Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 30.. Chứng minh đường thẳng DE luôn qua một điểm cố định [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2008-2009
Khóa ngày 03/4/2009
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (3 điểm)
1 Tìm số tự nhiên n để A = n2 + n + 28 là một số chính phương.
2 Chứng minh rằng các số tự nhiên dạng abcdabcd (a ≠ 0) đồng thời chia hết cho
73 và 137
Câu 2 (2 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 2008 3 x 2009 3 x
Câu 3 (3 điểm)
Cho biểu thức
4 1
x
1 Tìm điều kiện để C có nghĩa và rút gọn C
2 Tìm giá trị của x sao cho
8 C 3
3 Tìm giá trị của x sao cho C < 2.
Câu 4 (3 điểm)
Cho đường thẳng (d1): y = –2mx + 2m (tham số m ≠ 0).
1 Viết phương trình các đường thẳng (d2) đối xứng với (d1) qua trục Ox, (d3) đối
xứng với (d1) qua trục Oy và (d4) đối xứng với (d1) qua gốc tọa độ O
2 Tứ giác xác định bởi 4 đường thẳng (d1), (d2), (d3) và (d4) là hình gì? Tại sao? Xác
định giá trị của m để tứ giác này là hình vuông.
Câu 5 (3 điểm)
Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 5 – m = 0 với m là tham số.
1 Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
2 Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm là độ dài các cạnh góc vuông
của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 30
Câu 6 (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại C và D là một điểm tùy ý trên cạnh AC (D khác
A và khác C) Gọi (O1), (O2) lần lượt là các đường tròn có tâm O1, O2 , qua D và tiếp
xúc với AB tại A, B Gọi E là giao điểm của (O1) và (O2) (E khác D)
1 Chứng minh đường thẳng DE luôn qua một điểm cố định khi D di chuyển trên
cạnh AC
2 Chứng minh các góc BAC và DEC bằng nhau
3 Cho góc ABC bằng 60 Xác định tỉ số
CD
CA để đoạn thẳng O1O2 là ngắn nhất
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2-HẾT -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2008-2009
Khóa ngày : 03/4/2007
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
MÔN : TOÁN Câu 1 (3 đ): 1 Tìm số tự nhiên n để A = n2 + n + 28 là một số chính phương.
2 Chứng minh rằng các số tự nhiên dạng abcdabcd (a ≠ 0) đồng thời chia
hết cho 73 và 137.
1) A là số chính phương n2 + n + 28 = k2 (k N , n N)
4n2 + 4n + 112 = 4k2
(2k – 2n – 1)( 2k + 2n + 1) = 111 = 1.111 hoặc 3.37 (0,5 đ )
Vì 2k + 2n + 1 > 2k – 2n – 1 nên được :
2 2 1 1
2 2 1 111
2 2 1 3
2 2 1 37
1 55
k n
k n
2 18
k n
k n
28 27
k n
10 8
k n
Vậy n = 27 hoặc n = 8
= 73.137.abcd
Câu 2 (2 đ): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B 2008 3 x 2009 3 x.
Đk :
2009 2008
3 x 3
* Ta biết A B A B và dấu “=” xãy ra khi A = 0 hoặc B = 0
Do đó B 2008 3 x 2009 3 x 4017 Dấu “=” khi x =
2009 3
hoặc x =
2008 3 Vậy minB = 4017 khi x =
2009 3
hoặc x =
2008
* Theo Bunhia ta có :
1 2008 3 x1 2009 3 x2 1 1 2008 3 x2009 3 x
B2 2.4017 8034
Trang 3 0 < B 8034, dấu “=” khi 2008 – 3x = 2009 + 3x Vậy maxB = 8034 khi x =
1 6
(1 đ )
Câu 3 (3 đ) : Cho biểu thức
4 1
x
1 Tìm điều kiện để C có nghĩa và rút gọn C.
2 Tìm giá trị của x sao cho
8 C 3
.
3 Tìm giá trị của x sao cho C < 2.
1) Đk : x 0 và x
1
1 2 1 2 1 7 2 1 2 1
:
2 1
2 1 2 1
C
x
=
2 2 1 2 1 7 2 1
2
2 1 2 1
( 0,5 đ ) =
2
2 1
x
2) C =
8
3
2
2 1
x
=
8
3 3x –10 x + 8 = 0 ( 0,5 đ )
4 2
16 4
9 3
x x
x x
( 0,5 đ )
3) C < 2
2
2 1
x
– 2 < 0
2 2
2 1
x
< 0 ( 0,25 đ )
2 1
x x
< 0 2 x 1 < 0 0 x <
1
4 ( 0,5 đ )
Câu 4 (3 đ) : Cho đường thẳng (d1): y = –2mx + 2m (tham số m ≠ 0).
