DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng tính chất để tính tích phân xác định của hàm số.. 1 Dựa trên giả thiết.[r]
Trang 1Tính chất của tích phân xác định.
b
Z
a
f (x) dx =
c Z
a
f (x) dx +
b Z
c
f (x) dx với a < c < b
k
b
Z
a
f (x) dx =
b Z
a
kf (x) dx(k 6= 0)
b
Z
a
f (x) dx = −
a Z
b
f (x) dx
b
Z
a
f (x) dx = F (x)
b
a
= F (b) − F (a)
b
Z
a
(f (x) + g(x)) dx =
b Z
a
f (x) dx +
b Z
a g(x) dx
b
Z
a
f (x) dx =
b Z
a
f (t) dt =
b Z
a
f (z)dz
b
Z
a
f (x) dx = f (x)
b
a
= f (b) − f (a)
Ví dụ 1 Nếu
2 Z
1
f (x) dx = −2 và
3 Z
2
f (x) dx = 1 thì
3 Z
1
f (x) dx bằng
Lời giải.
Trang 2Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng tính chất để tính tích phân xác định của hàm số.
2 HƯỚNG GIẢI:
1) Dựa trên giả thiết
2 Z
1
f (x) dx = −2 và
3 Z
2
f (x) dx = 1, ta tính tích phân
3 Z
1
f (x) dx
2) Ta có:
3 Z
1
f (x) dx =
2 Z
1
f (x) dx +
3 Z
2
f (x) dx
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có:
3
Z
1
f (x) dx =
2 Z
1
f (x) dx +
3 Z
2
f (x) dx = −2 + 1 = −1
Chọn phương án B
Câu 1 Nếu
4 Z
0
f (x) dx = 4 và
10 Z
4
f (x) dx = 5 thì
10 Z
0
f (x) dx bằng
Lời giải.
Ta có
10
Z
0
f (x) dx =
4 Z
0
f (x) dx +
10 Z
4
f (x) dx = 4 + 5 = 9
Chọn phương án B
Câu 2 Cho
1 Z
−1
f (x) dx = −5 và
5 Z
−1
f (x) dx = 10, khi đó
5 Z
1
f (t) dt bằng
Lời giải.
Ta có
5
Z
−1
f (x) dx =
1 Z
−1
f (x) dx +
5 Z
1
f (x) dx ⇔
5 Z
1
f (x) dx =
5 Z
−1
f (x) dx −
1 Z
=1
f (x) dx = 10 − (−5) = 15
5
Z
1
f (t) dt =
5 Z
1
f (x) dx (Tích phân không phụ thuộc biến số).
Trang 3Vậy
5
Z
1
f (t) dt = 15
Chọn phương án C
Câu 3 Cho
6 Z
1
f (x) dx = 5,
6 Z
2
f (t) dt = 4 Tính I =
2 Z
1
f (y)dy
Lời giải.
Do tích phân không phụ thuộc vào biến số nên
6 Z
2
f (t) dt =
6 Z
2
f (x) dx = 4
Ta có I =
2 Z
1
f (y)dy =
2 Z
1
f (x) dx =
6 Z
1
f (x) dx −
6 Z
2
f (x) dx = 5 − 4 = 1
Chọn phương án D
Câu 4 Cho
4 Z
0
f (x) dx = 8 và
4 Z
2 2f (x) dx = 12 khi đó I =
1 Z
−1
f (x + 1) dx bằng
Lời giải.
Ta có
4
Z
2
2f (x) dx = 12 ⇒
4 Z
2
f (x) dx = 6;
4
Z
0
f (x) dx =
2 Z
0
f (x) dx +
4 Z
2
f (x) dx ⇒
2 Z
0
f (x) dx =
4 Z
0
f (x) dx −
4 Z
2
f (x) dx = 8 − 6 = 2
Đặt t = x + 1 ⇒ dt = dx;khi x = −1 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 2
Khi đó I =
1 Z
−1
f (x + 1) dx =
2 Z
0
f (t) dt =
2 Z
0
f (x) dx = 2
Chọn phương án B
Câu 5 Cho
5 Z
0
f (x) dx = 10 và
5 Z
0 g(x) dx = 5 Giá trị của
5 Z
0 [2f (x) − 3g(x)] dx bằng
Lời giải.
