de hsg toan 6

Hỏi: a Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai trong các điểm trên?. b Có bao nhiêu đoạn thẳng đi qua hai trong các điểm trên?[r]

Phũng GD-ĐT Hưng Hà

Trường THCS Lờ Quý Đụn

ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Vũng 1

Mụn Toỏn lớp 6 (Thời gian làm bài 120ph)

==***==

Bài 1(3điểm)

1)Tớnh: a) A= 5³.678910-5³.678909

b) B= 2³+4³+6³+…+18³ với 1³+2³+3³+…+9³=2025

2) So sỏnh: a) 10 v 2³º à 100 ; b) 85và 3.47 ; c) 1255và 257

Bài 2(4,5 điểm)

1) Chứng tỏ rằng mọi số tự nhiờn cú ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37

2) Thay a, b bằng các chữ số thích hợp sao cho 24 a 68 b⋮45

3) Cho a là một số tự nhiờn có dạng a = 3b + 7 (b N) Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau ? Tại sao ?

a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537

Bài 3(4 điểm)

1) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 d 5, chia cho 7 d 4 và chia cho 5 thì

d 3

2) Cho A = 1 + 2013 + 20132 + 20133 + 20134 + … + 201398 + 201399 và B = 2013100 - 1

a) So sánh A và B

b) Tỡm chữ số tận cựng của A

c) Chứng tỏ rằng 2012A+1 là một số chớnh phương

Bài 4(4,5 điểm)

1) Tỡm n để 9n+24 và 3n+4 là cỏc số nguyờn tố cựng nhau?

2) Tỡm hai số a v à b biết ƯCLN(a,b)=5 và BCNN(a,b)=300?

3) Cho 3a+2b chia hết cho 17 Chứng minh rằng 10a+b chia hết cho 17

Bài 5(4 điểm)

1) Cho 2013 điểm trong đú chỉ cú 13 điểm thẳng hàng Hỏi:

a) Cú bao nhiờu đường thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?

b) Cú bao nhiờu đoạn thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?

2)Cho đoạn thẳng AB=2 2014cm Lần lượt lấy điểm M1, M2, M3, ., M2014 là trung điểm của

cỏc đoạn thẳng AB, AM1, AM2, , AM2013 .Tớnh BM2014?

Hết-Phũng GD-ĐT Hưng Hà

Trường THCS Lờ Quý Đụn

đáp án CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Vũng 1

Mụn Toỏn lớp 6 (Thời gian làm bài 120ph)

==***==

điểm

Bài 1

3điểm

A= 5³.678910-5³.678909

=125.( 678910-678909)

0,5đ

:

a)

=125

b)

B= 2³+4³+6³+…+18³

Mµ 1³+2³+3³+…+9³=2025

2) So

sán

h:

a)

10 v 2³º à 100

Ta cã 10 =(10 )³º ³ 10=100010

2100=(2 )³ 10=102410

=> 10 < 2³º 100

0,5®

b)

b) 85và 3.47

85=215

3.47 =3 214

=> 85< 3.47

0,5®

c) 1255và 257

1255= 515

257= 514

=> 1255và 257

0,5®

Bài

2(4,5

điểm)

1) Chứng tỏ rằng mọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau đều chia hết

cho 37

Gäi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau cã d¹ng aaa

( a lµ ch÷ sã kh¸c 0)

0,25®

Ta cã: aaa =111.a=37.3.a

VËy mọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37 0,25®

2) Thay a, b b»ng c¸c ch÷ sè thÝch hîp sao cho 24 a 68 b⋮45

+) NÕu b=0 th× 24 a 68 b=24 a680 §Ó 24 a 680⋮9 ⇔ 2+4+a+6+8+09

Tøc lµ 20+a9

Mµ a lµ ch÷ sè

=> a=7

0,25®

+) NÕu b= 5 th× 24 a 68 b=24 a685 §Ó 24 a 685⋮9 ⇔ 2+4+a+6+8+59

Tøc lµ 25+a9

Mµ a lµ ch÷ sè

=> a=2

0,25®

VËy víi a=7 vµ b=0 hoÆc a=2 vµ b=5 th× 24 a 68 b⋮45 0,25®

3) Cho a là một số tự nhiờn có dạng a = 3b + 7 (b N) Hỏi a có thể nhận

những giá trị nào trong các giá trị sau ? Tại sao ?

a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ;

a = 29563 ; a = 299537

Ta có a = 3b + 7 (b N)

 a= 3(a+2)+1

 a chia cho 3 d1

0,75đ

Vậy a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau:

Bài

3(4

điểm)

1) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 d 5, chia cho 7 d

4 và chia cho 5 thì d 3.

