De thi HSG toan 8 PGD Vinh Linh 20112012

[r]

PHÒNG GD & ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

VĨNH LINH Năm học :2011-2012

Môn :Toán -Lớp 8

Thời gian :120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm)

Cho a,b là bình phương của hai số nghuyên lẽ liên tiếp

Chứng minh rằng:ab-a-b+1 chia hết cho 48

Bài 2: (1,5 điểm)

Cho biểu thức :

2

.

x x x A

x x x x x

a.Tìm TX Đ của A

b.Rút gọn A

Bài 3: (1,0 điểm)

Chứng minh bất đẳng thức :x2y2 xy x y  1

Bài 4: (1,0 điểm)

Chứng tỏ rằng không có giá trị nào của x thoả mãn bất đẳng thức sau 2

4

5 0

2 2

x x



 

 

Bài 5 (3,5 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD,điểm P thuộc đường chéo BD (P khác B và D),Gọi M là điểm đối xứng của C qua P

a.Chứng minh AM song song với BD

b.Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của M trên AD và AB.Chứng minh ba điểm E;F,P thẳng hàng

c.Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF và FA không phụ thuộc vào vị trí của P

Bài 6 (1,0 điểm)

Giải phương trình:

x x x x

Thí sinh không được sử dụng tài liệu

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đáp án

Bài 1:

Ta có ab-a-b+1 =(a-1)(b-1)

Vì a,b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên a(2n1) ;2 b(2n3)2 với n Z

2

ab-a-b +1 =(a-1)(b-1)= (2 1) 1 (2 3) 1 (4 4 )(4 12 8)

16 ( 1) ( 2)

n n n n

n n n

       

Vì 16 (n n1) (2 n2) 16 và n n( 1)(n2) 3  16 (n n1) (2 n2) 3 mà ƯCLN (3;16)=1 Suy ra 16 (n n1) (2 n2) 48 hay ab a b  1 48

Bài 2:

a ĐKX Đ: x0;x6;x6

b Rút gọn

2

2

.

(6 1)( 6) (6 1)( 6) 36

.

.

( 36) 12( 1)

x x x A

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x

x x x x





Vậy A=

1

x Với x0;x6;x6

Bài 3:

x y xy x y x y xy x y

x y xy x y

x xy y x x y y

x y x y

Ta có : (x y )2(x1)2(y1)2 0 luôn đúng

Dấu " =" xảy ra khi x=y=1

Bài 4:

x x x

vì

2

x

Vậy không có giá trị nào của x thoả mãn bất đẳng thức sau 2

4

5 0

2 2

x x



 

 

Bài 5:

K

I O

F

E

A B

P

M

a.Ta có O là trung điểm của AC ( ABCD là hình chữ nhật)

P là trung điểm của CM ( vì M đối xứng với C qua P)

Nên OP là đường trung bình của tam giác ACM nên OP//AM

Suy ra AM//BD

b Vì OP là đường trung bình của tam giác ACM nên OP//AM và OP=1/2 AM

Do đó OP//AI và OP=AI nên tứ giác AIPOlà hình bình hành

Suy ra : PI//AC (1)

Kẻ ME//AB cắt AC tại K Ta có KAE=EAM( Vì cùng bằng KDA) Nên AE là phân giác của KAM ,mặt khác AE KM

 Suy ra : Tam giác AKM cân nên E là trung điểm của KM do đó EI là đường trung bình của tam giác AMK

 EI//OA nên EI//AC (2)

Ta lại có E,I,F thẳng hàng (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra E,F,P thẳng hàng

c.Ta xét hai tam giác vuông ABD và FAM có

BAD=AFM=1v

BDA=AFM ( Cùng bằng EAM)

 ABD FAM Suy ra

MF AD

FA AB (không đổi) Vậy tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào vị trí của P

Bài 6:

Ta có :

x x x x

2012 15 2002 5

x

Vì :

2012 15  2002 5  nên

2012 15 2002 5   

Suy ra x-2017=0x=2017 Vậy nghiệm của PT là x=2017