Áp dụng tính chất của tích phân ta có
5 Z
0 [2f (x) − 3g(x)] dx = 2
5 Z
0
f (x) dx−3
5 Z
0 g(x) dx = 20−15 = 5 Chọn phương án B
Trang 4Câu 6 Cho
4 Z
1 g(x) dx =
◦ Z
1 g(x) dx = 3 Khi đó
4 Z
0 (g(x) + 1) dx bằng
Lời giải.
Ta có
◦
Z
1
g(x) dx = 3 ⇒
1 Z
0 g(x) dx = −3
Suy ra
4
Z
0
(g(x) + 1) dx =
4 Z
0 g(x) dx +
4 Z
0
dx =
1 Z
0 g(x) dx +
4 Z
1 g(x) dx +
4 Z
0
dx = −3 + 3 + x
4
0
= 4 Chọn phương án A
Câu 7 Cho
3 Z
−1
f (x) dx = −3 và
3 Z
−1 3g(x) dx = 9 Khi đó
3 Z
−1 (f (x) − g(x)) dx bằng
Lời giải.
Ta có
3
Z
−1
3g(x) dx = 3 ·
3 Z
−1 g(x) dx = 9 ⇒
3 Z
−1 g(x) dx = 3
Suy ra
3
Z
−1
(f (x) − g(x)) dx =
3 Z
−1
f (x) dx −
3 Z
−1 g(x) dx = −3 − 3 = −6
Chọn phương án D
Câu 8 Cho
3 Z
1
f (x) dx = 2 và
3 Z
1 [2f (x) + 3g(x)] dx = 16, khi đó
3 Z
1 g(x) dx bằng
Lời giải.
Trang 5Ta có
3 Z
1 [2f (x) + 3g(x)] dx = 16
⇔ 2
3 Z
1
f (x) dx + 3
3 Z
1 g(x) dx = 16
⇔ 2 · 2 + 3
3 Z
1 g(x) dx = 16
⇔ 3
3 Z
1 g(x) dx = 12
⇔
3 Z
1 g(x) dx = 4
Chọn phương án C
Câu 9 Cho
1 Z
0
f (x) dx = 3,
1 Z
0 g(x) dx = −1 thì
1 Z
0 [2f (x) + g(x) + ex] dx bằng
Lời giải.
1
Z
0
[2f (x) + g(x) + ex] dx = 2
1 Z
0
f (x) dx +
1 Z
0 g(x) dx +
1 Z
0
exdx = 2 · 3 + (−1) + ex
1
0
= 4 + e
Chọn phương án D
Câu 10 Cho
2 Z
1
f (x) dx = 3,
2 Z
1 2g(x) dx = 9 thì
2 Z
1 [2f (x) + 4g(x)] dx bằng
Lời giải.
2
Z
1
[2f (x) + 4g(x)] dx = 2
2 Z
1
f (x) dx + 4
2 Z
1
g(x) dx = 2 · 3 + 4 · 9
2 = 24
Chọn phương án D
Câu 11 Cho f, g là hai hàm liên tục trên đoạn [1; 2] thoả
2 Z
1 [f (x) − g(x)] dx = −1,
2 Z
1 [f (x) +
5g(x)] dx = 17 Tính
2 Z
1 [f (x) + g(x)] dx
Trang 6Lời giải.
