15 de on thi DH mon Toan P4

Chứng minh rằng hai đờng thẳng đó chéo nhau và tìm phơng trình đờng vuông góc chung cña chóng.... Tìm toạ độ điểm E...[r]

Trang 1

Đề số 1 Câu1: (2 điểm) Cho hàm số : y=x3−3 mx2+(m− 1) x+2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

Câu2: (2 điểm)

1) Giải phơng trình: 3cosx(1 −√sin x)− cos2 x =2√sin x sin2x − 1

2) Giải hệ bất phơng trình:

x2−2 x ≤ 0

x4−5 x2

+4 ≤ 0

¿ {

¿

1) Tính tích phân: I = ∫

0

√ 3

x3√1+x2dx

2) Tìm số nguyên dơng n thoả mãn đẳng thức: A n3+2 Cn2=16 n

1) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh AB = x (x > 0), tất cả các cạnh còn lại có

độ dài bằng 1 Tính dộ dài đoạn vuông góc chung của hai cạnh AB và CD Tìm điều kiện đối với x để Câu toán có nghĩa

2) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho tứ diện OABC có O là gốc tọa độ, A  Ox, B  Oy, C  Oz và mặt phẳng (ABC) có phơng trình:

6x + 3y + 2z - 6 = 0

a) Tính thể tích khối tứ diện OABC

b) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC

Cho x, y là hai số thực dơng khác 1

Chứng minh rằng nếu: logx(logy x)=logy(logx y) thì x = y

Đề số 2 Câu1: (2 điểm)

Cho hàm số: y = 2 x −5

x −2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Trang 2

2) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; 0)

1) Giải phơng trình: sin 3

(x + π

4)=√2 sin x

2) Giải bất phơng trình: logx −1 (x +1)> log x2−1 (x +1)

3) Giải hệ phơng trình:

2 x2 +3 y 2−4 xy=3

2 x2− y2=7

¿ {

¿

1) Tính tích phân: ∫

0

2

x3

x2+2 x +1dx

2) Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển nhị thức Niutơn của: (13+

2

3x)15

1) Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' Chứng minh rằng các điểm giữa của 6 cạnh không xuất phát từ hai đầu đờng chéo AC' là những đỉnh của một lục giác phẳng

đều

2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho hai đờng thẳng:

x + y - 1 = 0 và 3x - y + 5 = 0

Hãy tìm diện tích hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đờng thẳng đã cho, một

đỉnh là giao điểm của hai đờng đó và giao điểm của hai đờng chéo là I(3; 3)

3) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho hai đờng thẳng:

d1:

3 x − 2 y +5=0

y −3 z +5=0

¿ {

¿

và d2: x −2

1 =

y +2

5 =

z

−2

Chứng minh rằng hai đờng thẳng đó chéo nhau và tìm phơng trình đờng vuông góc chung của chúng

Cho hàm số: y = x+3 m −1

x − m (1)

1) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (1; +∞)

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1, gọi đồ thị của hàm số này là (C)

Trang 3

3) Tìm hai điểm A, B thuộc (C) sao cho A và B đối xứng với nhau qua đờng thẳng (d): x + 3y - 4 = 0

Cho phơng trình: x2 - 2ax + 2 - a = 0 (1)

1) Xác định a để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 sao cho: -2 < x1 < 3 < x2

2) Xác định a để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x1 sao cho: x12

+x22 đạt giá trị nhỏ nhất

Cho ABC có 3 góc thoả mãn điều kiện sau: sinA + cosA + sinB cosB + sinC -cosC = 1 Chứng minh rằng: ABC là tam giác vuông

Cho ABC có A(-1; 5) và phơng trình đờng thẳng BC: x - 2y - 5 = 0 (xB < xC) biết I(0 ; 1) là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC

1) Viết phơng trình các cạnh AB và AC

2) Gọi A1, B1, C1 lần lợt là chân đờng cao vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác Tìm toạ độ các điểm A1, B1, C1

