Vẽ đường kính AE cắt BC tại H, MA cắt BC tại I.. Chứng minh: cung AK 〈 cung KL.[r]
Trang 1Xuctu.com
ĐỀ THI HSG TOÁN 9
Giáo viên: Nguyễn Quốc Tuấn- Email: quoctuanp@gmail.com
Câu 1: Cho P(x) là một đa thức bậc 4 có hệ số cao nhất là 1, thoả mãn P(1) =3, P(3) =11,
P(5) = 27 Hãy tính P(-2) + 7P(6)
Câu 2: Giải hệ phương trình
z y x y x
z y
x
y z
y
x
+ +
=
− +
= + +
=
Câu 3: Cho 2x+4y + 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2
Câu 4: Tìm các ngiệm nguyên của phương trình :
x(x+1)(x+2)(x+3) = y2
Câu 5: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R), M là điểm chuyển động
trên cung BC Vẽ đường kính AE cắt BC tại H, MA cắt BC tại I
a) Chứng minh MA = MB + MC
b) Chứng minh:
MC MB MI
1 1 1
+
= c) Xác định vị trí của M để tổng MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất
Câu 6 : Trên dây cung AB của đường tròn (O) lấy 2 điểm P và Q sao cho AP = PQ =
QB vẽ bán kính OK qua P và bán kính OL qua Q Chứng minh: cung AK〈cung KL
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP ÁN
Câu 1: Xét đa thức f(x) = x2+ 2 thoả mãn f(1) = 3, f(3) = 11, f(5) = 27
Đặt Q(x) = P(x) – f(x)
Ta có Q(1) = P(1) – f(1) = 0
Q(3) = P(3) – f(3) = 0
Q(5) = P(5) – f(5) = 0
Vậy Q(x) nhận 1;3;5 làm nghiệm
Do P(x) là đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 nên Q(x) cũng là đa thức bậc 4 có
hệ số bậc cao nhất là 1
Vậy q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – r)
⇒ P(x) = Q(x) + f(x)
Ta có P(-2) = (-2 – 1)(-2 – 3)(-2 -5)(-2 –r) + (-2)2 + 2
P(-2) = 3.5.7.2 + 3.5.7.r + 6
7P(6) = 7[(6 – 1)(6 – 3)(6 – 5)(6 – r) + 62 + 2]
= 7[5.3.1(6 –r) + 36 + 2]
= 3.5.6.7 – 3.5.7.r + 38.7
P(-2) + 7P(6) = 3.5.7(2 + 6) + 6 + 38.7
= 3.5.7.8 + 272
=840 + 272 = 1112
Câu 2: Đặt x + y + z = t ⇒ x + y = t – z, y + z = t – x
Khi đó hệ đã cho có dạng
(1)
(2) (3) (4)
Từ (2) ta có x = t2 – xt ⇔x + xt = t2 ⇔x =
1
2
+
t
t
=
−
−
= +
−
=
−
= + +
t z t z
t z t y
t x t x
t z y x
1 1
Trang 3Dễ thấy t ≠ -1
Từ (4) ta có z =
1
2
+
−
t
t t
với x ≠t, z≠t ± 1, t≠0, t ≠ -1
Từ (3) ⇒ y = t2 – tz + t =
1
3 2
+
+
t
t t
t
t t t
t t t
t
= +
− + +
+ +
3 1
2 2
2
⇒ t(4t – 1) = 0, vì t≠0 nên t =
4
1
=
20
3
; 20
7
; 20
1 ,
,y z
x
Câu 3: Ta có (2x + 4y)2 + ( 4x – 2y)2 = 4x2+ 16y2 +16xy + 16x2 + 4y2 –16xy = 20(x2+y2)
Biết rằng (2x + 4y)2 + (4x – 2y)2 ≥ (2x +4y)2
Dấu “=” xảy ra ⇔4x – 2y = 0 ⇔ y = 2x
⇒20(x2+ y2) ≥ 1 (do 2x +4y = 1)
⇒ A = x2+ y2 ≥
20
1
⇒ min A =
20
1
⇔
=
=
⇔
= +
=
10 1 5 1 1
4 2 2
x
y y
x
x y
Câu 4: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1)
Nếu y cũng thoả mãn PT thì -y cũng thoả mãn PT
(1) ⇔(x2 + 3x)(x2 + 3x+ = 2) y2
Đặt x2+3x+1= a, ta được:
( )( ) 2 2 2
a− a+ = y ⇔a − =y
(a y)(a y) 1
Suy ra a+y = a-y, do đó y = 0
Thay vào (1) được: x1=0, x2= -1, x3= -2, x4= -3
Vậy PT đã cho có 4 nghiệm: (0;0), (-1;0), (-2;0), (-3;0)
Câu 5: Trên tia MA lấy điểm D sao cho MD = MB
Trang 4BDM cân tại M có BMD = ACB = 600 ( Góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
⇒ BDM đều
* Chỉ ra MBC = DBA (c.g.c)
⇒ MC = DA
⇒ MA = DA + DM = MC + DM = MC + MB (do MB =
MD)
b) (1,5 đ)
Ta có
MA MI
MA
1
=
Chỉ ra IAC đồng dạng IBM
⇒
MC MB
MC MB
1 = + (do MA = MB + MC)
⇔
MC MB
MI
1 1
1
+
c) (1,5 điểm)
Ta có MA + MB + MC = 2MA (do MA = MB + MC)
Mà MA ≤ AE = 2R (do AM ⊥ME vì ( 0
90
⇒ MA + MB + MC ≤ 4R
⇔ Tổng MA + MB + MC lớn nhất bằng 4R
⇔ M ≡ E
Câu 6: Vẽ đường kính AN
Chỉ ra được OP là đường trung bình của AQN ⇒ PO // QN
AOP=ONQ (đồng vị)
POQ OQN= (So le trong)
+ ONQ có OQ < ON
ONQ OQN<
AOP<POQ
Suy ra điều cần chứng minh
B
l k
A
O
n
D I
E O A
H
M
Trang 5TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN 9 MỚI NHẤT-NH: 2019-2020
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
FB: facebook.com/xuctu.book/
Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt trực tiếp tại:
https://forms.gle/ooudANrTUQE1Yeyk6