Gọi số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là (xN)

Theo bài ra ta có

x nhỏ nhất

x chia cho 9 d 5,

x chia cho 7 d 4

xchia cho 5 thì d 3

0,25đ

a 2x-1 nhỏ nhất, 2x-1 chia hết cho 5; 7;9

0,75đ

b Mà BCNN(5,7,9)= 315

0,25đ

c 2x-1 = 315

d x = 158 Vậy số cần tìm là 158

0,25đ

2 Cho A=1+2013+2013 2 + 2013 3 + 2013 4 + … + 2013 98 + 2013 99 và B = 2013 100

- 1

a) So sánh A và B.

b) Tỡm chữ số tận cựng của A.

c) Chứng tỏ rằng 2012A+1 là một số chớnh phương.

a) So sánh A và B.

2013A =2013+20132 + 20133 + 20134 + … + 201399 + 2013100

A=1+2013+20132 + 20133 + 20134 + … + 201398 + 201399

2013A-A=2013100 – 1 2012A=2013100 - 1

=>A=(2013100 – 1): 2012

0,5đ

c) Tìm chữ số tận cùng của A.

Ta thÊy: 20134 cã chữ số tận cùng lµ 1

=>(20134)25 cã chữ số tận cùng lµ 1

=> 2013100 – 1 cã chữ số tận cùng lµ 0

0,25®

=> =(2013100 – 1): 2012 cã chữ số tận cùng lµ 5

c) Chứng tỏ rằng 2012A+1 là một số chính phương.

Ta thÊy: 2012A+1=2013100 – 1+1=2013100=(201350)2

VËy 2012A+1 là một số chính phương

0,5®

Bài

4(4,5

điểm)

1) Tìm n để 9n+24 và 3n+4 là các số nguyên tố cùng nhau?

Gäi d lµ íc nguyªn tè cña 9n+24 và 3n+4

⇒ 9n+24d vµ 3n+4d

⇒ 9n+24d vµ 3(3n+4)d

⇒ (9n+24)- (9n+12)d

⇒ 12d

Mµ d nguyªn tè

⇒ d= 2 hoÆc d=3

0,75®

MÆt kh¸c 3n+4=3(n+1)+1 kh«ng chia hÕt cho 3

§ể 9n+24 và 3n+4 là các số nguyên tố cùng nhau th× d kh¸c ⇒ 3n+4 2

⇒ n 2

VËy n lµ sè lÎ th× để 9n+24 và 3n+4 là các số nguyên tố cùng nhau

0,5®

2) Tìm hai số a v à b biết ƯCLN(a,b)=5 và BCNN(a,b)=300?

Ta cã: ƯCLN(a,b)=5 ⇒ a=5t vµ b=5k víi (t,k)=1 (1)

Mµ a.b= ƯCLN(a,b) BCNN(a,b)

⇒ a.b=5.300=1500 (2)

⇒ t.k=60 (3)

0,75®

Từ (1), (2) và (3) ta có bảng

Vậy căp số (a,b) cần tìm là (5;300); (10;150); (15;100); (25;60); (75;20); (20;75);

3 Cho 3a+2b chia hết cho 17 Chứng minh rằng 10a+b chia hết cho 17.

Mà 3a+2b chia hết cho 17

⇒ 10a+b chia hết cho 17 vì (2,17)=1

Vậy , nếu3a+2b chia hết cho 17 thì 10a+b chia hết cho 17

0,25 0,25

Bài 5

(4

điểm)

1 Cho 2013 điểm trong đú chỉ cú 13 điểm thẳng hàng Hỏi:

a Cú bao nhiờu đường thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?

b Cú bao nhiờu đoạn thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?

a Cú bao nhiờu đường thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?

Qua 2013 điểm trong đú không cú 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ đợc

2013.2012:2=2025078 ( đờng thẳng)

0,5đ

Do 13 điểm thẳng hàng nên số đờng thẳng bớt đi là:

=> Qua 2013 điểm trong đú chỉ cú 13 điểm thẳng hàng ta vẽ đợc

b Cú bao nhiờu đoạn thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?

Vì số đoạn thẳng tạo thành không phụ thuộc vào số điểm thẳng hàng nên

Qua 2013 điểm trong đú chỉ cú 13 điểm thẳng hàng ta vẽ đợc

2013.2012:2=2025078 ( đoạn thẳng)

0,25đ 0,25đ

2)Cho đoạn thẳng AB=2 2014 cm Lần lượt lấy điểm M 1, M 2, M 3, , M 2014 là

trung điểm của cỏc đoạn thẳng AB, AM 1 , AM 2 , , AM 2013 Tớnh BM 2014 ?

Vì M1 là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AB => AM1= 1

2 AB

(1)

0,25đ

V× M2 là trung điểm của các đoạn thẳng AM 1 => AM2= 1

1

❑2

2 AB

(2)

0,25®

V× M3 là trung điểm của các đoạn thẳng AM 2 => AM3=

1

3

2

1

AB (3)

0,25®

V× M2014là trung điểm của các đoạn thẳng AM 2013 => AM2014 = 1

❑2

2014 AB

= 1

❑2

2014 2 2014 = 1( cm) (2014)

0,25®

Tõ (1), (2), (3), , (2014) suy ra M2014 n»m gi÷a Avµ B

=> AM2014 +BM2014 =AB

0,25® 0,25®

 BM2014=AB- AM2014

VËy BM2014=2 2014-1



                ± 