bài tập theo chuyên đề ôn thi đh môn toán phần 1

Tài liệu ôn thi ĐH theo các chuyên đề giúp cho hs ôn tập và hệ thống lại các kiến thức thông qua các bài tập. Các bài tập đề có đáp số nhằm giúp hs và gv kiểm tra kết quả. Đây là tài liệu hữu ích cho việc giảng dạy và ôn tập của gv cũng như hs GV: Lê Ngọc Sơn – THPT Phan Chu Trinh

BÀI TẬP THEO CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐH – CĐ NĂM 2014 (MS: 01)

PHẦN I VẼ ĐỒ THỊ HS VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Bài tập 1 Cho hàm số y = -2x3 +6x+2 có đồ thị (C)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2) Tìm m đề đường thẳng d : y =2mx-2m+6 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho tổng

hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A,B,C bằng 6-

Đáp số: m= 1

Bài tập 2 Cho hàm số

(x 1)

y

2 x 1

-=

+ (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x+ =y 0

Đáp số: M 1; 3 , M 3 5;

æ ö÷ æ ö÷

ç- - ÷ ç- ÷

y = x - 2mx + 2m + m (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số m= 1

2 Với những giá trị nào của m thì hàm số có 3 cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4 2

Đáp số: m= 2

Bài tập 4 Cho hàm số y 2x

x 1

=

- (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm tọa độ hai điểm A,B phân biệt thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A,B song song với nhau, đồng thời ba điểm O,A,B tạo thành một tam giác vuônG tại O

Đáp số: A(-1;1 , B 3;3) ( ) hoặc A 3;3 , B( ) (-1;1)

Bài tập 5 Cho hàm số y =x3-3mx2 +3 m( 2 -1 x) -m3 +5m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 1

2 Chứng minh rằng với mọi m , đồ thị hàm số luôn có 2 điểm cực trị A,B đồng thời trung điểm I của

AB luôn chạy trên một đường thẳng cố định

Đáp số: y=2x

Bài tập 6 Cho hàm số y= -x3 +3x2 +3m m( +2 x) +1 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số m=0

2 Tìm m để đồ thị hàm số (C) có 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua điểm I 1; 3( )

Đáp số: m =0, m= -2

Bài tập 7 Cho hàm số y x 2

2x 1

+

= + (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Đường thẳng d : y1 = cắt (C) tại 2 điểm A, B Tìm m để đường thẳng x d : y2 = +x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt C,D sao cho ABCD là hình bình hành

Đáp số: m= 2

Bài tập 8 Cho hàm số y =x3-3mx2 +3 m( 2-1 x) -m3 +5m (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 1

2 Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị A,B và độ dài của đoạn thẳng AB không phụ thuộc vào m

Đáp số: AB= 20

Bài tập 9 Cho hàm số y=x3-3x2 +2 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Gọi d là đường thẳng qua A 1; 0( ) và có hệ số góc k Tìm tất cả các giá trị thực của k để d cắt ( )C

tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x , x , x thỏa mãn 1 2 3 2 2 2

x +x +x =11

Đáp số: k= 1

Bài tập 10 Cho hàm số y =x3-3mx2 +3 m( 2 -1 x) -m3 +m (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=0

2 Chứng minh rằng hàm số luôn có CĐ, CT với mọi m Tìm m để các điểm cực trị cùng với điểm

( )

I 1;1 tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5

Đáp số: m 3, m 1

5

= = -

Bài tập 11 Cho hàm số y=x4 +(3m+1 x) 2 -3 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số m= - 1

2 Tìm tất cả giá trị m đề đồ thị hàm cố có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 2

3 độ dài cạnh bên

Đáp số: m 5

3

= -

Bài tập 12 Cho hàm số y =x3-mx2 +2 (C) và đường thẳng d : y =2mx+m+1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m= 3

2 Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt I(-1;1-m , A, B) đồng thời các tiếp tuyến của (C) tại A và B có cùng hệ số góc

Đáp số: m = Æ

m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m= 2

2 Gọi A là giao điểm của đồ thị với trục tung Tìm m sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại A tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1

3

Đáp số: m 13, m 11

Bài tập 14 Cho hàm số y= - +x3 3x2 -2 (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm m để đường thẳng d : y=m 2( -x)+2 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A 2;2( ), B, C sao cho tích hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại B và C đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp số: m= - 1

Bài tập 15 Cho hàm số y 2x 1 (C)

x 1

-=

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm m để đường thẳng d : y= - +x m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ABMD là tam giác đều, biết rằng M 2;5( )

