60 đề HSG toan 8

Gọi M là một điểm nằm trên đờng trung trực của đoạn AB.. Gọi I là trung điểm AF, nối EI cắt AB tại K và CK cắt EB tại M... Gọi M là điểm nằm trên ờng trung trực của AB.. CMR: P là điểm c

Đề thi HsG toán 8

đề số 1 Câu 1:

Cho ABC; AB = 3AC

Tính tỷ số đờng cao xuất phát từ B và C

Đề số 2 Câu 1:

Cho a,b,c thoả mãn: a b c

a, Nếu AB > 2BC Tính góc A của ABC

b, Nếu AB < BC Tính góc A của HBC

- hết

-đề số 3 Câu 1:

(1 ) 1

§Ò thi HsG to¸n 8

b, Cho a+b+c= 1, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt

P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b)

C©u 5:

a, T×m x,y,x Z biÕt: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0

b, T×m nghiÖm nguyªn cña PT: 6x + 15y + 10z = 3

b, Cho a, b, c 0 TÝnh gi¸ trÞ cña D = x2003 + y2003 + z2003

BiÕt x,y,z tho¶ m·n:

x

2 2

y

2 2

z c

Đề thi HsG toán 8Cho ABC M là một điểm  miền trong của ABC D, E, F là trung điểm AB,

AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D

a, CMR: AB’A’B là hình bình hành

b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’

Đề số 6 Câu 1:

a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3)

b, Cho x,y > 0 và x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của N = 1

Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A Kẻ phân giác góc MAB

cắt BC tại P, kẻ phân giác góc MADcắt CD tại Q

CMR PQ  AM

đề số 7 Câu 1:

§Ò thi HsG to¸n 8Cho a, b, c kh¸c nhau tho¶ m·n:

§Ò thi HsG to¸n 8T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = (1 - 12

đề số 10 Câu 1:





x x

Đề thi HsG toán 8

đề số 12 Câu 1:

a, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2

b, CMR phơng trình sau không có nghiệm nguyên: x2 + y2 + z2 = 1999

2 1

3 3

Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ BCF đều,

về phía trong hình vuông trên cạnh AB vẽ ABEđều

CMR: D, E, F thẳng hàng

Đề số 14 Câu 1:

Cho hình thang ABCD (AD//BC) M, N là trung điểm của AD, BC Từ O trên

MN kẻ đởng thẳng song song với AD cắt AB, CD tại E và F

CMR: OE = OF

đề số 15 Câu 1:

Cho xyz = 1 và x+y+z = 1 1 1

 là phân số tối giản (với nN)

đề số 17 Câu 1:

Cho x, y thoả mãn 5x2 + 8xy + 5y2 = 72

Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x2 + y2

Đề thi HsG toán 8Cho ABC biết đờng cao AH và trung tuyến AM chia góc BAC thành 3 phần bằng nhau.

Xác định các góc của ABC

Đề số 18 Câu 1:

a, CMR: AH = CK

b, Gọi M là trung điểm BC Xác định dạng MHK

đề số 19 Câu 1:

Cho a, b, c ≠ 0; a2 + 2bc ≠ 0; b2 + 2ca ≠ 0; c2 + 2ab ≠ 0

Cho ABC, đặt trên các đoạn kéo dài của AB, AC các đoạn BD = CE Gọi M

là trung điểm của BC, N là trung điểm của DE

CMR: MN // đờng phân giác trong của góc A của ABC

Câu 6:

Tìm các số nguyên dơng n và số nguyên tố P sao cho

P = ( 1)

1 2

n n 



đề số 20 Câu 1:

Cho tứ giác ABCD, đờng thẳng AB và CD cắt nhau tại E Gọi F, G là trung

điểm của AC, BD

a, CMR: SEFG = 1

4S ABCD

b, Gọi M là giao điểm của AD, BC Chứng minh FG đi qua trung điểm ME

Đề số 21 Câu 1:

Cho a, b, c thoả mãn a+b+c = abc

CMR: a(b2-1)( c2-1) + b(a2-1)( c2-1) + c(a2-1)( b2-1) = 4abc

Đề thi HsG toán 8

a, Cho a, b, c > 0 CMR: có ít nhất một BĐT sai là đúng

CMR: MAC cân tại M

đề số 22 Câu 1:

