Nhằm đánh giá lại thực lực học tập của các em học sinh trước khi tham dự kì thi tuyển sinh Đại học. Mời các em và giáo viên tham khảo đề kiểm tra chất lượng ôn thi ĐH môn Toán - THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3 (2013-2014).
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 3 NĂM HỌC 20132014
Môn: TOÁN; Khối A, A1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y=2x4-m x2 2+m 2 - 1 (1) (m là tham số).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị , , A B C sao cho bốn điểm
O, , , A B C là bốn đỉnh của một hình thoi (với O là gốc tọa độ).
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình:
2
4 sin
1 cot 2
1 cos 4
x
x
x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ( 2 ) ( )
2 2
ï
í
ï
.
Câu 4 (1,0 điểm). Xác định tất cả các giá trị của m để phương trình 2 ( ) ( ) 3
có nghiệm.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2a. Mặt
bên SAB là tam giác đều, SI vuông góc với mặt phẳng ( SCD ) với I là trung điểm của AB. Tính theo a thể
tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AB.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:
3
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x: -y + = 4 0 và hai đường tròn ( ) ( C1 : x-1) ( 2+ y -1) 2 = 1; ( ) ( C2 : x+3) ( 2+ y -4) 2 = Tìm điểm M trên đường thẳng d để từ M kẻ 4 được tiếp tuyến MA đến đường tròn ( ) C 1 và tiếp tuyến MB đến đường tròn ( ) C 2 (với A, B là các tiếp
điểm) sao cho tam giác AMB cân tại M.
Câu 8a (1,0 điểm). Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
đôi một khác nhau và trong mỗi số đó có đúng 2 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.
Câu 9a (1,0 điểm). Giải phương trình: 1log (2 3) 1 log (4 1)8 log 4 2
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d1 :x+2y - = 3 0 và đường thẳng d2 : 2x-y - = 1 0 cắt nhau tại I . Viết phương trình đường thẳng d đi qua O và cắt d1, d lần lượt 2
tại , A B sao cho 2IA= IB .
Câu 8b (1,0 điểm). Tính giới hạn:
2
2
0
cos 3 cos
lim
x
x
x
®
-
.
Câu 9b (1,0 điểm). Cho khai triển ( 3) 2 3
1 2- x+x n =a +a x+a x + + a x n n . Xác định hệ số a biết rằng 6
15
3
1 .
n
n
a
è ø .
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN KTCL ÔN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 20132014
Môn: TOÁN; Khối A, A1
I. LƯU Ý CHUNG:
Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
Với Câu 5 nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN:
Với m = 2 hàm số có dạng y=2x4-4x 2 + 3
TXĐ: D = ¡
0,25
1
x
x
=
é
BBT
y
+¥
1
3
1
+¥
0,25
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( - 1; 0 ) và ( 1; + ¥ )
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( -¥ - ; 1 ) và ( ) 0;1
Điểm cực đại( 0; 3 ) , cực tiểu ( ) ( 1;1 , - 1;1 ) .
0,25
a
3
9
3
U æç± ö ÷
Đồ thị: Giao với Oy tại ( 0; 3 , đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng )
0,25
TXĐ: ¡
2
0
(*)
4
x
x
=
é
ê
=
ê
ë
0,25
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị Û (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 Ûm ¹ 0 0,25
b
Trang 3Dễ thấy A Oy Î còn B, C đối xứng nhau qua OA và O khác A khi m ¹ ± 1
Tọa độ trung điểm của BC là
4
2
8
m
Iæç - +m - ö ÷
Vậy 4 điểm O, A, B, C là 4 đỉnh của hình thoi khi I là trung điểm của OA suy ra
Đk: { cos 4sin 2 0 1 ( )
2
k
x
x
p
¹
Pt Û( cos 2x+sin 2x) sin 2x= - 1 cos 2 x Û( cos 2x+sin 2x-1 sin 2)( x +1) = 0
1 sin 2
x
= -
é
ê
ë
0,25
4
p
+)
( )
1 sin 2
4
x
p
p
p p
=
é
ê
ë
k
0,25
( 2 ) ( )
2 2
ï
í
ï
Đk:
1
2
3
4
y
x
ì
£
ï
í
ï £
î
0,25
(1)Û 4x +1 x+ y-1 1 2- y=0Û 2x +2x= 1 2- y + 1 2 - y
Xét hàm số f t ( ) =t3 + trên ¡ , t f t'( )=3t2 + ³ " Î ¡ 1 0 t
0,25
(1) có dạng f( ) 2x = f( 1 2- y) Û2x= 1 2- yÞx ³ 0
Thay vào phương trình (2) ta được
16x -24x +8 3 4- x - = 3 0 ( 2 )( 2 ) 16 2( 1 )
x
x
-
0,25
x
1
2
x
4
x
2
x= Þ y = Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 ; 0
2
è ø .
