Bài 31,5 điểm: Trên quãng đờng AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngợc lại.. Các xe này chuyển
Trang 1Đề Toán 8:
Bài 1 (1,5 điểm):
Tính A =
4
1 20
4
1 4 4
1 2
4
1 19
4
1 3 4
1 1
4 4
4
4 4
4
Bài 2 (3 điểm):
a) Rút gọn biểu thức: B = 2 11
y x xy
x xy
z y yz
y yz
+
1
1 2
x z zx
z zx
b) Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên n đợc biểu diến dới dạng tổng của k số nguyên dơng a1, a2, …, a, ak trong đó
1
1
2
1
a + …, a +
k a
1
= 1 thì mỗi số a = 3n + 8 và b = 2n + 9 cũng đợc biểu diễn dới dạng tổng của một số nguyên dơng với tổng các nghịch đảo của các số này bằng 1
Bài 3(1,5 điểm):
Trên quãng đờng AB của một thành phố, cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều từ A đến B và cũng cứ 6 phút lại có một xe buýt đi theo chiều ngợc lại Các xe này chuyển động đều với cùng vận tốc nh nhau Một khách du lịch đi
bộ từ A đến B nhận thấy cứ 5 phút lại gặp một xe đi từ B về phía mình Hỏi
cứ bao nhiêu phút lại có một xe đi từ A vợt qua ngời đó
Bài 4(3 điểm):
a) Cho hình bình hành ABCD Lấy E thuộc BD, gọi F là điểm đối xứng với C qua E Qua F, kẻ Fx song song với AD, cắt AB tại I, Fy song song với AB, cắt AD tại K Chứng minh rằng: ba điểm I, K, E thẳng hàng
b) Cho đoạn thẳng AB song song với đờng thẳng d Tìm điểm M (d và M nằm khác phía đối với AB) sao cho các tia MA, MB tạo với đờng thẳng d một tam giác có diện tích nhỏ nhất
Bài 5(1 điểm):
Giải phơng trình: x - a2x - 2 2
2
x b
b
+ a = 2 2
2
b x
x
Đáp án Toán 8
Bài 1(1,5 điểm):
4 48 4 40 4
4 38
4 6 4
2
4 4
4
4 4
4
Xét n4 + 4 = (n4 + 4n2 + 4) - 4n2 = (n2 + 2)2 - (2n)2
= (n2 - 2n + 2) (n2 + 2n + 2) = ( 1 ) 2 1
n
Thay n = 2, 4, 6, 8, …, a, 40 vào A ta đợc:
A =
1682
2 =
841 1
Bài 2(2,5 điểm):
a) Xét: 2 11
y x xy
x xy
=
1
) ( ) 1 (
y x xy
y x y
x xy
y x xy
y x
= 1 +
) 1 )(
1 (
) 1 ( ) 1 (
y x
x y y
x
= 1 +
1
x
x
- 1
y y
Tơng tự: 2 11
z y yz
y yz
= 1 + 1
y
y
-
1
z z
Trang 2
1
1 2
x z zx
z zx
= 1 +
1
z
z
-
1
x x
Vậy B = 1 +
1
x
x
- 1
y
y
+ 1 + 1
y
y
-
1
z
z
+ 1 +
1
z
z
-
1
x
x
= 3 b) Do n = a1 + a2 + …, a+ ak
a = 3n + 8 = 3a1 + 3a2 + …, a+ 3ak + 6 + 2
Trong đó:(
1 3
1
2 3
1
a + …, a +
k a
3
1
) + 61 + 21 = 31 (
1
1
2
1
a + …, a +
k a
1
)+ 61 + 21 = 31 + 61 + 21 = 1 Xét b = 2n + 9 = 2(a1 + a2 + …, a+ ak) + 9
= 2a1 + 2a2 + …, a+ 2ak + 6 + 3
Trong đó:(
1 2
1
2 2
1
a + …, a +
k a
2
1
) + 61 + 31
= 21 (
1
1
2
1
a + …, a +
k a
1
) + 61 + 31 = 61 + 31 + 21 = 1 Bài 3(2 điểm):
Gọi thời gian phải tìm là x(phút):
Biểu thị thời gian ngời đi du lịch đi từ A đến B là a(phút)
Lập luận dẫn đến phơng trình: 2a6 =
5
a
+
x a
Giải phơng trình tìm đợc: x = 7,5
Bài 4(3 điểm):
a) FK cắt AC tại M, AC cắt BD tại Q, AF cắt CD tại N
Suy ra EQ là đờng trung bình của AFC EQ // AF ABDN là hình bình hành ND = DC FK = KM KE // AC (1)
AF cắt IK tại P PK // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: I, K, E thẳng hàng
b) Kéo dài MA, MB cắt AB, d ở H vàK
Đặt AB = a, MH = x, khoảng cách giữa AB và d là h
Ta có AB // CD
CD
AB
=
MK
MH
=
h x
x
CD =
x
h x
a( )
Do đó SMCD = CD MK
2
1
=
x
h x a
2 ) ( 2
=
x
h hx x
2
2
2
x
h h x
a
Do đó SMCD nhỏ nhất
x
h x
2
nhỏ nhất
x
h x
2
x = h
Có vô số điểm M: tập hợp các điểm M là đờng thẳng d' đối xứng với
d qua AB
Bài 5(1 điểm):
TXĐ: x b, x - b
Biến đổi phơng trình ban đầu về: (1 - a2)x = 1 - a (1)
* Nếu 1 - a2 = 0 a = 1; a = - 1
- Nếu a = 1: (1) 0x = 0 PT có vô số nghiệm x b, x - b
- Nếu a = - 1: (1) 0x = 2 PT vô nghiệm
* Nếu 1 - a2 0 a 1; a - 1: (1) có nghiệm x =
a
1 1
là
Trang 3nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ban ®Çu nÕu
a
1
1
b;
a
1
1
- b KÕt luËn:…, a…, a…, a