Cho x, y thoả mãn: x+y=1

Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x3+y3+xy

a, Tìm số nguyên dơng n để n5+1 chia hết cho n3+1

b, Tìm các số a, b, c sao cho: ax3+bx2+c chia hết cho x+2 và chia cho x2-1 thi

Đề thi HsG toán 8Cho ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 2AB, D là điểm trên AC sao cho góc

ABD = 1

3 ABC, E là điểm trên AB sao cho góc ACE = 1

3 ACB F là giao điểm của

BD và CE, K và H là điểm đối xứng của F qua BC, CA

CMR: H, D, K thẳng hàng

đề số 24 Câu 1:

b, CM: PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng

c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cùng cách đều một điểm

đề số 25

Đề thi HsG toán 8

Câu 1:

Cho A = 4x2+8x+3; B = 6x2+3x

a, Biến đổi S thành tích biết S = A + B

b, Tìm giá trị của x để A và B lấy giá trị là số đối nhau

Cho 2 đờng thẳng ox và oy vuông góc với nhau và cắt nhau tại O, Trên ox lấy

về hai phía của O hai đoạn thẳng OA = 4cm; OB = 2cm Gọi M là một điểm nằm trên đờng trung trực của đoạn AB MA, MB cắt nhau với oy ở C và D Gọi E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BD

Cho x, y > 0 sao cho: 9y(y-x) = 4x2 Tính: x y

Đề thi HsG toán 8Tìm hai số M, N.

CHo ABC, đờng cao AF, BK, CL cắt nhau tại H Từ A kẻ Ax AB, từ C kẻ

Cy BC Gọi P là giao của Ax và Cy

Lấy O, D, E là trung điểm của BP, BC, CA

a, CMR: ODEđồng dạng với HAB

b, Gọi G là trọng tâm của ABC CMR: O, G, H thẳng hàng

Đề số 28 Câu 1:

1 1

§Ò thi HsG to¸n 8T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x2+y2

Đề thi HsG toán 8Cho hình thang có độ dài hai đờng chéo là 3,5 Độ dài đoạn thẳng nối trung

điểm 2 đáy là 2

Tìm diện tích hình thang?

Đề số 30 Câu 1:

Tìm a, b, c sao cho: ab+bc+ca đạt giá trị lớn nhất.

b, Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp sao cho lập phơng của 1 số bằng tổng các lập

a, CMR: 62k-1+1 chia hết cho 7 với KN n;  0

b, CMR: Số a = 11 1 + 44 4 + 1 là bình phơng của một số tự nhiên

(Trong đó có 2k chữ số 1 và k chữ số 4)

Câu 2:

a, Tìm số d của phép chia: x2002+x+1 chia cho x2-1

b, Tìm số nguyên dơng x, y sao cho:

Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b+c = 0 vµ ab+bc+ca = 0

T×m gi¸ trÞ cña: M = (a-1)1999+ b2000 + (c+1)2001

a, Cho nN, CMR: A = 10n + 18n – 1 chia hÕt cho 27

b, CMR: n5m – nm5 chia hÕt cho 30 víi mäi m,n  Z

C©u 4:

a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña M = 42 3

1

x x

Phân tích số 1328 thành tổng của 2 số nguyên x, y sao cho:

x chia hết cho 23, y chia hết cho 29 Tính x, y khi x-y = 52

CMR: ABC là tam giác cân tại đỉnh A trong các trờng hợp:

a, ME, MF là phân giác trong của AMB AMC; 

b, ME, MF là trung tuyến của AMB AMC; 

Đề thi HsG toán 8

đề số 35 Câu 1:

Cho hình vuông ABCD cạnh là a Lấy M AC, kẻ ME  AB, MF  BC Tìm

vị trí của M để S DEF nhỏ nhất

Câu 6:

Cho ABC có A = 500; B = 200 Trên phân giác BE của ABC lấy F sao cho

FAB = 200 Gọi I là trung điểm AF, nối EI cắt AB tại K và CK cắt EB tại M

a, Cho a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tìm giá trị B = a4+b4+c4

b, Cho x > 0 và x2+ 12

x = 7.