2
Z
1
[f (x) − g(x)] dx = −1 ⇔
2 Z
1
f (x) dx −
2 Z
1
2
Z
1
[f (x) + 5g(x)] dx = 17 ⇔
2 Z
1
f (x) dx + 5
2 Z
1
Đặt X =
2
Z
1
f (x) dx, Y =
2 Z
1 g(x) dx
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
®
X − Y = −1
X + 5Y = 17 ⇔
®
X = 2
Y = 3
Do đó ta được:
2 Z
1
f (x) dx = 2 và
2 Z
1 g(x) dx = 3
Vậy
2
Z
1
[f (x) + g(x)] dx = 2 + 3 = 5
Chọn phương án B
Câu 12 Cho f, g là hai hàm liên tục trên đoạn [0; 2] thoả
2 Z
0 [f (x) − g(x)] dx = −4,
2 Z
0 [2f (x) +
g(x)] dx = −2 Tính
2 Z
0 [f (x) + 2g(x)] dx
Lời giải.
2
Z
0
[f (x) − g(x)] dx = −4 ⇔
2 Z
0
f (x) dx −
2 Z
0
2
Z
0
[2f (x) + g(x)] dx = −2 ⇔ 2
2 Z
0
f (x) dx +
2 Z
0
Đặt X =
2
Z
0
f (x) dx, Y =
2 Z
0 g(x) dx
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
®
X − Y = −4 2X + Y = −2 ⇔
®
X = −2
Y = 2
Do đó ta được:
2 Z
f (x) dx = −2 và
2 Z g(x) dx = 2
Trang 7Vậy
2
Z
0
[f (x) + 2g(x)] dx = −2 + 2 · 2 = 2
Chọn phương án C
Câu 13 Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 8] và
8 Z
0
f (x) dx = 16;
5 Z
2
f (x) dx = 6 Tính P =
2
Z
0
f (x) dx +
8 Z
5
f (x) dx
Lời giải.
Ta có:
8
Z
0
f (x) dx =
2 Z
0
f (x) dx +
5 Z
2
f (x) dx +
8 Z
5
f (x) dx ⇒ 16 = P + 6 ⇒ P = 10
Chọn phương án B
Câu 14 Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 10] và
10 Z
0
f (x) dx = 10;
4 Z
2
f (2x) dx = 6 Tính
P =
4
Z
0
f (x) dx +
10 Z
8
f (x) dx
Lời giải.
Đặt t = 2x ⇒ dt = 2 dx
Khi x = 2 ⇒ t = 4; x = 4 ⇒ t = 8
Suy ra 6 =
4 Z
2
f (2x) dx = 1
2
8 Z
4
f (t) dt ⇒
8 Z
4
f (t) dt =
8 Z
4
f (x) dx = 12
Ta có:
10
Z
0
f (x) dx =
4 Z
0
f (x) dx +
8 Z
4
f (x) dx +
10 Z
8
f (x) dx ⇒ 10 = P + 12 ⇒ P = −2
Chọn phương án D
Câu 15 Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R, f (2) = 4 và f (−2) = 0 Tính I =
2 Z
−2
f (x) dx
Lời giải.
I =
2
Z
−2
f (x) dx = f (x)
2
−2
= f (2) − f (−2) = 4
Chọn phương án A
Trang 8Câu 16 Cho hàm số f (x) liên tục trên R và có một nguyên hàm làF (x), biếtF (3) = 12, F (0) = 0 khi đó
1
Z
0
f (3x) dx bằng
Lời giải.
Đặt t = 3x ⇒ dt = 3 dx
Khi x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 3
Khi đó ta có
1 Z
0
f (3x) dx = 1
3
3 Z
0
f (t) dt = 1
3
3 Z
0
f (x) dx = 1
3F (x)
3
0
= 1
3(F (3) − F (0)) = 4
Chọn phương án C
Câu 17 Cho hàm số f (x)liên tục trên R và có một nguyên hàm là F (x), biếtF (4) = 12, F (2) = 3 Khi đó
2
Z
1
f (2x) dx bằng
A 9
Lời giải.