3) Gọi E là tâm đờng tròn nội tiếp A1B1C1 Tìm toạ độ điểm E

Đề số 4

Câu1: (2,5 điểm) Cho hàm số y = -x4 – mx mx 2 + m + 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = - 1

b) Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi, gọi hai điểm cố định dó là A,B

c) Tìm giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A,B vuông góc với nhau

1) Giải phơng trình: 1

tgx+cot g 2 x=

√2(cos x −sin x ) cot gx −1

2) Giải bất phơng trình:

2 x − log38+ x2 log3(2 x ) − log3x3≥ x2− 3+x log3(4 x2)

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng y = 4 - x2 và y = |x2− 2 x|

0

1

ln (1+x ) dx 1+x2

Trang 4

Câu4: (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho ABC có đỉnh

A(2; -3) , B(3; -2) và diện tích ABC bằng 3

2 Biết trọng tâm G của ABC thuộc đờng

thẳng d: 3x - y - 8 = 0 Tìm toạ độ điểm C

Câu5: (2 điểm)Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm A(1; 2; -1) , B(7;

-2; 3) và đờng thẳng d:

2 x+3 y − 4=0

y +z −4=0

¿ {

¿

1) Chứng minh rằng hai đờng thẳng d và AB dồng phẳng

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng d với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

3) Trên d, tìm điểm I sao cho độ dài đờng gấp khúc IAB ngắn nhất

Đề số 5

Câu1: (2,5 điểm) Cho hàm số y = -x4 – mx mx 2 + m + 1

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = - 1

b) Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay

đổi, gọi hai điểm cố định dó là A,B c)Tìm giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A,B vuông góc với nhau

Câu2: (1,5 điểm)

Giải phơng trình:

1) sinx.cosx + cosx = -2sin2x - sinx + 1

2) log2( x+ 1)=log x+116

1) Bằng cách đặt x = π

2−t, hãy tính tích phân: I = ∫

0

π

2

sin x sin x +cos x dx

2) Tìm m để bất phơng trình: mx - √x − 3  m + 1 có nghiệm

1) Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' Gọi I, J lần lợt là trung điểm của A'D' và B'B Chứng minh rằng IJ  AC'

2) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho các đờng thẳng:

Trang 5

(d1):

x =1

y=− 4 +2 t

z =3+t

¿ { {

¿

và (d2):

x=− 3t ' y=3+2t ' z=− 2

¿ { {

¿

(t, t'  R)

a) Chứng minh rằng (d1) và (d2) chéo nhau

b) Viết phơng trình mặt cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)

Chứng minh rằng: 2 cos x+ cot gx+3 x − 3 π

2 >0 với x  (0 ; π

2)

Đề số 6

Câu1: (2 điểm) Cho hàm số y = -x4 – mx mx 2 + m + 1

a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = - 1

b)Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay

đổi, gọi hai điểm cố định dó là A,B

c)Tìm giá trị của m để tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A,B vuông góc với nhau

1) Giải phơng trình: cos4 x

3 =cos

2

(3x)

logx (11 x +14 y )=3

logy (11 y +14 x )=3

¿ {

¿

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho điểm F(3; 0) và đờng thẳng (d) có phơng trình: 3x - 4y + 16 = 0

a) Viết phơng trình đờng tròn tâm F và tiếp xúc với (d)

b) Chứng minh rằng parabol (P) có tiêu điểm F và đỉnh là gốc toạ độ tiếp xúc với (d)

2) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) và S, S1, S2, S3 lần lợt là diện tích của các mặt (BCD), (ABC), (ACD), (ABD) Chứng minh rằng:

a) 1

AH2=

1

AB2+

1

AC2+

1

AD2

b) S2 =S12

+S22

+S32

Trang 6

1

e

cos (ln x )dx

2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số F(t) xác định bởi:

F(t) = ∫

0

t

x cos x2dx

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5, mỗi số có 5 chữ số phân biệt