Đề thi HsG toán 8CMR: x5 + 15

a, CMR: Khi D di động trên BC thì DE + DF có giá trị không đổi

b, Qua A vẽ đờng thẳng song song với BC cắt EF tại K

CMR: K là trung tuyến của EF

Đề số 37 Câu 1:

f x  khi x 1.Xác định f(x)

Câu 3:

Cho: 2 a b c d, , ,  3

Đề thi HsG toán 8CMR: 2 ( ) 3 3

b, CMR: Nếu a2-bc = x; b2-ac = y; c2-ab = z;

Thì ax + by + cz chia hết cho x+y+z

Câu 4:

Cho góc vuông xEy quay quanh đỉnh E cảu hình vuông EFGH Ex cắt FG, GHtại M, N; Ey cắt FG, GH tại P, Q

Đề thi HsG toán 8

b, CMR: Nếu D là trung điểm của AB thì CI = 2IE

c, Với D là điểm bất kỳ trên AB CMR: IC2 = IE.IA

Đề số 40 Câu 1:

a, Xác định vị trí của E, F để SMEF đạt giá trị lớn nhất

b, SMEF lớn nhất là bao nhiêu?

đề số 41

Cho 3 số a, b, c thoả mãn: a4+b4+c4 < 2(a2b2+ b2c2+ a2c2)

Chứng minh rằng: Tồn tại tam giác mà có độ dài 3 cạnh là a, b, c

Câu 5:

Cho 2 đờng thẳng ox, và oy vuông góc với nhau, cắt nhau tại O Trên Ox lấy

về 2 phía của điểm O hai đoạn OA = 4cm; OB = 2cm Gọi M là điểm nằm trên ờng trung trực của AB MA, MB cắt Oy ở C, và D Gọi E là trung điểm CA; F là trung điểm của DB

đ-a, CMR: MA BFO OEA,  ,  đồng dạng và tìm tỷ số đồng dạng

b, CMR: OEFM là hình bình hành

c, Đờng thẳng EF cắt Ox tại P CMR: P là điểm cố định khi M di chuyển trên

đờng thẳng trung trực AB

d, Cho MH = 3cm, tứ giác OFME là hình gì?

Đề số 43 Câu 1:

Cho a, b, c là ba số phân biệt thoả mãn: a b c 0

Đề thi HsG toán 8Cho a, b, c thoả mãn: 1 1 1

Cho a, y, z  0 và x, y , z Z thoả mãn: a+by36 và 2x+3z72

CMR: Nếu b 3 thì x+y+z nhận giá trị lớn nhất là 36

AOB

a

S  Tính CA + DB theo a

Đề số 44 Câu 1:

CMR: a(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)  0

b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c > 0; ab+bc+ca > 0; và abc > 0

CMR: Cả 3 số đều dơng

Câu 4:

Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x100 – 10x10 +10

Câu 5:

Với giá trị nào của A thì PT:

2x a    1 x 3 có nghiệm duy nhất

Đề thi HsG toán 8

Câu 6:

Cho ABC đờng thẳng d//BC cắt AB, AC tại D, E

a, CMR: Với mọi điểm F trên BC luôn có SDEF không lớn hơn 1

4SABC

b, Xác định vị trí D, E để SDEF lớn nhất

Đề số 45 Câu 1:

§Ò thi HsG to¸n 8CMR: H, I, K, P th¼ng hµng.

§Ò sè 47 C©u 1:

a, CMR: NÕu (y-z)2+(z-x)2+(x-y)2 = (y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(y+x-2z)2

§Ò thi HsG to¸n 8th× x = y = z.