0,25
Điều kiện x ³ 0 Xét x = 0 thay vào phương trình không thỏa mãn.
0,25
Đặt
2
4
2
x
t
x
+
( )
2
2
1
t
+ +
-
0,25
Trang 4Xét hàm số ( ) 2
1
g t
t
+ +
=
- với t ³ 2
( )
3
1
t
t
= -
é
ê =
ë
-
BBT
g(t)
8
7
+¥
0,25
Để (1) có nghiệm x > thì (2) có nghiệm 0 t ³ 2
F
E
I
K
D
A
S
Goi E là trung điểm của CD, suy ra AB^ IE . Lại có AB^SI Þ AB^ ( SEI ) , do đó
( ABCD) ^ (SIE ) Trong tam giác SEI kẻ đường cao SH ÞSH ^ ( ABCD ) 0,25
2
a
SH
Vậy
3
.
a
0,25
EH = SE -SH = ÞOH =EH = = OI Qua O kẻ OF/ /BC F( Î BC )
( , ) ( , ( ) )
0,25
2
a
Không mất tổng quát, giả sử: a b c + + = 3
P
P
0,25
9
P
-
1
3
c
( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2
9
P
-
Trang 5Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a=b= c
7.a 1,0 điểm
( ) C 1 có tâm I ( ) 1;1 , bán kính R = ; 1 1 ( ) C 2 có tâm J - ( 3; 4 ) , bán kính R = 2 2 0,25
Do IJ =5 >R1+ R 2 Þ ( ) ( ) C1 , C 2 rời nhau nên A và B phân biệt 0,25
( ; 4 )
M t t+ Î d ÞMA2=MI2-R1 2 =2t2 +4t + ; 9 MB2=MJ2-R2 2=2t2 +6t + 5 0,25
Tam giác AMB cân tại M ÛMA2 =MB2 Û = Vậy t 2 M ( 2; 6 ) . 0,25
8.a 1,0 điểm
Số cách chọn 2 số tự nhiên chẵn trong các số đã cho (có cả số 0) 2
4 6
C =
Số cách chọn 3 số lẻ trong các số đã cho 3
4 4
Số các số có 5 chữ số phân biệt gồm 2 số chẵn và 3 số lẻ được lấy từ tập đã cho (có cả
số 0 đứng đầu) 2 3
4 4 .5! 2880
Số các số có 5 chữ số phân biệt mà số 0 đứng đầu gồm 2 số chẵn và 3 số lẻ được lấy
từ tập đã cho 1 3
3 4 .4! 288
9.a 1,0 điểm
1
x
x
>
¹
(1)Ûlog éë x+3 x- ù =1û log 4xÛ(x+3)x- = 1 4 x (2)
0,25
Nếu x > 1 ; (2) Û(x+3)(x-1)= 4 x 1 3
3
x
x
x
= -
é
ê =
Nếu 0<x < 1 ; (2) Û(x+3)(1-x)=4xÛ x= - ±3 2 3Þx = - + 3 2 3 0,25
7.b 1,0 điểm
Ta có d1^ d 2 . Tam giác IAB vuông tại I và có 2IA= IB nên · 1
cos
5
d tạo với d 1 một góc a với cos 1
5
a =
0,25
1
d có véc tơ pháp tuyến n 1 (1; 2)
ur
, gọi n a b ( ; )
r
1
2 2
1
cos
+
ur r
b
=
é
= -
8.b 1,0 điểm
2
0
1 cos 3 cos
lim
x
x
®
2
0,25
0,25
Trang 62
0
sin 2
4
x
x
x
®
0
cos 3 cos
x
x
x
®
-
9.b 1,0 điểm
Cho
3
n
n
n
a
15
Ta có
5
k
k
( )
5
15 3
5
0 0
k
i
k
k i
= =
0,25
15 3- k+ =i 6Û3k- = i 9
Ta có bảng sau
0,25
Þ = = hoặc k=4,i = 3
Vậy 3 0 ( ) 0 4 3 ( ) 3
Hết