De thi HSG toan 7cuc hay day

Biết với mọi giá trị nguyên của x thì fx chia hết cho 7... Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và AF cắt nhau tại H.[r]

Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý:

a) (161 )200 và (12)1000 b) (-32)27 và (-18)39

Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết:

a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) ||x +3|−8|=20

Bài 3: (1,5 điểm): Tìm các số x, y, z biết :

a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0

b) x2=y

3=

z

4 và x2 + y2 + z2 = 116

Bài 4: (1,5 điểm):

Cho đa thức :

A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2)

a) Xác định bậc của A

b) Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z

Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: M= x

x+ y +z+

y

x + y +t+

z

y +z+t+

t

x +z +t có giá trị không phải là số tự nhiên.( x, y, z, t N❑ )

Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC Lấy điểm D bất

kì thuộc cạnh BC H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD Đường thẳng AM cắt CI tại N Chứng minh rằng:

a) BH = AI

b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi

c) Đường thẳng DN vuông góc với AC

d) IM là phân giác của góc HIC

Bài 1 (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và c( b +

d) = 2bd Chứng minh ( a+c b+d ) 8 = a8+c8

b8 +d8

Bài 2 (2điểm) a/ Tìm x biết:

5 |34−

2

3x| - 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 0,25 + (-0,25)2} b/ Tìm x , y biết: |3+ y| + |2 x+ y| = 0

Bài 3 (2điểm) a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x2 - 35x + 42

b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và

a 0 Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7 Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7

Bài 4 (2điểm) a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41

b/ Biết x Q và 0 < x < 1 Chứng minh xn < x với n N, n ❑ 2

Bài 5 (2điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và

AF cắt nhau tại H Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau

b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD

Bài 1: (1,5 điểm) Cho

2

A



 biết

1 x 2



; y là số nguyên âm lớn nhất

Bài 2: (2 điểm) Cho

và

9 x 11 x

2

.Tìm x+y+z

Bài 3: (1,5 điểm)

Tìm x, y Z biết 2xy+3x = 4

16 - 72 + 90

Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1

a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức

b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho

AE = AB Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F

a/ Chứng minh tam giác BFC

b/ Biết góc ACB bằng 300.Chứng minh tam giác BFE đều

Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz biết: x2

4 =

y2

9 =

z2

25 , và x – y + z = 4

Bài 2: (1 điểm) Biết a2+ab+b

2

3=25 ; c

2 +b2

3=9 ; a

2 +ac +c2=16

và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c Chứng minh rằng: 2 c a =b+c a+c

Bài 3: (2,5 điểm0

a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:

f (x) = (m 2 - 25) x 4 + (20 + 4m) x 3 + 7 x 2 - 9

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 x 4 - 72 x 2 + 90.

Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5.

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC Các tia phân giác của góc A và

góc C cắt nhau tại O Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH Gọi K là giao điểm của FH và AI.

a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.

b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.

Đáp án Toán 7 Bài 1: (1,5 điểm):

a) Cách 1: (161 )200 = (12)4 200=(12)800 > (12)1000

Cách 2: (161 )200 > (321 )200 = (12)5 200=(12)1000

(0,75điểm) b) 3227 = 25¿27 ¿ = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 (0, 5điểm) ⇒ -3227 > -1839 ⇒ (-32)27 > (-18)39

(0,25điểm)

Bài 2: (1,5 điểm): a) (2x-1)4 = 16 Tìm đúng x =1,5 ; x = -0,5 (0,5điểm) b) (2x+1)4 = (2x+1)6 Tìm đúng x = -0,5 ; x = 0; x = -15 (0,5điểm) c) ||x +3|−8|=20 ⇒ |x +3|−8=20 ; |x +3|−8=−20 |x +3|−8=20 ⇒ |x +3| = 28 ⇒ x = 25; x = - 31

(0,25điểm)

|x +3|−8=−20 ⇒ |x +3| =−12 : vô nghiệm

(0,25điểm)

Bài 3: (1,5 điểm): a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 ⇒ (3x - 5)2006 = 0; (y2 - 1)2008 = 0; (x - z) 2100 = 0

(0,25điểm)

⇒ 3x - 5= 0; y2 - 1 = 0 ; x - z = 0 ⇒ x = z = 53 ;y = -1;y = 1

(0,5điểm)

b) x2=y 3= z 4 và x2 + y2 + z2 = 116 Từ giả thiết ⇒ x2 4 = y2 9 = z2 16= x2 +y2 +z2 4+9+16 = 116 29 =4 (0,25điểm) Tìm đúng: (x = 4; y = 6; z = 8 ); (x = - 4; y = - 6; z = - 8 ) (0,5điểm) Bài 4: (1,5 điểm): a/ A = 30x2yz - 4xy2z - 2008xyz2 ⇒ A có bậc 4 (0,5điểm) b/ A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) ⇒ A = 0 nếu 15x - 2y = 1004z