Đáp số: m=1, m= -5

PHẦN 2 TÍCH PHÂN

1

I= ò x x- +1 ln x dx Đáp số: I 19 2 ln 2

60

1

ln x 1 x 3 ln x

x 3x

-=

-ò ĐS: I 1 1ln 2 1ln 4

Bài tập 3 Tính tích phân

4

e

2 e

dx I

x ln x 1 3 ln x

=

+

2

=

Bài tập 4 Tính tích phân

0

x dx I

=

3

Bài tập 5 Tính tích phân

2 1

ln xdx I

x 1 3 ln x

=

+

27

=

Bài tập 6 Tính nguyên hàm

3

3 3

cot x I

s inx sin x s inx

=

10

e

1

x 2 ln x x

x 1 ln x

=

+

Bài tập 8 Tính tích phân:

2

2 0

I 1 3 sin 2x 2 cos xdx

p

3 1

x 1

x

=ò êë + - úû ĐS: I 25ln5 2 ln 2 9

0

I cos x 1 sin x dx

p

4 15

p

= -

0

I ln 1 cos x sin 2xdx

p

2

=

0

I x cos x sin x dx

p

15

p

Bài tập 13 Tính tích phân:

3 2

0

x 1

x 1

+

=

+

15

=

Bài tập 14 Tính tích phân: 2 ( )

2 6

cos x.ln 1 s inx

sin x p

p

+

16

0

2 sin x 3 cosx

2 sin x 1

p

-=

+

Bài tập 16 Tính tích phân:

3

0

dx I

cos x 3 sin x

p

=

+

2

-Bài tập 17 Tính tích phân:

2 5 1

1 x

x 1 x

-=

+

0

I e cos 2x sin xdx

p

5 2 5e 23 I

26 78

p

2

x 1 tan x x

1 tan x

=

+

4

PHẦN 3 SỐ PHỨC

Bài tập 1 Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z+ -1 5i = + -z 3 i Tìm số phức có môđun nhỏ nhất

Đáp số: z 2 6i

5 5

= +

Bài tập 2 Tìm số phức z thỏa mãn (1-3i z) là số thực và z- +2 5i =1

Đáp số: z 2 6i, z 7 21i

5 5

Bài tập 3 Tìm số phức z thỏa mãn z = 2 và z= -2 z

Đáp số: z=  1 i

Bài tập 4 Tìm số phức z thỏa mãn z = 5 và ( )2

z+i là số thuần ảo

Đáp số: z= - +2 i, z= - - 1 2i

1+ = -z z i + iz-1 Tính mô đun của z 4

z 1

+ +

Đáp số: z 1 2i, z 1 1i

2 2

= - = - -

Bài tập 6 Tìm số phức z biết z = 2z- 3 +i và ( )

1 i z

+

- + + có một acgumen bằng 6

p

- Đáp số:

Bài tập 7 Cho số phức z thỏa mãn z- =1 2 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w=2z- i

Đáp số: ( ) (2 )2

x-2 + y+1 =16

Bài tập 8 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z- = - +i z 2 3i

Đáp số: x+ - =y 3 0

Bài tập 9 Cho số phức z 1 i 3

1 i

-= + Tính

2013

z

Đáp số: z2013 =21006(1-i)

Bài tập 10 Tìm số phức z thỏa mãn z- + - =z 1 i 5 và (2-z i) ( )+z là số ảo

Đáp số: z 1 3i, z 3 3i, z 1 1i, z 3 1i

z+i + -z 2 =2 z-31

Đáp số: z 497 7i

36 3

Bài tập 12 Cho số phức z thỏa mãn z 1 z 3

z 2

+ Tính môđun

z i

z 2i

-+

Đáp số:

Bài tập 13 Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho

n 1

3 i z

1 3i

æ - ÷ö

ç

=ç ÷÷

ç

-è ø là số thực và

n 2 2

5 i z

2 3i

-æ - ÷ö

= çç ÷÷

ç

-è ø là số

ảo

Đáp số: n=12

Bài tập 14 Cho số phức z thỏa mãn z2-6z+13=0 Tính P z 6

z i

= +

+

Đáp số: P= 17 , P=5

Bài tập 15 Viết số phức z dưới dạng lượng giác biết z- = -1 z 3i và i.z có một acgumen là

6

p

Đáp số: z cos i sin

Bài tập 16 Tìm số phức z sao cho z- = -1 z 3 và một acgumen của z- bằng một acgumen của 3

z+ cộng với 3

2

p

Đáp số: z= +2 i 5

Bài tập 17 Tìm số phức z thỏa mãn z 1 1

z i

- =

- và z-3i = +z i

Đáp số: z= + 1 i

Bài tập 18 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn (1 i z)

