Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMN.[r]
Trang 1Trờng tHCS Hồng Hng
đề thi học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1: ( 2 điểm )
1 So sánh : 2008
√2009+
2009
√2008 và √2008+√2009
2 Cho biểu thức B= 1
√1+
1
√2+
1
√3+ +
1
√2010 Chứng minh rằng B>86
Câu 2: ( 1 điểm )
Rút gọn biểu thức M 4 7 4 7
Câu 3: ( 2 điểm )
1 Giải phơng trình sau: √2 x −1+2=x
2 Tìm các số nguyên x, y thoả mãn y=√x2+4 x +5
Câu 4: (3,0 điểm )
Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N Tia AM cắt đờng thẳng CD tại K Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I
1 Chứng minh : 1
AM2+
1
AK2=
1
AB2
2 Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm Tính diện tích tam giác AMN
3 Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lợt vuông góc với IK, AK,
AI ( P IK, Q AK, R AI) Xác định vị trí điểm O để OP 2 +OQ 2 +OR 2 nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Câu 5: ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thoả mãn 0 ≤ a , b , c ≤ 2 và a+b +c=3 Chứng minh rằng: a3
+b3 +c3≤ 9
Trang 2Trờng THCS Hồng Hng Đáp án và biểu điểm
đề thi chọn học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
Câu 1
2,5 đ
1 1,0đ
Ta có:
2008
√2009+
2009
√2008=
2009 −1
√2009 +
2008+1
√2008
¿ (√2008+√2009)+( 1
√2008−
1
√2009)>0
Vậy 2008
√2009+
2009
√2008 > √2008+√2009
0,5 0,25 0,25
2 1,5đ
B= 1
√1+
1
√2+
1
√3+ +
1
√2010
√1+√1+
2
√2+√2+
2
√3+√3+ .+
2
√2010+√2010 2
√1+√2+
2
√2+√3+
2
√3+√4+ +
2
√2010+√2011
¿ 2.(√2011−1)>2 43=86
0,5 0,5 0,5
Câu 2
1,0đ
Rút gọn biểu thức M 4 7 4 7
2 2
8 2 7 8 2 7
2
M M
M M M
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 3
2,5đ
1 1,0đ
√2 x −1+2=x⇒√2 x −1=x −2 ĐK : x ≥ 2
x=1
¿
x =5
¿
¿
¿
¿
¿
√2 x − 1=x −2 ⇔2 x −1=x2− 4 x+4
⇔ x2
−6 x +5=0 ⇔(x −1)(x − 5)=0
⇔
¿
0,25 0,5 0,25
2 1,5đ y=√x2+4 x +5 ĐK : x ∈ R , y>0
Bình phơng hai vế ta đợc
x+2¿2+1
¿
⇔( y +x+2)( y − x −2)=1
¿
y2
= ¿
Do x, y nguyên và y dơng nên ta có:
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 3y +x+2=1
y − x − 2=1
⇔
¿x=− 2
y =1
¿ {
¿
Câu 4
3,0đ
1
1,0đ
Ta có
Δ ABM=Δ ADI ⇒ AM=AI(1)
Trong tam giác AIK vuông tại A ta có:
1
AI 2 + 1
AK 2 = 1
AD 2 (2) và AB = AD
Từ (1) và (2) ⇒ 1
AM 2 + 1
AK 2 = 1
AB 2
0,25 0,5 0,25
2
1,0đ
Kẻ AH vuông góc với MN (H ∈MN) Do CM + CN =7
và CM - CN = 1 ⇒ CM = 4; CN = 3 ⇒ MN = 5
Ta có Δ AMN=Δ AIN ⇒ AH=AD ⇒ IN=MN
Ta lại có : DN+BM=MN=5 và CM+BM=CN +DN⇒ DN −BM=CM −CN=1
⇒ DN = 3; BM = 2; BC = AD = AH = 6
⇒ S Δ AMN= 1
2AH MN=
1
2 6 5=15(cm
2
)
0,25 0,5
0,25
3
1,0đ
Từ giả thiết ta có AQOR là hình chữ nhật
OA+OP ¿2
¿
¿
OP2+OQ2+OR2=OA2+OP2≥¿
OP2+OQ2+OR2 nhỏ nhất khi O là trung điểm của AD
0,25 0,5 0,25
Câu 5
1,0đ Vì vai trò của a,b,c nh nhau, không mất tính tổng quát giả sử : a ≤ b ≤ c Khi đó vì 0 ≤ a , b , c ≤ 2 và a+b +c=3 nên
ta có
0 ≤ a ≤1 ⇒a3
≤ a Mặt khác 1≤ c ≤2 ⇒(c − 1)(c−2)(c+3)≤ 0 ⇒ c3≤7 c −6
Ta xét hai trờng hợp của b:
Nếu 0 ≤ b ≤1 ⇒b3
≤ b Khi đó
0,25 0,25
0,25
M H
C
Trang 4a3+b3+c3≤ a+b +7 c − 6=a+b+c+6 c − 6 ≤3+6 2 −6=9
⇒a3 +b3 +c3≤ 9
Nếu 1≤ b ≤ 2 ⇒ b3
≤7 b − 6 Khi đó
a3
+b3
+c3≤ a+7 b − 6+7 c −6=7(a+b+c)− 6 a −12=9 −6 a ≤ 9
Vậy a3+b3+c3≤ 9 ( đpcm)
0,25