(0,725điểm)

Bài 5: (1 điểm):

Ta có: x + y +z+t x < x

x+ y+z<

x

x + y (0,25điểm)

x + y +z+t y < y

x+ y+t<

y

x + y

x + y +z +t z < z

y +z+t<

z

z +t (0,25điểm)

x + y +z+t t < t

x+z +t<

t

z +t

⇒ x + y +z +t

x + y +z +t<M <¿ (

x

x + y+

y

x + y)+(

z

z +t+

t

z +t) (0,25điểm)

hay: 1 < M < 2 Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên (0,25điểm)

Bài 6: (3 điểm):

a AIC = BHA  BH = AI (0,5điểm)

b BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (0,75điểm)

c AM, CI là 2 đường cao cắt nhau tại N  N là trực tâm  DN AC (0,75điểm)

d BHM = AIM  HM = MI và BMH = IMA (0,25điểm)

mà :  IMA + BMI = 900  BMH + BMI = 900 (0,25điểm)  HMI vuông cân  HIM = 450 (0,25điểm)

mà : HIC = 900 HIM =MIC= 450  IM là phân giác HIC (0,25điểm)

H

I

M B

D

N

Bài 1 (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và c( b + d) = 2bd Chứng minh ( a+c b+d ) 8 = a8+c8

b8 +d8

Bài 2 (2điểm) a/ Tìm x biết:

5 |34−

2

3x| - 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 0,25 + (-0,25)2} b/ Tìm x , y biết: |3+ y| + |2 x+ y| = 0

Bài 3 (2điểm) a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x2 - 35x + 42

b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và

a 0 Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7 Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7

Bài 4 (2điểm) a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41

b/ Biết x Q và 0 < x < 1 Chứng minh xn < x với n N, n ❑ 2

Bài 5 (2điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và

AF cắt nhau tại H Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau

b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD

-ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Bài 1 (2đ) Từ c( b+d ) = 2bd suy ra b + d = 2 bdc (0,5đ)

Viết a+c b+d = 2 bd2 bc = c d (0,5đ) Suy ra a b = c d = a+c b+d (0,5đ) Biến đổi để có điều phải chứng minh (0,5đ)

Bài 2 (2đ) a/ Tính được |34−

2

3x| = 14 (0,5đ) Tìm được x = 34 , x = 32 (0,5đ) b/ Nêu |3+ y| ❑ 0 và |2 x+ y| ❑ 0 (0,25đ)

Để có |3+ y| + |2 x+ y| ❑ 0 (0,25đ) Suy ra |3+ y| = 0 và |2 x+ y| = 0 (0,25đ) Tìm được x = 32 và y = -3 (0,25đ)

Bài 3 (2đ) a/ Viết được 7x 2 - 35x + 42 = 7(x-3)(x-2) (0,5đ)

Tìm được x = 3 , x = 2 và trả lời (0,5đ) b/ Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 7 (0,25đ) f(1) và f(-1) chia hết cho 7 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 7 (0,25đ) Suy ra 2a + 2c chia hết cho 7 để có a chia hết cho 7 (0,25đ) Suy ra b chia hết cho 7 (0,25đ)

Bài 4 (2đ) a/ Viết được (x+1) 2 = 42 + 8y 2 (0,25đ)

Suy ra (x+1) 2 là số chẵn, để có (x+1) 2 chia hết cho 4 (0,25đ) Nêu 42 + 8y 2 không chia hết cho 4 (0,25đ) Kết luận: không có số nguyên x, y nào thõa mãn đề bài (0,25đ) b/ Xét x n – x = x ( x n-1 - 1 ) (0,25đ) + 0 < x < 1 nên x n-1 < 0 và x > 0 (0,25đ) Suy ra: x n - x < 0 (0,25đ) + Suy ra điều phải chứng minh (0,25đ)

Bài 5 (2đ) a/ Nêu được AK MC (0,5đ)

Suy ra hai góc KAH và MCB bằng nhau (0,5đ) b/ Chứng minh CE = MN (0,25đ) Viết được AB - AC > BD - CE Suy ra: BM > BD – MN (0,25đ) Hạ

MI BD và chứng minh BM > BI (0,25đ)

Kết luận AB + CE > AC + BD (0,25đ)

Sở GD & ĐT Đà Nẵng

Trường THCS Nguyễn Khuyến

-KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII

Năm học 2007 – 2008 Môn: Toán 7 Thời gian: 90 phút

-Bài 1: (1,5 điểm) Cho

2

A



 biết

1 x 2



; y là số nguyên âm lớn nhất

Bài 2: (2 điểm) Cho

và

9 x 11 x

2

.Tìm x+y+z

Bài 3: (1,5 điểm)

Tìm x, y Z biết 2xy+3x = 4

16 - 72 + 90

Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1

a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức

b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho

AE = AB Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F

a/ Chứng minh tam giác BFC

b/ Biết góc ACB bằng 300.Chứng minh tam giác BFE đều

GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VIII ĐÁP ÁN TOÁN 7

Bài1: (1,5 điểm)

+ Tìm được: x = ; y = -1 (0,5đ)

Bài 2: (2 điểm)

+ Từ + = 2 Û (2 – x)( + ) = 0 Û x = 2 (0,75đ) + Thay x = 2  = = = = = 2 (1đ)

Bài 3: (2 điểm)

+ Chỉ ra được x, y Z  x Ư(4) và 2y + 3 lẻ (0,5đ)

Bài 4: (2 điểm).