1 i

+ + =

- , hãy tìm số phức có mô đun nhỏ nhất

và mô đun lớn nhất

Đáp số: zm = +2 3 khi z =(2+ 3 i ; z) max = -2 3 khi z=(2- 3 i)

Bài tập 19 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w=2z+ - , biết rằng 3 i 2z+i2 £3z.z+ 1

Đáp số: ( ) (2 )2

x-3 + y+5 £16

PHẦN 4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bài tập 1 Giải phương trình:

2

2

3 sin x 7 sin x 2 sin x 1 sin 3x cot x

sin x

Bài tập 2 Giải phương trình: 2 cos 2x2 -2 cos 2x+4 sin 6x+cos 4x= +1 4 3 sin 3x cos x

Bài tập 3 Giải phương trình: 2 cos 6x+2 cos 4x- 3 cos 2x= sin 2x+ 3

Bài tập 4 Giải phương trình: 4 sin 3x+sin 5x-2 sin x cos 2x= 0

Bài tập 5 Giải phương trình: 1 (sin x6 cos x6 ) 3

cos x

Bài tập 6 Giải phương trình: cos x+tan x = +1 tan x sin x

cos x cos x 1

2 1 sin x sin x cos x

1 sin sin x cos sin x 2 cos

æp ö÷

çè ø

Bài tập 9 Giải phương trình: 32 tan x 2 3 sin x 1 tan x tanx

2 cos x

÷

Bài tập 10 Giải phương trình: 2 sin x+cos 3x+sin 2x = +1 sin 4x

cos 2x sin 12 4x cos 2013 2x 0

2

Bài tập 12 Giải phương trình: cos x cos 3x 1 2 sin 2x

4

æ p÷ö

çè ø

÷

Bài tập 14 Giải phương trình: tan 2 x cotx+ =8 cos x2

3 sin x cos x sin x

1

2 sin 2x 1

4

-=

æ p÷ö

ç - ÷+

çè ø

Bài tập 16 Giải phương trình: 5 cos 2x 2 cos x

3 2 tan x

Bài tập 17 Giải phương trình: cos 2x 3 sin x 1 cos x

3 2 sin x

Bài tập 18 Giải phương trình: 3 2 cos x( 2 +cos x-2)+sin x 3( -2 cos x)=0

Bài tập 19 Giải phương trình: 3 sin 2 x cos 2 x 5 sinx (2 3 cos x) 3 3

1

2 cos x 3

=

Bài tập 20 Giải phương trình: (1-cos x cot x) +cos 2x+sin x =sin 2x

sin 2x+3 2 cos x+2 sin x- =3 sin x+cos x

Bài tập 22 Giải phương trình: sin 2x+2 cos 2x= +1 sin x-4 cos x

Bài tập 23 Giải phương trình: 3 sin 2x( +sin x)=2 cos x2 -cos x+2

Bài tập 24 Giải phương trình: 2

4 2 sin x cos x 5 sin x cos x 0

4

æ p÷ö

Bài tập 25 Giải phương trình: cos2( x cos x)( 1) ( )

2 1 sin x sin x cos x

sin x tan x-1 = 3 sin x cos x+sin x -3

Bài tập 27 Giải phương trình:

2 sin 2x 2 cos x 2 sin x 2 cos x 6 cos 2x

sin x cos x

4

æ p÷ö

ç - ÷

çè ø

Bài tập 28 Giải phương trình: tan x 1 1 sin 2x

tan x 1 tan x sin 2x

=

Bài tập 29 Giải phương trình: 3 tan x( cotx) 4 sin 2x 6

sin 2x

1 2 cos x 3 cos 2x 4 sin

æ p÷ö

çè ø

PHẦN 5 PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài tập 1 Giải hệ: y2 (x2 2 y) 2x2 0

x 4 x 4 2 y 16 2x 12

ïï

Đáp số: ( )5;25

Bài tập 2 Giải hệ:

3 2

2y y 2x 1 x 3 1 x 2y 1 y 2 x

-ïï

Đáp số: PP hàm số ( )1; 0

8 x y 3xy 2y x

ïï

Đáp số: (1; 1 ,- ) (-2;2)

Bài tập 4 Giải hệ:

2

x 3 x 4 y y 7

-ïï

-ïî

Đáp số: PP hàm số ( ) (2;1 , 5; 2- )

Bài tập 5 Giải hệ:

