033 đề HSG toán 9 đak lak 2017 2018

Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và AC lân lượt tại D và E DB E, C.. 1 Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp.. Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội tiếp.. Một đi

ĐỀ THI CHỌN HSG DAKLAK

NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1: (4 điểm)

1 Rút gọn biểu thức 3 2 4 4

P



  Tìm x sao cho

2017 2018

2 Giải phương trình  2  2 

x  x x  

Câu 2: (4 điểm)

1 Cho phương trình 2   2

x  m x m  , với m là tham số Tìm tất

cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác 0, (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức

1 1

x x đạt giá trị nhỏ nhất

2 Cho parabol   2

:

P yax Tìm điều kiện của a để trên  P có

 0 ; 0

A x y với hoành độ dương thỏa mãn điều kiện

2

x   y  x  y 

Câu 3: (4 điểm)

1 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương  x y; thỏa mãn:

4 2 18

x y  x y

2 Tìm tất cả các cặp số  a b; nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) a b, đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a b, là 1

ii) Số Nab ab  1 2 ab 1 có đúng 16 ước số nguyên dương

Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt cạnh

AB và AC lân lượt tại D và E (DB E, C) BE cắt CD tại H Kéo dài

AH cắt BC tại F

1) Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp

2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF cắt nhau tại N Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC

Câu 5: ( 2 điểm)

Với x, y là hai số thực thỏa mãn 3 2 2 4 6

y  y  y  x  x x Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x y 2018.

Câu 6: (2 điểm)

Cho tam giác đềuABC Một điểm M nằm trong tam giác nhìn đoạn thẳng BCdưới một góc bằng 0

150 Chứng minh 2

2

MA  MB MC

LỜI GIẢI Câu 1: (4 điểm)

3 Rút gọn biểu thức 3 2 4 4

P



  Tìm x sao cho

2017 2018

4 Giải phương trình  2  2 

x  x x  

Lời giải

P



 2



  



 

 12 12

 



 

2

1

x





1 2

x x





Mặt khác 2017

2018

2018 2

x x



2016

x

 

x  x x   x x  4x 2x 2 20

       

 2 2

2 4 16 20

2 4 36

2 2

   

 

   

Ta thấy phương trình 2

x  x   vô nghiệm

Mặt khác, 2

2 10 0

    1 11

1 11

x x

  

 

 

Vậy phương trình có nghiệm là x  1 11 và x  1 11

Câu 2: (4 điểm)

3 Cho phương trình 2   2

x  m x m  , với m là tham số Tìm tất

cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 khác 0, (chúng có thể trùng nhau) và biểu thức

1 1

x x đạt giá trị nhỏ nhất

4 Cho parabol   2

:

P yax Tìm điều kiện của a để trên  P có

 0; 0

A x y với hoành độ dương thỏa mãn điều kiện

2

x   y  x  y 

Lời giải

1.Phương trình có hai nghiệm khác 0khi

 2 2 2

0

m









 3 1 0 0

m

  



 





1 3 0

m m m



 



Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét, ta có 1 2  

2

1 2

2 2 3

x x m

   









2

2 2m 3

m

3

m m

 

 2 2 2 22 12 18

3

m



 2 2

2

m m



3

  Dấu bằng sảy ra khi m 3

2.Ta có 2

x   y  x  y  2

2

  

Vậy nên

2

2

      





     



2

   

  2

0

1 a x 3

0

3

1

a

       

Câu 3: (4 điểm)

3 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương  x y; thỏa mãn:

4 2 18

x y  x y

4 Tìm tất cả các cặp số  a b; nguyên dương thỏa mãn hai điều kiện: i) a b, đều khác 1 và ước số chung lớn nhất của a b, là 1

ii) Số Nab ab  1 2 ab 1 có đúng 16 ước số nguyên dương

Lời giải

4 2 18

      

  2 2

Do đó sảy ra các trường hợp sau:





2 Ta có: Nab ab  1 2 ab 1chia hết cho các số: 1;a ;b ab  1 2 ab 1

;b;a ab  1 2 ab 1;ab 1;ab2ab 1;2ab 1 ; ab ab  1;N ;ab;

ab 1 2 ab 1 ;b ab  1;a2ab 1 ;a ab  1; b2ab 1 có 16 ước dương Nên để N chỉ có đúng 16 ước dương thì a b ab; ;  1; 2ab 1 là số nguyên tố Do a b,   1 ab  1 2

Nếu a b; cùng lẻ thì ab 1 chia hết cho 2 nên là hợp số (vô lý) Do đó không mất tính tổng quát, giả sử a chẵn b lẻ  a 2

Ta cũng có nếu b không chia hết cho 3 thì 2ab  1 4b 1 và

1 2 1

ab  b chia hết cho 3 là hợp số (vô lý) b 3

Vậy a 2; b 3

Câu 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt cạnh AB và

AC lân lượt tại D và E (DB E, C) BE cắt CD tại H Kéo dài AH cắt

BC tại F

1) Chứng minh các tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp

2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF cắt nhau tại N Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC

1) Chứng minh tứ giác ADHE và BDHF là tứ giác nội tiếp (Đơn giản) 2) Các đoạn thẳng BH và DF cắt nhau tại M, CH và EF cắt nhau tại N Biết rằng tứ giác HMFN là tứ giác nội tiếp Tính số đo BAC như sau:

0

180

BACDHEMFNBHC (tứ giác ADHE; HMFN nội tiếp)

N M

H

E D

A

F

Mà DHEBHC (đối đỉnh) suy ra BACMFNF1F2 Lại có

1 1 ; 2 1 ; 1 1

F B F C B C (tứ giác BDHF, CEHF, BCED nội tiếp)

1

BAC B  BAC  BAC BAC

Câu 5: ( 2 điểm)

Với x, y là hai số thực thỏa mãn 3 2 2 4 6

y  y  y  x  x x Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x y 2018.

Điều kiện    3 x 3

     3

3

y  y  y  x  x x  y  y  x  x

       

          

Do

2

a ab b  a b  b  

 

Suy ra

          

Đẳng thức xảy ra khi 3 2 0 3 1.

x

x

 



của T là 2022 tại x = 3; y=-1

Ta lại có

 2 2

2x 6 2x 9 0 2x 3 0

Suy ra T   x y 2018 1 3 2    2018  2019 3 2 

Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 2 3 0 3 2

2

x    x (thỏa mãn) Suy ra

 

1 3 2

Vậy GTNN T là 2019 3 2  tại 3 2; 3 2 2.

Câu 6: (2 điểm)

Cho tam giác đềuABC Một điểm M nằm trong tam giác nhìn đoạn thẳng BCdưới một góc bằng 0

150 Chứng minh 2

2

MA  MB MC

Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chưa điểm M,lấy điểm E sao cho

AME

 đều; trên nửa mặt phẳng bờ BC không chưa điểm m,lấy điểm F sao cho CMF đều

0

60

MAEBAC MABBAEMAB CAM BAECAM  BAE CAM

(c – g - c) Suy ra BE CM ABE;  ACM

60

MCF ACB MCBBCFMCBACM BCFACM

BECM CM CFBECF ABEACM ACM BCFABEBCF

Suy ra BAE CBF c   g c AEBF. Mà AEAMBFAM.

150 60 90

BMF BMC CMF    (CMF đều, nên

MFMC )

CMF

 đều MF= MC)

A

M E

F