Cho hình thang ABCD (AB//CD) Giao điểm của AC, BD là O, đờng thẳng qua

O và song song AB cắt AD, BC tại M, N

a, CMR: 1 1 2

b, Cho SAOB a S2 ; COD b2 ; Tính S ABCD

c, Tìm điểm K trên BD sao cho đờng thẳng qua K và song song AB bị hai cạnhbên và 2 đờng chéo chia thành 3 đoạn bằng nhau

Đề số 51

Bài 1(1đ): Cho x và y là hai số khỏc nhau thỏa món điều kiện:

9x( x – y) – 10(y – x)2 = 0 Chứng minh rằng x = 10y

Bài 2 (1.5đ):Rỳt gọn phõn thức A= 2 2 2

3 3 3

) ( ) ( ) (

3

a c c b b a

abc c

b a





x x

Bài 4 (1.5đ): Cho 3 biểu thức:

A= x1x ; B= y1y ; C= xy xy1 tỡm sự liờn hệ giữa A;B;C

Bài 5 (5đ):Cho điểm I di động trờn đoạn thẳng AB Trờn cựng một nửa mặt phẳng

bờ AB vẽ cỏc hỡnh vuụng AICD, BIEF Gọi O và O’ lần lượt là tõm của 2 hỡnh vuụng đú Gọi K là giao điểm của AC và BE

a Cho biết dạng của tứ giỏc OKO’I

b Trung điểm M của OO’ di động trờn đường nào

§Ò thi HsG to¸n 8

c Xác định vị trí của điểm I để cho OKO’I là hình vuông

Bài 6(2đ):

Cho góc nhọn xOy và 2 điểm A và B thuộc miền trong của góc ấy Tìm trên cạnh

Ox một điểm M và trên cạnh Oy một điểm N sao cho tổng AM+MN+NB có độ dài nhỏ nhất

§Ò sè 52

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a)

b)

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng

minh AK và CH chia đường chéo BD thành 3 đoạn thẳng bằng nhau.

Bài 6: Cho tam giác ABC, M là điểm bất kì trên BC Các đường thẳng song song với AM vẽ từ B

và C cắt AC và AB tại D và E Chứng minh

bờ là AB các hình vuông AMCD, BMEF.

a Chứng minh AE vuông góc với BC

b Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng

c Những minh đoạn thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyểntrên đoạn thẳng AB cố định

d Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi

điểm M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định

Câu 4 Cho tứ giác ABCD; M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh BC và CD Gọi

E và F là giao của BD với AM và AN Chứng minh rằng: nếu BE = EF = FD thì tứgiác ABCD là hình bình hành

Câu 5 Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đờng chéo AC của hình chữ nhật ABCD;

M, K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD

a Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC Chứng minh:

b Có giá trị nào của a, b để P = 0?

c Tính giá trị của P biết a, b thỏa mãn điều kiện:

3a2 + 3b2 = 10ab và a > b > 0

Câu 2: ( 3,5 điểm)

Chứng minh rằng:

a (n2 + n -1)2 – 1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên n

b Tổng các lập phơng của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9

a Xác định dạng của tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì

để OPQR là hình thoi?

b Chứng minh AQ = OM

c Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng

d Vẽ ra ngoài tam giác ABC các hình vuông ABDE, ACFL Gọi I là trung điểmcủa EL Nếu diện tích tam giác ABC không đổi và BC cố định thì I di chuyển trên

c Tính giá trị của P biết a3 - a2 + 2 = 0

Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức:

A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ đờng thẳng qua C và vuônggóc với AB tại E Gọi M là trung điểm của AD

a Chứng minh: tam giác EMC cân

b Chứng minh: Góc BAD = 2 góc AEM

c Gọi P là một điểm thuộc đoạn thẳng EC Chứng minh tổng khoảng cách từ P

đến Me và đến MC không phụ thuộc vào vị trí của P trên EC

kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E; cắt BC tại F.

a Chứng minh : SAOD  SBOC

b Tìm các số nguyên a để A có giá trị là một số nguyên

Câu 2 Cho x, y, z đôi một khác nhau và khác 0 CMR nếu:

Đề thi HsG toán 8

x 9x20x 11x30x 13x42 

b, x2 + 3y = 3026 với x, y N

Câu 4 Cho f(x) là một đa thức với hệ số dơng Biết f(0); f(x) là các số lẻ Chứng

minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên

Câu 5 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của BC Trên cạnh AB

lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc DME bằng góc B CMR:

a BD.CE 1BC2

4



b DM là phân giác của góc BDE

c Chu vi tam giác ADE không đổi khi D, E chuyển động trên cạnh AB vàAC