Đặt t = 2x ⇒ dt = 2 dx
Khi x = 1 ⇒ t = 2; x = 2 ⇒ t = 4
Khi đó ta có
2 Z
1
f (2x) dx = 1
2
4 Z
2
f (t) dt = 1
2
4 Z
2
f (x) dx = 1
2F (x)
4
2
= 1
2(F (4) − F (2)) =
9
2 Chọn phương án C
Câu 18 Cho hàm số f (x) liên tục, có đạo hàm trên đoạn [1; 2], biết tích phân
2 Z
1
f (x) dx = 4 và
f (1) = 2 Tính f (2)
A f (2) = 6 B f (2) = 1 C f (2) = 3 D f (2) = −16
Lời giải.
Ta có
2
Z
1
f (x) dx = 4 ⇔ f (x)
2
1
= 4 ⇔ f (2) − f (1) = 4 ⇔ f (2) = 4 + f (1) = 4 + 2 = 6
Vậy f (2) = 6
Chọn phương án A
Câu 19 Cho hàm sốf (x)liên tục trên R thỏa mãnf (3x) = 3f (x),∀x ∈R Biết rằng
1 Z
0
f (x) dx = 1
Tính tích phân I =
3 Z
f (x) dx
Trang 9Lời giải.
Ta có: 3 = 3 · 1 = 3 ·
1 Z
0
f (x) dx =
1 Z
0 3f (x) dx =
1 Z
0
f (3x) dx = 1
3
1 Z
0
f (3x)d(3x), ∀x ∈R.
Đặt t = 3x ⇒ d(x) = 1
3dt, với x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 3
Khi đó
3 =
1 Z
0
f (3x) dx = 1
3
3 Z
0
f (t) dt = 1
3
3 Z
0
f (x) dx
⇒
3 Z
0
f (x) dx = 9
⇔
3 Z
0
f (x) dx = 9, ∀x ∈R
⇔
1 Z
0
f (x) dx +
3 Z
1
f (x) dx = 9
⇔
3 Z
1
f (x) dx = 9 −
1 Z
0
f (x) dx = 8
Chọn phương án A
Câu 20 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn
1 Z
0
f (x) dx = 1 và
3 Z
1
f (x) dx = 8 Tính tích phân I =
3
Z
1
f (|2x − 5|) dx
Lời giải.
Trang 10Ta có
I =
3 Z
1
f (|2x − 5|) dx =
5 2 Z
1
f (|2x − 5|) dx +
3 Z
5 2
f (|2x − 5|) dx
=
5 2 Z
1
f (5 − 2x) dx +
3 Z
5 2
f (2x − 5) dx
= −1 2
5 2 Z
1
f (5 − 2x)d(5 − 2x) + 1
2
3 Z
5 2
f (2x − 5)d(2x − 5)
= −1 2
◦ Z
3
f (t) dt + 1
2
1 Z
0
f (s)ds (t = 3 − 2x, s = 2x − 3)
⇒ I = 1
2
3 Z
0
f (x) dx +1
2
1 Z
0
f (x) dx
= 1 2
Ñ 1 Z
0
f (x) dx +
3 Z
1
f (x) dx
é
+ 1 2
1 Z
0
f (x) dx
=
1 Z
0
f (x) dx +1
2
3 Z
1
f (x) dx
= 1 +8
2 = 5.
Chọn phương án B
Câu 21.
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) và trục hoành gồm hai
phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích S1 = 5
12 và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích S2 = 8
3 Tính I =
1 Z
0
f (3x − 1) dx
A I = 5
3 B I = −3
4 C I = −37
36 D I = −1
4.
x
y
O
Lời giải.
Với I =
1
Z
0
f (3x − 1) dx
Trang 11Khi
®
x = 0 ⇒ t = −1
x = 1 ⇒ t = 2
Ta được I = 1
3
2 Z
−1
f (t) dt = 1
3
2 Z
−1
f (x) dx = 1
3
Ñ ◦ Z
−1
f (x) dx +
2 Z
0
f (x) dx
é
.
Trên đoạn [−1; 0] : f (x) ≥ 0 nên
◦ Z
−1
f (x) dx = 5
12.
