DE THI HSG TOAN 9 20122013

UBND HUYỆN BÌNH SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC.. 3 điểm: Một người đi bộ từ nhà đến sân ga.[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (4 điểm):

Chứng minh:

2

1

x- x  x-  

  với x > 0

Từ đó, cho biết biểu thức

1 1

x- x có giá trị lớn nhất là bao nhiêu? Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?

Bài 2 (3 điểm):

Một người đi bộ từ nhà đến sân ga Trong 12 phút đầu, người đó đi được 700m và

thấy rằng như vậy sẽ đến sân ga chậm 40 phút, vì thế trên quãng đường còn lại, người ấy

đi với vận tốc 5km/h nên đến sân ga sớm 5 phút Hãy tính quãng đường từ nhà đến sân ga

Bài 3 (4 điểm):

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + n + 1 không chia hết cho 9

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 +2012x2+2011x +2012

Bài 4 (2 điểm):

Giải phương trình: 1 x23 - 4x3  - 1 3x4

Bài 5 (4 điểm):

Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn

có độ dài lần lượt là BH = 4cm và HC = 9cm Gọi T và E là hình chiếu của H trên cạnh

AB và AC

a) Tính độ dài TE

b) Các đường thẳng vuông góc với TE tại T và E cắt BC theo thứ tự tại M và N Chứng minh M là trung điểm của BH, N là trung điểm của CH

c) Tính diện tích tứ giác TENM

Bài 6 (3 điểm):

Cho hình bình hành ABCD có A = 1200 , AB = a, BC = b Các đường phân giác của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ Tính diện tích tứ giác MNPQ?

HẾT

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN

UBND HUYỆN BÌNH SƠN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN BÌNH SƠN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC 2012 - 2013

1

Ta có:

2

1

Vậy:

2

1

x- x  x-  

Ta có:

2

x

  ≥ 0 và dấu bằng xảy ra khi

1 2

x 

hay

1 4

x 

Do đó

2

x

3

4 và dấu bằng xảy ra khi

1 4

x 

Vậy x- x1 có giá trị nhỏ nhất là

3

4và giá trị này đạt được khi

1 4

x 

Suy ra

1 1

x- x có giá trị lớn nhất là

4

3và giá trị này đạt được khi

1 4

x 

1,0

0,5 0,5 1,0 1,0

2 * Gọi x (km) là quãng đường còn lại, x > 0;

Vận tốc trên quãng đường 700m là: 0,7 :

12

60 = 3,5km/h

* Gọi t là thời gian quy định từ nhà đến sân ga

Vận tốc 3,5km/h sẽ chậm mất 40 phút hay

40

60giờ Ta có

40

x t

 

(1)

Vận tốc 5km/h sẽ đến sớm hơn 5 phút Ta có

5

x t



- (2)

Từ (1) và (2) ta có phương trình:

3 3,5 5 4

(3)

Giải phương trình (3) ta được x = 8,75 (km).

Vậy quãng đường từ nhà đến ga là:

8,75km + 0,7km = 9,45km = 9450m

0,25

0,25

0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

3 a Giả sử: (n2 + n + 1)  9 (1)

Suy ra: (n2 + n + 1)  3

Ta có: n2 + n + 1 = (n – 1)(n + 2) + 3 Suy ra (n – 1)  3 hoặc (n + 2)  3

Mà (n + 2) – (n – 1) = 3 nên cả hai số (n + 2) và (n – 1) đều chia hết cho 3

Do đó (n – 1)(n + 2)  9 Suy ra n2 + n + 1 chia 9 dư 3, mâu thuẩn với (1)

Vậy n2 + n + 1 không chia hết cho 9 với mọi số nguyên n

0,5

0,5 0,5 0,5

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ta có: x4 +2012x2+2011x +2012 = x4 + x3 + x2 + 2011(x2 + x + 1) – (x3– 1) = x2(x2 + x + 1) + 2011(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 + 2011 – x + 1)

= (x2 + x + 1)(x2 – x + 2012)

Vậy x4 +2012x2+2011x +2012 = (x2 + x + 1)(x2 – x + 2012) 2,0

4.