(hoặc tính được P(1) = 0  đpcm)

b) + Rút được: + x = 3 (1) (0,25đ)

+ Biến đổi được P = (3 + 3 ) + ( + x) – 9x + 1

= 3x( + x) + ( + x) – 9x + 1 (1đ)

+ Thay (1) vào: P = 9x + 3 – 9x + 1 = 4(0,25đ)

(Học sinh có thể giải đúng bằng cách khác vẫn cho điểm)

Bài 5: (2,5 điểm)

a) Chỉ ra được F là giao điểm 2 trung trực của  BEC (0,5đ)

(học sinh có thể chứng minh: FC = FE; FB = FE đpcm)

K F

+ Hạ FK AB  FKB = FHC (ch + cgv) B (0,75đ)

A F H C

Sở GD & ĐT Đà Nẵng

Trường THCS Nguyễn Khuyến

-KÌ THI GIẢI NGUYỄN KHUYẾN LẦN THỨ VII

Năm học 2006 – 2007 Môn: Toán 7 Thời gian: 90 phút

-Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz biết: x2

4 =

y2

9 =

z2

25 , và x – y + z = 4

Bài 2: (1 điểm) Biết a2+ab+b

2

3=25 ; c

2 +b2

3=9 ; a

2

+ac +c2=16

và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c Chứng minh rằng: 2 c a =b+c a+c

Bài 3: (2,5 điểm0

a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x:

f (x) = (m 2 - 25) x 4 + (20 + 4m) x 3 + 7 x 2 - 9

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 x 4 - 72 x 2 + 90.

Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5.

Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC Các tia phân giác của góc A và

góc C cắt nhau tại O Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH Gọi K là giao điểm của FH và AI.

a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI.

b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng.

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Bài 1: (1điểm)

x2

4 =

y2

9=

z2

25 và x, y, z N, x ≠ 0  x2= y

3=

z

 x2=y

3=

z

5=

x − y +z

2 −3+5=

4

4=1

x = 2; y = 3; z = 5 Vậy xyz = 235

0,25đ 0,25đ

Bài 2: (1,5 điểm)

Ta có: c2+b2

3 +a

2 +ac+c2= ¿ a2+ab+b

2

3 (vì 9 + 16 = 25) Suy ra: 2c2= a(b – c)

 2 c

a =

b −c

c (vì a ≠ 0; c ≠ 0)

 2 c a =b −c

c =

2 c+b− c

a+c =

b+c a+c (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0)

0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ

Bài 3: (2,5điểm)

a/ (1 điểm) f(x) = ( m2- 25)x4 + (20 + 4m)x3 + 7x2 - 9 là đa thức bậc 3

biến x khi: m2 - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0

 m = ± 5 và m ≠ -5

Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x

0,5đ 0,25đ 0,25đ

b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 =(4x2 )2 - 2.4 x2.9 + 92 + 9

g(x) = (4x2 – 9)2 + 9

Với mọi giá trị của x ta có: = (4x2 – 9)2 ≥ 0  g(x) = (4x2 – 9)2 + 9 ≥ 9

Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9

Khi và chỉ khi (4x2 – 9)2 = 0

 4x2 - 9 = 0  4x2 = 9 x2 = 94  x = ±3

2

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ

Bài 4: (2 điểm)

Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r)

Ta có: * 112 = 5a + r

 5a < 112  a 22 (1)

*a > r  5a + r < 5a + a

112 < 6a

a > 112 : 6

a ≥ 19 (2)

Từ (1) và (2)  a = 19; 20; 21; 22

lập bảng số:

0,5đ

0,5đ

Bài 5: (3 điểm)

a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO =  CFO (cạnh huyền – góc nhọn)

suy ra: CH = CF Kết luận  FCH cân tại C

-Vẽ IG //AC (G FH) Chứng minh  FIG cân tại I

- Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK

- Chứng minh  AHK =  IGK (g-c-g)

- Suy ra AK = KI

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

b/ (1,5 điểm)

Vẽ OE ^ AB tại E Tương tự câu a ta có:  AEH,  BEF thứ tự cân tại A, B

Suy ra: BE = BF và AE = AH

BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI Suy ra:  ABI cân tại B

Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của  ABI nên: B,

O, K là ba điểm thẳng hàng

A

E H

K

0,5đ 0,5đ 0,5đ