1 Viết phương trình các đường thẳng (d2) đối xứng với (d1) qua trục Ox, (d3) đối xứng với (d1) qua trục Oy và (d4) đối xứng với (d1) qua gốc tọa độ O.
2 Tứ giác xác định bởi 4 đường thẳng (d1), (d2), (d3) và (d4) là hình gì? Tại sao?
Xác định giá trị của m để tứ giác này là hình vuông.
1) * Ta có y = f(x) và y = – f(x) là hai hàm số có đồ thị đối xứng nhau qua trục Ox
Do đó Phương trình của (d2) đối xứng (d1) : y = –2mx + 2m qua trục Ox là :
y = – (–2mx + 2m) (d2) : y = 2mx – 2m ( 0,5 đ )
* Ta có y = f(x) và y = f(–x) là hai hàm số có đồ thị đối xứng nhau qua trục Oy
Trang 4Do đó Phương trình của (d3) đối xứng (d1) : y = –2mx + 2m qua trục Oy là :
y = –2m(–x) + 2m (d3) : y = 2mx + 2m ( 0,5 đ )
Trang 5* Ta có y = f(x) và y = –f(–x) là hai hàm số có đồ thị đối xứng nhau qua
gốc tọa độ O
Do đó Phương trình của (d4) đối xứng (d1) : y = –2mx + 2m qua O là :
y = – [– 2m(–x) + 2m] (d4) : y = –2mx – 2m ( 0,5 đ ) 2) * Do gốc tọa độ O là tâm đối xứng của tứ giác tạo bởi (d1), (d2), (d3), (d4)
và Ox vuông góc với Oy nên tứ giác nói trên là một hình thoi (0,5
đ )
* Để hình thoi này trở thành hình vuông thì :
(d1) (d2) a1.a2 = –1
–2m.2m = – 1 m2 =
1
4 m =
1
2 (1 đ )
Câu 5 (3 đ) : Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 5 – m = 0 với m là tham số.
1 Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
2 Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm là độ dài các cạnh góc
vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 30
1) Phương trình trên có 2 nghiệm dương phân biệt
2
1 2
1 2
' 3 4 0 5 0 2( 1) 0
( 1) ( 4) 5
1
m m
1 m 5 ( 1 đ ) 2) x1 và x2 là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền 30
x1 + x2 = 30 S2 – 2P – 30 = 0 (0,5 đ )
2m2+ 5m – 18 = 0
2 9 2
m m
Chỉ có giá trị m = 2 thỏa mãn (1 đ )
Câu 6 (6 đ) :
Cho tam giác ABC vuông tại C và D là một điểm tùy ý trên cạnh AC (D khác A
và khác C) Gọi (O1), (O2) lần lượt là các đường tròn có tâm O1, O2 , qua D và tiếp xúc với AB tại A, B Gọi E là giao điểm của (O1) và (O2) (E khác D).
1 Chứng minh đường thẳng DE luôn qua một điểm cố định khi D di chuyển trên cạnh AC.
2 Chứng minh các góc BAC và DEC bằng nhau.
3 Cho góc ABC bằng 60 Xác định tỉ số
CD
CA để đoạn thẳng O 1O2 là ngắn nhất.
Trang 61) Gọi I là giao điểm của ED với AB.
* IAD đồng dạng IEA
2
(1 đ )
* IBD đồng dạng IEB
2
( 0,5 đ )
IA = IB ED đi qua điểm cố định I
là trung điểm của AB ( 0,5 đ )
2) * Tam giác ICA cân tại I CAB ICAˆ ˆ (1) ( 0,5 đ )
* IC = IB IC2 = IE.ID
ICD đồng dạng IEC IEC ICAˆ ˆ (2)
( 1 đ ) (1) & (2) CAB DECˆ ˆ ( 0,5 đ )
3) O1A // O2B O1O2 ngắn nhất O1O2 // AB
DE AB tại trung điểm I của AB
tam giác EAB cân tại E ( 0,5 đ ) Mặt khác do CAB DECˆ ˆ (cmt) tứ giác IAEC nội tiếp
ACEˆ AIEˆ = 90o B, C, E thẳng hàng ( 0,5 đ )
Mà ABCˆ 600 ( )gt ABEˆ 600
Nên EAB đều trực tâm D cũng là trọng tâm
1 3
DC
AC ( 1 đ )
( HẾT )
Ghi chú :
- Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa ở phần đúng đó.
- Điểm toàn bài bằng tổng điểm các phần, không làm tròn số.
C
D O1
O2 E
I