Trên đoạn [0; 2] : f (x) ≤ 0 nên
2 Z
0
f (x) dx = −8
3.
Vậy I = 1
3
Ñ ◦ Z
−1
f (x) dx +
2 Z
0
f (x) dx
é
= 1 3
5
12− 8 3
= −3
4 Chọn phương án B
Câu 22.
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị gồm một phần đường thẳng và một
phần đường parabol có đỉnh là gốc tọa độ O như hình vẽ Giá trị của
3
Z
−3
f (x)dx bằng
A 26
y
O
−1
1
−2
Lời giải.
Dựa và đồ thị ta thấy:
Phần đường thẳng đi qua các điểm A(−1; 1) và B(−2; 0) nên nó là một phần của đồ thị của hàm
số y = x + 2
Phần đường parabol có đỉnh là gốc tọa độ O(0; 0) và đi qua điểmA(−1; 1) nên nó là một phần của
đồ thị của hàm số y = x2.
Do đó f (x) =
®
x + 2khix < −1
x2khix ≥ −1
Nên
3
Z
−3
f (x)dx =
−1 Z
−3
f (x) dx +
3 Z
−1
f (x) dx =
−1 Z
−3 (x + 2) dx +
3 Z
−1
x2dx = 28
3 Chọn phương án D
Câu 23.
Trang 12Cho hàm số y = f (x)có đồ thị trên đoạn [−1; 4] như hình vẽ
dưới đây Tính tích phân I =
4 Z
−1
f (x) dx
A I = 3 B I = 11
2 C I = 5 D I = 5
2.
x
y
O
−1 1 2 3 4
−1 2
Lời giải.
I =
4
Z
−1
f (x) dx =
2 Z
−1
f (x) dx +
4 Z
2
f (x) dx = 1
2(3 + 1)2 −
1
2(1 + 2)1 =
5
2 Chọn phương án D
Câu 24.
Cho hàm sốy = f (x) có đạo hàm liên tục trên[−1; 2] Đồ thị của hàm số
y = f (x) được cho như hình vẽ Diện tích hình phẳng (K), (H) lần lượt
là 5
12 và 8
3 Biết f (−1) = 19
12 Tính f (2)
A f (2) = 23
6 B f (2) = −2
3 C f (2) = 2
3 D f (2) = 11
6 .
x
y
O
(K)
(H)
Lời giải.
Từ hình vẽ ta có: 5
12 =
◦ Z
−1
f (x) dx = f (x)
◦
−1
= f (0) − f (−1), suy ra f (0) = f (−1) + 5
12 = 2
Ta cũng có: 8
3 = −
2 Z
0
f (x) dx = −f (x)
2
0
= −f (2) + f (0), suy ra f (2) = f (0) − 8
3 =
−2
3 Chọn phương án B
Câu 25.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.
Giá trị của biểu thức I =
4 Z
0
f (x − 2) dx +
2 Z
0
f (x + 2) dx bằng
−2
2 4
y
Lời giải.
Xét I =
4
Z
f (x − 2) dx +
2 Z
f (x + 2) dx =
4 Z
f (x − 2)d(x − 2) +
2 Z
f (x + 2)d(x + 2)
Trang 13= f (x − 2)
4
0 + f (x + 2)
2
0
= [f (2) − f (−2)] + [f (4) − f (2)] = f (4) − f (−2) = 4 − (−2) = 6
Chọn phương án C
Trang 14BẢNG ĐÁP ÁN
21 B 22 D 23 D 24 B 25 C
... data-page="2">Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn sử dụng tính chất để tính tích phân xác định hàm số.
2 HƯỚNG GIẢI:
1) Dựa giả thi? ??t...
0 [2f (x) − 3g(x)] dx bằng
Lời giải.
Áp dụng tính chất tích phân ta có
5 Z
0 [2f (x) − 3g(x)]...
2
f (t) dt = Tính I =
2 Z
1
f (y)dy
Lời giải.
Do tích phân khơng phụ thuộc vào biến số