2) Giải phơng trình: sin4x + cos4x - cos2x + 1

4sin22x = 0

Đề số 7 Câu1: (3,5 điểm)

Cho hàm số: y = x3 - 3x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đờng cong (C) và trục hoành 3) Xét đờng thẳng (D): y = mx, thay đổi theo tham số m Tìm m để đờng thẳng (D) cắt đờng cong (C) tại 3 điểm phân biệt, trong đó có hai điểm có hoành độ dơng

Tính các tích phân sau đây:

1) I = ∫

0

π

x sin xdx 2) J = ∫

0

π

2

sin 2x cos3 xdx

Câu3: (2,5 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho hypebol (H): x2

16 −

y2

9 =1 Gọi F

là một tiêu điểm của hypebol (H) (xF < 0) và I là trung điểm của đoạn OF Viết phơng trình các đờng thẳng tiếp xúc với hypebol (H) và đi qua I

2) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho điểm A(3; -3; 4) và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z - 7 = 0 Tìm điểm đối xứng của điểm A qua mặt phẳng (P)

1

√x+

1

√y=

4 3 xy=9

¿ {

¿

Trang 7

Đề số 8

Câu1: (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x 2 + mx + m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 0

k

c) Tìm m để hàm số dã cho nghịch biện trên một đoạn có độ dài bằng 1

Câu2: (2,5 điểm)

1) Giải phơng trình: (√2+√3)x+(√2−√3)x= 4

2) Cho ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC

Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = tgA + tgB + tgC

Câu3: (1,5 điểm)

Chứng minh rằng nếu: y = ln(x +√x2+ 4) thì đạo hàm y' = 1

√x2+4

Sử dụng kết quả này tính tích phân: I = ∫

0

2

√x2+ 4 dx

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho parabol (P): y2 = 4x Từ điểm

M bất kỳ trên đờng chuẩn của (P) vẽ hai tiếp tuyến đến (P), gọi T1, T2 là các tiếp điểm Chứng minh rằng T1, T2 và tiêu điểm F của (P) thẳng hàng

2) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho mặt phẳng

(): x + y + z + 10 = 0 và đờng thẳng :

x=2 t y=1 −t

z =3+t

¿ { {

¿

(t  R))

Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng ' là hình chiếu vuông góc của  lên mặt phẳng ()

3) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vuông góc với nhau từng đôi một, sao cho

OA = a; OB = b; OC = 6 (a, b > 0) Tính thể tích tứ diện OABC theo a và b Với giá trị nào của a và b thì thể tích ấy đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn nhất đó khi a + b = 1

Hãy khai triển nhị thức Niutơn (1 - x)2n, với n là số nguyên dơng Từ đó chứng minh rằng: 1.C 2n1 +3 C2 n3 + .+(2 n− 1)C2 n 2 n− 1=2 C2 n2 +4 C 2n4 + +2 nC2 n 2 n

Đề số 9

Câu1: (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x 2 + mx + m

a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 0

k

Trang 8

c)Tìm m để hàm số dã cho nghịch biện trên một đoạn có độ dài bằng 1

Giải các phơng trình sau đây:

1) √4 x −1+√4 x2−1=1

2) sin3x = cosx.cos2x.(tg2x + tg2x)

3) P x A2x+72=6(A2x+2 P x) trong đó Px là số hoán vị của x phần tử, A2x là số chỉnh hợp chập 2 của x phần tử (x là số nguyên dơng)

1) Tuỳ theo giá trị của tham số m, hãy tìm GTNN của biểu thức:

P = (x + my - 2)2 + [4 x+2 (m− 2) y −1]2

2) Tìm họ nguyên hàm: I = ∫tg(x + π

3)cot g(x + π

6)dx

Cho hình chóp SABC đỉnh S, đáy là tam giác cân AB = AC = 3a, BC = 2a Biết rằng các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) đều hợp với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 600