2

4x 4xy y 2x y 2 0

8 1 2x y 9

ïï

Đáp số: ( ) 1

0;1 , ; 3 2

æ ö÷

ç - ÷

çè ø

Bài tập 6 Giải hệ:

3

x y xy 3

ìïï

ïí

ïï - + = ïïî

Đáp số: ( )2;1 , 3; 3 ,( 1; 2 ,) 3; 3

ç- - ÷ - - ç ÷

2

3

4

ïï ïí

-ïïî

Đáp số: PP hàm số ( )2; 4

1 3 2x x

Đáp số: x= -1, x=3

Bài tập 9 Giải bất phương trình: x+ +2 x2 - - £x 2 3x-2

Đáp số: S 2;2

3

é ù

ê ú

= ê úë û

Bài tập 10 Giải hệ

2 2

ìï + = - + ïï

íï + = - +

Đáp số: ( ) ( )1;1 , 2;2

Bài tập 11 Giải hệ

( )

x y xy 6

ìï - = ïïí

Đáp số: ( ) (3;2 , - - 2; 3)

Bài tập 12 Giải phương trình (1- 1-x 2) 3 - =x x

Đáp số: x=0, x =1

Bài tập 13 Giải hệ:

2

x 2xy 2x 2y 0

x 6x y 6x 4y 0

ïïí

Đáp số: ( ) 1 5 1 ( )

0; 0 , ; , 2 2 ;1

æ  ö÷

Bài tập 14 Giải hệ

2 2

ïï

Đáp số: 3 53 11; 53 , 3 53 11; 53

( )

x xy xy y 25

ïï

Đáp số: 25 8;

6 3

æ ö÷

çè ø

Bài tập 16 Giải phương trình x + x2- =1 2x2-3x-4

Đáp số: x = +5 34

3

1 xy x y x y x y

1 2 x 1 3 2x y

Đáp số: ( )2; 3 , 1;53

27

æ ö÷

çè ø

Bài tập 18 Giải bất phương trình: 4x2 +38x- -1 2 6x- ³ +1 x 1

6

= ê - ú È +ê + ¥

ë

Bài tập 19 Giải hệ:

-ïï

íï + + = +

Đáp số: đánh giá x y 1

2

= =

PHẦN 6 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

Bài tập 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I với AB=2a 3, BC=2a Biết chân đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm DI và SB hợp với đáy một góc 60 Tính 0

thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ H đến (SBC)

Đáp số: 3 ( ( ) ) 3

V 12a ;d H, SBC a 15

5

Bài tập 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, 2AC=BC=2a Mặt phẳng (SAC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 60 Hình chiếu của S lên 0 (ABC) là trung điểm H của cạnh BC Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AH và SB

Đáp số:

3

Bài tập 3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SB hợp với đáy một góc 30 , M là trung điểm của BC Tính thể tích 0

khối chóp S.ABM và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB & AM theo a

Đáp số:

3

Bài tập 4 Cho lăng trụ đều ABC.A ' B' C' có cạnh đáy bằng a, đường thẳng B' C tạo với đáy một góc 60 0 Tính thể tích khối chóp C.A ' B' B và khoảng cách từ B ' đến mặt phẳng (A ' BC) theo a

Đáp số:

3

Bài tập 5 Cho lăng trụ ABCD.A' B'C' D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA '= , hình a chiếu vuông góc của A ' lên (ABCD) trùng với trung điểm I của AB Gọi K là trung điểm của BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.IKD và khoảng cách từ I đến (A ' KD)

Đáp số:

3

Bài tập 6 Cho hình chóp S.ABC có SA= 3a (a>0) , SA tạo với (ABC) một góc 60 Tam giác ABC 0

vuông tại B , ACB =300, G là trọng tâm tam giác ABC Hai mặt phẳng (SGB & SGC) ( ) cùng vuông góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Đáp số:

3 243a V

112

Bài tập 7 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABC =600, BC=2a Hình chiếu vuông góc của A lên BC là H Biết SH^(ABC) và SA tạo với đáy một góc 60 Tính thể tích khối chóp 0

S.ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a

Đáp số:

3

Bài tập 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC,CD,SD,SB Tính thể tích của khối chóp S.ABMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP theo a

Đáp số:

3

Bài tập 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Gọi E là trung

điểm của BC góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 30 Hãy tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng 0

cách giữa hai đường thẳng DE và SC theo a

Đáp số:

3

Bài tập 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; AB = AC = a Gọi M là trung điểm

của cạnh AB, hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) trùng với điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 Tính theo a thể tích khối chóp 0

S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)

Đáp số:

3

a 30 a 130