1 x23 - 4x3  - 1 3x4

(1)

Ta có: 4x3  - 1 3x4 - 3x4  4x3 x2 - x2    1 1 x2 - x23x2 - 4x 1

(2) Thay (2) vào (1) ta có:

(1)  1 x2 3 - 1 x2 -x23x2 - 4x 1

(3) Đặt y 1x2 , với y ≥ 1 Suy ra x2 y2-1

Thay vào (3): y3 - y2  -1 y2 3x2 - 4x 1

 2   2  2 

  -1 2 1 3  2- 4 1 0

1 0

- 



 



y

* Với y = 1 thì x = 0 thỏa mãn phương trình.

* Với y ≠ 1 và y ≥ 1, ta có: y2 y 1 3  x2 - 4x 1  0 (4)

Vì

2

-    -  -

và y > 1 thay vào vế trái của (4)

 

-   -  -  -  - 

lớn hơn

Do đó (4) vô nghiệm

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 0

2,0

5 a Xét hai tam giác vuông ABH và CAH có:

ABH CAH  (vì cùng phụ với góc BAH)

Do đó ∆ABH ∽ ∆CAH (g.g) Suy ra:

CH AH

 AH2 = BH.CH = 4.9 = 36

 AH = 36 = 6 (cm)

Mặt khác: HT  AB và HE  AC nên ATHE là hình chữ nhật

Suy ra: TE = AH = 6 (cm)

Vẽ hình đúng ghi 0,5

1,0

O

E

T

H

A

b Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo hình chữ nhật ATHE;

Xét tam giác MTH có: MTH MHT  (vì cùng phụ với OTH OHT  ) Suy ra tam giác MTH cân tại M, do đó MT = MH (1)

Ta có MTB MBT  (vì cùng phụ với MTH MHT  ) Suy ra tam giác MTB cân tại M, do đó MB = MT (2)

Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của BH Xét tam giác NEH có: NEH NHE  (vì cùng phụ với OEH OHE  ) Suy ra tam giác NEH cân tại N, do đó NE = NH (3)

Ta có NEC NCE  (vì cùng phụ với NEH NHE  ) Suy ra tam giác NEC cân tại N, do đó NE = NC (4)

Từ (3) và (4) suy ra N là trung điểm của HC

1,0

0,5

c Theo chứng minh trên ta có:

TM = MH =

1

2BH =

1

2.4 = 2 (cm); EN = NH =

1

2CH =

1

2.9 = 4,5 (cm);

TE = AH = 6 (cm)

TENM là hình thang vuông, do đó diện tích là:

STENM =

1

2(TM + EN)TE =

1

2(2 + 4,5).6 = 19,5 (cm2)

1,0

6 Ta có: DAB 1200 (gt) nên ADC 600

Đường phân giác của góc A cắt đường phân giác của góc D tại M thì tam giác ADM có hai góc bằng

600 và 300 nên các đường phân giác đó vuông góc với nhau

Lập luận tương tự chứng tỏ tứ giác MNPQ có 4 góc vuông nên

nó là hình chữ nhật

Trong tam giác vuông ADM có

DM = ADsinDAM = bsin600 =

b 3 2

Trong tam giác vuông DCN có DN = DCsinDCN = asin600 =

a 3 2

Vậy MN = DN – DM = (a – b)

3 2 Trong tam giác vuông DCN có CN = CDcos600 =

a 2 Trong tam giác vuông BCP có CP = CBcos600 =

b 2 Vậy NP = CN – CP =

a b 2

Suy ra diện tích hình chữ nhật MNPQ là: MN.NP =  

2 3

a b

4

(đvdt)

Vẽ hình đúng ghi 0,5

1,0

0,5

0,5 0,5

Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa.

Q

P

N M

C

D