Kẻ đờng cao SH của hình chóp

1) Chứng tỏ rằng H là tâm đờng tròn nội tiếp ABC và SA  BC

2) Tính thể tích hình chóp

Chứng minh rằng với x  0 và với  > 1 ta luôn có: x α

+α −1 ≥ αx Từ đó chứng minh rằng với ba số dơng a, b, c bất kỳ thì: √a3

b3+√b3

c3+√c3

a3≥

a

b+

b

c+

c

a

Đề số 10 Câu1: (2,5 điểm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = (x + 1)2(x - 2)

2) Cho đờng thẳng  đi qua điểm M(2; 0) và có hệ số góc là k Hãy xác định tất cả giá trị của k để đờng thẳng  cắt đồ thị của hàm số sau tại bốn điểm phân biệt:

y = |x|3−3|x|−2

Giải các phơng trình:

1) √x+2+ 2√x+1+√x +2 −2√x +1= x +5

2

Trang 9

2) cos x (cos x+2sin x )+3 sin x(sin x +√2 )

Câu3: (2,5 điểm)

1) Giải và biện luận phơng trình sau theo tham số a: √a+2 x+√a− 2 x=a

2) Giải phơng trình:

√(log2√2 x +log x√2 x)log2x2+√ (log2√x2+logx√2x)log2x2=2

Cho tứ diện SPQR) với SP  SQ, SQ  SR), SR)  SP Gọi A, B, C theo thứ tự là trung điểm của các đoạn PQ, QR), R)P

1) Chứng minh rằng các mặt của khối tứ diện SABC là các tam giác bằng nhau 2) Tính thể tích của khối tứ diện SABC khi cho SP = a, SQ = b, SR) = c

Tính tích phân: I = ∫

0

π

4

cos 2 x sin 2 x+cos2 xdx

Đề số 11

Câu1: (2,5 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3x 2 + mx + m

a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 0

k

c)Tìm m để hàm số dã cho nghịch biện trên một đoạn có độ dài bằng 1

1) Giải bất phơng trình: √x2− 4 x +3 −√2 x2− 3 x+1 ≥ x −1

2) Tính tích phân: I =

∫ 0

(π2)3

sin√3 x dx

1) Giải và biện luận phơng trình: 2m(cosx + sinx) = 2m2 + cosx - sinx + 3

2

2) Tam giác ABC là tam giác gì nếu:

a2sin 2 B+b2sin 2 A=4 ab cos A sin B sin 2 A +sin 2 B=4 sin A sin B

¿ {

¿

1) Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Các điểm M, N lần lợt là trung điểm của OA và BC; P, Q là hai

Trang 10

điểm trên OC và AB sao cho OP

OC =

2

3 và hai đờng thẳng MN, PQ cắt nhau Viết phơng

trình mặt phẳng (MNPQ) và tìm tỷ số AQ

AB?

2) Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P) có đỉnh tại gốc toạ độ và đi qua điểm A(2 ;2√2 ) Đờng thẳng (d) đi qua điểm I(52;1) cắt (P) tại hai điểm M, N sao cho

MI = IN Tính độ dài MN

Câu5: (1,5 điểm)

Biết các số a, b, c thoả mãn:

a2+b2+c2=2 ab+bc+ca=1

¿ {

¿

Chứng minh:

−4

3≤ a ≤

4

3; −

4

3≤ b ≤

4

3; −

4

3≤ c ≤

4 3

Cho hàm số: y = x4 - 4x2 + m (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 3

2) Giả sử (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía

d-ới trục hoành bằng nhau

2 x + y= 3

x2

2 y+ x= 3

y2

¿ {

¿

2) Giải phơng trình: 2x− 1 −2 x2− x=( x −1)2

1) Giải phơng trình lợng giác: sin(103 π −

x

2)= 1

2sin(10π +

3 x

2 )

2) Cho ABC có độ dài các cạnh là a, b, c và diện tích S thoả mãn:

S = (c + a - b)(c + b - a) Chứng minh rằng: tgC = 8

15

1) Tính: lim

x →0

√1+2 x −√31+3 x

x2

Trang 11

2) Tính: I = ∫

0

π

4

ln (1+tgx) dx

Câu5: (2 điểm)Trong không gian với hệ toạ độ trực truẩn Oxyz:

1) Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng đi qua các điểm M(0; 0; 1) N(3; 0; 0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc π

3.

