2
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là
3
4 khi
1 2
x suy ra x = 3 (0,25 điểm)
Bài 5: (3,0 điểm)
b) Để B, H, D thẳng hàng
B i 6: à (1,0 điểm)
Qua A và B kẻ AA’ và BB’ vuông góc với CD
Tứ giác ABB’A’ là hình chữ nhật và AA’ = BB’ = 18m (0,25 điểm)
Góc A’AB = 900, DAB = 450 => A’AD = 450
Do đó A’AD vuông cân nên A’D = A’A = 18m (0,25 điểm)
B’BC vuông có B’BC = 300 => B’C =1/2BC
Từ Pytago, ta có B’C =
18
3 m
Từ đó suy ra CD = 24 -
18
A
B
C
D
Vẽ được hình chính xác được 0,5 điểm
a) Chứng minh được tứ giác AHCD là
hình bình hành (0,75 điểm)
Hai đường chéo AC và DH cắt nhau tại
trung điểm mỗi đường (0,25 điểm)
B A
Trang 4Vậy diện tích hình thang ABCD là:
( )AA'= (42 24 ).18 498,6
2 AB CD 2 3 m2 (0,25 đ)