2) Cho 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là ba số dơng, thay đổi

và luôn thoả mãn a2 + b2 + c2 = 3

Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ điểm O(0; 0; 0) đến mặt phẳng(ABC) đạt giá trị lớn nhất

Đề số 13

Câu1: (2,5 điểm) Cho haứm soỏ

2

coự ủoà thũ (C) a/ Khaỷo saựt haứm soỏ và vẽ đồ thị(c) của hàm số

b/ Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn (D) cuỷa ủoà thũ (C) taùi ủieồm A coự hoaứnh ủoọ baống 1 Tỡm giao ủieồm cuỷa ( D) vaứ ( C)

1) Giải phơng trình: sin2000x +cos2000x=1

2) Giải bất phơng trình: |1+logx2000|<2

3) Chứng minh bất đẳng thức: 1

√2≤∫ 0

1

√ 2

dx

√1 − x2000≤ π

4

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; -1) và

D(7, -2, 3)

1) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D nằm trên cùng một mặt phẳng

2) Tính khoảng cách từ điểm C đến đờng thẳng AB

3) Tìm trên đờng thẳng AB điểm M sao cho tổng MC + MD là nhỏ nhất

Tính tích phân: I = ∫

− π

4

π

4

sin x −cos x sin x +cos x dx

Bà i5: (1,5 điểm)

Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc

1) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

2) Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau?

Trang 12

1) Cho hàm số: y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1

a) Với các giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x + 2

b) (C0) là đồ thị hàm số ứng với m = 0 Tìm điều kiện của a và b để đờng thẳng y

= ax + b cắt (C0) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB = BC Khi đó chứng minh rằng đờng thẳng y = ax + b luôn đi qua một điểm cố định

1) Giải bất phơng trình: √x2−8 x +15+√x2

+2 x − 15 ≤√4 x2−18 x+ 18

2) Xác định giá trị của a để hệ bất phơng trình:

x +3 y ≥( x + y )2+a

( x − y )2≤ 3 y − x − a

¿ {

¿

có nghiệm duy

nhất

Giải phơng trình: cos2x + cos4x + cos6x = cosxcos2xcos3x + 2

2) Tính tích phân: ∫

0

π

2

1+sin x 1+cos xdx

Cho các đờng tròn: (C): x2 + y2 = 1 (Cm): x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4my = 5

1) Chứng minh rằng có hai đờng tròn (C m1), (C m2) tiếp xúc với đờng tròn (C) ứng với hai giá trị m1, m2 của m

2) Xác định phơng trình các đờng thẳng tiếp xúc với cả hai đờng tròn (C m1), (C m2)

ở trên

Cho hai đờng thẳng chéo nhau (d), (d') nhận đoạn AA' = a làm đoạn vuông góc chung (A  (d), A'  (d')) (P) là mặt phẳng qua A' và vuông góc với (d') (Q) là mặt phẳng di động nhng luôn song song với (P) và cắt (d), (d') lần lợt tại M, M' N là hình chiếu vuông góc của M trên (P), x là khoảng cách giữa (P) và (Q),  là góc giữa (d) và (P)

1) Tính thể tích hình chóp A.A'M'MN theo a, x, 

2) Xác định tâm O của hình cầu ngoại tiếp hình chóp trên Chứng minh rằng khi (Q) di động thì O luôn thuộc một đờng thẳng cố định và hình cầu ngoại tiếp hình chóp A.A'M'MN cũng luôn chứa một đờng tròn cố định

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	29,77 KB